Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 7

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ

СОТРУДНИКОВ КАФЕДРЫ

Деформации и разрушение горных пород

(о кольцевой прочности)

Шемякин Е. И.

1. В задачах механики горных пород основной является задача о прочности

(устойчивости) горных пород в окрестности подземной выработки. Основной моде-

лью для таких рассуждений является круговая выработка определенного диаметра,

на заданной глубине и ориентировке относительно главных напряжений σ

, σ

in situ со своими главными направлениями. Обсуждается новый набор системы ин-

вариантов для описания напряженно-деформированного состояния горных пород в

этом случае.

2. Самым ответственным моментом в создании такой выработки как подземно-

го сооружения является изменение соотношений между главными напряжениями в

окрестности выработки по отношению к исходному (главные направления при этом

будем считать неизменными). Если принять пока для простоты, что на глубинах 1 –

2 – 3 км исходное напряженное состояние (in situ) было равномерным гидростати-

ческим

= σ

= −p (1)

где p — литостатическое давление, то после проходки выработки, будь то скважи-

на (горизонтальная или вертикальная) или шахтный ствол, напряженное состояние

изменится.

Важно отметить, что это изменение есть отражение законов равновесия (или

динамики, квазистатики в процессе проходки или бурения). Так, например, если

главные направления напряженного состояния σ

, σ

выбрать в соответствии с

цилиндрической системой координат горизонтальной выработки, то в ходе подготов-

ки выработки (скважины) обязательно происходят два процесса [1, 2].

114

• Первый из них связан с тем, что радиальное напряжение обязательно падает

по величине и, даже если со стороны выработки (скважины, например) оказы-

вается возможным организовать подпор, по величине меньший,чембылора-

диальное напряжение до проходки скважины. Этот основной эффект приводит

к тому, что в окрестности выработки возникает некоторый объем — «кольцо»

горной породы, несущее основную нагрузку по сдвиговой прочности. В отличие

от привычных для небольших глубин это кольцо не примыкает к выработке, а

удалено на некоторое расстояние в несколько радиусов выработки. Обычно эту

зону — кольцо называют зоной опорного давления, имея ввиду в основном то,

что это кольцо воспринимает нагрузку на выработку.

• Механизм передачи усилий связан со сдвиговой прочностью горного массива

(рис. 2 и рис. 3), при этом в зависимости от параметра Лодэ µ

(рис. 2) — это

прочность и по другим площадкам скольжения, на которых может повториться

та же связь между T и Γ, что и на основной площадке.

• Второй частью процесса является развитие касательных напряжений за счет

различия в главных напряжениях возникающего состояния. Так, в рассматри-

ваемом примере (вертикальная выработка — скважина в равномерном in situ

напряженном состоянии) возникают касательные напряжения, которых не было

до работ, а именно: [1, 4]

− σ

=2T

=2Tσ

− σ

=2T

− σ

=2T

(2)

если, например,

≥ σ

(3)

в окрестности вертикальной выработки.

Это рассуждение не связано с традиционными взглядами на прочность горных

пород, а, скорее, восходит к Т. Карману [2], который считал, что при переходе от

исходного (возможно, упругого) состояния, вместе с ростом разности по величине

T = T

не обязательно σ

теряет свою (упругую?) связь, существовавшую до проход-

ки выработки или скважины. Возникновение анизотропии сопротивления сдвигам в

результате роста касательных напряжений и изменения сопротивления сдвигам явля-

ется едва ли не самым примечательным механическим эффектом создания выработок

в горном массиве [2, 3].

Поэтому, естественно до детального подробного анализа различных вариантов

(негидростатическое исходное напряженное состояние, горизонтальная или верти-

кальная скважина, слоистость окружающего массива и его блочная структура) об-

ратить внимание на этот основной процесс — изменение сопротивления сдвигу на

различных площадках, включая новые современные элементы: появление ниспадаю-

щей ветви (post-break behavior of rock under loading) со всеми эффектами парадок-

сального для сплошной среды проявлениями.

3. Таким образом, изучение напряженно-деформированного состояния в окрест-

ности выработки сведено к исследованию сдвиговой прочности горного массива как

115

Рис. 1: Напряженное состояние в окрестности скважины (выработки) на боль-

шой глубине P ≈ 2T

max

; указаны основные площадки скольжения, определяю-

щие прочность массива и его деформирование до разрушения

Рис. 2: Паспорт прочности пород σ

+ σ

, µ

2σ

− σ

116

Рис. 3: Связь максимальных касательных напряжений T и деформаций сдвига

Γ; кривые I, II и III указывают на масштабный эффект

определенного свойства такой сплошной среды. Поэтому основное внимание будет

уделено так называемому паспорту прочности горных пород в духе работ [2, 4],

описывающему инвариантное представление сдвиговой прочности твердых тел.

При этом изменение объема, включая критическое разрыхление до вывала в обна-

женное пространство, будет связано с эффектом дилатансии — изменением объема,

связанным также со сдвигом. Это изменение объема позволит ввести в рассмотре-

ние фильтрацию жидкости и газа (нефти и конденсата, в том числе) в окрестности

скважины (выработки), подвергнутом изменению напряженного деформированного

состояния.

Рассмотрим прежде основные особенности сдвигового деформирования, прини-

мая первой гипотезу Т. Кармана, что наступление предельной деформации сдвига на

основных площадках с касательными напряжениями T не нарушает упругих (или

других подобных) связей между напряжениями и деформациями во втором глав-

ном направлении. В этом приближении можно считать, что на системах площадок

с напряжениями T

и T

повторится (возможно, с некоторыми вариациями) та же

самая ситуация, что и на главных площадках с касательным напряжением T = T

Поэтому рассмотрим внимательнее поведение среды при сопротивлении сдвигу на

диаграмме T = T (Γ) (рис. 3) где T

— максимальное касательное напряжение, а

Γ=ε

−ε

(при совпадающих главных направлениях напряженного и деформирован-

ного состояния) [2]. На этом рисунке из [4] представлены описательные результаты

реальных испытаний опытных образцов грунтов (в том числе с эквивалентными ма-

териалами) и горных пород [6]. После практически обратимых деформаций до пика

117

касательных напряжений сопротивление сдвигу с постом деформаций падает, иногда

это послепиковое поведение называют разупрочнением.

Это — самый важный для современных задач горного дела и механики грунтов

участок необратимого поведения горной среды, который стал доступным после со-

здания «жестких» машин для испытаний грунтов и горных пород, взамен машин с

заданным нагружением по усилиям (напряжениям) [5].

Что обнаружилось в этих новых результатах, по мнению автора?

Первое. Возникновение структуры в изначально однородном и изотропном ма-

териале, вполне согласованной с подготовленными площадками максимальных каса-

тельных напряжений (возможно, с учетом трения по площадкам реального скольже-

ния).

Второе. Несимметрия функционирования площадок скольжения (в отличие от

предсказаний механики сплошной среды), которая явно проявляется уже при малых

деформациях и является основным процессом при развитии деформаций вплоть до

разрушения.

Третье. В области, где элементы горной породы и грунтов находятся в после-

пиковом состоянии (иногда это состояние и называют запредельным состоянием

разупрочнения деформация в целом, в конечном объеме осуществляется как сколь-

жение блоков (практически жестких) друг по другу с вращением относительно друг

друга так, чтобы составить квази-сплошную среду. Это новое представление о дефор-

мации грунтов и горных пород за счет сдвигов и преодоления прочности на сдвиге

сводится к тому, что в рассматриваемом конечном объеме реально проявляются пло-

щадки скольжения, разделение тела на блоки и, значит, несущая способность такой

среды должна рассчитываться по этой схеме вплоть до разрушения среды.

Введение новой группы инвариантов, описывающих напряженно-

деформированное состояние горной породы в окрестности подземной выработки

(скважины) пригодно, конечно, в силу инвариантности и для других ситуаций в

горном массиве.

В соответствии с этим вместо (1) или аналогичных утверждений, предлагается

рассмотреть три инварианта [4]

T =

− σ

,σ

+ σ

,µ

2σ

− σ

. (4)

Нетрудно видеть, что этот набор инвариантов является новым, т.к. он опирается

на параметры T и σ

, и старым, т.к. вводит в рассмотрение параметр Лодэ-Надаи,

характеризующий роль прочности массива по другим площадкам T

и T

[2, 4]

− T

. (5)

Это простое физическое истолкование, по-видимому, более адекватно обсужде-

нию вопросов о прочности твердых тел [5].

Набор инвариантов (4), конечно, представляет определенные удобства при оценке

прочности массива в конкретных ситуациях (так, например, сечение поверхности

118

T (σ

,µ

) при µ

=0дает вполне удовлетворительное описание огибающей кругов

Мора, как это широко принято) рис. 2.

Но этого недостаточно. Достижение предельного напряженного состояния (в

смысле величин (4)) недостаточно для суждения о достижении предела прочности

или исчерпании несущей способности сплошной среды в конкретных ситуациях (в

окрестности скважины, выработки, на откосе, при оползнях и т.д.).

Главным дополнительным рецептом исследования послепикового поведения гор-

ных пород является исследование деформаций (рис. 3)

>ε

. (6)

Если при последовательном нагружении исходного (in situ) состояния не воз-

никает вопрос ни о соответствии знаков в (3) и (6), ни о соответствии главных

направлений напряженного и деформированного состояний, то в целом для харак-

теристики необратимых деформаций и разрушения необходимо также ввести три

новых инварианта:

Γ=ε

− ε

,ε= ε

+ ε

,µ

2ε

− ε

. (7)

И дело здесь не только в том, что T = T (Γ) — зависимость, которая должна быть

определена в «чистых» условиях, т.е. при µ

= µ

=0, в состоянии основного сопро-

тивления материала сдвигу, а ещеивтом,чтонаниспадающейветвинапряжения

и деформации не связаны между собой однозначной зависимостью (вспомните иде-

альную пластичность!), а представляют независимо и по отдельности определяемые

из законов механики величины:

• напряжение (усилие) определяется из законов равновесия или движения;

• деформации — из законов сохранения массы с учетом дилатансии [6].

В целом напряженное состояние в окрестности слабо подкрепленного пласта в

окрестности скважины оказывается близким к состоянию чистого сдвига µ

=0.

Это явление до сих пор не получило бы признания, если бы не работы наших

теоретиков в области механики грунтов и горных пород [1, 6]. Дело в том, по нашему

мнению, что непонимание этого явления связано с отсутствием опытных фактов и

наблюдений за поведением материалов на ниспадающей ветви. Поэтому очевиден

наш интерес к ниспадающей ветви на диаграмме T = T (Γ) (а, как следствие, и на

диаграмме σ = σ

одноосного сжатия).

В области T>T

max

(послепиковое давление) развиваются не только общие де-

формации, но и деформации сдвига (а, значит, и дилатансия) — и этот эффект в

изменении объема (сумма изменений объема за счет изменения среднего напряже-

ния и изменения объема за счет сдвига) оказывается самым существенным. Трудно

переоценить эту гипотезу по сравнению с другими (изменение объема скелета, объ-

ема пористости, эффекта проницаемости), т.к. проявление площадок скольжения,

119

связанной с ним дилатансии, является, по-видимому, основной причиной для закона

фильтрации. Изменение объема вследствие дилатансии оказывается в интересующей

нас области (для задач нефти и газа) генеральным [1, 6].

Последние работы [4, 5] показали, что продолжаются исследования в этом же

направлении, но пока отсутствует влияние µ

и детальное изучение структуры ма-

териала при послепиковом поведении.

Литература

[1] Христианович С. А., Желтов Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного

плста. — Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 5.

[2] Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности. —

МТТ, 1967, № 5.

[3] Христианович С. А., Шемякин Е. И. О плоской деформации пластического

материала при сложном нагружении. — МТТ, 1969, № 5.

[4] ШемякинЕ.И.Об инвариантах напряженного и деформированного состояния

в математических моделях сплошной среды. — ДАН, 2000, т.373, № 5.

[5] ШемякинЕ.И.Синтетическая теория прочности. — Физическая мезомехани-

ка, 1999, т.3, № 6.

[6] Стажевский С. Б. Приложение механики сыпучих сред к решению некоторых

задач механики горных пород. — ФТПРПИ, 1987, № 3.

120

О расклинивании упругой среды

Звягин А. В.

1. Введение

Задачи о движении тел в различных средах в связи с практическими потребностями

рассматриваются в механике с самого начала ее развития. Не является исключением

и задача движения тела в упругой среде.Качественные характеристики задачи дви-

жения тела с дозвуковой скоростью по отношению к скорости волн Рэлея рассмат-

ривалась в [1]. Во многом родственные контактные задачи о движениии штампов

рассматривались в работе [2]. В работе [3] автор рассматривал движение тела со

скоростью, большей скорости волн Рэлея. Несмотря на это, многие аспекты дан-

ной проблемы требуют дальнейших исследований, поскольку с практической точки

зрения необходимо эффективное построение аналитического решения. В данной ра-

боте предлагается метод решения, позволяющий достаточно эффективно построить

решение при дозвуковом и сверхзвуковом режиме движения расклинивающего тела.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о движении в упругой среде с плотностью ρ и упругими

постоянными λ, µ тонкого твердого симметричного тела. Будем считать, что тело

двигается с постоянной дозвуковой скоростью V

вдоль оси Ox в отсутствии сил

трения, а движение среды плоско-параллельное (рис. 1).

Воспользуемся представлением Ляме для вектора перемещений

∂ϕ

∂x

∂ψ

∂y

; u

∂ϕ

∂y

−

∂ψ

∂x

. (1)

Потенциалы вектора перемещений φ, ψ для продольных и поперечных волн, скорости

которых равны соответственно a и b, удовлетворяют волновым уравнениям

∂

∂t

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂t

∂

∂x

∂

∂y

, (2)

a =



λ +2µ

,b=



При этом компоненты тензора напряжений выражаются [2] через потенциалы ϕ, ψ

=(λ +2µ)

∂

∂x

+ λ

∂

∂y

+2µ

∂

∂x∂y

121

Рис. 1: Движение тела в упругой среде. V

– скорость тела

= λ

∂

∂x

+(λ +2µ)

∂

∂y

− 2µ

∂

∂x∂y

, (3)

= µ



∂

∂x∂y

∂

∂y

−

∂

∂x



В подвижной системе координат, связанной с телом, движение можно считать уста-

новившимся, поэтому если перейти к новым переменным

∗

= x + V

t, y

∗

= y, t

∗

= t, (4)

искомые функции не будут явно зависеть от времени, а дифференциальные операто-

ры изменятся по следующей форме

∂

∂x

∂

∂x

∗

∂

∂y

∂

∂y

∗

∂

∂t

= V

∂

∂x

∗

. (5)

С учетом правил (4),(5) волновые уравнения (2) преобразуются к виду

∂

∂x

∂

∂y

=0,β

∂

∂x

∂

∂y

=0,α

=1−

,β

=1−

. (6)

Здесь и в дальнейшем (*) не пишутся для упрощения записи. Без ограничения

общности можно перейти к безразмерным переменным, в которых область контакта

тела со средой будет иметь на оси Ox координаты x = l

– начало контакта и x = l

– отрыв среды от поверхности тела.

Скорость движения тела может быть больше или меньше скорости волн Рэлея. В

зависимости от этого меняется характер движения. Как показано в [3], при движе-

нии со скоростью большей скорости волн Рэлея реализуется безотрывное движение

в окрестности режущей кромки клина, а затем в зависимости от геометрии тела

122

происходит отрыв среды от его поверхности. В этом случае начало области контакта

совпадает с началом координат, т.е. l

=0. При движении тела со скоростью меньшей

скорости волн Рэлея среда растрескивается перед телом и характер движения будет

другим (рис. 1). В силу симметрии тела задачу можно рассматривать только для

верхней полуплоскости, при этом должны быть выполнены следующие граничные

условия: 1).На поверхности контакта тела со средой условия безотрывности обтека-

ния v

= V

· tg γ и отсутствие сил трения σ

nτ

=0.

2).На свободной поверхности равенство нулю вектора напряжений σ

=0,σ

nτ

=0.

3).На остальной части оси Ox в силу симметрии равны нулю напряжение σ

составляющая скорости V

Если линеаризовать и снести граничные условия на невозмущенную границу

y =0и считать, что контакт тела со средой будет в области l

<x<l

, граничные

условия можно записать в следующем виде

1 <x σ

=0,σ

=0;

l<x<1 σ

=0,V

= V

tg γ;

0 <x<l σ

=0,σ

=0;

x<0 σ

=0,V

=0.

(7)

3. Построение решения

Для построения решения воспользуемся функциями комплексных переменных, кото-

рые, удовлетворяя уравнениям движения, позволяют свести задачу их определения к

классическим краевым задачам ТФКП [5]. Уравнениям (6) удовлетворяют функции

ϕ = Φ(z

) и ψ = Ψ(z

),гдеΦ(z

),иΨ(z

) – аналитические функции своих ком-

плексных аргументов z

= x + iα y, z

= x + iβ y.Знак обозначает действительную,

а  – мнимую часть комплексного числа.

Отметим, что производные функций ϕ, ψ в силу условий Коши-Римана будут

такими:

∂ϕ

∂x

= Φ



) ,

∂ϕ

∂y

= −αΦ



) ,

∂ψ

∂x

= Ψ



) ,

∂ψ

∂y

= −βΨ



) .

Тогда компоненты скорости и тензора напряжений можно выразить при помощи

введенных функций комплексного переменного

= Φ



− β ·Ψ



;

= −α ·Φ



−Ψ



;



2α

+1− β



Φ



− 2β ·Ψ



;

= −



1+β



Φ



+2βΨ



;

= −2αΦ



−



1+β



Ψ



(8)

123