Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая выражения (8) и граничные условия (7), получим для определения

аналитических функций Φ(z

) , Ψ(z

) следующую краевую задачу:

при y =0, x>l

2αΦ



(x)+(1+β

) Ψ



(x)=0,

−(1 + β

) Φ



(x)+2βΨ



(x)=0;

при y =0,l

<x<l

2αΦ



(x)+(1+β

) Ψ



(x)=0,

αΦ



(x)+Ψ



(x)=−tg γ.

(9)

при y =0, 0 <x<l

2αΦ



(x)+(1+β

) Ψ



(x)=0,

−(1 + β

) Φ



(x)+2βΨ



(x)=0;

при y =0,x<0:

2αΦ



(x)+(1+β

) Ψ



(x)=0,

αΦ



(x)+Ψ



(x)=0.

Поскольку первое условие (9) выполняется на всей оси x можно искать функцию

Ψ ввиде

Ψ(z)=

2α

1+β

i Φ(z) . (10)

(10) Подстановка (10) в (9) приводит к следующей краевой задаче типа Римана-

Гильберта [6] для функции Φ



для полуплоскости y>0. Необходимо определить

аналитическую функцию по заданным условиям на границе полуплоскости, т.е. при

y =0:

x>l

: Φ



(x)=0;

<x<l

: Φ



(x)=−

1+β

α(1 − β

)

tg γ;

0 <x<l

: Φ



(x)=0;

x<0: Φ



(x)=0.

(11)

Применим к полученной краевой задаче операцию регуляризации, т.е. будем ис-

кать функцию T (z)=

√



(z − l

)/(z − l

) · Φ



(z). Для новой функции T (z) задача

сводится к классической задаче Дирихле для полуплоскости y ≥ 0:

T (x)=f(x), где f(x)=0, если x<l

или x>l

, и

f(x)=−



x(l

− x)

x − l

1+β

α (1 − β

)

γ(x) при l

<x<l

124

Тогда, учитывая, что решение задачи Дирихле для полуплоскости y ≥ 0 опреде-

ляется интегралом типа Коши [6]

T (z)=

πi



∞

−∞

f(t)dt

t − z

, (12)

получим следующее решение для функции Φ



(z)



(z)=−

1+β

α (1 − β

)



z − l

z(z − l

)

πi





t(t −l

)

− t

γ(t)dt

t −z

. (13)

Формально решение задачи сведено к квадратурам, но фактически оно не являет-

ся завершенным, поскольку решение зависит от параметров l

,которыепокане

определены. Для их определения необходимо привлечение всех физических аспек-

тов задачи. Примем в качестве критерия разрушения в конце трещины равенство

коэффициента интенсивности напряжений σ

своему критическому значению K

lim

x→−0



|x|·σ

(x)=K

. (14)

Используя выражения (8,10), получим при y =0в окрестности x = −0 следующее

представление для σ

Ω

α(1 − β

)





|x|





t − l

− t

γ(t) dt

√

Осредним слабо меняющуюся на отрезке l

≤ t ≤ l

функцию

γ(t)

√

≈ γ



+ l

и после вычисления интеграла получим следующее условие в носике трещины

Ω

α (1 − β

)



− l

)



2(l

+ l

)

. (15)

В приведенных выше условиях используется следующее выражение для функции

Рэлея:

Ω=4αβ −



1+β



Она меняет знак в зависимости от того, является движение по отношению к скорости

Рэлея V

дозвуковым V

, или сверхзвуковым V

и стремится к нулю

при V

→ V

. Отметим, что при этом для выполнения условий разрушения (15)

необходимо, чтобы параметр l

также стремился к нулю.

Учитывая формулы Сохоцкого-Племеля получим в области контакта

Ω

1+β

·Φ



(x)=−

Ω

α (1 − β

)



− x

x(x − l

)





t(t −l

)

− t

γ(t) dt

t −x

. (16)

125

Рис. 2: Сверхзвуковое движение тела

В задаче участвует параметр l

– длина области контакта. Этот параметр опреде-

ляется контуром образующей y = y

(x) поверхности расклинивающего тела. Точка

отрыва среды от контура тела определяется, как показано в [3], условием непрерыв-

ности ускорения для плавно смыкающихся контуров, или совпадает с задней кром-

кой для тел, заканчивающихся угловыми точками. При этом, необходимым условием

корректности постановки является условие физического контакта. В области контак-

та напряжение σ

должно быть отрицательным, что равнозначно положительному

давлению среды на тело. При движении с дозвуковой скоростью физическое усло-

вие контакта, т.е. σ

≤ 0 выполняется. Таким образом решение задачи сведено к

квадратурам.

Движение тела со скоростью превышающей скорость волн Рэлея, но меньшей

скорости поперечных волн достаточно подробно рассматривалось в работе [3]. Для

сверхзвукового случая движения отсутствует трещина, бегущая впереди тела. А это

означает, что параметр l

=0. В целом построение решения проводится аналогично

и решение в этом случае сводится к следующей краевой задаче для функции T (z)=



z/(z − l

) ·Φ



(z):

T (x)=f(x),

где f(x)=0при x<0 или x>l

f(x)=−



1 −t

1+β

α (1 − β

)

γ(x)

при 0 <x<l

Решением будет функция



(z)=

1+β

α (1 − β

)



z − l

πi





− t

γ(t) dt

t − z

(17)

126

В этом случае корневая особенность вблизи режущей кромки тела является

устранимой, поскольку интеграл в данном выражении вблизи концевой точки кон-

тура z =0имеет порядок

√

z · ln (z) [4].

Подводя итоги можно констатировать, что задача расклинивания упругой среды

телом сводится для дозвукового и сверхзвукового случая к квадратурам с особыми

сингулярными интегралами, существующими в смысле Коши. Корневая особенность,

характерная для задач линейной механики разрушения в случае сверхзвукового рас-

клинивания отсутствует, что означает изменение самого физического механизма раз-

рушения при переходе через скорость волн Рэлея.

Литература

[1] Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О расклинивании хрупких тел. — ПММ,

24, вып. 4, 1960.

[2] Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. — М.: Гостехиздат, 1953.

[3] Звягин А. В. Дозвуковое движение твердых тел конечных размеров в де-

формируемой среде и некоторые динамические контактные задачи. — Канд.

диссертация, 1979.

[4] Новацкий В. Теория упругости. — М.: Изд. Мир, 1975.

[5] Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

[6] Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи теории упругости. — М.:

Изд. АН СССР, 1954.

127

Переход горения в детонацию в газах

Смирнов Н. Н., Никитин В. Ф.

Без сомнения, среди всех процессов, связанных с горением и взрывом, пере-

ход горения в детонацию (ПГД) – один из наиболее интересных. Изучение этого

процесса относится к исследованиям в области взрывоопасности газов и паров. Зна-

ние механизмов управления возбуждением детонации весьма важно для выработки

эффективных превентивных мер, а именно: мер по предотвращению ПГД в случае

возгорания газовой смеси, а также методов по остановке детонационной волны в

случае, когда она уже образовалась. Представляет значительный интерес в этой свя-

зи исследование смесей углеводородного топлива с воздухом, поскольку внезапные

выбросы горючих природных газов в атмосферу могут иметь очень серьезные по-

следствия. Крайнюю опасность таких выбросов показали аварии в Фликсборо (1974,

Великобритания), Мехико (1984, Мексика) и под Уфой (1989, СССР).

Статья содержит результаты теоретических и экспериментальных исследований

процессов ПГД в смесях углеводородов с воздухом. Рассматривается влияние внут-

ренней геометрии и турбулизации потока на возникновение детонации; также обсуж-

дается влияние температуры и концентрации топлива в несгоревшей смеси. Работа

является продолжением исследований ПГД, начатых на кафедре газовой и волновой

динамики под руководством Зверева И. Н. в 1985 году.

1. Введение

Исследования перехода горения в детонацию (ПГД) в смесях водорода с воздухом

(Oppenheim et al., 1966; Саламандра, 1959; Солоухин, 1969), а затем в смесях углево-

дородов с воздухом (Смирнов и др., 1986, 1995) показали множественность сценари-

ев перехода. Различные механизмы возникновения детонации зависят от конкретной

структуры течения, созданного ускоряющимся пламенем, что делает процесс пере-

хода горения в детонацию не воспроизводимым экспериментально во всех деталях

и мельчайших подробностях. В настоящее время существуют различные точки зре-

ния на механизм ПГД: «взрыв во взрыве» Оппенгейма (Oppenheim et al., 1966) и

градиентный механизм «спонтанного горения» Зельдовича (1970).

Последующий теоретический анализ показал, что на микроуровне увеличение

неравномерности распределения температуры и рост градиентов концентраций в

окрестности локальных экзотермических центров («горячих точек») перед фронтом

пламени может быть достаточным для развития из отдельно взятого очага как вол-

ны детонации, так и волны нормального горения (Мержанов, 1966; Борисов, 1974;

Kailasanath and Oran, 1983; Zeldovich et al., 1988; Смирнов и др., 1989, 1995). Анализ

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант

02-03-32060) и INTAS (грант 00-0706).

128

и сравнение теоретических и экспериментальных результатов показали, что самовос-

пламенение в одной или нескольких горячих точках перед ускоряющимся пламенем с

последующим развитием детонации или горения из каждого локального экзотерми-

ческого центра является причиной существования множественности сценариев пере-

хода горения в детонацию (Смирнов и др., 1999). Общей чертой всех этих сценариев

является формирование локальных экзотермических центров по стохастическому ме-

ханизму Оппенгейма с последующим развитием детонации на микроуровне согласно

спонтанному механизму Зельдовича (Смирнов и др., 1999). Исследования ПГД при

взаимодействии отраженной ударной волны с ламинарным пламенем (Brown and

Thomas, 1999; Khohlov and Oran, 1999) также показали, что переход к детонации

в горячих точках идет по градиентному механизму, в то время как взаимодействие

ударной волны и волны горения, а также локальные неоднородности потока, создают

условия для возникновения самих горячих точек.

Экспериментальным исследованиям чувствительности ПГД к изменениям пара-

метров смеси присущи естественные ограничения на точность результатов, посколь-

ку установление различных режимов ПГД зависит от случайных неоднородностей

течения, создаваемого ускоряющимся пламенем. При этом незначительные измене-

ния параметров потока могут привести к существенным изменениям сценария пе-

рехода. Кроме того, в физических экспериментах практически невозможно добиться

независимого изменения отдельных параметров.

Численные исследования ПГД создают уникальную возможность плавного варьи-

рования параметров независимо друг от друга с целью исследования их влияния на

режим перехода к детонации. В статье представлены результаты теоретических и

экспериментальных исследований перехода горения в детонацию в гомогенных га-

зовых смесях. Рассмотрены вопросы чувствительности ПГД к изменениям значений

определяющих параметров.

2. Экспериментальные исследования

Экспериментальные исследования пульсирующих режимов возбуждения детонации в

смесях углеводородных топлив с воздухом проводились с использованием установки,

изображенной на рис. 1. Детальное описание процедуры и оборудования для этих

экспериментов содержится в (Смирнов и др., 1999).

Исследование влияния геометрии рабочей зоны на ускорение турбулентного пла-

мени и развитие детонации или дефлаграции проводилось с использованием камер,

объем которых мог меняться от эксперимента к эксперименту. Боковые стенки камер

(1) и (2) (рис. 1) имели резьбу на внутренней поверхности, что позволяло ввинчи-

вать цилиндрические перегородки (3) и (4) на различную глубину внутрь камер,

меняя таким образом их объем. Смесь поджигалась в камере (1) при помощи свечи

зажигания (5). Поток газа, вызываемый расширением зоны горения, был сильно тур-

булизован из-за геометрии устройства: в камере (2) возникал тороидальный вихрь,

что приводило к резкому ускорению пламени при переходе из одной камеры в дру-

гую. Подъем давления в обеих камерах приводил к закрытию обратного клапана

129

Рис. 1: Устройство для экспериментального исследования ПГД в трубе с каме-

рами переменного объема

(6). Расширение продуктов сгорания в узкую трубу (7) вызывало дополнительное

ускорение пламени за счет поршневого эффекта, улучшая таким образом условия

развития ПГД.

Для бензино-воздушной смеси преддетонационное расстояние сокращалось до 1.5

– 2.0 м в трубах диаметром 22 мм. Шлирен-фотографии, иллюстрирующие множе-

ственность сценариев перехода, были опубликованы ранее (Смирнов и др., 1995,

1999). Рис.2–4иллюстрируют структуру течения на различных расстояниях от

секции, где проходило инициирование. Пламя распространяется слева направо, вре-

мя увеличивается снизу вверх. Тем самым шлирен-фотографии демонстрируют x-t

диаграмму процесса. Ось x соответствует координате вдоль оси трубы, за начало

отсчета принят клапан (6). Ось t обозначает ось времени, за точку отсчета принят

момент начала регистрации.

Рис. 2 соответствует течению до перехода к детонации. Наличие турбулизаци-

онных камер приводит к возникновению существенных неоднородностей в потоке

перед зоной пламени, что может привести к возникновению детонации. Поршне-

вой эффект, создаваемый расширяющимися продуктами горения смеси в камерах,

порождает серию первичных ударных волн, движущихся перед фронтом пламени.

Некоторые волны образуются в результате взаимодействия поперечных волн сжа-

тия, возникающих при ускорении турбулентного пламени. Пламя распространяется

со скоростью до 950 м/с. Волны, формирующиеся позади фронта пламени, обгоняют

его и взаимодействуют с первичными волнами сжатия, что в конце концов приводит

к возникновению впереди сильной ударной волны, поддерживаемой волнами сжатия,

формируемыми пламенем (рис. 3, 4).

Детонационная волна возникает вследствие воспламенения смеси в локальных

экзотермических центрах («горячих точках») впереди зоны пламени. Сценарий пе-

рехода, иллюстрируемый на рис. 3, характеризуется образованием горячей точки в

зоне высокой энтальпии на контактной поверхности, образовавшейся после взаимо-

действия двух первичных ударных волн. Рис. 4a демонстрирует переход, возникший

при формировании вторичной зоны горения между головной ударной волной и фрон-

том пламени за счет самовоспламенения локального экзотермического центра. Зона

130

Рис. 2. Волны сжа-

тия перед ускоряющим-

ся турбулентным фрон-

том пламени

Рис. 3. Возникновение

детонации перед фрон-

том турбулентного пла-

мени на контактном раз-

рыве

Рис. 4, а. Само-

воспламенение в

горячей точке перед

фронтом пламени,

порождающее новую

зону горения

Рис. 4, b. Само-

воспламенение в

нескольких горя-

чих точках перед

фронтом пламени

горения расширяется во всех направлениях от горячей точки, и через 180 мкс возни-

кает детонационная волна. Рис. 4b иллюстрирует случай, когда возгорание происхо-

дит последовательно в нескольких горячих точках перед фронтом пламени. Каждое

из этих возгораний непосредственно не приводит к формированию детонационной

волны. Пламя, распространяющееся во всех направлениях от горячих точек, приво-

дит к формированию объемного горения и последующему сжатию смеси позади го-

ловной ударной волны. Детонационная волна возникает в одном из экзотермических

центров, примыкающих к ударной волне, который находится вне зоны фотографиро-

вания. Возникновение детонации подтверждается наличием ретонационной волны,

распространяющейся назад по потоку со скоростью 1350 м/с, которая появляется в

верхней части рис. 4b. Анализ экспериментов показывает, что формирование детона-

ции происходит в одном из экзотермических центров (в «горячей точке»), располо-

женном в области сжатого газа между головной ударной волной и зоной горения. В

зависимости от локальной структуры и расположения горячих точек горение может

привести либо к детонации, либо к дефлаграции, распространяющейся от одной из

горячих точек (Смирнов и др., 1999).

Неоднородности в зоне сжатого газа перед фронтом пламени могут возникать, в

частности, вследствие взаимодействия ударных волн, идущих впереди. Такая струк-

тура течения формируется при зажигании на расстоянии от закрытого торца и при

использовании форкамер, обеспечивающих дополнительный поршневой эффект при

расширении продуктов сгорания. Как видно из рис. 2, в последнем случае перед

131

фронтом пламени может образовываться серия волн сжатия. Взаимодействие в га-

зе двух ударных волн, из которых одна догоняет другую, приводит к образованию

одной ударной волны, распространяющейся в ту же сторону, отраженной центри-

рованной волны разрежения и контактной поверхности между ними, разделяющей

газы различной температуры и плотности.

Контактные разрывы, как зоны больших градиентов плотности, хорошо видны

на шлирен-фотографиях рис. 3 – 4. Горячие точки перед фронтом пламени, порож-

дающие волны детонации (рис. 3) или дефлаграции (рис. 4a), образуются именно

на контактных поверхностях, являющихся результатом взаимодействия догоняющих

друг друга головных ударных волн. Теоретическое объяснение этого факта было

впервые предложено в работе (Смирнов, Панфилов, 1995), в которой было показано,

что само воспламенение в области ударно сжатого газа происходит в отдельном эк-

зотермическом центре, характеризуемом минимальным значением времени задержки

воспламенения. Последнее зависит от температуры смеси и от физического време-

ни экспозиции смеси при данной температуре. Температура газа перед контактной

поверхностью, сжатого головной ударной волной, выше, чем температура газа за кон-

тактной поверхностью, прошедшего последовательно две стадии ударного сжатия и

адиабатического расширения. Время индукции воспламенения с повышением темпе-

ратуры сокращается. В области течения между контактной поверхностью и ударной

волной слои газа, примыкающие к контактной поверхности, характеризуются самым

коротким временем индукции, так как они дольше всего находились при повышенной

температуре. Поэтому самовоспламенение происходит в горячей точке на контактной

поверхности. Эти рассуждения подтверждаются и результатами прямого численного

моделирования (Смирнов, Панфилов, 1995; Смирнов и др., 1999).

После воспламенения газа в отдельном экзотермическом центре градиенты тем-

пературы и концентрации реагентов, установившиеся в окрестности зоны воспла-

менения, определяют, разовьется ли из данного очага воспламенения волна детона-

ции или дефлаграции (Зельдович и др., 1970). При возникновении волны детонации

реализуется картина течения, изображенная на рис. 3. При возникновении волны

дефлаграции, которая распространяется от места воспламенения с гораздо меньшей

скоростью (рис. 4a), возможно последующее воспламенение соседних «горячих то-

чек», до которых волна дефлаграции еще не успела дойти (рис. 4b).

3. Математическая модель

Численные исследования процессов ПГД проводились с помощью системы уравне-

ний, полученной осреднением по Фавру системы уравнений движения многоком-

понентной смеси. Использовалась модифицированная ка-эпсилон модель турбулент-

ности. Для моделирования флуктуаций температуры к основным уравнениям ка-

эпсилон модели было добавлено третье уравнение, описывающее динамику средне-

квадратичного отклонения температуры (Смирнов и др., 2001). Члены, отвечающие

за производство и диссипацию этого параметра, а также нелинейные по температуре

члены, отвечающие за скорость химических реакций, моделировались с использова-

132

нием метода квадратур Гаусса.

Система определяющих уравнений для осредненных величин газодинамических

параметров имеет следующий вид:

∂

(ρ)+∇·(ρu)=0, (1)

∂

(ρY

)+∇·(ρuY

)=−∇ ·



+˙ω

, (2)

∂

(ρu)+∇·(ρu ⊗u)=ρg −∇p + ∇·τ, (3)

∂

(ρE)+∇·(ρuE)=ρu ·g −∇·pu −∇·



+ ∇·(τ ·u). (4)

Уравнения (1) – (4) включают уравнение неразрывности для смеси в целом,

уравнения баланса массы для k-го компонента, уравнения количества движения

и энергии для смеси. Наряду с этими уравнениями должны также выполнять-

ся условия согласования:



=1,





=0,



˙ω

=0. Термическое и ка-

лорическое уравнения состояния для смеси газов имеют соответственно следу-

ющий вид: p = R

ρT



, E =



T + h

)+u

/2+k. Турбулент-

ный тепловой поток в уравнении (4) представляется в виде суммы двух членов:







T + h

),где



играет роль кондуктивного теплового потока для

турбулентного течения, а добавочный член характеризует перенос энергии в резуль-

тате турбулентной диффузии. Кинематическая турбулентная вязкость ν

в рамках

ка-эпсилон модели определяется по следующей формуле: ν

= C

/ε. Для опреде-

ления турбулентных потоков используются следующие соотношения:

τ =(µ + ρν

)(∇u + ∇u

− (2/3)(∇·u)U) − (2/3)ρkU, (5)



= −ρ(D +(ν

/σ

))∇·Y



= −(λ +



(ν

/σ

))∇·T, (6)

Рождение k-го компонента в результате химической реакции происходит со ско-

ростью ˙ω

, которая является суммой массовых скоростей ω

всех реакций, протека-

ющих в газовой фазе. Члены ˙ω

в уравнениях, отвечающие за химические превраще-

ния, обычно крайне чувствительны к колебаниям температуры в турбулентном пото-

ке, поскольку содержат экспоненциальные зависимости типа Аррениуса для опреде-

ления скоростей элементарных реакций. Поэтому влияние флуктуаций температуры

в турбулентном потоке при наличии химических реакций необходимо учитывать.

Влиянием флуктуаций концентраций реагентов будем пренебрегать, поскольку за-

висимость скоростей реакций от концентраций не столь сильная (полиномиальная).

Будем в дальнейшем рассматривать температуру как стохастическую функцию T со

средним значением

T и среднеквадратичным отклонением θ = T



. Для замыка-

ния системы служат дополнительные уравнения ка-эпсилон модели для определения

133