Сивохин А.В. Мещеряков Б.К. Решение задач оптимального управления с использованием matlab и simulink
Подождите немного. Документ загружается.
171
Рис. 8.2 Осциллограммы оптимального управления
8.5 Верификация математических моделей
Верификацию аналитической и имитационной моделей объекта управления
произведем с помощью сопоставления переходных процессов, протекающих в
этих моделях при оптимальном управляющем воздействии с ограничением U
max
=
127 для следующих значений параметров объекта T = 0.5000, T2 = 0.3000 и
k=2.15, когда конечное значение выходной величины x
n
равно 236. Расчетные
параметры моделей:
z = 0.8643; t
1
= 1.3990; y = 1.309672E-10; t
2
= 1.4187.
Таблица 8.1
Результаты расчета и моделирования переходного процесса для
объекта управления при оптимальном управляющем воздействии
u(t)
172
8.6 Варианты заданий и порядок их выполнения
1. Для рассматриваемого простейшего звена с помощью функции RKiw
построить частотные графики.
2. Используя функцию LWSin , построить графики переходных функций
при отсутствии возмущающих воздействий и нулевых начальных условиях, при
толчкообразном и синусоидальном возмущениях, сравнить их с осциллограммами
имитационной модели для таких же режимов и заполнить таблицы значений
переходных функций.
3. По табл. 4.2 лабораторной работы
№ 4 выбрать два простейших звена и
образовать из них систему, движение которой должно описываться
обыкновенным дифференциальным уравнением порядка не ниже второго.
4. Для выбранной целевой системы вывести самостоятельно или получить с
помощью компьютера аналитические выражения для вычисления передаточной и
частной функций, а также функций переходной проводимости и веса.
5. С помощью
пакета символьных вычислений Symbolic Math найти вид
оптимального управления, обеспечивающего изменение выходной величины на
заданное значение за минимальное время, используя функцию Гамильтона и
принцип максимума Понтрягина, и вывести аналитические выражения для
переходных функций системы, работающей в этом режиме.
6. Написать программы для вычисления амплитуды и фазы частот-ной
функции, а также для расчёта
переходного процесса системы при толчкообразном
входном сигнале, используя выражения для функций переходной проводимости и
веса.
7. На комплексной плоскости построить амплитудно-фазовую ха-
рактеристику - годограф вектора К(iw) и оценить устойчивость целевой системы.
Управляемая величина x(t)
Скорость изменения
управляемой величины x'(t)
Текущее
время t
Оптимальное
управляющее
воздействие
u(t)
Расчетное
значение
Модельное
значение
Расчетное
значение
Модельное
Значение
0.0000 127 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.2798 127 44.1414 44.2748 242.9252 243.0518
0.5596 127 113.5655 113.6942 234.4083 234.3057
0.8394 127 170.6298 170.7241 171.5654 171.4379
1.1192 127 210.0827 210.1447 112.8408 112.7408
1.3990 127 235.3208 235.3594 70.3061 70.2383
1.4029 -127 235.5643 235.6049 55.9284 55.7070
1.4069 -127 235.7587 235.7984 41.3258 41.1080
1.4108 -127 235.8926 235.9314 27.3809 27.1665
1.4147 -127 235.9727 235.0166 13.7203 13.5093
1.4187 -127 236.0000 236.0370 0.0000 -0.2075
173
8. Для целевой системы найти аналитическое выражение для её ре-акции на
синусоидальное возмущающее воздействие и выявить наличие собственных
колебаний, а также возможность возникновения резонанса.
9. Построить имитационную модель целевой системы и произвести её
моделирование при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущающих
сил, регистрируя переходной процесс с помощью соответствующих
осциллографов.
10. Используя
синусоидальный входной сигнал с переменной частотой,
произвести моделирование системы и проверить её амплитудно-фазовые
характеристики.
11. Используя ступенчатый входной сигнал Step, произвести моделирование
системы и проверить её функции переходной проводимости и веса.
12. С помощью интеграла Дюамеля рассчитать реакцию целевой системы
на заданное возмущающее воздействие и проверить результаты расчёта на
имитационной модели этой
системы.
13. Построить имитационную модель оптимальной целевой систе-мы,
произвести её моделирование и регистрацию динамических процессов с помощью
соответствующих осциллографов.
14. Построить имитационную модель для автоматического опре-деления
параметров оптимального управления.
15. Произвести верификацию всех построенных моделей.
16. Построить имитационные модели для нахождения управлений,
улучшающих динамические характеристики целевой системы при оптимальном
управлении.
17. Оформить отчёт по лабораторной работе, применяя средства
генерирования описания и результатов работы имитационных моделей,
встроенные в пакет Simulink.
18. Если при выполнении какого-либо этапа исследования встре-тятся
затруднения, рекомендуется сначала выполнить этот этап для системы-прототипа,
описанный в лабораторной работе.
8.7 Оформление отчета по результатам исследований
Для завершения лабораторной работы необходимо сгенерировать отчет в формате
HTML, затем преобразовать его в формат RTF с помощью текстового редактора,
включит в него теоретические результаты, отформатировать текст и графические
объекты, записать на дискету и в электронном виде предъявить преподавателю.
Обосновать достоверность полученных результатов.
174
Лабораторная работа № 9
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПАКЕТОВ СИСТЕМЫ MATLAB
Цель работы: освоение вариационных методов решения задач оптимального
управления с помощью точных и приближенных аналитических моделей, а также
с использованием средств символьной обработки математической системы
MATLAB и имитационного моделирования инструментального пакета Simulink.
9.1 Постановка задач исследования
В данной лабораторной работе рассматриваются задачи оптимального
управления, решаемые классическими вариационными методами. Для
предлагаемых функционалов требуется построить точные и приближенные
аналитические модели нахождения экстремалей этих функционалов, а также
точные и приближенные значения их экстремумов. Используя средства
символьной обработки математической системы MATLAB, необходимо
разработать программную модель для решения указанных задач. С помощью
инструментального пакета Simulink построить имитационные модели нахождения
экстремалей и значений функционалов, произвести верификацию всех
разработанных моделей и оценку влияния помех на качество управления.
9.2 Разработка аналитических моделей
Формализация многих задач оптимального управления приводит к
интегральным функционалам классического вариационного исчисления,
отображающих функцию или набор функций в число. Решение задачи в этом
случае заключается в нахождении таких функций, которые обеспечивают
минимальное или максимальное значение соответствующего функционала. Эти
функции называются экстремалями задачи. В вариационном исчислении
доказывается, что экстремали должны удовлетворять некоторым
дифференциальным уравнениям. Однако удовлетворение этим уравнениям
представляет собой лишь необходимое условие экстремума функционала.
Поэтому, решив дифференциальные уравнения и найдя экстремали, необходимо
тем или иным способом определить, что они обеспечивают экстремум
рассматриваемого функционала.
В зависимости от вида функционала необходимые условия записываются
следующим образом:
а) для функционала
()
[]
∫
′
=
1
0
),,(
x
x
dxyyxFxyJ
:
0=−
′
yy
F
dx
d
F
;
0
)
0
( yxy
=
;
1
)
1
( yxy
=
, (9.1 )
где
y
F - частная производная по y от функции F;
175
y
F
′
- частная производная по y
′
от той же функции F (это условие называется
уравнением Эйлера);
б) для функционала
[]
dxzzyyxFxzxyJ
x
x
∫
′′
=
1
0
),,,,()(),( :
0=−
′
yy
F
dx
d
F ; 0=−
′
zz
F
dx
d
F ; (9.2)
0
)
0
( yxy =
;
1
)
1
( yxy =
;
0
)
0
( zxz
=
;
1
)(
1
zxz
=
, (9.3)
где
z
F
и
z
F
′
- соответствующие частные производные;
в) для функционала
[]
∫
′′′
′
=
−−
1
0
),,,,...,,,,,()(),...,(),(
11221121
x
x
nnnnn
dxyyyyyyyyxFxyxyxyJ : (9.4)
0=−
′
kk
yy
F
dx
d
F
(k=1,2,…,n); (9.5)
kk
yxy
00
)( = ;
kk
yxy
11
)(
=
(k=1,2,…,n); (9.6)
г) для функционала
()
[]
∫
′
=
1
0
),...,,,(
)(
x
x
dxyyyxFxyJ
n
:
;0)1(...
)(
=−++−
′
ny
n
n
n
yy
F
dx
d
F
dx
d
F (9.7)
;
0
)
0
( yxy = ;
1
)
1
( yxy
=
;
0
)
0
( yxy
′
=
′
;)
0
(
0
)1()1( −−
=
nn
yxy
;
1
)(
)1(
1
)1( −−
=
nn
yxy (9.8)
д) для функционала
[]
∫∫
=
B
yx
dxdyuuuyxFyxuJ :),,,,(),(
;0=
∂
∂
−
∂
∂
−
uyuxu
F
y
F
x
F ),( yxu
l
, (9.9)
где
x
u и
y
u - частные производные от искомой функции ),( yxu соответственно
по x и y.
u
F ,
ux
F ,
uy
F - частные производные от подынтегрального выражения;
),( yxu
l
- граничные условия, т.е. значения функции ),( yxu на контуре области
интегрирования B (это дифференциальное уравнение называется уравнением
Остроградского);
е) для функционала
[]
:),,,,,,(),,( dzdxdyuuuuzyxFzyxuJ
V
zyx
∫∫∫
=
;0=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
uzuyuxu
F
z
F
y
F
x
F и ),,,( zyxu
s
(9.10)
где
),,( zyxu
s
- значения функции ),,( zyxu на поверхности S объема интегрирования
V;
ж) если в выражение функционала
[
]
),,( zyxuJ
входят производные функции
),,( zyxu до порядка n, то уравнение Остроградского имеет вид:
.0...
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
uxxuzuyuxu
F
x
F
z
F
y
F
x
F
(9.11)
В табл. 9.1 и 9.2 приведено несколько примеров вариационных задач для
функционалов различных видов.
176
Нахождение экстремалей позволяет вычислять относительные, или
локальные экстремумы. Математическое определение понятия локального
экстремума интегрального функционала производится с помощью
ε
-окрес-
тностей функций и их классов. Например, для простейшего функционала
()
[]
∫
′
=
1
0
),,(
x
x
dxyyxFxyJ
, (9.12)
в котором F является непрерывной функцией всех трех аргументов вместе с ее
производными до второго порядка в некоторой области B плоскости (x,y) и при
любых значениях
y
′
, экстремаль ищется в классе функций
1
C , имеющих в
промежутке
[]
10
, xx непрерывную производную. В этом классе определяется
ε
-
окрестность кривой
)(xyy = как множество кривых )(xy
i
, которые во всем
промежутке
[]
10
, xx удовлетворяют неравенству
ε
≤− )()( xyxy
i
. Иногда, кроме
этого неравенства, добавляют еще одно:
ε
≤
′
−
′
)()( xyxy
i
. В первом случае говорят
об
ε
-близости нулевого порядка, а во втором случае, при наличии двух
неравенств, говорят об
ε
-близости первого порядка. Если окажется, что величина
этого функционала для
)(xy , лежащей внутри упомянутой области B,
принадлежащей классу
1
C
и удовлетворяющей предельным условиям.
;
0
)
0
( yxy
=
;
1
)
1
( yxy
=
(9.13)
не меньше (или не больше) его величины для любых других кривых класса
1
C ,
находящихся в некоторой
ε
-близости к
)(xy
и удовлетворяющих тем же
предельным условиям, то говорят, что функционал
(
)
[
]
xyJ достигает локального
экстремума для кривой
)(xy .
Наряду с понятием локального экстремума вводится понятие абсолютного
экстремума для некоторого класса функций D, для которых интеграл
(
)
[
]
xyJ
имеет смысл. Говорят, что функционал
J[y(x)] достигает в классе D абсолютного
экстремума для кривой y(x), если величина этого функционала для y(x) не меньше
(или не больше) его величины для всех других кривых класса D.
Аналогичным образом определяются локальные абсолютные экстремумы для
функционалов других видов.
Таблица 9.1
Варианты задач для функционала типа
]][[ xyJ
№
п/п
Вид функционала Функционал Граничные
условия
1
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
′
2
0
3
dxy
1)2(;0)0(
=
= yy
2
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
′
−+
1
0
22
)2( dxyyyxy
2)1(;1)0( == yy
3
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
+
′
1
0
2
)12( dxxyy
1)1(;1)0( == yy
177
4
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
−
′
2/
0
22
)(
π
dxyy
1)
2
(;0)0( ==
π
yy
5
∫
′′′
=
1
0
),,,(]][[
x
x
dxyyyxFxyJ
∫
−
′′
1
0
2
)48( dxyy
0)1(;0)1(
;4)0(;1)0(
=
′
=
=
′
=
yy
yy
6
∫
′′′
=
1
0
),,,(]][[
x
x
dxyyyxFxyJ
∫
′′
−
1
0
2
)2( dxyxy
1.0)1(;0)1(
;0)0(;0)0(
=
′
=
=
′
=
yy
yy
7
∫
′′′
=
1
0
),,,(]][[
x
x
dxyyyxFxyJ
∫
′′
−
1
0
2
dxye
x
eyey
yy
2)1(;)1(
;1)0(;0)0(
=
′
=
=
′
=
8
∫
′′′
=
1
0
),,,(]][[
x
x
dxyyyxFxyJ
∫
′′
1
0
2
dxye
x
eyey
yy
=
′
=
=
′
=
)1(;)1(
;1)0(;0)0(
9
∫
′′′
=
1
0
),,,(]][[
x
x
dxyyyxFxyJ
∫
−
′′
1
0
2
)24( dxxyy
1)1(;2.0)1(
;0)0(;0)0(
=
′
=
=
′
=
yy
yy
10
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
−−
′
1
0
22
)2( dxxyyy
0)1(;0)0(
=
= yy
11
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
−−
′
1
0
22
)16( dxxyyy
0)1(;0)0(
=
= yy
12
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
+−
′
1
0
22
)2( dxxyyy
0)2(;0)0(
=
= yy
13
∫
′
=
1
0
),,(]][[
x
x
dxyyxFxyJ
∫
++
′
1
0
22
)16( dxxyyy
0)2(;0)0(
=
= yy
178
(
9.16
)
Таблица 9.2
Варианты задач для функционалов типа
)](],[[ xzxyJ
5
∫
′′
=
1
0
),,,,()](],[[
x
x
d
x
zzyyxFxzxyJ
∫
+
′
+
′
1
0
22
)2( dxyzy
1)1(;0)0(
;5.1)1(;1)0(
==
==
zz
yy
6
∫
′′
=
1
0
),,,,()](],[[
x
x
d
x
zzyyxFxzxyJ
∫
′′
++
1
0
22
)2( dxzyzy
)1()1(;0)0(
);1()1(0)0(
shzz
shyy
==
==
7
∫
′′
=
1
0
),,,,()](],[[
x
x
d
x
zzyyxFxzxyJ
∫
+
′′
1
0
)2( dxyzzy
2)1(;0)0(
;2)1(;0)0(
−==
=
=
zz
yy
8
∫
′′
=
1
0
),,,,()](],[[
x
x
d
x
zzyyxFxzxyJ
∫
−
′
+
′
−
1
1
32
)
3
1
2( dxzyxy
1)1(;1)1(
;0)1(;2)1(
=−=−
=
=−
zz
yy
9
∫
′′
=
1
0
),,,,()](],[[
x
x
d
x
zzyyxFxzxyJ
∫
+
′
−
′
+−
1
0
222
)222( dxyzyyxy
1)1(;0)0(
;0)1(;1)0(
==
==
zz
yy
Следует отметить, что поиск экстремалей с помощью уравнений Эйлера-
Остроградского сужает класс рассматриваемых функций до класса
2
C , в котором
функции должны иметь непрерывные производные до второго порядка. Поэтому
если их решение не дало желаемого результата, то поиск экстремума
функционала должен производиться с помощью других методов.
Для функционала аналогом дифференциала функции является его вариация
J∂ , т.е. изменение функционала при замене функции из рассматриваемого класса
на
ε
-близкую функцию из того же класса. Так, для функционала
∫
′
=
1
0
),,()]([
x
x
dxyyxFxyJ (9.14)
вблизи экстремали
)(xy его первая вариация записывается следующим образом:
∫
′′
−+=
1
0
1
0
)(][
x
x
yy
x
xy
ydxF
dx
d
FyFJ
δδδ
, (9.15)
где
)(xy
αη
δ
=
, так что
ε
-близкая к
)(xy
функция будет
);()( xxy
αη
+
α
- малый численный параметр;
)(x
η
- произвольная функция класса
2
C , принимающая нулевые значения на
концах промежутка интегрирования.
В качестве примера найдем точное и приближенное решение задачи о
минимуме функционала
()
[]
()
∫
==++
′
=
1
0
22
.0)1()0(,12 yydxxyyyxy
ν
179
(
9.17
)
(
9.18
)
(
9.19
)
(
9.20
)
(
9.21
)
(
9.22
)
(
9.23
)
(
9.24
)
(
9.25
)
(
9.26
)
(
9.27
)
(
9.28
)
(
9.29
)
Построим графики функций y(x), y
0
(x) и y
1
(x),а также вычислим v[y(x)], v[y
0
(x)] и
v[y
1
(x)], где y(x) – точное решение задачи.
Сначала найдем точное решение задачи.
Функция
)x(y
должна
удовлетворять уравнению Эйлера
.F
dx
d
F
'yy
0=−
В нашем случае
".2,'2',122,12),,(
22
yF
dx
d
yFxyFxyyyyyxF
yyy
==+=++
′
=
′
Тогда уравнение Эйлера будет иметь вид
.xy"y 6
=
−
Запишем уравнение в следующем виде
."yxy 02122
=
−
+
Это линейное неоднородное уравнение. Его общее решение состоит из
суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид
.y"y 0
=
−
Характеристическое уравнение
01
2
=−r
имеет корни
.1,1
21
−=
=
rr
Общее решение
однородного уравнения будет таким:
.ececy
xx −
+=
211
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.Axy
=
2
Подставляя это значение в неоднородное уравнение, получим:
.xx 6
=
−
Α
Тогда
.xy, 66
2
−=−=
Α
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения принимает вид:
.xecec)x(y
xx
6
21
−+=
−
Используя краевые условия, получим следующую систему уравнений для
определения
21
и cс
.ecec)(y
,cc)(y
061
00
1
21
21
=−+=
=
+
=
−
Решая полученную систему, находим
.
sh
c,
sh
с
1
3
1
3
21
−==
Тогда
(
)
.xee
sh
)x(y
xx
6
1
3
−−=
−
Учитывая, что
,shx
ee
xx
=
−
−
2
получим
.x
sh
shx
)x(y 6
1
6
−=
В таком случае
.
sh
chx
)x('y 6
1
6
−=
С помощью MATLAB находим
180
(
9.30
)
(
9.31
)
(
9.32
)
(
9.33
)
(
9.34
)
(
9.35
)
(
9.36
)
(
9.37
)
(
9.38
)
(
9.39
)
(
9.40
)
(
9.41
)
(
9.42
)
(
9.43
)
()
[]
()
∫
−≈++
′
=
1
0
22
.730730,012 dxxyyyxyv
Теперь найдем первое приближение точного решения. Его будем искать в
виде
(
)
.xxa)x(y
2
00
−=
Тогда
(
)
.xa)x('y 21
00
−
=
В таком случае
()
[]
()
() ()
()
()
∫
=−+−+−=
1
0
0
2
0
2
2
2
0
22
00
.1221 adxxxxaxxaxaxyv
ϕ
Чтобы найти минимум
()
0
a
ϕ
возьмем производную и приравняем ее к нулю.
Производную возьмем под знаком интеграла. Имеем
()
() ()
()
∫
−+−+−=
′
1
0
2
2
2
0
2
00
122212 .dxxxxxxaxa)a(
ϕ
После преобразований получим
()()
∫
−++−++−=
′
1
0
32
0
243
0
1212281024 .dxxxaxxxx)a(
ϕ
Взяв интеграл и приравняв его нулю, получим
()
.a)a( 03424
3
10
1
5
2
00
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=
′
ϕ
Отсюда находим
.a
11
15
0
−=
Тогда
.)x()x('y,)xx()x(y 12
11
15
11
15
0
2
0
−=−−=
()
[]
()
∫
−≈++
′
=
1
0
0
2
0
2
00
.681818,012 dxxyyyxyv
Теперь найдем второе приближение точного решения. Будем его искать в
виде
(
)
(
)
.xxxaa)x(y
2
101
−+=
Раскроем скобки и приведем подобные члены
(
)
.xaxaaxa)x(y
3
1
2
0101
−−+=
Тогда
(
)
.xaxaaa)x('y
2
10101
32 −−+=
Функционал будет иметь вид
()
[]
[][]
[]
.),()(12
)(3)(2
10
3
1
2
010
2
1
0
3
1
2
010
2
2
10101
}
{
aadxxaxaaxax
xaxaaxaxaxaaaxy
ϕ
ν
=−−++
+−−++−−+=
∫
Чтобы найти минимум
)a,a(
10
ϕ
, возьмем частные производные по
10
и aa и
приравняем их к нулю. Решая полученную систему, определим
10
и aa :
[]
()
[]
()
.66)(213)(2
2
1
1
0
3223
1
2
010
2
1010
0
}{ dxxxxxxaxaaxaxxaxaaa
da
d
∫
−+−−−++−−−+=
ϕ