
Кратные интегралы
25
3.1.Тройной интеграл
Рассмотрим фигуру, которая является пространственной областью .
Интеграл по фигуре в данном случае является тройным интегралом от функ-
ции
G
() (,,)
Pfxyz= по пространственной области G :
() () ()
0
1
,, ,, lim .
n
n
ii
r
i
G
xyzd f xyzdV f P V
µ
→
=
Φ
==
∑
∫∫∫∫
∆
Область G будем называть правильной в направлении оси , если: Oz
1) любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области G не бо-
лее чем в двух точках;
Oz
2) область проектируется на координатную плоскость в правильную
плоскую область
G Oxy
;
3) любая часть области G удовлетворяет первым двум пунктам.
Примером таких областей является эллипсоид, куб, параллелепипед.
3.1.1. Задача о вычислении массы тела
Пусть область является правильной в
направлении оси , то есть ограничена снизу
и сверху соответственно однозначными непре-
рывными поверхностями:
V
Oz
11
(,zz )xy
и
, причем проекцией области на
координатную плоскость является пло-
ская область
22
(, )zzxy= V
Oxy
, ограниченная линиями:
(
12
,,,yyx yyx xaxb===
.=
Прямая, параллельная оси , пересекает координатную плоскость
и поверхности
и
Oz Oxy
11
(, )zzxy=
22
(, )zzxy
, соответственно, в точках
(, ,0)
xy
,
11
(, , )
xyz
,
2
(, , )
2
xyz
. Отсюда следует, что при фиксированных значени-
ях (, )
yD∈ соответствующие аппликаты точек области V изменяются в
пределах:
.
z
12
(, ) (, )zxy z z xy≤≤
Пусть тело материально, а объемная плотность V () (,,)Pxyz
ρρ
= =
=
(
,,
xyz . По физическому смыслу интеграла по фигуре
. Вычислим массу данного тела. Для этого рассечем тело
()
,,
V
mxyz
ρ
=
∫∫∫
dV
0
y
a
b
y
c
d
2
M
),(
2
yxz
M
D
1
M
V
),(
1
yxz