Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
111
ÐÅØÅÍÈÅ ÒÈÏÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎ ÐÀÇÄÅËÀÌ 1 È 2
Òåìà «Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ» áóäåò ðàññìîòðåíà
ïîñëå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
1. ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
1.1. Äåéñòâèÿ ñ ìàòðèöàìè
1.1.1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ
à)
⇒
−
−
−
=
−
−
− 84
168
1220
63
156
912
21
42
35
4
21
52
34
3
Ñíà÷àëà óìíîæàåì ìàòðèöó íà ÷èñëî, à çàòåì âû÷èòàåì èç
îäíîé ìàòðèöû äðóãóþ
;
141
12
218
8643
161586
)12(92012
−−
−−
−
=
−−−
−−
−−−
⇒
á) íóæíî ïåðåìíîæèòü äâå ìàòðèöû: Ñ = ÀÂ. Ýòî âîçìîæíî â
ñëó÷àå, åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû À ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðè-
öû Â. Ýëåìåíò Ñ
ik
ìàòðèöû Ñ èìååò âèä:
∑
=
⋅++⋅+⋅=⋅=
n
j
nkinkikijkijik
babababaC
1
2211
...
(i = 1, 2, , n; k = 1, 2, , n),
ò.å. ýëåìåíò ìàòðèöû Ñ, ñòîÿùåé â i-é ñòðîêå è k-ì ñòîëáöå, ðàâåí
ñóììå ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâåííûõ ýëåìåíòîâ i-é ñòðîêè ìàò-
ðèöû À è k-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû Â.
.
14312
926
316
351)1(04)1(52)1(14050)1()3(4
321302)1(223120203)3(2
311002)1(120120100)3(2
310
120
013
514
232
102
−−
−
=
=
⋅+⋅−+⋅−⋅+⋅−+⋅⋅+⋅−+−⋅
⋅+⋅+⋅−−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅−
⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=
=
−
−
⋅
−
−
112
1.2. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé
1.2.1. Óáåäèìñÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü ∆ ðàâåí íóëþ
321
422
246
−
−−=∆
à) ïî îïðåäåëåíèþ (îäíîé èç ñõåì):
.068682448481636
3)2(4)2()4(6122)2()2(21)4(4326
21
22
46
321
422
246
=−=+−−+−=
=⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅⋅−−⋅−+⋅−⋅+⋅⋅=
⊕
=
−
−
−
−−
Ñïðàâà îò îïðåäåëèòåëÿ ïðèïèñûâàþòñÿ äâà ïåðâûõ ñòîëáöà,
áåðóòñÿ ñî çíàêîì «+» òðè ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà
ãëàâíîé äèàãîíàëè è äâóõ äèàãîíàëÿõ åé ïàðàëëåëüíîé è ñî çíà-
êîì ìèíóñ òðè ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ïîáî÷íîé
äèàãîíàëè è äâóõ äèàãîíàëÿõ åé ïàðàëëåëüíîé;
á) ðàçëîæåíèåì ïî ñòðîêå.
Îïðåäåëèòåëü ∆ ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ ïðî-
èçâîëüíîé åãî ñòðîêè íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ
∆ = à
i1
· A
i1
+ à
i2
· A
i2
+ + à
in
· A
in
(i = 1, 2, , n),
ãäå A
ij
àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà îïðåäåëèòåëÿ à
ij
,
ðàâíîå
.)...,,2,1()1( njMA
ij
ji
ij
=⋅−=
+
Çäåñü Ì
ij
ìèíîð ýëåìåíòà à
ij
, ò.å. îïðåäåëèòåëü (n 1)-ãî
ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ èç îïðåäåëèòåëÿ
n-ãî ïîðÿäêà i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà.
×
113
Âû÷èñëÿåì îïðåäåëèòåëü ∆ ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé
ñòðîêè
.022)2(4)2(6
)12)2()2((2)1)4(3)2)((1(4))2()4(32(6
21
22
)1(2
31
42
)1(4
32
42
)1(6
321
422
246
312111
131312121111
=⋅+−⋅−−⋅=
=⋅−−⋅−+⋅−−⋅−−+−⋅−−⋅=
=
−
−
−⋅+
−−
−⋅+
−
−
−⋅=
=
−
−−=⋅+⋅+⋅=∆
+++
AaAaAa
1.3. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà
1.3.1. Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå À è ïðîâåðèòü âû-
ïîëíåíèå ðàâåíñòâà À · À
1
= Å:
à)
−
=
62
42
A
. Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ∆ ìàòðèöû À
,0204)2(62
62
42
≠=⋅−−⋅=
−
=∆
òî ìàòðèöà À ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé è äëÿ íåå ñóùåñòâóåò îá-
ðàòíàÿ ìàòðèöà À
1
.
Íàõîäèì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ∆:
A
11
= (1)
1+1
à
22
=6; A
12
= (1)
1+2
· à
21
=2; A
21
= (1)
2+1
· à
12
= 4;
A
22
= (1)
2+2
· à
11
= 2.
Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó èç ýòèõ àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé è
òðàíñïîíèðóÿ åå, ïîëó÷àåì ïðèñîåäèíåííóþ ìàòðèöó (À*):
.
22
46
,
24
26
−
=
−
=
∗
AA
ij
Âû÷èñëÿåì îáðàòíóþ ìàòðèöó À
1
.
10
1
10
1
10
2
10
3
20
2
20
2
20
4
20
6
22
46
20
1
1
−
=
−
=
−
=
∆
=
∗
−
A
A
114
Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû:
.
10
01
1,06)2,0(21,063,02
1,04)2,0(21,043,02
1,01,0
2,03,0
62
42
1
E
AA
=
=
⋅+−⋅−⋅+⋅−
⋅+−⋅⋅+⋅
=
=
−
⋅
−
=⋅
−
Òàê êàê À · À
1
= Å, òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà íàéäåíà ïðàâèëüíî;
á)
⊕
≠=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∆
=
.01122212311221312112
23
12
22
123
112
122
,
123
112
122
À
Íàõîäèì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ
.2
12
22
;0
12
12
;1
11
12
;2
23
22
;1
13
12
;0
12
12
;1
23
12
;1
13
12
;1
12
11
333231
232221
131211
−===−===
=−=−===−=
===−=−==
AAA
AAA
AAA
Îïðåäåëÿåì
.
221
011
101
1
;
221
011
101
;
201
210
111
1
−
−
−
==
∆
=
−
−
−
=
−
−
−
=
∗∗
−∗
AA
AAA
ij
Ïðîâåðÿåì
.
100
010
001
)2(1021321)1(2031112)1(3
)2(1011221)1(1021111)1(2
)2(1021221)1(2021112)1(2
221
011
101
123
112
122
1
E
AÀ
=
=
=
−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=
=
−
−
−
⋅
=⋅
−
×
115
1.4. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
1.4.1. Çàïèñàòü ñèñòåìó â ìàòðè÷íîì âèäå
bxA =
:
=+−
=+
1562
1542
yx
yx
è ðåøèòü åå ñðåäñòâàìè ìàòðè÷íîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Çäåñü
.
15
15
,,
62
42
=
=
−
= b
y
x
xA
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ÷åðåç îáðàòíóþ ìàòðèöó À
1
èìååò âèä
.
1
bAx ⋅=
−
 ïóíêòå 1.3.1: à) áûëà íàéäåíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà À
1
, òîãäà
.
3
5,1
151,0151,0
15)2,0(153,0
15
15
1,01,0
2,03,0
=
⋅+⋅
⋅−+⋅
=
⋅
−
=
=
y
x
x
Îòñþäà: õ = 1,5; ó = 3.
Ìîæíî ñäåëàòü ïðîâåðêó, ò.å. ïîäñòàâèòü íàéäåííûå çíà÷åíèÿ
õ è ó â èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.
1.4.2. Ðåøèòü ñèñòåìó ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ (ìå-
òîäîì Ãàóññà):
=+⋅+⋅
=−+⋅
=+⋅+⋅
.1523
,112
,1122
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Âûáåðåì â êà÷åñòâå ïåðâîãî âåäóùåãî óðàâíåíèÿ ïåðâîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû è îíî â äàëüíåéøåì îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à
â êà÷åñòâå ïåðâîãî âåäóùåãî íåèçâåñòíîãî õ
1
.
Èñêëþ÷àåì íåèçâåñòíóþ õ
1
èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé
ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî èç 1-ãî óðàâíå-
íèÿ âû÷èòàåì âòîðîå, ïîëó÷èì õ
2
+ 2õ
3
= 0, çàòåì 1-îå óðàâíåíèå
óìíîæàåì íà 3, à 3-å óðàâíåíèå íà 2 è âû÷èòàåì èç îäíîãî äðó-
ãîå, ïîëó÷èì 2õ
2
+ õ
3
= 3.
Âûïèñûâàåì ñèñòåìó
=+
=+
=++
.32
,02
,1122
32
32
321
xx
xx
xxx
116
Íåèçâåñòíàÿ õ
1
èñêëþ÷åíà. Ïåðâûé øàã çàêîí÷åí. Òåïåðü
âòîðîå óðàâíåíèå áåðåòñÿ çà âåäóùåå è îíî â äàëüíåéøåì íå
èçìåíÿåòñÿ, à çà âåäóùóþ íåèçâåñòíóþ ïðèíèìàåòñÿ õ
2
. Èñ-
êëþ÷àåì èç 3-ãî óðàâíåíèÿ õ
2
, äëÿ ýòîãî 2-îå óðàâíåíèå óìíî-
æàåì íà 2 è âû÷èòàåì èç íåãî 3-å óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷à-
åì 3õ
3
= 3.
Ïîëó÷èì ñèñòåìó
−=
=+
=++
.1
,02
,1122
3
32
321
x
xx
xxx
Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà çàêîí÷åí. Îáðàòíûì õîäîì ïîëó-
÷àåì:
õ
3
= 1,
õ
2
= 2 · õ
3
= 2 · (1) = 2,
2õ
1
= 11 2õ
2
õ
3
= 11 2 · 2 (1) = 8, õ
1
= 4.
Èòàê, õ
1
= 4, õ
2
= 2, õ
3
= 1.
1.4.3. Äàíà ñèñòåìà
=−+++
−=−+++
=−+++
.30847125
,1332253
,4352572
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
1. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ÊðîíåêåðàÊàïåëëè óñòàíîâèòü ñî-
âìåñòíîñòü ñèñòåìû.
Âûïèñûâàåì ìàòðèöó ñèñòåìû À è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó
À
.
30847125
1332253
4352572
;
847125
32253
52572
−
−−
−
=
−
−
−
= AA
Ðàññìîòðèì ìèíîð 2-ãî ïîðÿäêà
.0112110
53
72
2
≠−=−==d
117
Äàëåå âûïèøåì ÷åòûðå ìèíîðà 3-ãî ïîðÿäêà
.0
30125
1353
4372
;0
8125
353
572
;0
4125
253
272
;0
7125
253
572
4
3
3
3
2
3
1
3
=−==−
−
=
====
dd
dd
Òàê êàê ìèíîðû
,
1
3
d
2
3
d è
3
3
d
ðàâíû íóëþ, òî ðàíã ñèñòåìû
ðàâåí äâóì, à òàê êàê ìèíîð
,0
4
3
=
d
òî è ðàíã ðàñøèðåííîé ìàò-
ðèöû ðàâåí äâóì. Ðàâåíñòâî ðàíãîâ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ìàò-
ðèöû ñèñòåìû íà îñíîâàíèè òåîðåìû ÊðîíåêåðàÊàïåëëè ãîâî-
ðèò î òîì, ÷òî ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà, ò.å.
èìååò ðåøåíèå.
2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû â âèäå
x
1
= f (x
3
, x
4
, x
5
),
x
2
=
ϕ
(x
3
, x
4
, x
5
).
Òàê êàê ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ïÿòü, à ðàíã ìàòðèöû ðàâåí äâóì,
òî ðàçíîñòü ìåæäó íèìè, ðàâíàÿ òðåì (n r = 5 2 = 3), ãîâîðèò
î òîì, ÷òî òðè íåèçâåñòíûõ áóäóò ñâîáîäíûìè, ïóñòü ýòî áó-
äóò x
3
, x
4
, x
5
.
Áåðåì ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû è çàïèñûâàåì èõ îòíî-
ñèòåëüíî x
1
è x
2
(êîýôôèöèåíòû ïðè ýòèõ íåèçâåñòíûõ ñîñòàâëÿ-
þò ìèíîð 2-ãî ïîðÿäêà îòëè÷íûé îò íóëÿ), à íåèçâåñòíûå x
3
, x
4
, x
5
ïåðåíîñèì â ïðàâóþ ÷àñòü:
+−−−=+
+−−=+
.3221353
,5254372
54321
54321
xxxxx
xxxxx
Èìååì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè x
1
è x
2
.
Óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå íà 5, à âòîðîå íà 7 è âû÷èòàÿ îäíî èç
äðóãîãî, íàéäåì x
1
è ïîäñòàâëÿÿ åãî â 1-îå óðàâíåíèå, ïîñëå ïðå-
îáðàçîâàíèé ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ x
2
:
.
11
9
11
2
11
155
,
11
4
11
4
11
306
5432
5431
xxxx
xxxx
+−−=
−−+−=
118
Ýòî è áóäåò îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâ-
íåíèé.
3. Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû
a
= (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
), ïî-
ëîæèâ x
3
= 5, x
4
= 2, x
5
= 3 è ïðîâåðèòü ñèñòåìó.
Íàõîäèì x
1
è x
2
:
.
11
123
3
11
9
2
11
2
5
11
155
,
11
271
3
11
4
2
11
4
5
11
306
2
1
=⋅+⋅−−=
−=⋅−⋅−+−=
x
x
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä:
.3;2;5;
11
123
;
11
271
−=à
Ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíóþ ñèñòåìó çíà÷åíèÿ:
,
11
271
1
−=x
,
11
123
2
=x
õ
3
= 5, õ
4
= 2, õ
5
= 3:
.3030;30382457
11
123
12
11
271
5
;1313;13332252
11
123
5
11
271
3
;4343;43352255
11
123
7
11
271
2
==⋅−⋅+⋅+⋅+
−⋅
−=−−=⋅−⋅+⋅+⋅+
−⋅
==⋅−⋅+⋅+⋅+
−⋅
Âûïîëíåíèå òîæäåñòâà äëÿ âñåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû ãîâîðèò î
òîì, ÷òî âåêòîð
−=
3;2;5;
11
123
;
11
271
à
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøå-
íèåì èñõîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.
1.5. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû
1.5.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîá-
ñòâåííûå âåêòîðû äëÿ ìàòðèöû
.
07
25
=A
119
Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìàòðèöû À:
−
−
=
−
=
−
=−
λ
λ
λ
λ
λλ
7
25
0
0
07
25
10
01
07
25
ÅA
èëè
,0
7
2 5
,0 =
−
−
=−
λ
λ
λ
EA
îòñþäà (5
λ
) · (
λ
) 2 · 7 = 0, èëè
λ
2
5
λ
14 = 0. Êîðíè ýòîãî
óðàâíåíèÿ
λ
1
= 2 è
λ
2
= 7 è ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè.
Äëÿ îòûñêàíèÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ èñïîëüçóåì ñèñòåìó
óðàâíåíèé
=−
=+−
.07
02)5(
yx
yx
λ
λ
Ïîëàãàÿ
λ
=
λ
1
= 2, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ïåðâîãî
ñîáñòâåííîãî âåêòîðà
:),(
21
uuu
=+
=+
.027
027
21
21
uu
uu
Îòñþäà 7u
1
= 2u
2
è
.
7
2
21
uu −=
Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì, îïðåäåëÿþ-
ùèì ïåðâîå ñîáñòâåííîå íàïðàâëåíèå, ÿâëÿåòñÿ
).7;2(
7
1
1;
7
2
;
7
2
);(
222221
uuuuuuu =
−=
−=
Ìåíÿÿ u
2
, áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå âåêòîðû, ëåæàùèå íà îä-
íîé ïðÿìîé (êîëëèíåàðíûå). Âñå îíè ñîáñòâåííûå.
Ïîëàãàÿ
λ
=
λ
2
= 7, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îòûñêà-
íèÿ êîîðäèíàò âòîðîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà
);(
21
vvv
:
=
=+
.077
022
21
21
vv
vv
Îòñþäà v
1
= v
2
îáùåå ðåøåíèå (v
2
ñâîáîäíàÿ, v
1
áàçèñ-
íàÿ ïåðåìåííàÿ).
Âòîðîé ñîáñòâåííûé âåêòîð
)1;1();();(
22221
vvvvvv ==
îïðåäå-
ëÿåò âòîðîå ñîáñòâåííîå íàïðàâëåíèå.
120
2. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
2.1. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè
2.1.1. Íà ïðÿìóþ l: 3x + 2y 12 = 0, êîòîðàÿ ñïîñîáíà îòðà-
æàòü ëó÷è, ïàäàåò ëó÷, çàäàííûé óðàâíåíèåì l
1
: 3x + 4y 18 = 0.
Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îòðàæåííîãî ëó÷à.
Ðåøåíèå. Òàê êàê óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ ëó÷à,
òî ∠
ϕ
1
= ∠
ϕ
2
, ò.å. tg
ϕ
1
= tg
ϕ
2
(ðèñ. 31).
Óðàâíåíèå îòðàæåííîãî ëó÷à ïðÿìîé l
2
èùåì â âèäå:
y y
A
= k
2
(x x
A
).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò òî÷êè À ðåøèì ñèñòåìó óðàâíå-
íèé:
=+
=+
.01843
01223
yx
yx
Âû÷èòàÿ, íàéäåì: 2ó + 6 = 0, ó = 3 è 3x = 12 2ó = 12 2 · 3 = 6,
x = 2, ò.å. x
A
= 2 è y
A
= 3.
Íàéäåì óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ l è l
1
:
.
4
3
,
2
9
4
3
,1834:
;
2
3
,6
2
3
,1232:
11
−=+−=+=
−=+−=+=
Kxyxyl
Kxyxyl
Ðèñ. 31
A(2; 3)
y
x
l
2
l
l
1
ϕ
2
ϕ
1