Шпаргалка к кандидатскому минимуму по мат.методам
Подождите немного. Документ загружается.
Т1: 1.Основные экономико-статистические показатели и
соответствующие между ними взаимосвязи.
Работы различных экономических и социальных объектов на любом
уровне народно-хозяйственного комплекса оцениваются и анализируются с
помощью большого количества показателей. Изучение функционирования и
развития предприятий, учреждений, трудовых коллективов предусматривает
в частности измерение значений этих показателей с учетом их взаимосвязи и
взаимовлияния. Наиболее важным в анализе является экономические и
социальные процессы. Это связано с действием многих факторов –
недетерминированных по своей природе, которые вместе проявляются и
существенно влияют на формирование процессов.
Взаимосвязь и взаимообусловленность реально социально-
экономических процессов можно имитировать с помощью статистических
моделей, атрибутами которых являются статистические показатели.
Адекватность модели зависит от рациональности выбора исходной системы
статистических показателей и пригодного для их анализа методов.
Основной лабораторией доступной статистики экспериментаторов
является экономико-статистическое моделирование и многомерный анализ.
Многомерным в статистике является не только синтетические показатели
(ВВП, НД).
Основная причина многомерности в экономике – это комплексы
субъективных факторов, которые наряду с объективными условиями
формирования среднего уровня явления порождают его вариацию.
Для проведения глубокого экономического исследования, обеспечения
правильности понимания сути явления нужна разработка и использование
многомерных экономико-статистических моделей, которые учитывают
недетерминированность показателей и факторов, дискретность и
непрерывность, разношкальность и неопределенность в изменениях.
Т1: 2. Многомерное признаковое пространство. Особенности
обработки многомерных статистических данных.
Курс комплексного статистического анализа включает изучение
методов многомерного статистического анализа и возможность их
применения в экономических исследованиях.
Методы многомерного статистического анализа базируются на
геометрическом представлении данных. Наблюдаемые объекты
располагаются в теоретическом пространстве размерностью
соответствующей числу признаков элементарных или латентных, которые
они характеризуют.
Частные случаи:
1) нулевая размерность – объект не имеет характеристику
2) единая (одномерное признаковое пространство) – объекты отражаются
значениями одного какого-либо признака
3) многомерное пространство – объекты представлены значениями двух и
более до некоторого числа m признаков (m – мерное признаковое
пространство).
Характеристика и пространственное представление наблюдаемых
объектов: предприятий, территорий, групп населения по значению признаков
– это наиболее распространенная и привычная форма организации
статистических данных. Однако в многомерной статистике возможно и
достаточно часто встречаемый случай с другой организацией данных, когда
оценочные признаки сами выступают в качестве наблюдаемых объектов и
помещаются в теоретическое пространство предприятий, территориальных
единиц.
Среди особенностей аналитической работы при обобщении к
многомерному пространству признаков можно выделить следующее:
1) в m-мерном пространстве сохраняются принципиальные положения,
оксионы обычной эфклидовой геометрии;
2) пространство, размерность которого выше 3 не может быть представлено
визуально, и все задачи в этом случае решаются при помощи абстрактной
логики и алгебраических методов;
3) в многомерном анализе, как правило, используется большое количество
признаков разнородных по своей природе. В связи с этим на первом плане
обычно возникает проблема приведения всех анализируемых признаков к
одному основанию – сопоставимому виду. Подобные проблемы решают
нормированием данных, что геометрически означает изменение масштаба и
другие преобразования системы.
4) обработка m-мерных совокупностей включает, как правило, большое
число сложных и трудоемких для выполнения арифметических операций,
поэтому осуществляется на основе пошаговых алгоритмов, конечный
результат при этом достигается решением отдельных более мелких задач на
вычисление;
5) при работе с m-мерными данными совместно используются чисто
математические абстрактные методы и методы экономико-статистического
анализа ориентированные на конкретные сферы приложения. Необходимо
обращать внимание на непротиворечивость результатов получаемых
различными методами. Возникающие противоречия у каждого на нарушение
логики, решение экономической задачи устанавливается источником
ошибочных выводов.
Т2 1. Понятие многомерного статистического анализа.
Теоретические основы МСА и его место в социально-экономических
исследованиях.
МСА следует рассматривать как логическое развитие методов
традиционной статистики, обобщенных в курсе общей теории статистики.
Принципиальное отличие состоит в том, что объекты, социальные и
экономические явления рассматриваются здесь с учетом не одного-двух, а
одновременно некоторого множества признаков. Это позволяет добиваться в
исследованиях полноты теоретического описания наблюдаемых объектов и
объективности последующих выводов.
Реально изучаемые объекты и явления имеют практически всегда
многопризнаковую природу, надежное отображение их в экономико-
математических моделях возможно при условии учета комплекса присущих
или наиболее существенных характеристик.
Отметим, что КСА – сформировавшаяся самостоятельная область
теоретической статистики. Это совокупность глубоко формализованных
статистических методов, базирующихся на представлении исходной
информации в многомерном геометрическом пространстве и позволяющих
определять неявные (латентные), но объективно существующие
закономерности в организационной структуре и тенденциях развития
изучаемых социально-экономических явлений и процессов.
Особенности МСА:
1. Методы МСА появились сравнительно недавно (конец XIX – начало XX
в.). Основная часть методов еще находится в стадии активной разработки,
область их применения четко не разграничена. Отсутствуют строгие
рекомендации по приложению этих методов в решении большого числа
конкретных ситуационных задач.
2. Для методов МСА характерны, как правило, глубокая формализация,
сложная логико-математическая конструкция. Работа с этими методами
требует углубленных знаний в области как экономической теории, так и
математики. Недостаток в уровне подготовки исследователей обычно
проявляется в некорректном приложении методов или в ошибочной
интерпретации аналитических результатов.
3. Применение методов МСА требует творческого подхода к решению
аналитических задач. Это связано с тем, что:
во-первых, методы МСА весьма многообразны и многочисленны. Для
решения даже одного типа задач здесь существуют десятки и сотни
различных приемов. Для того, чтобы выбрать правильно метод или комплекс
методов для решения поставленной задачи необходим профессионализм и
хорошая интуиция.
во-вторых, творческий подход и профессиональная подготовка
приобретает особенно важное значение при интерпретации аналитических
результатов.
4. В МСА обрабатываются многомерные (многопризнаковые) совокупности
данных.
5. Практическое применение методов МСА требует обязательного
использования вычислительной техники. Можно сказать, что методы МСА в
силу сложности и трудоемкости нереализуемы без технических средств.
Широкое распространение МСА в исследованиях началось именно с
появлением первых ЭВМ.
Т2 2. История возникновения и развития МСА.
Идеи МСА не являются открытием ХХ в. Еще в III веке до н.э.
Аристотелем был предложен в сущности многомерный подход при
классификации предметов по их сходству и различиям.
В XVIII – до начала ХХ в. ее разрабатывают французский ботаник М.
Адамсон (60-е гг. XVIII в.) при идентификации растений; английский
естествоиспытатель Ч. Дарвин (60-е гг. XIX в.) для селекции видов и при
определении факторов эволюции органического мира; Д.И. Менделеев (60-
70-е гг. XIXв.) – при систематизации качественных характеристик
химических элементов.
Многомерные подходы используются и в экономике.
Во второй половине XIX в. – начале ХХ в. русскими статистиками
были сделаны успешные попытки многопризнаковых классификаций
крестьянских хозяйств (А.П. Шликевич, С.А. Харизоменов, Н.Ф. Анненский,
позднее А.И. Хрящева); классификация промышленных предприятий,
проведение анализа капитализации экономики и т.д.
История МСА как науки с собственной теоретической базой и опытом
экспериментальных исследований открывается в начале ХХ столетия. Это
«открытие» связывают с появлением в 1901 и 1904 гг. научных статей
английских ученых К. Пирсона и Ч. Спирмена, посвященных теории
факторного анализа. Первоначально методы МСА разрабатывались и широко
применялись для исследований в области психологии и биологии, позже – в
медицине, военной промышленности, техническом проектировании, в
экономике.
Т2 3. Предмет и метод КСА.
Предметом в МСА являются структура, закономерности формирования
и развития сложных социальных и экономических явлений и процессов в их
многоаспектной качественной определенности в статике и динамике.
Объектом исследования в МСА могут быть отдельные предприятия, отрасли
и народное хозяйство в целом, социально-экономические процессы или
явления. Во всех случаях исходная статистическая совокупность должна
представлять массовую категорию, измеренную и выраженную системой
показателей.
Особенностью методологии МСА является необходимость выполнения
сложного шкалирования исходной статистической совокупности, соединения
методов общей теории и математической статистики, интерпретация
результатов анализа.
Условием, позволяющим экономисту активно применять методы МСА,
является возможность использовать ЭВМ на всех уровнях народного
хозяйства. Следует учесть тот факт, что пакеты стандартных программ для
МСА имеют большую часть программ МСА. Чтобы пользоваться ими и
правильно поставить аналитическую задачу, статистик должен в
совершенстве владеть этими методами и уметь выбрать нужный для каждой
конкретной задачи.
Результаты использования МСА в большей мере зависят от
совершенства методологии измерения изучаемых категорий. Конкретным
измерением в экономике выражают качественную сущность явлений и
процессов. Поэтому обязательным в освоении МСА есть изучение теории
измерений.
Т2 4. Классификация методов МСА.
МСА основывается на теоретической базе высшей математики и
математической статистики. Множество его методов разбивается на две
большие группы. К первой группе относятся методы, которые предполагают
знание законов распределения многомерной случайной величины и
позволяют производить статистическую оценку явлений и процессов,
проверять статистические гипотезы – это методы вероятностного анализа
многомерных данных. Ко второй группе принадлежат методы, для которых
не обязательно знание законов распределения, но существенна рациональная
логическая конструкция, позволяющая адекватно моделировать реальные
процессы и явления. Эти методы называют методами логико-алгебро-
геометрического направления. В общем, виде классификацию можно
представить на рисунке.
Т2 5. Характеристика методов МСА.
МСА обобщает большое число методов и приемов для обработки
многомерных статистических данных. Исследователю при этом открываются
возможности достижения самых разнообразных целей (таблица).
Многомерный статистический анализ
Высшая математика
– аналитическая геометрия
– матричная алгебра
– многомерный математический анализ
Статистика
– теория вероятностей
– математическая статистика
– общая теория статистики
Методы логико-алгебро-геометрического
направления
– множественный корреляционный анализ
– множественные регрессионный анализ
(линейный, нелинейный)
– многомерное шкалирование (метрическое и
неметрическое)
– метод главных компонент
– факторный анализ
– многомерных группировок (кластер-анализ)
– дискриминантный анализ
– канонических корреляций
– путевой анализ
Методы вероятностного анализа
данных (многомерная математическая
статистика)
– поиск законов распределения,
оценка плотности вероятностей
многомерной случайной величины
– оценивание многомерных данных
– проверка многомерных гипотез
В основе практического применения методов МСА лежит ряд
основополагающих принципов:
1) эффекта существенной многомерности – изучению подлежит не
произвольный набор признаков, а комплекс органично-связанных и взаимно-
дополняющих друг друга признаков, которые позволяют полно и
всесторонне оценивать явление (процесс). Признаки при оптимальном
наборе не повторяют отдельных качественных характеристик, они
рациональны по числу и четко структурированы по уровням представления
явлений (процессов).
2) лаконичного описания наблюдаемых многомерных объектов. Под этим
понимается необходимость максимально сжатого и строго
структурированного представления информации. В определенной мере
такому требованию отвечает матричная форма записи, она экономична,
остается доступной для прочтения и по ней можно легко определять
структуру данных (исходные данные могут быть представлены значением
признаков или данными сравнений объектов (признаков) – матрицей
расстояний, корреляционной матрицей).
3) максимального использования «обучения» в настройке математических
моделей, т.е. использование информации, позволяющей наиболее точно
изучаемые объекты соотнести их с классом хорошо изученных явлений.
Использование обучающей информации значительно повышает
достоверность статистических выводов, дает возможность рационально
строить расчеты.
4) оптимизационной формулировки задач МСА. Имеется ввиду рациональный выбор
из всех методов, которые при минимальной вычислительной работе позволили бы
получить аналитические результаты с хорошей интерпретируемостью, достаточно полно и
достоверно представляющие изучаемые явления (процессы). С целью упрощения выводов
и оперативной проверки их на адекватность реальным процессам методы МСА могут
также применяться в комплексе с традиционными методами статистики.
Метод Тип задачи Комментарии
Статистического
оценивания
многомерной
случайной величины
(СО МСВ)
Оценка параметров
многомерной
совокупности.
Определение: многомерной средней,
матрицы ковариаций, вероятностных
оценок, робастое оценивание и т.п.
Проверки многомерных
гипотез (ПМГ)
Проверка гипотез о
равенстве параметров
многомерных
совокупностей и
соответствии
некоторому закону
распределения.
Множественный
корреляционно-
регрессионный анализ
(МКРА)
Измерение и
моделирование связей
изучаемых признаков
или объектов
Многомерное
шкалирование (МШ)
Визуализация данных,
моделирование сложных
систем.
Представление данных в теоретическом
пространстве, описание процессов и
явлений, которые ввиду своей сложности
или нестабильности не поддаются
моделированию традиционными методами.
Главных компонент
(МГК)
Сжатие данных. Сведение множества элементарных
признаков к небольшому числу значимых
«обобщенных признаков» и выявление
латентных факторов. Эта же задача может
решаться относительно не только
признаков, но и объектов.
Факторный анализ (ФА)
Многомерной
группировки
(кластерный анализ КА)
Группировка
многомерных объектов
или признаков.
Дискриминантный
анализ (ДА)
Группировка с
«обучением».
Поиск эталонных групп, расклассификация
новых объектов по известным эталонным
группам.
Канонических
корреляций (МКК)
Сжатие данных и
моделирование связей
обобщенных признаков.
Устанавливается форма связи комплексов
(наборов) зависимых переменных (
k
Y
) с
независимыми переменными (
j
X
).
Y
и
X
могут быть обобщенными признаками.
(см. ФА).
Многомерный
дисперсионный анализ
(МДА)
Оценка и исследование
дисперсий комплексов
признаков.
Многомерный
ковариационный анализ
(МКА)
Оценка зависимости
вариации
результативного
признака от факторного.
Предполагает предварительную
классификацию данных и поиск
регрессионных связей для каждого класса.
Затем вычисляются и анализируются
оценки ковариаций (
YXYYXX
TTT ,,
).
Т2 6. Этапы проведения МСА.
При реализации МСА можно выделить следующие основные этапы
исследовательской работы.
1. Формулировка задачи исследования на предметно-содержательном
уровне, определение объемов входной и выходной информации, формы
выходных данных.
2. Определение последовательности обработки входной информации
методами МСА. При этом ограничивается сам набор методов и уточняется
порядок (чередование) их работы.
3. Сбор и систематизация исходной информации для последующей ее
машинной обработки.
4. Предварительный анализ данных: их однородности, соответствия
некоторым статистическим гипотезам, подчинения известным законам
распределения, содержания грубых ошибок и т.д.
5. С учетом предыдущего этапа уточняется математическая постановка
задачи и определяется возможность применения ранее отобранных методов
МСА, в случае необходимости набор методов изменяется.
6. Проведение вычислений. Из-за трудоемкости методов МСА практически
всегда эта работа планируется и выполняется при помощи вычислительной
техники.
7. Результаты анализа сводятся и оцениваются на адекватность при помощи
статистических критериев. Устанавливается непротиворечивость
математических результатов и экономических выводов, оценивается степень
интерпретируемости «выходных» данных.
8. Результаты исследования обобщаются в наглядных таблицах и на
графиках, интерпретируются, формулируются окончательные выводы,
даются практические рекомендации.
На практике не все перечисленные этапы могут присутствовать и быть
четко разграниченными. Некоторые из них могут объединяться или
исключаться. Но знание этих этапов позволяет оптимально планировать
реализацию методов МСА и учитывать предстоящие объемы работ.
Т3 1. Основные понятия корреляционного анализа.
Корреляционный анализ был разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом. Он
является одним из методов статистического анализа взаимозависимости
нескольких признаков – компонент случайного вектора
x
.
Одним из основных показателей взаимосвязи двух случайных величин
является парный коэффициент корреляции, который служит мерой линейной
статистической зависимости между этими величинами. Этот показатель
соответствует своему прямому назначению, когда статистическая связь
между соответствующими признаками в генеральной совокупности линейна.
То же самое касается частных и совокупных коэффициентов корреляции.
Одним из требований, определяющих корреляционный метод, является
требование линейности статистической связи.
Указанные условия выполняются, если генеральная совокупность
распределена по многомерному нормальному закону.
В настоящее время корреляционный анализ (корреляционная модель)
определяется как метод, применяемый тогда, когда данные наблюдений или
эксперимента можно считать случайными и выбранными из генеральной
совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.
Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке
2
)3( kk
параметров, определяющих нормальный закон распределения
k
-мерного
вектора
x
, в частности, корреляционной матрицы генеральной совокупности
X
, по выборке.
Для значимых парных коэффициентов корреляции имеет смысл
указать более предпочтительные точечные или интервальные оценки.
Далее следует оценить и проверить значимость множественных
коэффициентов корреляции или детерминации возможных подсистем
системы
),1( kjx
j
, содержащих три и более различных случайных величин
j
x
.
Для выяснения "чистых", истинных взаимозависимостей следует
проанализировать выборочные частные коэффициенты корреляции.
Таким образом основная задача позволяет определить расположение
"облака" точек в пространстве
k
измерений, т.е. оценить природу
взаимозависимости между наблюдаемыми переменными.
Дополнительная задача корреляционного анализа (она является
основной в регрессионном анализе) состоит в оценке уравнений регрессии,
где в качестве результативного признака выступает признак, являющийся
следствием других признаков (факторов) – причин. Причинно-следственная
связь устанавливается из внестатистических соображений, например, из
аргументов, касающихся физической природы явлений.
Иногда имеет смысл оценить уравнение регрессии для измерения
результативного признака по факторным, несмотря на то, что причинно-
следственной связи на самом деле между ними не существует. Так
поступают, когда непосредственное измерение результативного признака
затруднительно, но существует тесная корреляционная связь (коэффициент
множественной корреляции достаточно близок к 1) между результативным
признакам и факторными, измерять и наблюдать которые легче в
последующих исследованиях.
Т3 2. Двумерная модель корреляционного анализа.
Имеется два признака
x
и
y
; их совместное распределение задано
плотностью двумерного нормального закона:
)},(exp{(
12
1
),(
2
2
yxQyxp
yx
, (3.1)
где
2
2
2
2
2
12
1
),(
y
y
y
y
x
x
x
yy
x
x
x
yxQ
, определяемого
пятью параметрами:
1,,,,,
22
y
y
x
x
y
y
xy
y
x
x
y
x
MDDxMM
.
Имея эти параметры, можно получить уравнения линий регрессии,
показывающих изменение условных математических ожиданий в
зависимости от изменения соответствующих значений случайных
аргументов:
)( MxxMyxyM
yx
– прямая регрессия
y
на
x
;
)( MyyMxyxM
xy
– прямая регрессия
x
на
y
;
x
y
yx
– коэффициент регрессии
y
на
x
;
y
x
xy
– коэффициент регрессии
x
на
y
.
Вспомним: квадрат коэффициента корреляции
2
, т.е. коэффициент
детерминации, в рассматриваемой модели указывает долю дисперсии одной
случайной величины, обусловленную другой. Коэффициент регрессии
yx
показывает, на сколько единиц своего измерения увеличится
)0(
или
уменьшится
)0(
в среднем
)/( xMyy
, если
x
увеличить на единицу своего
измерения.
Задача двумерного корреляционного анализа состоит прежде всего в
оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность. В
качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и
второго порядка генеральной совокупности берутся соответствующие
выборочные моменты.
Точечные оценки неизвестных других параметров получают с
помощью формул, аналогичных формулам вычисления самих параметров
через генеральные начальные моменты. Таким образом имеем:
x
– оценка для
x
,
y
– оценка для
y
,
2
x
– оценка для
)(
2
xM
,
2
y
– оценка для
)(
2
yM
;
xy
– оценка для
)(xyM
.
Откуда
222
)(xxs
x
– оценка для
2
x
,
222
)( yys
y
– оценка для
2
y
,
yx
ss
yxxy
r
– оценка для
.
Оценки генеральных коэффициентов регрессии
yx
и
xy
получаются соответственно по формулам:
x
y
yx
s
s
rb
;
y
x
xy
s
s
rb
.
Откуда оценки уравнений регрессии имеют вид:
)(/ xxbyxy
yx
,
)(/ yybxyx
xy
.
При этом
xy /
и
yx /
– обозначения оценок для условных
математических ожиданий
xMy /
и
yMx /
генеральной совокупности.
Следует отметить, что выше приведенные точечные оценки являются
состоятельными, а
x
и
y
несмещенными и эффективными. Кроме того,
распределение выборочных средних
),( yx
не зависит от распределения
),,(
22
rss
yx
. Выборочный коэффициент корреляции
1r
.
Вычисление выборочных характеристик.
n
x
x
j
;
n
y
y
j
;
2
2
2
)(x
n
x
s
j
x
;
2
2
2
)(y
n
y
s
j
y
;
n
y
y
n
x
x
n
yx
yx
r
j
j
j
j
jj
jj
2
2
2
2
)()(
;
n
x
x
n
yx
yx
b
j
j
jj
jj
yx
2
2
)(
,
n
y
y
n
yx
yx
b
j
j
jj
jj
xy
2
2
)(
.
Проверка значимости параметров связи.
В двумерной модели параметрами связи являются коэффициент
корреляции
(или детерминации
2
) и коэффициенты регрессии
yx
и
xy
.
Для двумерной модели достаточно проверить значимость только
коэффициента корреляции.