Сборник трудов конференции Павловские чтения 2010
Подождите немного. Документ загружается.
Секция 2. Листопрокатное производство
210
(1)
где
m
T
- узловое значение функции,
m
N
- весовая функция. Тогда краевые условия можно
выполнить, выбрав соответствующим способом узловые значения функции
m
T
. Если теперь в
качестве весовых функций взять сами базисные функции, то слабая формулировка метода
взвешенных невязок запишется следующим образом:
€ €
€
( ) .
l l
l cp l
Г Г
N N
T T
dx dy N T d
Г T N dГ
x x y y
λ λ
Ω
∂ ∂
∂ ∂
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫
Теперь, подставляя сюда аппроксимацию (1), получим матричное уравнение вида:
,
K T f
⋅ =
где компоненты матрицы K и правой части определяются следующими соотношениями:
( )
e e
e
l m l m
lm l m
Г
N N N N
K dx dy N N d
Г
x x y y
λ λ
Ω
∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
.
e
e
l cp l
Г
f T N d
Г
= ⋅ ⋅
∫
Здесь
e
Ω
- поверхность элемента,
e
Г
- та часть границы, которая лежит на
Г
или аппроксимирует
ее часть.
Так как валок в поперечном сечении имеет круглую форму, то удобнее использовать
элементы, имеющие форму сегментов. Для этого используем отображение из декартовых
координат в полярные. Под отображением здесь понимается единственное взаимооднозначное
соответствие между координатами
( , )
ξ η
и
( , )
x y
.
Отображение чаще всего записывается в виде функциональной зависимости между
системами координат:
1 2
( , ), ( , ).
x f y f
ξ η ξ η
= =
При вычислении матриц элементов, необходимо найти производные от базисных функций
по координатам
( , )
x y
. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, запишем:
, ,
e e e e e e
l l l l l l
N N N N N N
x y x y
x y x y
ξ ξ ξ η η η
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
отсюда, учитывая известные соотношения между полярными и декартовыми координатами,
искомые производные могут быть получены следующим образом:
(2)
Кроме того, компоненты матриц элементов выражаются через интегралы в координатах
( , )
x y
,
поэтому полезно было бы перейти в них к локальным координатам
( , )
ξ η
.
Поскольку:
det( ) ,
dx dy J d d
ξ η
⋅ = ⋅ ⋅
то любой интеграл вида:
,
e
l m
N N
I dx dy
x x
λ
Ω
∂ ∂
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂
∫
можно преобразовать к виду:
1
sin
cos
;
cos
sin
e
e e
l
l l
e
e e
l
l l
N
N N
x
r r
r
J
N N N
r
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
−
∂
∂ ∂
−
∂
∂ ∂
= × = ×
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂
Секция 2. Листопрокатное производство
211
1 1
1 1
( ) det( ) ,
l m
N N
I J d d
x x
λ ξ η
− −
∂ ∂
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂
∫ ∫
где производные находятся согласно (2).
Теперь, используя отображение:
0 0
2 ( ) 2 ( )
1, 1;
r r
r
θ θ
ξ η
θ
⋅ − ⋅ −
= − = −
гарантируем, что отображаемый элемент будет квадратом
1 , 1
ξ η
− ≤ ≤
. На этом квадрате можно
использовать простые билинейные базисные функции.
Рисунок 1
Базисные функции для квадрата
( , )
ξ η
будут следующими:
0 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
, ,
4 4
e e
N N
ξ η ξ η
− ⋅ − + ⋅ −
= =
0 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
, ,
4 4
e e
N N
ξ η ξ η
+ ⋅ + − ⋅ +
= =
и, следовательно:
0 0
(1 ) (1 )
, ,
2 2
e e
N N
r r
η ξ
θ θ
∂ ∂
− − − −
= =
∂ ⋅∆ ∂ ⋅∆
0 0
(1 ) (1 )
, ,
2 2
e e
N N
r r
η ξ
θ θ
∂ ∂
− − +
= =
∂ ⋅∆ ∂ ⋅∆
0 0
(1 ) (1 )
, ,
2 2
e e
N N
r r
η ξ
θ θ
∂ ∂
+ +
= =
∂ ⋅∆ ∂ ⋅∆
0 0
(1 ) (1 )
, .
2 2
e e
N N
r r
η ξ
θ θ
∂ ∂
− + −
= =
∂ ⋅∆ ∂ ⋅∆
Производные по
x
и
y
получаются из соотношения (3) и для функции
0
e
N
получаем:
0 0 0
sin
cos ,
e e e
N N N
x r r
θ
θ
θ
∂ ∂ ∂
= ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∂
Секция 2. Листопрокатное производство
212
0 0 0
sin .
e e e
N N N
cos
y r r
θ
θ
θ
∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂
В итоге, для компонентов матрицы элементов, получим:
2
1 1
0 0
00
1 1
2
0 0
sin
cos
4
sin
cos ,
e e
e
e e
N N
r
k k
r r
N N
r d d
r r
θ θ
θ
θ
θ
θ ξ η
θ
− −
∂ ∂
∆ ⋅∆
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +
∂ ∂
∂ ∂
+ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂
∫ ∫
1 1
0 0
1 1
01
1 1
0 0 1 1
sin sin
cos cos
4
cos cos
sin sin ,
e e
e e
e
e e
e e
N N
N Nr
k k
r r r r
N N N N
r d d
r r r r
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ ξ η
θ θ
− −
∂ ∂
∂ ∂∆ ⋅∆
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
1 1
0 0
2 2
02
1 1
0 0 2 2
sin sin
cos cos
4
cos cos
sin sin ,
e e
e e
e
e e
e e
N N
N Nr
k k
r r r r
N N N N
r d d
r r r r
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ ξ η
θ θ
− −
∂ ∂
∂ ∂∆ ⋅∆
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
1 1
0 0 3 3
03
1 1
0 0 3 3
sin sin
cos cos
4
cos cos
sin sin ,
e e e e
e
e e e e
N N N N
r
k k
r r r r
N N N N
r d d
r r r r
θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ ξ η
θ θ
− −
∂ ∂ ∂ ∂
∆ ⋅∆
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
где
0
( 1)
2
r
r r
ξ
+ ⋅∆
= +
и
0
( 1)
.
2
η θ
θ θ
+ ⋅∆
= +
Вычислить эти интегралы можно при помощи методов численного интегрирования и, в
частности, при помощи квадратурных формул Гаусса.
При решении нестационарных задач широко используются методы частичной
дискретизации. В таком случае, аппроксимация неизвестной функции записывается в виде:
1
€
( ) ( , , ),
M
m m
m
T a t N x y z
ψ
=
= + ⋅
∑
где
ψ
и
m
N
выбираются таким образом, чтобы выполнялись главные краевые условия. Тогда
использование метода взвешенных невязок позволяет получить систему дифференциальных
уравнений в векторном виде:
.
dT
C K T f
dt
⋅ + ⋅ =
(3)
Здесь С – так называемая матрица теплоёмкости, компоненты которой находятся следующим
образом:
.
lm l m
c
C W N d
ρ
λ
Ω
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ Ω
∫
Остальные матрицы и их компоненты находятся аналогично стационарному случаю.
Теперь осталось применить
конечных разностей, получив тем самым
Программа для расчёта темпер
На рисунке 2 представлен упрощённый
появляется приветственное окно (
появляется основное окно
программы
условий (рис. 4), свойств материала
продолжительность расчёта, шаг
нестационарная), (рис.6).
Рисунок 3
Начало
Новый расчёт
Секция 2. Листопрокатное производство
213
применить к уравнению (3) метод конечных элементов
тем самым искомые температуры узлов.
расчёта темпер
атурного поля валка (RTC)
Рисунок 2
представлен упрощённый алгоритм программы. После
окно (рис. 3). После нажатия на кнопку “Перейти
программы. Здесь необходимо ввести исходные данные
материала валка (рис. 5) и параметров расчёта (количество
шаг по времени, а также тип задачи
Ввод
исходных
данных
Выбор
параметров
расчёта
Выбор типа
расчёта
Результат
Секция 2. Листопрокатное производство
конечных элементов, либо метод
После запуска программы
кнопку “Перейти к программе”,
исходные данные для граничных
расчёта (количество разбиений,
задачи
– стационарная или
Выбор
параметров
расчёта
Выбор типа
расчёта
Рисунок 4
Рисунок 6
Далее, для получения результата
результатом расчёта, где представлено
значением температуры в узлах (рис
Рисунок 7
Секция 2. Листопрокатное производство
214
Рисунок 5
результата необходимо нажать кнопку “Расчёт
представлено изображение
поперечного сечения
узлах (рис.7).
Секция 2. Листопрокатное производство
Расчёт”. Появится окно с
сечения валка с конечным
Результаты расчёта
Результат расчёта представляется
можно увидеть разбиение поперечного
температур в узлах и изменения температуры
Excel
, где строится график изменения
Рис.8. Изменение температуры
Для проверки адекватности
стационарной задачи, так как её
однозначным показателем правильности
Рис.9. Изменение температуры со
Полученный график температур
с данными, полученными в работах
полученных результатов, различие
Полученные результаты позволяют
изменяется на 25-
30 градусов, на
линейный характер, равномерно увеличиваясь
свою температуру практически неизменной
Секция 2. Листопрокатное производство
215
представляется в двух видах вариантах: на изображении
поперечного сечения валка на заданн
ую сетку с
изменения температуры в каждом узле с течением времени
изменения температуры в узле с течением времени
температуры в узле с течением вр
еменем
адекватности работы программы всегда можно обратиться
как её решение требует совсем немного
правильности работы программы.
температуры со
временем в зависимости от глубины, [10]
температур для глубины 10 мм. от поверхности валка
в работах [10], [11]. Как видно из представленного
различие заключаетс
я только в задании граничных
позволяют сделать вывод, что на глубине
градусов, на глубине 20 мм изменение температуры
равномерно увеличиваясь в тече
ние прокатки. Внутренние
практически неизменной в течение долгого времени. По
Секция 2. Листопрокатное производство
изображении в окне программы
сетку с конечным значением
течением времени, записанные в
времени (рис. 8).
можно обратиться к решению
немного времени и является
глубины, [10]
поверхности валка хорошо сочетается
представленного сравнения
граничных условий.
глубине 10 мм, температура
температуры носит практически
Внутренние слои сохраняют
времени. По результатам работы
Секция 2. Листопрокатное производство
216
программы также можно сделать вывод, что используя современные системы охлаждения валков,
можно регулировать температурный профиль в достаточно широком диапазоне, так как на
глубине 4 мм от поверхности, температура от охлаждения водой под высоким давлением может
изменяться в диапазоне 50-60 градусов за короткий промежуток времени.
После получения результата и его анализа, можно изменить температурное поле валка, а
соответственно и его температурный профиль при помощи регулируемой системы охлаждения
(например, RTC).
Преимущества данной программы перед существующими средствами конечно-элементного
расчёта в её удобстве использования, интуитивно понятного интерфейса, широком диапазоне
решаемых задач, а также в гибкости расчётов.
Список литературы:
1.
Целиков А.И., Никитин Г.С., Рокотян С.Е. Теория продольной прокатки. -М.: Металлургия,
1980. -320 с.
2. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. – М.:Мир, 1986.
– 318 с., ил.
3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. – М.:Мир, 1975. – 540 с., ил.
4.
Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей. – Л.:
Машиностроение, 1983. – 212 с., ил.
5. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. – М.:Мир, 1981. –
304 с., ил.
6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. – М.:Мир, 1979. – 392
с., ил.
7.
Коновалов Ю.В., Остапенко А.Л. Температурный режим широкополосных станов:
М.:Металлургия, 1974. – 304 с., ил.
8. Третьяков А.В., Гарбер Э.А., Давлетбаев Г.Г. Расчет и исследование прокатных валков:
М.:Металлургия, 1976. – 254 с., ил.
9. Железнов Ю.Д. Прокатка ровных полос: М.:Металлургия, 1971. – 200 с., ил.
10.
Моделирование температурного поля валка при горячей прокатке. Непрерывные процессы
обработки. Труды Всероссийской научно-технической конференции, посвящённой 100-
летию со дня рождения академика А.И. Целикова. МГТУ им. Н.Э. Баумана
11. Сафьян М.М. Прокатка широкополосной стали. – М.:Металлургия, 1969. – 460 с.
Секция 2. Листопрокатное производство
217
ЭНЕРГОСИЛОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОЦЕССА ПРОКАТКИ В
ГЕЛИКОИДАЛЬНЫХ ВАЛКАХ
Губанова Н.В., Карелин Ф.Р., Юсупов В.С., Чопоров В.Ф., Портная З.Н., Сараев Д.Ю.*
Россия, ИМЕТ РАН, ООО «Сименс»*, nataliagubanova@yandex.ru
Отличительной особенностью процесса прокатки в геликоидальных валках является
своеобразный очаг деформации, образуемый геликоидальной поверхностью со скругленной
вершиной выступа (рис.1).
Рис.1. Схема продольной прокатки в геликоидальных валках
Большой интерес представляет определение усилия при прокатке в геликоидальных
валках.
Полное усилие (Р) рассчитывали из условия:
222
xyz
PPPP ++=
,
где Р
х
, P
y
, P
z
– усилие на валки в направлении осей x, y и z соответственно. Оси координат
располагали, как показано на рис.1.
По результатам моделирования определяли нагрузки на валок Р
х
, P
y
, P
z
по осям x, y и z
соответственно в виде графиков по шагам расчета. Примеры таких графиков приведены на рис.2.
Направление
Секция 2. Листопрокатное производство
218
а
б
в
Рис.2. Изменение Р
х
(X
load
), P
y
(Y
load
), P
z
(Z
load
) при прокатке в пятизаходных
геликоидальных валках заготовки 8х60х100 мм из АД1 с глубиной внедрения 1 мм и радиусом
при вершине 7 мм: а – Р
х
; б – Р
у
; в – P
z
Крайние точки (первые и последние: один-два шага) отбрасывались, как значения
соответствующие нестационарному течению металла при захвате металла валками и выхода
металла из очага деформации. Остальные расчетные значения усреднялись:
=
x
P
где n –
количество шагов расчета, за
В данной работе рассчитывали
величин: радиус скругления вершины
количество заходов геликоиды 5
валков 65-
40 градусов. При этом расчет
низкоуглеродистой стали Ст3 с геометрическими
прод
ольной прокатки с диаметром
температуре для АД1 и при t
= 400 °
стрелке для верхнего и нижнего
проведенных экспериментов. Все
результаты расчета показали, что составляющие
порядок меньше составляющей
P
Р усилия прокатки P
y
и P
z
вносят
построенные по расчетным данным
Как видно из рис.3 и 5 характер
идентичен. С увеличением радиуса
снижение усилия прокатки, что, по
поверхности. С увеличением обжатия
Рис.3. Зависимость усилия
выступа геликоиды для образцов 8
внедрения t
= 2 мм для заходов спирали
Секция 2. Листопрокатное производство
219
∑
=
n
i
xi
P
n
1
1
,
∑
=
=
n
i
yiy
P
n
P
1
1
,
∑
=
=
n
i
ziz
P
n
P
1
1
расчета, за исключением отброшенных шагов.
рассчитывали усилие прокатки для следующих диапазонов
вершины выступов 5
-
10 мм, глубина внедрения
-
12, что соответствовало углу наклона витков
этом расчет вели для двух модельных материалов
с геометрическими размерами 8х60х100 мм в
диаметром валков 110 мм, при скорости прокатки 4
= 400 °
C
для стали. Геликоида валков была направлена
нижнего валков (рис.1). Эти условия соответствовали
экспериментов Все расчеты проводились для одного
что составляющие
P
y
, P
z
во все исследуемом диапазоне
P
х
, то их влияние не анализировали, т.к. в аб
вносят менее 5%. На рис.3
-
8 представлены графики
данным для различных условий прокатки в геликоидальных
характер кривых для геликоид с разли
чным
радиуса скругления выступа геликоиды наблюдается
что, по
-
видимому, может быть объяснено изменением
обжатия (т.е. глубины внедрения в
ыступа) усилие
усилия прокатки в геликоидальных валках от
образцов 8х60х100 мм из АД1 при комнатной температуре
заходов спирали 5, 9 и 12
Секция 2. Листопрокатное производство
,
следующих диапазонов изменения
внедрения выступа 1
-3 мм,
наклона витков геликоиды к оси
материалов: алюминия АД1 и
мм в двухвалковом стане
прокатки 4 м/мин при комнатной
была направлена по часовой
соответствовали ус
ловиям
одного прохода. Поскольку
исследуемом диапазоне более чем на
к. в аб
солютную величину
представлены графики зависимости
P
х
,
геликоидальных валках.
чным количеством заходов
геликоиды наблюдается некоторое
объяснено изменением контактной
усилие возрастает.
валках от радиуса скругления
комнатной температуре при глубине