Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
103
Т.е.
1
f дает статическую ошибку, а
2
f не дает.
10.2. Коэффициенты ошибок
Пусть на входе системы действует сигнал )(
t
g
произвольной
формы. Найдем изображение сигнала ошибки.
)(1
)(
)()()(
pW
pG
pGppX
X
+
=Φ=
, (10.6)
где )( p
X
Φ – передаточная функция замкнутой системы по ошибке,
)(
p
G – изображение сигнала )(
t
g
.
Разложим )( p
X
Φ в ряд по возрастающим степеням p
)(
!3!2
)(
3
3
2
2
10
pGp
c
p
c
pccpX
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++= K
, (10.7)
сходящийся при малых значениях p, то есть при больших значениях времени
t, что соответствует установившемуся процессу при заданном )(
t
g
.
Перейдем в (10.7) к оригиналу и получим формулу для установившейся
ошибки
K+⋅++=
2
2
2
10
)(
!2
)(
)(
dt
tgd
c
dt
tdg
ctgcX
уст
. (10.8)
Величины
0
c ,
1
c ,
2
c ,… – коэффициенты ошибок, которые проще всего
определить, если числитель )( p
X
Φ
разделить на знаменатель и сравнить
полученный ряд с выражением (10.7).
0
0
≠c в статических системах
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
K
c
1
1
0
,
0
0
=c , 0
1
≠
c в астатических системах 1-го порядка,
0
0
=c , 0
1
=
c , 0
2
≠c в астатических системах 2-го порядка
Пример:
)1(
)(
+
=
Tpp
K
pW
P
KTpp
Tpp
pW
p
P
X
++
+
=
+
=Φ
)1(
)1(
)(1
1
)(
104
K+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++
+++
3
43
432
32
3
2
232
22
1
2
1
11
2
1
1111
1
1
2
11111
|
p
K
T
K
p
K
T
K
T
p
K
T
K
p
K
T
K
T
p
K
T
K
p
K
T
p
K
T
p
K
T
p
K
T
K
p
K
T
K
p
K
p
K
T
p
K
p
TppKTpp
Таким образом, получим
K+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=Φ
3
2
2
1
2
1111
)( p
K
T
K
p
K
T
K
p
K
p
X
Откуда коэффициенты ошибок
0
0
=c ,
K
c
1
1
= , с
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
K
T
K
c
11
2
2
, с
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
K
T
K
c
1
2
1
6
2
3
, с
3
10.3. Повышение степени астатизма
Системой с нулевым порядком астатизма или статической по данному
воздействию называется система, у которой при constgg =
=
0
ошибка x
пропорциональна величине
0
g
. Это возможно только при
0
0
≠c
.
Системой с астатизмом первого порядка называется система, у которой
0=
x
при tggg
100
+
= постоянна и пропорциональна
10
g . Это возможно, если
0
0
=c , 0
1
≠c .
Системой с астатизмом второго порядка называется система, у
которой 0=
x
при )(
100
tggg
+
= , а при
!2
2
20
100
tq
tqqq ++=
пропорциональна
величине
20
q
.
Рассмотрим структурный признак астатизма.
Пусть имеем систему (рис. 10.4).
105
Рис. 10.4
Порядок астатизма по отношению к рассматриваемому воздействию
f
равен числу интегрирующих звеньев, включенных в цепь обратной связи
)(
1
pW между точками приложения воздействия (входом) и измерения
ошибки (выходом) и не зависит от числа интегрирующих звеньев,
включенных в цепь прямого преобразования сигнала.
Для управляющего воздействия весь контур системы представляет
собой обратную связь.
Пример:
p
K
pW
u
=)(
1
;
12
1
)(
22
0
2
++
⋅==
TppT
K
pp
W
pW
ξ
.
Из структурной схемы следует, что:
система является астатической 2-го порядка по управляющему
воздействию,
система является астатической 1-го порядка по возмущающему
воздействию.
11. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ
1.1. Описание систем в виде уравнений пространства состояний
Классическая теория использует, главным образом, аппарат
передаточных функций и частотных характеристик. В последние десятилетия
сформировался раздел, получивший название «современная теория
управления».
106
Ее главной особенностью является рассмотрение систем во временной
области на основе понятия пространства состояний. При этом
рассматриваются в общем случае многомерные системы со многими
входами и выходами, в связи с чем широко используется язык векторно-
матричных уравнений и аппарат линейной алгебры. Фундаментальным
понятием современной теории управления является понятие состояния.
Состояние системы
в момент времени t
0
, есть такая минимальная
совокупность сведений о ней, которая вместе с входным воздействием,
заданным на интервале времени
≤
≤
01
ttt
, позволяет прогнозировать
поведение системы в любой точке этого интервала [1].
САУ можно описать в общем случае системой нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши.
Для более узкого, но широко распространенного класса систем , т.е.
для линейных стационарных систем уравнения состояния можно записать в
векторно-матричной форме:
() () (),
() () (),
x
tAxtBut
yt Cxt Dut
⎧
⎨
⎩
=+
=+
&
(11.1)
(11.2)
где
1
()
()
.
()
.
n
t
t
x
xt
x
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
= – n- мерный вектор состояния;
1
()
.
()
.
()
k
ut
ut
ut
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
– к- вектор входных воздействий;
107
1
()
.
()
.
()
m
yt
yt
yt
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
– m- вектор выходных величин;
11 1
1
..
....
....
..
n
nnn
aa
A
aa
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
11 1
1
..
....
....
..
k
nnk
bb
B
bb
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
11 1
1
..
....
....
..
n
mmn
cc
C
cc
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Матрица D имеет размерность m× k и в электромеханических системах
обычно равна нулю.
– матрица системы размера n
×
n,
характеризует динамические
свойства системы;
– матрица управления размера n
×
k,
характеризует воздействие входных
величин u
j
на переменные состояния x
i ;
– матрица измерения размера m
×
n,
характеризует связь выходных координат y
k
с переменными состояния x
i
.
108
Уравнения состояния могут быть составлены:
•
по структурной схеме системы;
•
по известной передаточной функции системы.
11.2. Запись уравнений состояния по структурной схеме
При составлении уравнений состояния по структурной схеме в
качестве переменных состояния чаще всего выбираются реальные
физические переменные (напряжение, ток, скорость и т.д.). Иногда
целесообразно в качестве переменных состояния выбрать некоторые
фиктивные переменные, отличающиеся от выходных величин реальных
звеньев. Для упрощения записи уравнений состояний желательно
преобразовать схему так, чтобы она состояла
из интегрирующих и
усилительных звеньев.
Рассмотрим в качестве примера двигатель постоянного тока, имеющий
структурную схему (рис. 11.1).
Входные величины:
я
U
– управляющее воздействие и
с
М
–
возмущающее воздействие. В качестве выхода рассмотрим скорость
ω
.
В качестве переменных состояния выберем переменные на выходах
инерционных звеньев ток якоря – I и частоту вращения вала якоря –
ω
.
Я
R
pL
1
Я
ω
U
Я
М
C
pJ
1
Е
k
М
k
x
ВХ1
x
ВХ2
I
109
Рис.
Рис. 11.1. Структурная схема двигателя постоянного тока
Преобразование передаточных функций элементов структурных схем в
дифференциальные уравнения в форме Коши приведено в прил. 3 [1].
Запишем дифференциальные уравнения для апериодического и
интегрирующего звеньев, используя вспомогательные переменные
12
В
ХВХ
и
x
x
:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
-1
ВХ1
-1
ЯВХ2 Я
ω =J x ;
I
=L (x -R I).
&
&
(11.3)
Для исключения вспомогательных переменных
В
Х1 ВХ2
x и x , выразим их
через переменные состояния и входные величины непосредственно из
структурной схемы на рис. 11.1:
М
ВХ1C
Я E
ВХ2
=k I-M ;
=U -k ω.
x
x
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(11.4)
Подставим (11.4) в исходную систему (11.3):
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
M
C
E Я
Я
ЯЯЯ
k1
ω =I-M,
JJ
kR 1
I=- ω -I+U.
LLL
&
&
(11.5)
Уравнение выхода
110
ω
y= . (11.6)
Особенности полученных уравнений состояния:
•
их два – по числу переменных состояния в системе второго порядка;
•
они являются дифференциальными, в левых частях, которых находятся
производные переменных состояния;
•
правые части зависят только от переменных состояния и от входных
воздействий;
•
уравнение выхода алгебраическое.
Перепишем уравнения (11.5), добавив для наглядности нулевые
слагаемые:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅++−−=
−⋅++⋅=
.M0U
L
1
I
L
R
L
k
I
,M
J
1
U0I
J
k
0
CЯ
ЯЯ
Я
Я
E
CЯ
M
ω
ωω
&
&
(11.7)
Запишем уравнения (11.7) и (11.6) в векторно-матричной форме
M
Я
ЕЯ
С
ЯЯ Я
k1
00-
U
ωω
JJ
=×+×
kR 1
M
II
-- 0
LL L
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎡
⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣
⎦
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
&
&
, (11.8)
[]
ω
y=1 +0 I= 1 0 ×
I
ω
⎡
⎤
⋅⋅
⎢
⎥
⎣
⎦
. (11.9)
Из уравнений (11.8) и (11.9) получим матрицы, входящие в уравнения
состояния (11.1) и (11.2):
111
М
ЕЯ
ЯЯ
k
0
J
A=
kR
--
L
L
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
,
Я
1
0-
J
B=
1
0
L
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
[
]
C= 1 0 ,
[
]
D= 0 0 .
1.3. Составление уравнений состояния по известной передаточной
функции
При записи уравнений состояния по известной передаточной функции
существует несколько основных форм уравнений состояния (канонические формы
1,2 и 3-го типа).
Наиболее простым является метод фазовых переменных, он применяется в
одномерном случае, т.е. для систем с одним входом и одним выходом.
Пусть известна передаточная функция системы:
mm-1
m
01
nn-1
n
01
bp +bp +...+b
Y(p)
W(p)= =
U(p)
ap+ap +...+a
,
(11.10)
где
m<n.
Уравнение (11.10) умножим на
U(p)
B(p)
, тогда получим
()()
().
m m-1 n n-1
mn
01 01
Xp
Y(p) U(p)
=
bp +bp +...+b ap +ap +...+a
=
(11.11)
где Х(р) – новая переменная.
Тогда равенство (11.11)можно представить в виде 2-х уравнений:
112
()
()
()
nn-1
01 n
mm-1
01 m
a p + a p + ...+ a X(p)= U(p) 11.12
b p +b p + ...+b X(p)= Y(p) (11.13)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Рассмотрим уравнение (11.12).
Изменяя порядок слагаемых и, выразив старшую производную, получим:
0
n n-1
n
1n-1
1
p X(p)= U(p)- a p X(p)-…- a pX(p)- a X(p)
a
⎡⎤
⎣⎦
. (11.14)
Применим к (11.14)обратное преобразование Лапласа
0
(n) (n-1)
n
1n-1
x
1
x= U-ax -…-a -ax
a
⎡⎤
′
⎢⎥
⎣⎦
(11.15)
Введем фазовые переменные, которые представляют собой переменную х и
ее производные вплоть до (n - 1).
1
2
3
(n-2)
n-1
(n-1)
n
.......
=
=
=
...
=
=
x
x
xx
xx
x
x
xx
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
&
&&
12
23
43
n
n-1
(n)
n
x=x=x
x=x=x
x=x
...........
x=x
x=x =правая_часть_(11.15)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
&&
&&&
&
&
&
(11.17)