Щербаков Б.Г., Попов А.А. Информационные технологии
Подождите немного. Документ загружается.
51
Рис
. 4.2.1
График
формирования
и
расходования
запасов
материалов
при
неудовлетворении
спроса
Продифференцировав
целевую
функцию
(
критерий
оптимизации
Y
относительно
искомых
параметров
S
и
V)
и
приравняв
полученные
частные
производные
dY/dS
и
dY/dV
к
нулю
,
получим
:
Решая
систему
уравнений
,
получим
:
Величина
Cu / (Cx + Cu)
называется
плотностью
убытков
из
-
за
неудовлетворенного
спроса
.
Решение задачи с использованием системы Mathcad
Для
построения
математической
модели
в
системе
Mathcad
сформируем
начальное
выражение
критерия
оптимизации
,
предварительно
дав
ему
имя
Y(S,V):=,
а
затем
введем
его
в
таком
виде
:
Yx ⋅ nl + Yd ⋅ n2 + Yu ⋅ nl.
Потом
напишем
имя
строящейся
математической
модели
с
искомыми
параметрами
.
Если
в
дальнейшем
начальное
выражение
критерия
оптимизации
использоваться
не
будет
,
то
его
имя
может
совпадать
с
именем
этой
модели
.
Последовательно
введем
составляющие
критерия
оптимизации
,
используя
метод
подстановок
-
функцию
substitute
(
подставить
).
Для
ввода
первого
выражения
выбираем
пункт
меню
View
(
Вид
)
главного
меню
Mathcad.
В
появившемся
падающем
меню
щелкнем
по
пункту
Toolbars
(
Панели инструментов
).
В
возникшем
всплывающем
меню
выберем
пункт
Symbolic
(
Символы
).
В
панели
инструментов
Symbolic
щелкнем
по
кнопке
с
substitute.
Появится
шаблон
с
метками
,
вместо
которых
введем
первое
выражение
,
например
:
52
t
T
n =1 .
Воспользуемся
кнопкой
с
жирным
знаком
равенства
,
расположенной
на
панели
инструментов
Evalu...
(
Вычисления
),
или
нажмем
комбинацию
клавиш
Ctrl+=
.
Затем
снова
щелкнем
по
кнопке
с
названием
substitute
на
панели
Symbolic
и
введем
второе
выражение
.
И
так
до
тех
пор
,
пока
все
нужные
выражения
не
будут
размещены
.
После
этого
нажмем
клавишу
Enter
и
получим
развернутое
выражение
критерия
оптимизации
-
искомую
математическую
модель
.
Продифференцируем
математическую
модель
по
искомым
параметрам
S
и
V
.
Рис
4.2.2
Построение
математической
модели
в
системе
Mathcad
Для
этого
сначала
введем
имена
выражений
,
получаемых
после
дифференцирования
математической
модели
Y(S,V)
,
например
:
Zl:=
Z2:=
Далее
щелкнем
по
кнопке
с
изображением
знака
интеграла
и
дифференциала
на
панели
инструментов
Math
(
Математика
).
Щелкнем
мышью
по
кнопке
d/dx
на
активизировавшейся
панели
Calcu...
(
Матанализ
),
На
рабочем
листе
появится
шаблон
с
двумя
метками
для
ввода
искомой
переменной
и
выражения
.
На
месте
нижней
введем
имя
переменной
(
в
нашей
задаче
это
S),
на
месте
второй
-
имя
дифференцируемой
математической
модели
,
например
Y(S,V)
,
или
наберем
ее
выражение
.
Если
дифференцируемой
функции
не
было
присвоено
имя
,
во
избежание
повторного
набора
математической
модели
его
необходимо
выделить
с
помощью
комбинации
клавиш
Shift+стрелки
и
скопировать
в
буфер
обмена
,
применив
сочетание
Ctrl+Ins
.
Затем
,
с
помощью
комбинации
Ctrl+V
или
щелчка
по
кнопке
с
изображением
портфеля
на
стандартной
панели
инструментов
,
расположим
математическую
модель
на
месте
второй
метки
.
Далее
вставим
знак
символического
равенства
(
стрелка
вправо
) -
правая
верхняя
кнопка
на
панели
инструментов
Evalu...
(
Вычисления
) -
или
воспользуемся
комбинацией
Ctrl+.
(
точка
).
Затем
нажмем
клавишу
Enter
.
Появится
результат
вычисления
53
производной
(
рис
. 4.2.3).
Полученные
выражения
после
дифференцирования
можно
упростить
Для
этого
используют
встроенную
функцию
simplify
,
которая
вызывается
щелчком
левой
кнопки
мыши
по
одноименной
кнопке
на
панели
инструментов
Symbolic
,
после
чего
появляется
шаблон
с
меткой
для
ввода
выражения
.
Для
решения
системы
уравнений
аналитическим
способом
существуют
два
пути
.
Первый
-
применение
блока
функций
Given … Find
(
Дано – Найти
).
Второй
–
применение
ключевого
слова
Solve
(
Решить
).
Рис
4.2.3
Определение
частных
производных
в
системе
Matncad
Используем
второй
путь
,
для
чего
необходимо
:
•
ввести
,
если
нужно
,
комментарии
,
нажав
комбинацию
клавиш
Shift+"
(
двойная
кавычка
);
•
ввести
знак
присваивания
путем
нажатия
комбинации
клавиш
Shift+:
(
двоеточие
).
Появится
шаблон
с
метками
;
•
подвести
указатель
мыши
к
первой
метке
и
ввести
имя
матрицы
результатов
решения
,
затем
ко
второй
метке
и
нажать
комбинацию
клавиш
Ctrl+M
.
В
поле
plows
(
Строки
)
появившегося
диалогового
окна
установить
количество
строк
по
числу
уравнений
и
в
поле
Columns
(
Столбцы
)
один
столбец
.
Щелкнуть
по
кнопке
ОК
и
на
месте
появившихся
меток
вектора
ввести
имена
продифференцированных
выражений
(
Z1
и
Z2
);
•
ввести
шаблон
Solve
(
Решить
)
из
панели
инструментов
Symbolic
,
•
ввести
в
метку
шаблона
вектор
искомых
параметров
путем
нажатия
комбинации
клавиш
Ctrl+M
.
В
поле
Rows
появившегося
диалогового
окна
установить
величину
,
ориентируясь
на
количество
искомых
переменных
,
и
в
поле
Columns
один
столбец
.
Щелкнуть
по
кнопке
ОК
.
На
месте
появившегося
шаблона
с
метками
ввести
имена
искомых
переменных
(S
и
V),
затем
нажать
клавишу
Enter
.
Полученные
после
решения
системы
уравнений
выражения
можно
упростить
.
Выберем
положительные
выражения
и
упростим
их
.
Поскольку
54
результаты
решения
системы
уравнений
даются
в
виде
матрицы
2x2,
то
извлечем
нужные
решения
как
ее
элементы
.
Для
упрощения
выражений
используем
встроенную
функцию
simplify
,
которая
вызывается
щелчком
левой
клавиши
мыши
по
одноименной
кнопке
на
панели
инструментов
Symbolic
.
После
щелчка
появится
шаблон
с
меткой
для
ввода
выражения
.
На
ее
позиции
поместим
элемент
матрицы
с
соответствующими
индексами
,
ввод
которых
осуществляется
после
нажатия
клавиши
с
открывающейся
квадратной
скобкой
и
через
запятую
.
Нумерация
элементов
матрицы
начинается
с
нулевого
индекса
.
§4.3 Общая задача управления запасами
Постановка задачи
Допустим
,
что
потребность
предприятия
в
каком
-
либо
сырье
или
полуфабрикате
составляет
Q,
единиц
(
м
3
,
т
,
шт
., ...)
за
период
Т
.
Поступление
и
расход
сырья
происходят
равномерно
,
однако
темп
потребления
несколько
выше
темпа
поступления
.
Вследствие
этого
возникают
простои
предприятия
из
-
за
неудовлетворенного
спроса
и
появляются
убытки
,
составляющие
величину
Cu,
приходящиеся
на
единицу
ресурса
в
единицу
времени
.
В
течение
времени
tl
и
t4
каждого
периода
t
происходит
поставка
материала
,
а
во
время
t2
и
t3 -
его
потребление
.
Однако
уровень
образующегося
запаса
при
поставке
сырья
недостаточен
для
удовлетворения
спроса
.
В
течение
интервала
t4
запас
отсутствует
,
при
этом
неудовлетворенный
спрос
покрывается
из
следующей
партии
.
Требуется
определить
,
какова
должна
быть
величина
поставляемой
партии
S
и
размер
потребной
партий
V,
чтобы
затраты
на
доставку
,
хранение
и
убытки
с
учетом
неудовлетворенного
спроса
были
минимальными
.
55
Рис
. 4.3.1.
Решение
системы
уравнений
и
определение
оптимальных
параметров
в
системе
Mathcad
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных
закономерностей
Обозначим
через
Сх
затраты
на
хранение
единицы
запаса
в
единицу
времени
,
а
через
Cd -
затраты
на
поставку
партии
материалов
.
При
этом
расходы
на
поставку
одной
партии
не
зависят
от
количества
материала
в
ней
.
Графически
движение
запасов
при
неполном
удовлетворении
спроса
представлено
на
рис
. 7.15.
Рис
. 4.3.2
График
формирования
и
расходования
материалов
при
неудовлетворении
спроса
По
графику
из
подобия
треугольников
легко
составить
следующие
зависимости
:
Количество
необходимых
поставок
для
удовлетворения
месячной
потребности
в
материале
n
можно
определить
по
формулам
(nl = n2):
t
T
n =1 ;
S
Q
n =2 .
Затраты
на
хранение
одной
партии
материалов
составят
:
Затраты
на
доставку
одной
партии
материалов
составят
:
Yd = Cd.
Убытки
от
недопоставки
одной
партии
материалов
составят
:
56
Решение задачи традиционными методами
Суммарные
затраты
на
хранение
,
доставку
и
потери
из
-
за
неудовлетворенного
спроса
за
период
Т
будут
записаны
так
:
Используя
ранее
полученные
зависимости
для
(tl + t2)
и
(t3 + 14),
получим
:
Продифференцировав
целевую
функцию
-
критерий
оптимизации
Y
относительно
искомых
параметров
S
и
V -
и
приравняв
полученные
частные
производные
dY/dS
и
dY/dV
к
нулю
,
получим
:
Решая
систему
уравнений
,
получим
:
Величина
Си
/ (
Сх
+
Си
)
называется
плотностью
убытков
из
-
за
неудовлетворенного
спроса
.
Решение задачи с использованием системы Mathcad
Для
построения
математической
модели
в
системе
Mathcad
сформируем
начальное
выражение
критерия
оптимизации
,
предварительно
дав
ему
имя
Y(S,V):=,
а
затем
введем
его
в
таком
виде
:
Yx-nl + Yd-n2 + Yu-nl.
Потом
введем
имя
строящейся
математической
модели
с
искомыми
параметрами
.
Если
в
дальнейшем
начальное
выражение
критерия
оптимизации
больше
использоваться
не
будет
,
то
имя
этого
выражения
может
совпасть
с
именем
вышеупомянутой
модели
.
Последовательно
введем
составляющие
критерия
оптимизации
,
используя
метод
подстановок
-
шаблон
substitute (
подставить
).
57
Для
ввода
первого
выражения
воспользуемся
пунктом
меню
View (
Вид
)
главного
меню
Mathcad.
В
появившемся
падающем
меню
выберем
пункт
Toolbars (
Панели
инструментов
),
а
в
возникшем
всплывающем
- Symbolic.
Далее
щелкнем
по
кнопке
с
названием
substitute.
Появится
шаблон
с
метками
,
вместо
которых
введем
первое
выражение
,
например
:
n1=T/t
Воспользуемся
кнопкой
с
изображением
жирного
знака
равенства
,
которая
расположена
на
панели
инструментов
Evalu... (
Вычисления
),
или
нажмем
комбинацию
клавиш
Ctrl+=.
Затем
снова
щелкнем
по
кнопке
substitute
на
инструментальной
панели
Symbolic
и
введем
второе
выражение
.
И
так
до
тех
пор
,
пока
все
нужные
выражения
не
будут
размещены
.
После
этого
нажмем
клавишу
Enter
и
получим
развернутое
выражение
критерия
оптимизации
-
искомую
математическую
модель
(
рис
. 4.3.3).
Рис
. 4.3.3
Построение
математической
модели
в
системе
Mathcad
Продифференцируем
математическую
модель
по
искомым
параметрам
по
S
и
V.
Для
этого
вначале
введем
имена
выражений
,
получаемых
после
дифференцирования
математической
модели
Y(S,V),
например
такого
вида
:
Zl:= Z2:=.
Далее
щелкнем
по
кнопке
с
изображением
знака
интеграла
и
дифференциала
на
панели
инструментов
Math
На
активизировавшейся
панели
инструментов
Calcu...
щелкнем
мышью
по
кнопке
d/dx.
На
рабочем
листе
появится
шаблон
с
двумя
метками
для
ввода
искомой
переменной
и
выражения
.
На
месте
нижней
введем
имя
искомой
переменной
(
в
нашей
задаче
это
S).
На
месте
верхней
-
имя
дифференцируемой
математической
модели
,
например
Y(S.V),
или
выражение
математической
модели
.
Если
дифференцируемой
функции
не
было
присвоено
;
имя
,
тогда
,
чтобы
заново
не
набирать
58
математическую
модель
,
ее
необходимо
выделить
,
нажав
комбинацию
клавиш
Shift+
стрелка
,
и
скопировать
с
помощью
сочетания
Ctrl+Ins
в
буфер
обмена
.
Затем
,
воспользовавшись
комбинацией
Ctrl+V
или
щелчком
по
кнопке
с
изображением
портфеля
на
стандартной
панели
инструментов
,
расположить
математическую
модель
на
месте
верхней
метки
.
После
чего
следует
вставить
знак
символического
равенства
(
стрелка
вправо
) —
правый
верхний
знак
на
панели
инструментов
Evalu... (
Вычисления
) -
или
нажать
комбинацию
Ctrl+.
(
точка
),
а
затем
клавишу
Enter.
Появится
результат
вычисления
производной
(
рис
4.3.4)
Полученные
выражения
после
дифференцирования
можно
упростить
Для
этого
используют
шаблон
simplify (
упростить
),
который
вызывается
щелчком
левой
клавиши
мыши
по
одноименной
кнопке
на
панели
инструментов
Symbolic
После
щелчка
появится
шаблон
с
меткой
для
ввода
выражения
.
Рис
4.3.4
Определение
частных
производных
в
системе
Mathcad
Для
решения
системы
уравнений
аналитическим
способом
можно
воспользоваться
двумя
вариантами
Первый
-
применить
блок
функций
Given ...
Find (
Дано
-
Найти
),
второй
-
применить
ключевое
слово
Solve (
Решить
).
Используем
второй
способ
,
для
чего
необходимо
•
ввести
,
если
нужно
,
комментарии
,
нажав
клавишу
с
двойной
кавычкой
;
•
ввести
знак
присваивания
,
нажав
комбинацию
клавиш
Shift+:
(
двоеточие
).
Появится
шаблон
с
метками
.
В
первую
метку
ввести
имя
матрицы
результатов
,
•
поставить
указатель
мыши
на
месте
второй
метки
и
нажать
комбинацию
клавиш
Ctrl+M
В
поле
Rows (
Строки
)
появившегося
диалогового
окна
установить
число
строк
,
соответствующее
количеству
уравнений
,
и
в
поле
Columns (
Столбцы
)
установить
один
столбец
.
Щелкнуть
по
кнопке
ОК
и
на
59
месте
появившихся
меток
вектора
ввести
имена
продифференцированных
выражений
;
•
ввести
шаблон
Solve,
используя
соответствующую
кнопку
панели
инструментов
Symbolic;
•
ввести
запятую
после
ключевого
слова
Solve.
Появится
дополнительная
метка
;
•
ввести
вектор
искомых
параметров
путем
нажатия
комбинации
клавиш
Ctrl+M.
В
поле
Rows
появившегося
диалогового
окна
установить
величину
,
включающую
число
строк
по
количеству
искомых
переменных
,
и
в
поле
Columns
установить
один
столбец
,
затем
щелкнуть
по
кнопке
ОК
.
На
месте
появившегося
шаблона
с
метками
ввести
имена
искомых
переменных
и
нажать
клавишу
Enter.
Выражения
,
полученные
после
решения
системы
уравнений
(
рис
. 4.3.5),
можно
упростить
.
Поскольку
результаты
решения
системы
уравнений
представляются
в
виде
матрицы
2x2,
извлечем
искомые
ответы
из
матрицы
как
ее
элементы
.
Выберем
положительные
выражения
и
упростим
их
.
Для
этого
используем
встроенную
функцию
simplify,
которая
вызывается
щелчком
левой
клавиши
мыши
по
одноименной
кнопке
панели
инструментов
Symbolic.
После
щелчка
появится
шаблон
с
меткой
для
ввода
выражения
.
На
ее
месте
располагаем
элемент
матрицы
с
соответствующими
индексами
,
ввод
которых
производится
через
запятую
после
нажатия
клавиши
с
открывающейся
квадратной
скобкой
.
Нумерация
элементов
матрицы
начинается
с
нулевого
индекса
.
Тесты
Как осуществляется управление при неудовлетворенном спросе
1.
Определяется
величина
поставляемой
партии
2.
Определяется
величина
потребной
партии
3.
Определяются
обе
партии
одновременно
4.
Величина
затрат
на
доставку
и
хранение
5.
Все
величины
Что определяется при удовлетворенном спросе?
1.
Затраты
на
хранение
2.
Величина
поставляемой
партии
3.
Затраты
на
доставку
Какой критерий используется в задачах удовлетворения спроса?
Минимум
1.
Суммарного
времени
2.
Затрат
на
хранение
и
создание
запаса
3.
Затрат
на
создание
запаса
60
Какой критерий используется в задачах неудовлетворенного спроса?
1.
Величина
поставляемой
партии
2.
Размер
потребной
партии
3.
Величина
и
размер
этих
партий
партии
4.
Затраты
на
доставку
и
хранение
Как покрывается неудовлетворенный спрос?
Для
этого
используется
:
1.
Дополнительный
запас
2.
Часть
следующей
партии
3.
Части
следующих
партий
Вопросы:
1.
Что
такое
неудовлетворенный
спрос
?
2.
Как
уменьшить
его
влияние
на
работу
предприятия
?
3.
В
чем
заключается
общая
задача
управления
запасами
?
Глава 5. Задачи массового обслуживания (ЗМО)
Анализ функционирования и оптимизация структуры
Систему
массового
обслуживания
можно
представить
как
совокупность
последовательно
связанных
между
собой
входящих
потоков
требований
на
обслуживание
(
машин
,
самолетов
,
пользователей
и
т
.
д
.),
очередей
,
каналов
обслуживания
(
станция
техобслуживания
,
аэродром
,
ЭВМ
и
т
.
д
.)
и
выходящих
потоков
требований
после
обслуживания
.
Системы
массового
обслуживания
по
наличию
того
или
иного
признака
можно
классифицировать
таким
образом
:
1.
По
характеру
поступления
требований
-
на
системы
с
регулярным
и
случайным
потоками
поступления
требований
в
систему
.
Случайный
поток
требований
в
систему
подразделяется
на
стационарный
и
нестационарный
:
-
если
количество
требований
,
поступающих
в
систему
в
единицу
времени
(
интенсивность
потока
),
постоянно
или
является
заданной
функцией
времени
,
то
мы
имеем
систему
с
регулярным
потоком
поступления
,
в
противном
случае
-
со
случайным
;
—
если
параметры
потока
требований
не
зависят
от
расположения
рассматриваемого
интервала
на
оси
времени
,
то
поток
требований
-
стационарный
,
в
противном
случае
-
нестационарный
.
Например
,
если
число
покупателей
,
приходящих
в
магазин
,
не
зависит
от
времени
суток
,
то
поток
требований
(
покупателей
) -
стационарный
2.
По
количеству
поступающих
требований
в
момент
времени
—
на
системы
с
ординарным
и
неординарным
потоками
требований
.
Если