Рогов А.А, Семенова Е.Е, Чернецкий В.И, Щеголева Л.В - Уравнения математической физики. Сборник примеров и упражнений
Подождите немного. Документ загружается.
210 Ответы и указания
−
1
2aπ
Z
t
0
Z
∞
0
1
(t − τ)
3/2
·
e
−
x
2
+(y−η)
2
4a
2
(t−τ)
− e
−
x
2
+(y+η)
2
4a
2
(t−τ)
¸
f(η, τ) dη dτ.
68. 1) u(x, y) = −
1
a
Z
x
0
f(x − ξ) sin aξ dξ.
2) u(x, y) = x + y cos x − sin x +
1
2
x sin x.
3) u(x, t) = t cos x +
1
2
x sin x +
Z
x
0
f(ξ) sin (x − ξ) dξ.
4) u(x, y) =
(
φ(x − t) + µ(t), x − t > 0,
µ(t), x −t < 0.
5) u(x, t) =
ϕ
0
(x − y) + yϕ
0
0
(x − y) + yϕ
1
(x − y)+
+
Z
x
x−y
f(ξ, y − x + ξ)(x − ξ) dξ, x > y;
ψ
0
(y − x) + xψ
0
0
(y − x) + xψ
1
(y − x)+
+
Z
y
y − x
f(x − y + ξ, ξ)(y − ξ) dξ, x < y.
6) u(x, t) = (B − A) · erf
³
x
2
√
t
´
+ A.
Указание. При построении оригинала воспользуйтесь следующим преоб-
разованием:
1
p
e
−α
√
p
↔
er f
µ
α
2
√
t
¶
, α > 0.
7) u(x, y) =
φ(x − y) sin y+
+
Z
x
x−y
f(t, y − x + t) sin (x −t) dt, x > y
µ(y − x) cos x + µ
0
(y − x) sin x+
+
Z
y
y − x
f(x − y + t, t) sin (y − t) dt, x < y.
8) u(x, t) =
sin ωx · sin ωt
ω cos ω
+ 2ω
∞
X
k=1
(−1)
k
sin ω
k
x sin ω
k
t
ω
k
(ω
2
k
− ω
2
)
,
ω
k
=
2k − 1
2
π, k = 1, 2, . . .
Ответы и указания 211
69. u(x, t) =
1
2a
√
π
Z
t
0
q(t − τ)
τ
3/2
e
−
x
2
4a
2
τ
dτ.
70. U
1
(x, p) =
u
o
p
−
u
o
a ch (ax
√
p)
p(sh (al
√
p)+a ch (al
√
p))
, 0 ≤ x ≤ l,
U
2
(x, p) =
u
o
sh (al
√
p)
p(sh (al
√
p)+a ch (al
√
p))
e
−(x−l)
√
p
, l ≤ x < ∞,
u(x, t) =
(
u
1
(x, t), 0 ≤ x ≤ l,
u
2
(x, t), l ≤ x < ∞.
§6
72. 1) u(x, t) = 1 +
t
2
2
+ e
t
.
2) u(x, t) =
1
√
4t+1
e
−
x
2
4t+1
+ 1 − cos t.
3) u(x, t) =
1
√
t+1
e
t+2x−x
2
t+1
.
73. u(x, y, t) =
1
√
t+1
e
−
(x−y)
2
t+1
+
t
8
.
75. u(x, y) =
1
2a
√
πt
Z
∞
0
f(ξ)
·
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
− e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
¸
dξ.
76. u(x, t) =
1
2a
√
πt
×
×
Z
∞
0
(
f(ξ)
·
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
+ e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
¸
− 2he
−hξ
Z
ξ
0
e
hη
f(η) dη
)
dξ.
Указание. Решить следующую краевую задачу:
u
t
= a
2
u
xx
, x > 0, t > 0,
u
x
− hu|
x=0
= 0, u(x, 0) = f (x).
77. u
1
(x, t) =
u
0
σ
1+σ
(1 + er f
³
x
2a
1
√
t
´
, (x < 0),
u
2
(x, t) =
u
0
1+σ
(σ + erf
³
x
2a
2
√
t
´
, (x > 0),
где σ =
k
2
a
1
k
1
a
2
.
212 Ответы и указания
Указание. Задача приводится к нахождению решений уравнений
∂u
1
∂t
= a
2
1
∂
2
u
1
∂x
2
(x < 0),
∂u
2
∂t
= a
2
2
∂
2
u
2
∂x
2
(x > 0),
удовлетворяющих условиям
u
1
(0, t) = u
2
(0, t), k
1
∂u
1
(0, t)
∂x
= k
2
∂u
2
(0, t)
∂x
,
u
1
(x, 0) = 0, u
2
(x, 0) = u
0
,
где a
2
i
=
c
i
ρ
i
k
i
, c
i
– коэффициент теплоемкости, k
i
– коэффициент внут-
ренней теплопроводности, ρ
i
– плотность вещества стержня, (i=1,2).
Уравнения математической физики 213
Литература
1. Белов В.В., Воробьев Е.М. Сборник задач по дополнительным
главам математической физики. М.: Высшая школа, 1978.
2. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики. М.: Наука, 1985.
3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по
математической физике. М.: Наука, 1972.
4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1988.
5. Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравнениям ма-
тематической физики. Новосибирск, 1974.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическо-
му анализу, М.: Наука, 1990.
7. Дормодихина Н.Ф. и др. Решение задач математической физики.
Воронеж, 1980.
8. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы).
Ч.I. Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высшая
школа, 1980.
9. Косарев А.А. и др. Решение задач по методам математической
физики. Воронеж, 1982.
10. Краснов М.А., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплекс-
ного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчиво-
сти. М.: Наука, 1981.
11. Математическая физика: Энциклопедия. М., 1998.
12. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики.
М., 1973.
13. Сборник задач по уравнениям математической физики. Саратов.
1989.
14. Сборник задач по уравнениям математическлй физики /Под ред.
В.С.Владимирова. М.: Наука, 1982.
15. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференци-
альные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989.
16. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунини М.И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.
17. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.
М.: Наука, 1968.
214 Уравнения математической физики
18. Соболев Л.В. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1992.
19. Стеклов В.Н. Основные задачи математической физики. М.: На-
ука, 1983.
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-
зики. М.: Наука, 1977.
21. Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по
операционному исчислению, М.: Высшая школа, 1976.
Уравнения математической физики 215
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Основы операционного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§1 Понятия оригинала и изображения по Лапласу.
Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2 Восстановление оригинала по изображению . . . . . . . . . . . 15
§3 Применение преобразования Лапласа к решению
дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . 22
§4 Применение преобразования Лапласа к решению
дифференциальных уравнений с запаздывающим
аргументом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§5 Применение преобразования Лапласа к решению
интегральных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Глава II. Классификация уравнений с частными производ-
ными. Канонический вид уравнений с частными
производными второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 46
§1 Дифференциальные уравнения с частными про-
изводными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§2 Простейшие дифференциальные уравнения с
частными производными. Общее решение . . . . . . . . . . . . . 48
§3 Дифференциальные уравнения с частными про-
изводными первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§4 Классификация линейных уравнений с частными
производными второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 66
§5 Приведение к каноническому виду линейных
уравнений с частными производными второго по-
рядка с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . 68
§6 Приведение к каноническому виду линейных
уравнений с частными производными второго по-
рядка с n(n > 2) независимыми переменными . . .. . . . . . 76
§7 Метод характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Глава III. Математическое описание процессов, изучаемых
методами математической физики. Вывод урав-
нений и постановка краевых задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§1 Вывод уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
216 Уравнения математической физики
§2 Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 95
Глава IV. Свойства гармонических функций. Краевые зада-
чи для уравнений эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . 104
§1 Уравнение Лапласа. Свойства гармонических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§2 Простейшие краевые задачи для уравнений Ла-
пласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Глава V. Аналитические методы решения краевых задач
математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§1 Преобразование краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 111
§2 Формула Даламбера для волнового уравнения.
Метод продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§3 Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собствен-
ных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§4 Метод разделения переменных (Метод Фурье) . . . . . . . 132
§5 Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§6 Задача Коши для уравнения параболического ти-
па. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Ответы и указания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Уравнения математической физики 217
Для заметок
218 Уравнения математической физики
Для заметок
Уравнения математической физики 219
Для заметок