Спасский Б.А. Лекции по теории обработки геофизических данных
Подождите немного. Документ загружается.
Б.А.Спасский. Краткий курс лекций по «Теоретически основам обработки
геофизических данных»
Введение 2
1. Интегральные преобразования геофизических функций 3
1.1. Цель обработки. Понятие сигнала в геофизике 3
1.2. Комплексные числа 6
1.3. Временные и частотные(спектральные) представления функций. Преобразования Фурье
7
1.4. Основные теоремы преобразований Фурье 10
1.5. Теорема о свертке функций (теорема о конволюции) 11
1.6. Пример производства свертки функций 11
1.7. Многомерные преобразования Фурье 12
1.8. Преобразования Лапласа 12
1.9. Вейвлет-анализ 13
2. Анализ параметров систем обработки
2.1. Линейные системы 13
2.2. Частотные характеристики систем 15
2.3. Единичная функция 16
2.4. Прямоугольный и единичный импульсы 17
2.5. Временные характеристики систем 18
2.6. Анализ воздействия систем на проходящие сигналы 19
3. Корреляционные и энергетические характеристики
3.1. Корреляционные характеристики. Функция взаимной корреляции………………20
3.2. Функция автокорреляции……………………………………………………………..21
3.3. Энергия и мощность сигналов……………………………………………………….22
3.4. Теорема Парсеваля (Релея). Энергетические спектры……………………………..22
3.5. Взаимные энергетические спектры. Когерентность ………………………………23
4. Особенности преобразования дискретных функций…………………………………...24
4.1. Дискретные функции ………………………………………………………………24
4.2. Выбор шага квантования во времени. Частота Найквиста………………………..25
4.3. Формулы дискретных преобразований Фурье…………………………………….27
4.4. Особенности спектров дискретных функций …………………………………..28
4.5. Восстановление аналоговых функций по дискретным, БПФ……………………29
5. Z-преобразования…………………………………………………………………………29
5.1. Понятие Z-преобразований…………………………………………………………..29
5.2. Отображение Z-преобразований на плоскости……………………………………..30
5.3. Свойства Z-преобразований………………………………………………………….31
5.4. Графическое изображение преобразований Фурье, Лапласа и Z-преобразований 32
5.5. Геометрическое истолкование корней Z-преобразований…………………………33
5.6. Z-преобразования и форма сигналов……………………………………………… 34
6. Конечность сигналов и функции-окна…………………………………………………..35
6.1. Влияние конечности функций на результаты спектрального анализа………….35
6.2. Функции-окна при обработке экспериментальных данных. Явления Гиббса…36
7. Цифровая фильтрация………………………………………………………………...….38
7.1. Основы цифровой фильтрации…………………………………………………...…38
7.2. Пути производства (алгоритмы) фильтрации………………………………………39
7.3. Типы цифровых фильтров……………………………………………………………40
7.4. Многомерная (пространственно-временная) фильтрация…………………………41
7.5. Согласованные фильтры……………………………………………………………..43
7.6. Обратная фильтрация…………………………………………………………………44
8. Детерминированный и статистический подходы к обработке геофизических данных 46
8.1. Детерминированный подход к обработке. Задачи и методы трансформации и продолжения
геопотенциальных полей……………………………………………….46
8.2. Случайные функции, статистический подход к обработке. Стационарность и
эргодичность…………………………………………………………………………….49
8.3. Корреляционно-регрессионный анализ. Эвристические алгоритмы……………51
Литература………………………………………………………………………………52.
Рисунки …………………………………………………………………………со стр. 53
Постановка геофизических методов исследований обычно проводится в несколько этапов.
Предварительно, например при поисках углеводородов, нефтяная компания или Государство выделяют деньги
на решение каких-то геологических задач, например, на поиски нефте- или газо-перспективных объектов.
1
Определяются геологические задачи, которые будут решены в процессе работ и составляется геологическое
(техническое) задание для их проведения. Проводится составление проекта производства работ и расчет сметы
денежных затрат, необходимых для решения поставленных задач. Затем выбирается геофизическая
организация, которой и поручается проведение полевых измерений, последующая обработка и геологическое
истолкование (интерпретация) наблюденных данных.
Обработка полученной в процессе наблюдений информации – один из важнейших этапов анализа
экспериментальных данных в любой технической отрасли, включая и методы разведочной геофизики. Объемы
геофизической информации, получаемой в процессе измерений в полевых условиях, велики. Кроме того, эта
информация в настоящее время сохраняется и накапливается (в цифровом виде) для последующего
использования. Поэтому для ее обработки применяют самую новейшую и мощную вычислительную технику,
а также современное программное обеспечение, основанное на самых последних достижениях математики.
Предметом измерений в разведочной геофизике являются различные физические поля (магнитное,
электрическое и т.п.), особенности которых обусловлены геологическим строением и физическими
свойствами горных пород. К сожалению, эти поля содержат в себе не только информацию об интересующих
геологов объектах, которые изучаются с помощью различных геофизических методов (полезный сигнал), но и
различного вида помехи (влияние вмещающих пород, ошибки измерения, ошибки преобразования
информации при ее регистрации, трансляции и обработке и т.д.).
В связи с этим, основной целью обработки данных (в том числе и геофизической информации)
является определение «истинных» параметров полезного сигнала, искаженных действием помех и оценка
степени влияния характеристик среды на параметры сигнала. Часто эта цель формулируется как повышение
отношения энергии полезного сигнала к энергии помех или отношение сигнал/помеха (С/П или S/N
(signal/noise) в англоязычной литературе).
Очень удобно весь процесс, начиная от возникновения геофизических полей, влияния на них
различных параметров окружающей геологической среды, процессов их регистрации и обработки,
рассматривать с единых позиций – как прохождения полезного сигнала через некоторую систему, в ходе
которого сигнал подвергается тем или иным преобразованиям. При этом каждый этап преобразования
(обработки) приводит к возникновению тех или иных помех или погрешностей.
С учетом этого каждый геофизик (который регистрирует, обрабатывает или занимается геологической
интерпретацией обработанных данных) должен не только хорошо представлять себе, но и обязательно
учитывать при работе – как те или иные процедуры, которым подвергается геофизическая информация,
влияют на параметры сигнала или соотношение сигнал/помеха в целом.
Автор данного пособия в течение нескольких десятилетий читал данный курс лекций студентам-
геофизикам Пермского государственного университета. Процедура приема зачетов и экзаменов, результаты
контрольных опросов студентов позволили выяснить, какие разделы данной дисциплины и в какой степени
усваиваются студентами. Данный курс читается на 5-ом семестре (на третьем курсе), когда студенты уже
изучили основные положения таких дисциплин как математика, информатика, радиотехника, методы
математического анализ и др. Для повышения понимания студентами материала данного курса приходится
напоминать отдельные разделы уже пройденных курсов, хотя бы в упрощенном варианте.
С учетом этого (и государственного стандарта) и построено изложение материала в данном пособии.
Основное внимание при этом уделено не столько собственно математической стороне вопроса, которая
изучалась уже студентами и хорошо представлена во многих имеющихся «классических» учебниках (даже
«старых» годов выпуска), а, по возможности, краткому физическому истолкованию основных формул,
целесообразности и возможности применения тех или иных преобразований сигналов при обработке
геофизической информации. Это, на наш взгляд, позволит читателю проще усвоить необходимый
математический аппарат и, на этой основе, учитывать в практической работе особенности влияния различных
процедур на результаты цифровой обработки информации, не углубляясь в детали математических выводов.
Изложение материала начинается с обсуждения основных идей спектрального и других способов
представления сложных экспериментальных функций сигналами более простой формы. В последующих
разделах приводятся основные понятия, применяющиеся при анализе сигналов и при прохождении их через
системы обработки. Обсуждаются алгоритмы (способы) преобразования функций во временной и
спектральной областях. Рассматриваются особенности процесса дискретизации функций и их ограничения во
временной области. Показана сущность, графическое изображение и особенности Z-преобразований, их связь
с другими видами преобразований функций, используемых при обработке геофизической информации. В
заключительной части пособия обсуждаются особенности производства и виды различных цифровых
фильтров.
1. Интегральные преобразования (разложение) геофизических функций
1.1. Цель обработки. Понятие сигнала в геофизике
Основой получения геофизической информации (геофизических данных) являются полевые
измерения, т.е. нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических
средств (цифровых или, реже, аналоговых приборов). В разведочной геофизике предметом измерения являются
физические поля, создаваемые горными породами. Результаты измерения представляют собой числа,
выраженные в соответствующих физических единицах измерения. Эти числа — элементы измерительной
информации. Иначе говоря, геофизическая информация — это измерительная информация, доставляющая
2
сведения о каком-либо физическом свойстве, физическом поле, характеризующем особенности строения
геологической среды (геологические объекты).
Измеренные значения геофизических полей представляют собой функции реальных переменных -
времени t или пространства х (в точках с координатами X, Y, Z) и отображают некоторую информацию или
сообщение. Они могут быть одномерными и описываться вещественной или комплексной функцией х(t) или
s(х), определяемой на интервале вещественной оси (времени t или пространства х) или многомерными,
которые определяются на площади или в пространстве.
Их изображают обычно в виде графиков (полевых записей). Так сейсмическую трассу можно
представить как изменение амплитуд колебаний от времени s(t). А каждая сейсмограмма s(t, х), состоящая из
нескольких записей (трасс) полученных на разных расстояниях х от пункта возбуждения, является
пространственно временной функцией. В гравиразведке (при измерении приращений значений силы тяжести
Δg по профилю) имеем пространственные функции Δg(х), где под х понимается пространственная координата
(например, номер пикета), т.е. расстояние по профилю. В итоге измерений силы тяжести по нескольким
профилям (при использовании координатных осей X, Y) имеем пространственную функцию (карту) Δg(X, Y).
Измеряемые функции могут быть аналоговыми (непрерывными) и описываются непрерывной (или
кусочно-непрерывной) функцией. В практике цифровой обработки обычно используются дискретные
значения (рис.1.1 а), которые описываются так называемыми решетчатыми функциями, т.е.
последовательностями х(nΔt) или х(n), где Δt – постоянная величина или шаг квантования (дискретизации)
функций во времени (или пространстве), а n – целые числа, n = 0, 1, 2, …N-1. N – общее число отсчетов
измерений. Значения дискретных функций х(nΔt) (выборки или отсчеты) могут принимать произвольные
значения на интервале измерения.
В отличие от них цифровые функции (рис.1.1 б) представляют собой квантованные (измеренные) по
уровню дискретные сигналы, которые принимают в дискретные моменты времени nΔt значения,
определяемые набором из нескольких разрядов (уровней) квантования. Знак и величина цифровой функции
для каждого значения х(nΔt) кодируется набором символов (обычно чисел в двоичной системе счисления).
Они представляют собой последовательность чисел (выборок или отсчетов), каждое из которых с некоторой
погрешностью, зависящей от числа разрядов квантования по уровню, описывает дискретную (цифровую)
функцию.
Цель обработки геофизических данных — извлечение полезной информации об интересующих нас
геологических объектах из результатов измерений (наблюдений). В процессе обработки решаются задачи
преобразования наблюденной информации к более удобному для обработки виду, проводится подавление
помех, выделение полезных сигналов (аномалий). Количественная интерпретация сигналов, выделенных
путем обработки, сводится к количественной оценке геометрических и физических параметров источников
аномалий. Если методика и методы интерпретации данных разных геофизических методов существенно зависят
от типа регистрируемого поля, то теоретические основы методов обработки и методика их применения,
направленные на извлечение полезной информации, являются едиными для всех методов (для обработки
любой информации) и не зависят от типа анализируемого физического поля.
В теории обработки информации под сигналом часто понимают информацию, получаемую при
измерении с помощью соответствующих датчиков (аппаратурных устройств). При обработке геофизических
данных считается, что наблюденная геофизическая информация содержит сигнальную часть (сигнал) и помехи.
Под с и г н а л о м в этом случае понимается составляющая измеряемого поля, которая несет информацию об
интересующем нас объекте. Под п о м е х о й понимают компоненты поля (в том числе и погрешности,
возникающие при его преобразовании), препятствующие выделению полезного сигнала (включая и случайную
компоненту). Например, в сейсморазведке методом отраженных волн полезным сигналом являются
однократно отраженные волны, а все прочие колебания (прямые, поверхностные, преломленные и др. волны)
– относятся к помехам.
При обработке естественных полей (в гравии-, магниторазведке) часто применяют термин
« г е о ф и з и ч е с к а я а н о м а л и я » , под которым понимается отклонения физического поля,
обусловленные подлежащими изучению геологическими объектами, от его нормальных значений.
Н о р м а л ь н о е поле — геофизическое поле Земли или большой по площади территории, обусловленное
однородными по физическому параметру горными породами. При интерпретации различают материковые,
региональные и локальные аномалии различных порядков. Региональные аномалии охватывают площади в
тысячи и десятки тысяч квадратных километров, локальные — от тысяч квадратных километров до десятых и
сотых долей квадратного километра. Такое представление позволяет выделить несколько условных нормальных
уровней поля в зависимости от класса пространственной протяженности аномалий.
Иначе, за л о к а л ь н у ю а н о м а л и ю ( п о л е з н ы й с и г н а л ) можно принять такую
составляющую наблюденного поля, которая характеризует искомый объект и по линейным размерам
(площади) значительно (в 5 и более раз) меньше изучаемых профилей (площадей) наблюдений, т. е. число
характеризующих локальную аномалию точек в несколько раз меньше общего числа точек наблюдений. При
изучении локальных аномалий за нормальное поле обычно принимается сумма нормального поля Земли,
материковых и региональных аномалий, причем действие первых двух составляющих можно считать
постоянным в пределах изучаемых профилей и площадей наблюдений. При этом выделение региональных и
локальных аномалий из суммарного поля носит условный характер.
3
Таким образом, любое наблюденное геофизическое поле в этом случае представляет собой
суперпозицию (сумму) различных аномалий (сигналов и помех). Поэтому основная задача при его изучении
состоит в выделении аномалий (сигналов), обусловленных искомыми геологическими объектами на фоне
помех, а также в разделении поля на составляющие различной природы. После разделения полей и выделения
аномалий (сигналов) проводится геологическая интерпретация последних.
Обработка данных в этом случае обычно строится на основе формирования математической модели
геофизического поля, в качестве которой часто используется аддитивная модель, т. е. такая модель, в которой
измеренное поле y
j
представляет собой сумму нескольких компонент: полезной составляющей или сигнала
(аномалии) s
i
и осложняющих ее помех n
j
, т.е.
y
i
= s
j
+ n
i
.
Иногда используется мультипликативная модель поля. В этом случае отдельные составляющие поля
представляются выражением, в котором присутствует их произведение (или свертка, как будет показано ниже).
Например,
y
i
= s
i
· n
i
, y
i
= s
i
* n
i
или y
i
= s
i
· n
i
+ n
i
.
Существуют два подхода к обработке и интерпретации результатов геофизических наблюдений:
детерминированный (детерминистический) и вероятностно-статистический.
Основой д е т е р м и н и р о в а н н о г о п о д х о д а , используемого главным образом при
интерпретации в грави-, магнито-, терморазведке, электроразведке постоянным током и естественного поля,
является применение аналитических методов теории потенциала, уравнений Максвелла (в электроразведке
переменным током) и теории упругости (в сейсморазведке). Решение обратных задач при этом находится в
форме единственно возможного решения, т. е. либо в виде определенной функциональной зависимости
(формулы), либо в виде числа как частного значения функции для искомого значения аргумента.
Применение детерминированного подхода (аналитических методов) при обработке и интерпретации
можно считать оправданным, если производятся преобразования и анализ интенсивных аномалий от
геологических объектов с заметной дифференциацией физических свойств, благоприятными для решения
поставленных задач размерами, формой и глубиной залегания.
В настоящее время при обработке все большее значение приобретает в е р о я т н о с т н о -
с т а т и с т и ч е с к и й п о д х о д . Это связано с характерной особенностью геофизических наблюдений,
заключающейся в том, что полученные в отдельных точках данные можно рассматривать как случайные
события из-за наложения помех, погрешностей измерений, случайного распределения в разрезе геологических
неоднородностей и другими причинами. Поэтому параметры измеряемого поля реализуется случайным
образом. Следовательно, в практике обработки и интерпретации исследователь имеет дело с данными, которые с
большим основанием описываются случайными величинами и процессами, а не аналитическими функциями
(формулами). Изучение этих величин и процессов требует привлечения аппарата теории вероятностей и ее
различных приложений.
Математической основой при обработке геофизической информации часто являются идеи
спектрального анализа, который предполагает использование функций комплексного переменного. В связи с
этим вспомним понятие комплексных чисел. Это необходимо для более простого понимания последующего
материала.
1.2. Комплексные числа
Вещественные или действительные числа – включают все рациональные и иррациональные числа,
числовые значения которых изменяются в бесконечных пределах. Графически они изображаются на прямой
линии по обе стороны от нуля (рис. 1.2 а).
К комплексным числам относятся выражения вида z = a + j b, где a и b –действительные числа, а j =
1
или
2
j
= (-1) – так называемая мнимая единица. При этом нужно помнить, что
- 1 = j
2
=
1
1
)1()1(
=1.
Каждому комплексному числу z = a + jb соответствует пара упорядоченных действительных чисел (a, b),
и каждой упорядоченной паре действительных чисел (a, b) соответствует комплексное число z = a + j b.
Число a называется действительной частью комплексного числа z (обозначается a=Re(z)), а число b
называется мнимой частью (обозначается b=Im(z)). Для геометрического изображения комплексных чисел на
плоскости (рис. 1.2 б) используют прямоугольную декартову систему координат (X, Y). Как указывалось
выше, множество всех действительных чисел изображаются осью абсцисс (X), которая поэтому и называется
действительной, или вещественной, осью. Вещественные числа являются частным случаем комплексных
чисел, когда коэффициент при j равен нулю или Im(z) = 0.
А множество всех мнимых чисел – образуют множество точек, не лежащих на оси абсцисс и
формирующих комплексную плоскость. Каждую точку С(a, b) этой плоскости рассматривают как образ
комплексного числа z = a + j b. В частности, множество чисто мнимых чисел (когда а = 0) формируют мнимую
ось (Y). При графическом изображении комплексных чисел по горизонтальной оси откладываются
действительные числа (Re z), а по вертикали мнимые (Im z). Для геометрического представления чисел z = a +
j b, кроме точек (a, b), используют также понятие радиус-вектора r или, как синонимы, комплексное число,
вектор. При этом, длина вектора r = |z|.
4
Комплексные числа вида z
*
= cos
- j sin
называются комплексно-сопряженными (точка С* на рис.
1.2 б).
Применяя полярные координаты на комплексной плоскости (рис. 1.2), т.е. вектор r = |z|, называемый
модулем и полярный угол φ = Arg z, называемый аргументом комплексного числа z (иногда фазой), и с учетом
того, что а = r cos
= Re z, b = r sin
= Im z, получаем тригонометрическую или полярную форму
представления комплексного числа:
z = Re + Im (z) = а + j b = r cos
+ j r sin
= r(cos
+ j sin
),
здесь r =
22
ba
,
a
b
arctg
. (1.1)
Комплексные числа в тригонометрической форме тесно связаны с показательной функцией мнимого
аргумента. В соответствии с тождеством Эйлера имеем:
e
j
= cos
+ j sin
,
e
j
= cos
- j sin
, (1.2)
cos φ = 1/2 (e
jφ
+ e
-jφ
),
sin φ = 1/2j (e
jφ
- e
-jφ
),
С учетом формул (1.2) можно преобразовать тригонометрическую форму комплексного числа (1) в
показательную (векторную) форму
z = r (cos
+ j sin
) = r e
jφ
= |z| e
jφ
,
z = r (cos φ – j sin φ) = r e
- jφ
= |z| e
–jφ
. (1.3)
В такой форме (в виде комплексных экспоненциальных функций в соответствии с формулами (1.2) и
(1.3)) удобно производить перемножение комплексных чисел, так как их модули перемножаются, а аргументы
складываются (свойство мультипликативности). Например:
e
jx
· e
-jy
= e
j(x - y)
.
Как мы увидим ниже, при анализе физических процессов удобнее пользоваться не вещественными
синусами и косинусами с использованием формулы (1.1), а комплексными показательными функциями,
которые и составляют вектор e
jx
. При решении многих задач при обработке геофизических данных величина х
= 2πft = ωt, где
f
2
- круговая частота колебаний (радианы в секунду), f – циклическая частота (Герцы).
А комплексный вид e
j 2πft
и e
-j 2πft
, или e
jωt
и e
-jωt
таких тригонометрических функций более удобен при записи
математических выражений, хотя вещественные сигналы с частотой f или ω = 2πf боле наглядно отражают
действительность.
На любой частоте (ω или f) в качестве основы для представления любой функции в формулах (1.1) мы
располагаем обычно синусами или косинусами, на которые эта функция раскладывается. А в комплексной
записи (1.3) их использование более универсально и более удобно, хотя и предполагается, что в этом случае
появляются не только положительные, но и отрицательные частоты.
1.3. Временные и частотные (спектральные) представления функций.
Преобразования Фурье
При регистрации и обработке данных геофизических исследований проводится измерение во времени
или пространстве цифровых величин, характеризующих физические поля. Причем, одновременно с полезной
(используемой для изучения особенностей геологического строения) информацией геофизическими
приборами регистрируются и так называемые «шумы» или помехи, которые усложняют форму наблюденных
функций, но не несут полезную информацию. Поэтому одной из основных задач цифровой обработки является
выявление полезного сигнала на фоне помех и исключение шумов.
Хорошо известно, что любой дом (строительный объект) можно построить из простых кирпичей.
Аналогично можно считать, что большинство геофизических функций можно представить суммой более
простых функций («кирпичиков»), свойства которых хорошо известны. Раскладывая сложную функцию на
более простые «кирпичики», можно достаточно просто изучить особенности функций, сделать анализ
процесса их прохождения через любую, даже сложную систему регистрации или обработки, выделить ее
полезную (сигнальную) и шумовые компоненты. В соответствии с принципом суперпозиции сумма всех
простых сигналов на выходе системы даст тот же результат, который получится при прохождении сложной
функции через данную систему. Именно поэтому при обработке геофизической информации используется ряд
преобразований функций, позволяющих разложить сложную функцию на более простые составляющие.
Простейшими сигналами-кирпичиками являются гармонические a(t) колебания (синусоиды и
косинусоиды), текущая амплитуда а, которых изменяется во времени t (или пространстве). Их запись
производится в виде функции (рис. 1.3 а)
a(t) = Asin
)sin()(
tAt
=Asin (
t
)
или
b(t) = Acos (
t
).
5
Здесь A – максимальная амплитуда колебаний с периодом T = 1/f = 2π/ω, , а
=
- некоторый
сдвиг во времени (относительно начального момента), величину
- часто называют сдвигом по фазе
или фазой колебаний.
Преимуществом гармонических колебаний перед другими простыми функциями является то, что они
не меняют свою форму при любых преобразованиях, а меняют лишь свои параметры: максимальную
амплитуду (A), начальную фазу (
) и частоту (f или
) колебаний.
Из физики хорошо известно, что луч белого света с помощью призмы можно разложить на отдельные
цветовые компоненты (соответствующие электромагнитным колебаниям разных частот), дающих радугу.
Аналогично любую геофизическую функцию x(t) (рис.1.3.б) можно представить серией гармонических
(синусоидальных и косинусоидальных) колебаний разных частот (рис.1.3 в), имеющих соответствующие
комплексному спектру X(f) или X(
) амплитуды и фазы колебаний (рис.1.3. г и д).
Математически факт разложения сложной функции x(t) на гармонические колебания (амплитуда и
фаза которых на разных частотах контролируется комплексным спектром Х(ω)) можно записать в виде
интегралов Фурье в такой форме
X(
) =
tj
etx
)(
dt, (1.4)
x(t) =
2
1
tj
eX
)(
d
. (1.5)
Если круговую частоту
заменить циклической f, то формулы (3) и (4) примут вид
2
( ) ( )
j ft
X f x t e dt
, (1.4a)
2
( ) ( )
j ft
x t X f e df
. (1.5a)
Иногда в литературе экспоненту e заменяют индексом exp. В этом случае формулы (3а) и (4а)
запишутся в форме
X(f) =
dtftjtx
2exp)(
, (1.4b)
x(t) =
ftjfX
2exp)(
df. (1.5b)
Здесь x(t) – анализируемая функция, изменяющаяся во времени (или пространстве), X(
) или X(f) –
комплексный частотный спектр функции x(t). Выражения (1.4) соответствуют прямому преобразованию
Фурье, а формулы (1.5) – обратному.
Формулы (1.4) и (1.5) часто записывают, подчеркивая взаимность прямых и обратных
преобразований, в более простом виде как пару преобразований Фурье
X(
)
x(t) или X(f) ↔ x(t) (1.6)
С учетом формулы Эйлера (1.2), гармонические колебания (синусоидальные и косинусоидальные)
представлены в выражениях (1.4) и (1.5) комплексными показательными (экспоненциальными) функциями e
tj
и e
tj
.
e
-jωt
= cos ωt – jsin ωt, e
jωt
= cos ωt + jsin ωt .
При решении многих задач комплексный вид тригонометрических функций более удобен, хотя
вещественные сигналы с частотой f более наглядно отражают действительность. В комплексной записи e
tj
и e
tj
имеются и положительные, и отрицательные частоты, что является более универсальным при
теоретических исследованиях.
С учетом этих замечаний физический смысл прямого преобразования Фурье состоит в следующем:
любую геофизическую (еще раз подчеркиваем – не вдаваясь глубоко в математическую сторону этого
вопроса) функцию x(t) можно разложить на бесконечное множество синусоид и косинусоид различных частот,
амплитуд и фаз. Величины амплитуд и фаз каждой частотной компоненты составляют два графика:
амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры или комплексный спектр X(f) (рис.1.3). Физический
смысл обратного преобразования состоит в следующем: если суммировать бесконечное множество синусоид и
косинусоид разных частот, амплитуды и начальные фазы которых соответствуют комплексному спектру X(f),
то в результате суммирования будем иметь начальную геофизическую функцию x(t).
Пара уравнений (1.4) и (1.5) преобразований Фурье устанавливает однозначное соответствие между
функцией x(t) и ее спектром X(f) или X(
). В качестве переменной t часто выступает время. С равным
успехом вместо времени здесь может использоваться и пространственная характеристика. В этом случае в
выражении X(f) будет использоваться так называемая пространственная частота или волновое число. Более
6
детально вопросы, связанные с волновыми числами будут рассмотрены ниже в разделе многомерные
преобразования Фурье.
Под спектром понимается некоторая зависимость амплитуды, начальной фазы, энергии, либо других
свойств сигналов от частоты или волнового числа.
Как уже говорилось, X(
) это комплексная функция, т.е.
X(
) = a(
)()
jb
, (1.7)
Здесь a(
) – действительная (вещественная) часть (косинус-трансформанта), а b(
) –
коэффициент при мнимой части (синус-трансформанта) комплексного спектра X(
). Аналогично
выражению (1.1) можно записать
tdttxa
cos)()(
,
tdttxb
sin)()(
,
Наличие мнимой части в (6) свидетельствует о том, что гармонические составляющие в функции x(t)
складываются не синхронно, а с определенными фазовыми сдвигами. Поэтому комплексный спектр X(
)
связан с амплитудно-частотным
)(
X
и фазово-частотным
)(
спектрами следующим соотношением
)(
)()(
j
eXX
. (1.8)
)()()(
22
baX
,
)(
)(
)(
a
b
arctg
. (1.9)
Иногда для обозначения преобразований Фурье используют вместо формул (1.4) – (1.5) оператор
F
-
для прямого и
1
F
- для обратного преобразования, т.е. записывают
X(f) =
F
)(tx
или x(t) =
1
F
)( fX
.
Преобразования Фурье применимы для любых видов функций: вещественных, мнимых, четных,
нечетных, лишь бы выполнялись условия Дирихле (Бат, 1980). Обычно, когда функция x(t) является
вещественной, действительная часть a(
) является четной (симметричной) функцией, а мнимая b(
) –
нечетной (антисимметричной) функцией. Если исходная функция x(t) симметрична, т.е. x(t) = x(-t), то b(
)
= 0. Если проводить преобразования с синусами дважды, то вносится фазовый сдвиг равный 180
o
. Для
компенсации этого сдвига знак в обратном преобразовании Фурье меняется на обратный. Величина обратного
преобразования в этом случае уменьшается в 1/
2
раз в формуле (1.5) для компенсации эффекта, связанного
с дифференцированием круговой частоты.
Поскольку геофизические функции не являются периодическими и ограничены во времени, то в
вышеуказанных формулах интегрирование проводится по всем частотам в бесконечных пределах.
Отрицательные частоты не имеют физического смысла, но их использование часто бывает очень удобным при
математических преобразованиях. Получаемые в этом случае спектры являются двусторонними (для
положительных и отрицательных частот).
Таким образом, преобразование Фурье ставит во взаимно однозначное соответствие измеряемый в
геофизике сигнал как действительную функцию одного аргумента (времени или пространства) и комплексную
функцию другого аргумента, имеющего размерность, обратную размерности аргумента действительной
функции (частоты или пространственной частоты). Соответственно наблюденные геофизические функции
могут анализироваться либо во временном (пространственном) представлении (рис.1.3), либо в спектральной
области в виде двух спектров: амплитудно-частотного (или просто амплитудного) и фазово-частотного
(фазового или спектра запаздывания фаз). Оба представления функций (во временной и частотной областях)
совершенно равнозначны, но в одних случаях удобнее пользоваться спектральными представлениями
(например, говоря о действии фильтров), а в других – временными (когда нас интересует изменение формы
сигналов при их анализе).
1.4. Основные теоремы преобразований Фурье
Если функции x(t) и X(f) образуют пару преобразований Фурье, т.е. x(t)
X(f), то для них можно
сформулировать несколько теорем, применять которые можно для анализа самых разных функций
(процессов).
1. Свойство взаимооднозначного соответствия функций x(t) и X(f), которое гласит, что у каждой
функции x(t) имеется соответствующий ей единственный комплексный спектр X(f). И наоборот, каждому
комплексному спектру X(f) =
)( fX
)( fj
e
, т.е. паре, состоящей из амплитудного
)( fX
и фазового
)( f
спектров, соответствует единственная функция x(t).
2. Свойство подобия или двойственности прямых и обратных преобразований Фурье, согласно
которому любая теорема, доказанная для одного из преобразований, справедлива и для другого.
Так, если в области времени взять некоторую прямоугольную функцию (прямоугольный импульс) с
амплитудой равной 1 и длительностью ΔT (рис. 1.4), то в частотной области ей будет соответствовать
7
некоторая функция, называемая щелевой или интерполяционной функцией. Если, наоборот, в области времени
имеется интерполяционная функция, то в частотной области ей соответствует прямоугольный сигнал,
соответствующий частотной характеристике фильтра нижних частот.
Интерполяционная функция математически определяется выражением
k·sin x/x . (1.10)
Здесь х = 2πf
0
t , величина коэффициента k зависит от площади прямоугольной функции (ее
длительности ΔT). Из рис. 1.4 следует, что ширина основного максимума (экстремума) интерполяционной
функции связана с длительностью прямоугольной функции (величиной ΔT во временной области или
величиной Δf = 2f
0
= 1/ΔT по оси частот).
3. Спектр функции X
(f), состоящей из суммы нескольких функций x
i
(t) ↔ X(f), равняется сумме
спектров этих функций, т.е. X
(f) =
N
i
i
X
1
(f).
4. Комплексный спектр X
(f) колебания x(t -
), сдвинутого по оси времен на некоторый сдвиг
относительно первоначального импульса x(t) имеющего комплексный спектр X(f), претерпевает следующие
изменения: его амплитудно-частотный спектр остается неизменным (рис.1.5 а, б), т.е.
)( fX
=
)( fX
,
а изменяется лишь фазово-частотный спектр , т.е.
(f) =
ff 2)(
.
5. Изменение масштаба аргумента функции x(t) приводит к соответствующему (обратно
пропорциональному) изменению масштаба осей его спектров. Так при сжатии (растяжении) функции x(t) во
времени ее амплитудно-частотный спектр расширяется (сжимается) по оси частот (рис.1.5 в - г).
6. Спектры производной или интеграла функции x(t) отличается от ее начального спектра X(f)
умножением или делением на величину j
, т.е. если x(t)
X(f), то
dt
dx
)(
Xj
,
dttx )(
j
1
X(
).
Соответственно, спектры вторых производных (двойных интегралов) отличаются умножением
(делением) начального спектра X(
) на величину (j
)
2
.
7. Функция, обращенная во времени, имеет комплексно-сопряженный спектр, т.е.
x (-t)
X
(
) = a(
) + jb(
). (1.11)
1.5. Теорема о свертке функций (теорема о конволюции)
Остановимся еще на одном свойстве спектральных преобразований, широко используемых при
обработке геофизических данных. Предположим, что имеется две пары преобразованиями Фурье x
1
(t)
X
1
(
) и x
2
(t)
X
2
(
). Если перемножить оба комплексных спектра, то получим новый спектр X(
), т.е.
)()()(
21
XXX
.
Спрашивается, как выразить функцию x(t), являющуюся парой преобразования спектра
)(
X
,
через временные функции x
1
(t) и x
2
(t). Оказывается искомую функцию можно описать выражением такого
типа
.)()()()()(
2121
dxtxdtxxtx
(1.12)
Выражения такого типа называются интегралами Дюамеля или интегралами свертки. Кратко свертка
функций записывается так
).()()(
21
txtxtx
(1.13)
Чтобы понять физическую сторону свертки, возьмем две временные функции
)(
1
x
и
(
2
x
) в
одинаковой системе координат времени
(рис. 1.6). Запись вида
)(
2
tx
может трактоваться как функция
)(
2
x
, запаздывающая от начала координат
0
на величину t, т. е. она сдвигается по оси времен вправо
от начального момента времени (рис. 1). Тогда функция
)(
2
tx
представляет собой смещенную по оси
времен на величину t и обращенную во времени (перевернутую задом наперед) функцию x
2
(t). Переворот
функции происходит таким образом, что на месте остается и совпадает само с собой начальное значение
функции
)0(
2
x
, а поворот функции и осуществляется вокруг этой начальной точки. Далее, в соответствии
со структурой интеграла, значения функций
)(
1
x
и
)(
2
tx
перемножаются и полученные парные
произведения значений функций интегрируются (суммируются).
8
Можно записать формулу и для свертки спектров. Так, если задана некоторая функция
)()()(
21
txtxtx
, то комплексный спектр этой функции
)()( txX
определится из выражения
)()()()(
2
1
)(
21121
XXdXXX
. (1.14)
Здесь
1
некоторый интервал по частоте, с который проводится свертка спектров.
1.6. Пример производства свертки функций
Рассмотрим числовой пример производства свертки. Для этого предположим, что первая функция
)(
1
tx
имеет числовые значения a
i
=
321
,, aaa
, а вторая
)(
2
tx
значения b
i
=
21
,bb
. Для
производства свертки, в соответствии с выражением (9), одну из функций, например, x
2
(t), переворачиваем
во времени и проводим перемножение значений обеих функций. Причем, перемножаем функции при разных
сдвигах
. При проведении процедуры умножения можно считать, что по обе стороны от числовых значений
функций можно ставить нули. С учетом этого вышесказанных замечаний, получим:
0
: 0 a
1
a
2
a
3
;
:1
a
1
a
2
a
3
;
2
: a
1
a
2
a
3
;
:3
a
1
a
2
a
3
0
b
2
b
1
0 0 b
2
b
1
0 0 b
2
b
1
0 0 b
2
b
1
-------------- ------------ ---------------- ----------------
c
1
=
11
ba
c
12212
baba
c
3
=
1322
baba
c
234
ba
.
Результатом свертки будет функция x(t), числовые значения которой составят величины
4321
,,, ccccc
i
. Вместо a
i
и b
i
можно подставить любые числовые значения.
1.7. Многомерные преобразования Фурье.
Обычно при анализе и обработке геофизической информации предполагается, что переменной
функции x(t) является время. Аналогично можно представить некоторую функцию любой вещественной
переменной, например, расстояния x(l). В этом случае в частотной области будем иметь переменную,
называемую пространственной частотой k или волновым числом. Аналогично формулам (1.4) и (1.5) можно
записать
dlelxkX
jkl
)()(
и
dkekXlx
jkl
)(
2
1
)(
. (1.15)
Здесь X(k) - комплексный спектр пространственной функции x(l). Если частота f представляет собой
число колебаний (периодов колебаний) в секунду, или
T
f
1
или
T
2
, (1.16)
то пространственная частота k показывает число длин волн в единице длины. Иначе
k =
1
или
2
k
. (1.17)
Очень часто преобразованиям Фурье подвергаются не одномерные функции x(t), а многомерные:
двумерные, трехмерные и т.д. В этом случае в двумерном варианте каждой функции x(t, l) будет
соответствовать свой двумерный комплексный спектр X(f, k). При этом, переменные t и l могут иметь
различный физический смысл: пространства по двум координатным осям, или пространства и времени и т.д.
Двумерное преобразование Фурье изображается следующими формулами
dtdleltxkfX
klftj )(2
),(),(
, (1.18)
dfdkklftjkfXltx )(2exp),(),(
. (1.19)
Аналогично можно записать формулы преобразований Фурье для трехмерного случая.
1.8. Преобразования Лапласа
Преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа, которые записываются
(когда исходная функция x(t) отличается от нуля не только в области t
0
, но и в области t
0
) следующим
образом
X
dtetxp
pt
L
)()(
, (1.20)
Где p =
j
комплексный параметр комплексной плоскости. Преобразование (13) превращает
действительную функцию x(t) действительного аргумента t в некоторую, в общем случае комплексную,
функцию X
L
(p), определенную в некоторых точках комплексной плоскости p. Обратное преобразование
Лапласа чаще записывается в таком виде
9
x(t) =
dpepX
j
pt
j
j
L
)(
2
1
, t
0
. (1.21)
Если сделать предположение, что
0
, то p = j
, а формулы (12) и (13) преобразуются в
формулы преобразований Фурье (3) и (4).
1.9. Вейвлет - анализ
В соответствие со спектральными представлениями любую функцию можно разложить на сумму
гармоник (синусоид и косинусоид) разной частоты. Но синусоидальные колебания бесконечны во времени и
плохо отслеживают так называемые брутальные (резкие) изменения функций во времени. Чтобы уловить эти
изменения функций, вместо бесконечных гармонических колебаний можно использовать короткие во времени
импульсы, (рис. 1.7) называемые в литературе вейвлетами (от английского слова wavelet, т.е. импульс, сигнал,
волночка, всплеск). Для проведения вейвлет-анализа в каждой точке x
i
анализируемой функции x(t) (для
каждого отсчета времени t
i
) проводится сравнение функции и выбранного вейвлета
)(t
, а также с его
копиями растянутыми и сжатыми во времени. Таким образом, начальная функция раскладывается на сумму
вейвлетов (всплесков) разного размера и местоположения. Коэффициенты разложения – важная информация
об изменении сигнала. Они позволяют определить не только амплитуды различных частотных составляющих,
но и как меняется амплитуда самого сигнала в различные моменты времени.
Простейшим вейвлетом является функция по форме напоминающая мексиканскую шляпу-сомбреро.
При образовании вейвлетов должно соблюдаться несколько условий: площадь положительной части импульса
должна быть равно площади отрицательных экстремумов, т.е. среднее значение (
dtt)(
) должно быть
равно нулю, функция
)(t
должна быстро убывать во времени. Результат вейвлет-анализ
),( atWx
функции x(t) можно записать в таком виде (a - масштаб растяжения вейвлета по оси времен)
dx
a
t
a
atWx )()(
1
),(
. (1.22)
С математической точки зрения эту формулу можно прокомментировать так: для каждого
фиксированного значения времени t результат вейвлет-анализа получается как свертка исходной функции с
растянутым (сжатым) в a раз вейвлетом. В последнее время вейвлет-анализ достаточно широко начинает
использовать при обработке геофизических данных.
2 Анализ параметров систем обработки
2.1. Линейные системы
При анализе аппаратуры, отдельных физических процессов или процедур обработки
экспериментальных данных (в теории цепей) удобно использовать понятие системы передачи сигналов. При
этом считается, что система представляет собой некоторый «черный ящик», имеющий вход и выход. На вход
системы подается входной сигнал, а на выходе имеем измененный, т.е. выходной сигнал. Как происходит
изменение сигнала, что имеется внутри «черного ящика» - никого не интересует. Считается, что система
обладает некоторыми характеристиками (свойствами), которые и приводят к наблюдаемым на выходе
изменениям входного сигнала. Зная эти характеристики систем, можно легко предсказать то воздействие,
которое будет оказывать система на проходящие через нее сигналы.
Например, в качестве системы можно рассматривать процесс распространения сейсмических
колебаний в реальных средах. В этом случае входным сигналом выступает короткий во времени импульс,
возникающий при взрыве. Выходным сигналом будет сейсмограмма (набор сейсмических записей,
зарегистрированных в различных точках поверхности наблюдения). Весь процесс изменения амплитуд, фаз и
частот отдельных компонент начального сигнала, происходящие при распространении (отражении,
преломлении, дифракции и пр.) и регистрации, образование и наложение на начальный импульс различного
класса волн-помех и т.д. – все эти процессы и характеризуют действие системы на начальный импульс.
Одним из основных требований, которые часто предъявляются к системам передачи сигналов, - это
линейность систем. Иначе, - системы осуществляют линейные преобразования сигналов через них
проходящих. Преобразования (системы) будут линейными, если соблюдаются два основных условия:
аддитивности и однородности. Если обозначить сигнал на входе системы x(t), а выходной сигнал на выходе
системы y(t), то процесс прохождения сигнала x(t) через систему L можно записать формулой
)()( txLty
.
Здесь под символом L – необходимо понимать закон, по которому любому входному сигналу x(t)
ставится в соответствие сигнал y(t).
Свойство аддитивности гласит: если входной сигнал состоит из нескольких компонент, то выходной
сигнал есть сумма результатов применения системы к каждой компоненте в отдельности, т.е. если
i
i
txtx )()(
= x
1
(t) + x
2
(t) + x
3
(t) + … ,
то
10