Рогов А.А, Семенова Е.Е, Чернецкий В.И, Щеголева Л.В - Уравнения математической физики. Сборник примеров и упражнений
Подождите немного. Документ загружается.
180 Ответы и указания
§2
4. u
x
=
y (x
4
−y
4
+4x
2
y
2
)
(x
2
+y
2
)
2
.
5. u
xx
= y(y − 1)x
y − 2
, u
yy
= x
y
(ln x)
2
, u
xy
= x
y −1
(1 + y ln x).
6. C, C
1
, C
2
– произвольные функции
1) u(x, y) = C(y).
2) u(x, y) = xf(y) + C(y); u(x, y) = x ln y + C(y).
3) u(x, y) =
R
f(x) dx + C(y), u(x, y) = ln |x| + C(y).
4) u(x, y) =
R
f(x, y) dx + C(y), u(x, y) =
1
y
sin xy + C(y).
5) u(x, y) = xC
1
(y) + C
2
(y).
6) u(x, y) =
RR
f(x) dx dx + xC
1
(y) + C
2
(y).
7) u(x, y) =
1
2
x
2
f(y) + xC
1
(y) + C
2
(y).
8) u(x, y) =
R
¡
R
f(x, y) dx
¢
dx + xC
1
(y) + C
2
(y),
u(x, y ) = −
x
y
2
sin (xy ) −
2
y
3
cos (xy ) + xC
1
(y) + C
2
(y).
9) u(x, y) = C
1
(x) + C
2
(y).
10) u(x, y) = y
R
f(x) dx + C
1
(y) + C
2
(x),
u(x, y ) = y(
1
2
x +
1
16
sin 8x) + C
1
(y) + C
2
(x).
11) u(x, y) = x
R
f(y) dy + C
1
(x) + C
2
(y),
u(x, y ) = x sin
y
2
−
x
3
sin
3y
2
+ xy cos y − x sin y + C
1
(x) + C
2
(y).
12) u(x, y) =
RR
f(x, y) dx dy + C
1
(y) + C
2
(x),
u(x, y ) =
yx
2
2
+ x ln y + C
1
(y) + C
2
(x).
7. φ, ψ – произвольные функции.
1) u(x, y) =
1
x
φ(y) + ψ(x). 2) u(x, y) = e
−x
ψ(y) + φ(x).
3) u(x, y) =
x
2
y
2
10
−
x
2
y
25
+
x
2
125
+ φ(x)e
−5y
+ ψ(y).
4) u(x, y) = yx + ψ(y) ln x + φ(y).
5) u(x, y) = e
−
1
6
y
φ(x) + ψ(y). 6) u(x, y) = φ(y) ln x + ψ (y).
7) u(x, y) = φ(x) ln y + ψ( x). 8) u(x, y) =
√
xψ(y) + φ(x).
8. ϕ, ψ – произвольные функции.
1) u(x, y) =
Z
x
0
e
−α(y)(x−ξ)
f(ξ, y) dξ + ϕ(y)e
−α(y ) x
;
Ответы и указания 181
2) u(x, y) = ϕ(x)e
−
y
R
0
α(x,η) dη
+
Z
y
0
f(x, γ)e
−
y
R
γ
α(x,η) dη
dγ;
3) u(x, y) =
Z
y
0
(y − η)ψ(η)e
−xη
dη + yϕ(x) + ϕ
0
(x);
4) u(x, y) =
1
ch x
·
µ
yϕ(x) + ϕ
0
(x) +
Z
y
0
(y − η)ψ(η)e
−xη
dη
¶
;
5) u(x, y) = e
−x
½
ψ(y) +
Z
x
0
e
−ξ
2
y
2
+ξ
ϕ(ξ) dξ
¾
.
9. u(x, y) =
Z
x
0
Z
ξ
0
f(γ, y) dγ dξ −
x
y
Z
y
0
Z
ξ
0
f(γ, y) dγ dξ +
+
x
y
(y − sin y) + sin y.
§3
10. Является решением.
13. 1) v
ξ
+ v
η
= e
ξ
sh η; 2) v
ξ
− v
η
= 0; 3) v
η
=
1
2
.
14. 1) u(x, y) = Φ(x
2
+ y
2
); 2) u(x, y) = Φ(
x
y
) + ln y;
3) u(x, y) = xy + Φ(x
2
+ y
2
);
4) u(x, y) = sin y ·f(y − sin x), f ∈ C
1
;
5) u(x, y) = xy + f(x
2
− y
2
);
6) u(x, y) = xf(2x −y
2
− 4u); 7) u(x, y) = yf(x
2
− y
2
).
15. 1) u(x, y, z) = Φ(
y
x
,
z
x
);
2)
u
(
x, y , z
) =
x
4
4
−
2x−y −z
3
x
3
+
(x−y)(x−z)x
2
2
+
f
(
x
−
y, x
−
z
)
, f
∈
C
1
;
3) u(x, y, z) = e
−1/x
f(
1
x
−
1
y
,
1
x
−
1
z
), f ∈ C
1
;
4) u(x, y, z) =
x
4
6
−
x
3
6
(2z + y) +
x
2
y z
2
+ f(y − 2x, z − x).
17. 1) u =
x
y
+ ln y; 2) u =
1
x
2
+y
2
+ xy;
3) u = xy+f(
y
x
), где f – произвольная дифференцируемая функция
такая, что f(1) = 0;
4) u(x, y) =
√
2 − xy, xy < 2; 5) u(x, y) = xy − 1 +
1
x
2
+y
2
;
6) u(x, y) = 1 +
y
2
3x
; 7) u(x, y) =
(2x+y )
2
2y
− xy;
182 Ответы и указания
18. 1) u(x, y, z) =
y
2
+z
2
x
2
;
2) u(x, y, z) = y − z +
x
4
4
+
x
3
3
(y + z − 2x) + (y − x)(z − x)
x
2
2
;
3) u(x, y, z) = (1 + x − y)(2 − 2y + z); 4) u = x
4
f(
x
2
y
2
,
x
3
z
), u =
yz
x
.
19. u = x −2y −x
2
−y
2
– параболоид вращения, осью которого является
прямая
½
x = 1/2,
y = −1.
20. 2x
2
+ z
2
= z(x
2
+ y
2
+ z
2
).
21. 1) u(x, y) =
e
−
cx
a
ψ(y −
b
a
x) +
1
a
Z
x
0
e
−
c
a
t
f(x − t, y −
b
a
t) dt, ay > bx,
e
−
ct
b
φ(x −
a
b
y) +
1
b
Z
y
0
e
−
c
b
t
f(x −
a
b
t, y − t) dt, ay < bx;
2) u(x, y) = y
3
− y + xy
2
; 4) u(x, y) = y + sin x − sin y.
§4
22. Гиперболический. 23 Эллиптический. 24. Параболический. 25.
Параболический. 26. Гиперболический. 27. Эллиптический. 28.
Гиперболический. 29. Гиперболический.
Q(λ
1
, λ
2
, λ
3
) = λ
1
λ
2
+ λ
2
λ
3
+ λ
1
λ
3
, Q(µ
1
, µ
2
, µ
3
) = µ
2
1
− µ
2
2
− µ
2
3
,
λ
1
= µ
1
+ µ
2
− µ
3
,
λ
2
= µ
1
− µ
2
− µ
3
,
λ
3
= µ
3
.
30. Эллиптический. 31. Гиперболический. 32. Эллиптический.
§5
33. 1) v
ξη
+
1
2
v
ξ
+
1
2
v +
ξ
2
= 0, ξ = x, η = 2x + y,
v(ξ, η) = e
−
1
2
η
w(ξ, η), w
ξη
+
1
2
w +
ξ
2
e
η/2
= 0;
2) v
η η
+ 18v
ξ
+ 9v
η
− 9v = 0, ξ = x + y, η = y,
v = we
13
8
ξ−
9
2
η
, w
ηη
+ 18w
ξ
= 0;
3) v
ξξ
+ v
ηη
− 2v
ξ
+ v
η
− v + η −ξ = 0, ξ = 2x − y, η = 3x,
v = e
ξ−η/2
w , w
ξξ
+ w
ηη
−
9
4
w + e
−ξ+η/2
(η − ξ) = 0.
34. 1) v
ξξ
+ v
ηη
+ cos η ·v
ξ
= 0, ξ = y −cos x, η = x.
2) v
ξη
= 0, ξ = x + arctg y, η = x − arctg y.
Ответы и указания 183
35. 1) Область параболичности – точки кривой x
2
− y
2
= 1, область ги-
перболичности – {(x, y) : 1 + y
2
− x
2
> 0}, область эллиптичности –
{(x, y ) : 1 + y
2
− x
2
< 0}.
2) Область параболичности – прямые x =
π
2
+ πk, k ∈ Z, y =
πn, n ∈ Z; область гиперболичности – полосы {(x, y) : −
π
2
+ 2πk <
x <
π
2
+2πk, k ∈ Z, y ∈ R}, исключая точки прямых y = πm, m ∈ Z;
область эллиптичности – полосы {(x, y) :
π
2
+2πk < x <
3π
2
+2πk, k ∈
Z, y ∈ R}, исключая точки прямых y = πm, m ∈ Z.
3) Область параболичности – окружности с центром в начале ко-
ординат и радиусом R
k
=
r
π(1 + 4k)
2
, k = 0, 1, 2, . . . ; область
гиперболичности – вся, плоскость, исключая точки окружностей
x
2
+ y
2
=
π
2
+ 2πk, k = 0, 1, 2, . . .
4) Область параболичности – совокупность кривых (парабол) y =
−x
2
±
π
4
+ 2πk, k ∈ Z; область гиперболичности – {(x, y) : −x
2
−
7π
4
− 2πk < y < −x
2
−
π
4
− 2πk, k ∈ Z}; область эллиптичности –
{(x, y ) : −x
2
−
π
4
− 2πk < y < −x
2
+
π
4
− 2πk, k ∈ Z}.
36. 1) Параболический тип u
y y
= 0 на прямой x = 0.
Гиперболический в полуплоскости x > 0 :
v
ξη
+
1
2(ξ−η)
(v
ξ
− v
η
) = 0,
(
ξ = y − x + 2
√
x,
η = y − x − 2
√
x
.
Эллиптический тип в полуплоскости x < 0 :
v
ξξ
+ v
ηη
−
1
η
v
η
= 0,
½
ξ = y − x,
η = 2
√
−x
.
2) Параболическое при y = 0, u
yy
= 0;
гиперболическое при y < 0,
v
ξη
+
1
6(ξ + η)
(v
ξ
+ v
η
), ξ =
2
3
(−y)
3/2
+ x, η =
2
3
(−y)
3/2
− x;
эллиптическое при y > 0,
v
ξξ
+ v
η η
+
1
3ξ
v
ξ
= 0, ξ =
2
3
y
3/2
, η = x.
3) Параболическое при x = 0, y 6= 0, u
yy
+
2
y
(u
x
+ u
y
) = 0 и при
x 6= 0, y = 0, u
xx
+
2
x
(u
x
+ u
y
) = 0. (В начале координат уравнение
вырождается.)
184 Ответы и указания
Гиперболическое при x > 0, y < 0 и при x < 0, y > 0,
v
ξη
−
3
ξ
2
− η
2
(ηv
ξ
− ξv
η
) = 0.
Замена переменных
ξ =
√
−y +
√
x, η =
√
−y −
√
x при x > 0, y < 0,
ξ =
√
y +
√
−x, η =
√
y −
√
−x при x < 0, y > 0.
Эллиптическое при x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0,
v
ξξ
+ v
ηη
+ 3(
1
ξ
v
ξ
+
1
η
v
η
) = 0.
Замена переменных
ξ =
√
y, η =
√
x при x > 0, y > 0,
ξ =
√
−y, η =
√
−x при x < 0, y < 0.
4) Параболическое на прямых x = (2k + 1)
π
2
, k = 0, ±1, ±2, . . .
Гиперболическое вне указанных прямых
v
ξη
+
ξ − η
2[4 − (ξ − η)
2
]
(v
ξ
− v
η
) = 0,
ξ = y + cos x + sin x, η = y + cos x − sin x.
5) Параболическое на осях координат x = 0 и y = 0, u
xx
= 0.
Гиперболическое при x > 0, y < 0 и при x < 0, y > 0,
v
ξη
−
1
3(ξ
2
− η
2
)
[(2ξ − η)v
ξ
− (2η − ξ)v
η
] = 0.
Замена переменных
ξ = −2(−y)
1/2
+
2
3
x
3/2
, η = −2(−y)
1/2
−
2
3
x
3/2
при x > 0, y < 0,
ξ = 2y
1/2
+
2
3
(−x)
3/2
, η = 2y
1/2
−
2
3
(−x)
3/2
при x < 0, y > 0.
Эллиптическое при x > 0, y > 0 и при x < 0, y < 0,
v
ξξ
+ v
η η
−
1
ξ
v
ξ
+
1
3η
v
η
= 0.
Ответы и указания 185
Замена переменных
ξ = 2
√
y, η =
2
3
x
3/2
при x > 0, y > 0,
ξ = 2
√
−y, η =
2
3
(−x)
3/2
при x < 0, y < 0.
§6
37. 1) v
ξξ
+ v
ηη
+ v
ζζ
= 0, ξ = x, η = y −x, ζ = x −
1
2
y +
1
2
z.
2) v
ξξ
+ v
ηη
= 0, ξ = x, η = y −x, ζ = 2x − y + z.
3) v
ξξ
− v
ηη
+ v
ζζ
+
3
2
v
ξ
−
1
2
v
η
= 0,
ξ = x + y, η = −x + y, ζ =
√
2
2
(−x + 2y + z).
38. 1) v
ξξ
− v
ηη
+ 2v
η
+ 2v
ζ
+ v = 0,
ξ = x + y, η = −x + y , ζ = y + z,
v = e
η− ζ
w, w
ξξ
− w
η η
+ 2w
ζ
= 0.
2) v
ξξ
− v
ηη
+ v
ξ
+ 2v
η
+ v
ζ
+ v = 0,
ξ = x, η = x + y, ζ = −y + z,
v = e
−
1
4
(2ξ−4η+7ζ)
w , w
ξξ
− w
ηη
+ w
ζ
= 0.
3) v
ξξ
− v
ηη
+ v
ζζ
+ v
ξ
+ v
η
+ v
ζ
+ v = 0,
ξ = x, η = −x + 2y, ζ = z,
v = e
−
1
2
(ξ−η+ζ)
w , w
ξξ
− w
ηη
+ w
ζζ
+
3
4
w = 0.
4) v
ξξ
− v
ηη
+ v
ζζ
+ v
ξ
+ 2v
η
+ v
ζ
+ v = 0,
ξ = y, η = x + y, ζ = z,
v = e
−
1
2
(ξ−2η+ζ)
w , w
ξξ
− w
ηη
+ w
ζζ
+
3
2
w = 0.
5) v
ξξ
+ v
ηη
+ v
ζζ
+ v
ξ
+ v
η
+ v
ζ
+ 4v = 0,
ξ = x −y, η = y, ζ = z,
v = e
−
1
2
(ξ+η+ζ)
w , w
ξξ
+ w
ηη
+ w
ζζ
+
13
4
w = 0.
6) v
ξξ
+ v
ηη
+ v
ζζ
+ v
ξ
+ v
η
+ v
ζ
+ v = 0,
ξ = x + y, η = −y, ζ = z,
v = e
−
1
2
(ξ+η+ζ)
w , w
ξξ
+ w
ηη
+ w
ζζ
+
1
4
w = 0.
7) v
ξξ
+ 2v
ξ
+ 2v
η
− 3v
ζ
+ v = 0,
186 Ответы и указания
ξ = x, η = x + y, ζ = −x + z,
v = e
−ξ+3η+2ζ
w, w
ξξ
+ 2w
η
− 3w
ζ
= 0.
§7
39. 1) u(x, y) =
x(y +x
2
)
4
+ φ(x
2
+ y) ln |x|+ ψ(x
2
+ y).
2) u(x, y) = φ(
√
x −
√
y) + ψ(
√
x +
√
y).
3) В области 1 −x
2
+ y
2
> 0 уравнение имеет гиперболический тип, а
в области 1−x
2
+y
2
< 0 – эллиптический тип. Кривая 1−x
2
+y
2
= 0
является линией параболичности.
u(x, y ) = φ
Ã
1 + x
y +
p
1 − x
2
+ y
2
!
+ ψ
Ã
1 + x
y −
p
1 − x
2
+ y
2
!
.
Указание. При интегрировании уравнений характеристик
(xy ±
p
1 −x
2
+ y
2
)dx + (1 − x
2
)dy = 0
введите новые переменные z и t по правилу
t
2
= 1 − x
2
, y = zt.
4) Вне окружности x
2
+ y
2
= 1 уравнение имеет гиперболический
тип, внутри этой окружности – эллиптический. Сама окружность
является линией параболичности.
u(x, y ) = φ
Ã
1 − x
y −
p
x
2
+ y
2
− 1
!
+ ψ
Ã
1 − x
y +
p
x
2
+ y
2
− 1
!
.
40. 1) u(x, y) =
(y −3 x)
2
4
+
3
4
(y + x)
2
= 3x
2
+ y
2
.
2) u(x, y) = 2(x + y) − 5 + 5e
−
1
6
(x+y )−
y−5x
30
= 2(x + y) − 5 + 5e
−
y
5
.
3) u(x, y) =
3
2
cos
cos y+2y−x
2
−
1
2
cos
cos y−2y−x
2
.
4) u(x, y) =
u
0
(x+y −cos x)+u
0
(x−y +cos x)
2
+
1
2
Z
x+y − cos x
x−y +cos x
u
1
(ξ) dξ.
5) a) u(x, y) =
3
4
(x −
2
3
y
3
)
2
+ (y +
x
2
)
2
;
б) u(x, y ) = F (x −
2
3
y
3
) +
1
2
Z
x+2y
x−
2
3
y
3
G(ξ) dξ.
6) u(x, y) = F (xy
1/3
) +
1
4
4
p
yx
3
·
Z
x/y
xy
1/3
z
−
7
4
(zF
0
(z) − 3G(z)) dz.
Ответы и указания 187
41. Введите новую переменную t = 2(2n + 1)x и установите справедли-
вость рекуррентного соотношения
u
n+1
(t, y) =
∂u
n
∂t
, (∗)
где u
n
(t, y) – решение заданного уравнения в новых переменных, со-
ответствующее указанному значению параметра n. Покажите, что
общее решение заданного уравнения в новых переменных при n = 0
имеет вид
u
0
(t, y) = F
1
(
√
t − y) + F
2
(
√
t + y), (∗∗)
где F
1
и F
2
– произвольные функции. Применяя к функции u
0
в виде
(**) формулу (*) n раз, получим общее решение заданного уравне-
ния.
42. Общее решение заданного уравнения при n = 0 имеет вид
u
0
(x, t) =
Φ(x − at) + Ψ(x + at)
x
,
где Φ, Ψ – произвольные функции.
Покажите, что решения уравнения u
n
и u
n+1
связаны соотношением
u
n+1
= x
n
∂
∂x
³
u
n
x
n
´
.
Применяя эту формулу n раз к функции u
0
(x, t), получим общее
решение заданного уравнения.
43. u(x, y) =
1
x − y
∂
∂x
µ
X(x) − Y (y)
x − y
¶
, где X(x), Y (y) – произвольные
функции.
44. u(x, y) =
τ(x −2
√
−y) + τ(x + 2
√
−y)
2
, (y < 0).
Указание. Следует воспользоваться общим решением заданного уравнения
u(x, y) = F
1
(x −2
√
−y) + F
2
(x + 2
√
−y),
где F
1
, F
2
– произвольные функции.
188 Ответы и указания
Глава III
§1
1.
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
∂x
µ
(l − x)
∂u
∂x
¶
, a
2
= g,
u(x, t) – смещение точки, l – длина нити, g – ускорение силы тяжести.
2.
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
∂x
µ
(l − x)
∂u
∂x
¶
+ ω
2
u, a
2
= g.
3. v
tt
= a
2
v
xx
− h
2
v
t
, a
2
=
q
T
0
ρ
.
§2
7. u
tt
= a
2
u
xx
+
1
ρ
F (x, t), 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
8. u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(0, t) = u
x
(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = 0, 0 < x < l.
9. u
t
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(x, 0) = u
0
, 0 < x < l,
u(0, t) = u
0
, u
x
(l, t) + γ[u(l, t) − φ(t)] = 0, t > 0,
где γ – коэффициент теплообмена между стержнем и средой.
10. 1) u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
2) u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u
x
(0, t) = −
1
ST
F (t), u
x
(l, t) =
1
ST
G(t), t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
3) u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
ST u
x
(0, t) −σ
1
u(0, t) = 0, ST u
x
(l, t) + σ
2
u(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l,
где σ
1
, σ
2
– коэффициенты жесткости упругого крепления концов.
4) u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
Ответы и указания 189
αu
t
(0, t) + ST u
x
(o, t) = 0, u(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l,
где α – коэффициент пропорциональности в выражении силы сопро-
тивления -αu
t
(0, t), действующей на конец x = 0.
5) u
tt
= a
2
u
xx
+
1
ρ
F (x, t), 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
6) u
tt
= a
2
u
xx
− αu
t
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(0, t) = µ(t), u(l, t) = ν(t), t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l,
где α – коэффициент пропорциональности в выражении силы сопро-
тивления отклонению −αu
t
, действующей на единицу массы.
7) u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0, a
2
=
T
ρ
,
u(0, t) = 0, −ST u
x
(l, t) = mu
tt
(l, t), t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
11. 1)
h
r +
(R−r)
l
x
i
2
u
tt
=
T
ρ
∂
∂x
(
·
r +
(R − r)
l
x
¸
2
u
x
)
, 0 < x < l, t > 0,
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l.
2) ρSu
tt
= T
∂
∂x
(Su
x
) , 0 < x < l, t > 0,
S(0)T u
x
(0, t) −σu(0, t) = 0, T u
x
(l, t) = F (t), t > 0,
u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x), 0 < x < l,
где σ – коэффициент жесткости упругого крепления.
12. 1) S
∂u
∂t
= a
2
∂
∂x
(Su
x
) , 0 < x < l, t > 0, a
2
=
k
cρ
,
u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = φ(x), 0 < x < l.
2) S
∂u
∂t
= a
2
∂
∂x
(Su
x
) , 0 < x < l, t > 0, a
2
=
k
cρ
,
u
x
(0, t) = −
1
kS(0)
q(t), u
x
(l, t) =
1
kS(l)
Q(t), t > 0,
u
(
x,
0) =
φ
(
x
)
,
0
< x < l.
3) S
∂u
∂t
= a
2
∂
∂x
(Su
x
) , 0 < x < l, t > 0, a
2
=
k
cρ
,