Растригин Л.А. Адаптация сложных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Пусть для простоты объект и наблюдение непрерывны. Оце-

ним в этом случае функционал (1.3.2) на интервале времени [0; T] в

процессе функционирования объекта:

(1.3.3)

При T→∞ и неизменных свойствах объекта и среды получаем

и для решения задачи адаптации можем восполь-

зоваться методами оптимизации. Однако временные затраты бу-

дут неприемлемы. Эти затраты уменьшаются при уменьшении

базы наблюдений Г, но одновременно снижается и эффективность

каждого шага, так как оценка (1.3.3) становится очень грубой. При T =

0 получаем адаптацию.

Как видно, адаптация является оптимизацией в обстановке

значительных помех, связанных с грубостью оценки функцио-

нала (1.3.2). Снижение эффективности адаптации компенсируется ее

оперативностью.

На рис. 1.3.1 показаны обе схемы, причем пунктиром обозначена

схема оптимизации. Как видно, схемы адаптации и оптимизации

отличаются незначительно — базой оценки минимизируемого

функционала объекта Q(U).

Таким образом, и на стадии оптимального проектирования,

и при адаптации решается одна и та же задача (1.2.9), но с разной

исходной информацией. При оптимальном проектировании

следует вычислить Q(U), а в процессах адаптации можно

ограничиться оценкой . Это обстоятельство по-

зволяет довольно просто строить модели адаптации, которые по

сути дела являются моделями оптимизации в обстановке помех.

Рассмотрим наиболее характерные модели, используемые ниже.

Пусть Q(U, U*) — скалярная функция векторного аргумента U =

,...,u

), экстремум которой расположен в точке U*. Тогда моделью

функции, минимизируемой при адаптации, является следующая

зависимость:

Q'(U)=a(t) Q(U, U*(t))+ ε(σ

), (1.3.4)

Рис. 1.3.1. Блок-схема адаптации и оптимизации.

Рис. 1.3.2. Блок-схема мо-

дели объекта адаптации.

где U*(t) — случайный дрейф экстремума U* в пространстве

адаптируемых параметров {U}; a(t) — случайный дрейф градиента

минимизируемой функции; ε(σ

) — случайная функция, мо-

делирующая помеху с нулевым средним и дисперсией σ

, зависящей,

вообще говоря, от времени. Блок-схема модели (1.3.4) показана на рис.

1.3.2.

Таким образом, модель объекта адаптации задается четверкой

‹ a(t), Q(٠,٠), U*(t), σ

›. (1.3.5)

Рассмотрим некоторые простейшие модели.

1. Стационарная модель:

Q'(U) = f(|U-U*|) + ε (σ), (1.3.6)

где f — унимодальная функция с минимумом в нуле, например f(٠) =

(٠)

, где U* и σ неизменны во времени. Это модель со стационарной

помехой и без дрейфа экстремума. По мере приближения к

экстремуму U* при f(٠) = (٠)

отношение сигнал/шум уменьшается и

при U = U* равно нулю.

Это означает, что трудности продвижения к оптимуму U*

возрастают по мере приближения к нему.

2. Нестационарная модель без помех (дрейф экстремума):

Q'(U) = f( |U - U*(t)| ), (1.3.7)

где U*(t) — модель дрейфа, которая может быть линейной и

диффузионной. Линейный дрейф описывается естественным со-

отношением

U*(t) = U*

+ At, (1.3.8)

где U*

— исходное положение экстремума, А — вектор скорости

(направления и интенсивности) дрейфа (A принадл. {U}). Диффу-

зионная модель дрейфа представляется рекуррентным выражением

U* (t+1) = U* (t)+ aξ, (1.3.9>

которое описывает случайный процесс с независимыми случайными

приращениями аξ, где ξ — единичный случайный вектор, равномерно

распределенный в пространстве {U}, а — интенсивность дрейфа.

3. Нестационарная модель (случайный дрейф градиента):

Q'(U) = a(t) f( |U-U*| ), (1.3.10)

где а(t)>0 — случайная функция, моделирующая дрейф градиента

минимизируемого критерия, которая задается своей авто-

корреляционной функцией.

Аналогично могут быть построены модели адаптации при наличии

ограничений.

Следует заметить, что здесь управление U варьируется в пределах

заданного множества возможностей S, которое определяется типом

задачи. Это множество может быть непрерывным или

дискретным, конечным , что и определяет

тип адаптации (см. § 1.5).

§ 1.4. Адаптация и компенсация

Задача управления сложным объектом, рассмотренная в первом

параграфе этой главы, редко решается во всей полноте своей

сложности. Чаще рассматриваются два ее варианта, которые удобно

назвать компенсацией и адаптацией. При этом блок-схема системы

управления как бы «разрезается» вертикально на две половины. Левая

представляет собой блок-схему компенсации (рис. 1.4.1, а), а правая

— адаптации (рис. 1.4.1, б).

Формальное отличие этих схем заключается в различных ис-

точниках информации для управляющего устройства. В случае

компенсации исходной информацией для синтеза управления U

является только состояние X среды. Для адаптации же управление U

синтезируется на основе информации лишь о состоянии Y объекта. Это

отличие определяет ряд существенных черт и особенностей процессов

компенсации и адаптации, которые целесообразно рассмотреть

специально.

Компенсация как управление связана с достижением целей {Z*}

при известном состоянии среды. Совершенно очевидно, что

Рис. 1.4.1. Схемы ком-

пенсации (а) и адапта-

ции (б).

при отсутствий обратной связи компенсация возможна, если из-

вестна модель F объекта, связывающая входы X и U с выходом Y:

Y = F (X, U). (1.4.1)

При этом для синтеза управления необходимо решить задачу

оптимизации, которая получается из формулы (1.1.14) подстановкой

выражений (1.1.19) и (1.4.1):

1.4.2) где

(1.4.3)

Здесь ψ

, ψ

—

заданные функционалы, значение которых регламентируется целью Z*

(1.1.13). Как видно, это обычная задача многокритериальной

оптимизации. Осуществив свертку критериев, получаем после

очевидных преобразований стандартную задачу оптимизации:

(1.4.4)

где

(1.4.5)

Здесь Q (X, U) — скалярная свертка

экстремальных критериев,

(1.4.6)

причем

(1.4.7)

Полученная задача (1.4.4) с заданными функциями Q, G и H

является задачей математического программирования. Ее реше-

ние U*

зависит естественным образом от состояния X среды, которое

контролируется при компенсации.

Таким образом, для управления методом компенсации необ-

ходимо:

1) знать состояние X среды,

2) иметь модель F (X, U) объекта,

3) уметь решать задачу математического программирования

(1.4.4).

Понятие «компенсации» здесь используется потому, что такой

тип управления как бы компенсирует влияние среды и позволяет

добиваться поставленной цели Z* независимо от состояния среды и

без наблюдения за состоянием Y объекта.

Такое управление иногда называют программным. В этом

случае программой является цель Z*, которая реализуется в процессе

компенсации с учетом состояния X среды.

Теперь с этих позиций рассмотрим адаптацию (см. рис. 1.4.1,

б). Здесь задача синтеза управления (1.1.14) записывается в виде

(1.4.2), а после преобразования — в форме (1.4.4). Но она не является

задачей математического программирования, так как ни состояние X

среды, ни модель F объекта неизвестны. Доступны для наблюдения

лишь оценки значений функционалов Q, G и H (1.2.15), на которые,

вообще говоря, накладываются случайные помехи вида (1.2.16).

Располагая этой скудной информацией, необходимо решить задачу

(1.4.4).

Такова ситуация, складывающаяся в процессе решения задачи

адаптации. Эта ситуация может усложниться тем, что цель — а

с нею и структура функционалов Q, G и H — иногда изменяется в

соответствии с изменением потребностей субъекта.

Как видно, основное отличие адаптации от компенсации состоит

в том, что задача оптимизации (1.4.4) здесь решается по

«зашумленным» реализациям функционалов при неизвестной

структуре этих функционалов. Этим адаптация обобщает компен-

сацию, так как позволяет решать и ее задачи, в то время как

методами компенсации (т. е. методами математического програм-

мирования) нельзя решать задачу адаптации.

Адаптация как специальный процесс управления обладает

рядом специфических черт. Прежде всего это стабильный характер

целей адаптации. Это означает, что экстремизируемый критерий Q

и ограничения S либо не изменяются, либо изменяются, но крайне

медленно или редко.

Другой особенностью процесса адаптации является его эф-

фективность лишь для незначительных, эволюционных изменений

объекта. Адаптация является мерой, компенсирующей малые

изменения объекта.

И наконец, адаптация является средством, с помощью которого

удается исправить недостатки проектирования объекта. Дей-

ствительно, всякое проектирование страдает неточностью в силу

недостаточных априорных знаний свойств среды, в которой

предстоит функционировать проектируемому объекту. Уже модель

объекта, положенная в основу принятия решения, отличается

приближенностью, что заставляет прибегнуть к адаптации. Более

того, изменение среды функционирования объекта и целей,

реализуемых в процессе функционирования, также вынуждает

обращаться к адаптации как способу преодоления этих изменений,

с тем чтобы поддерживать значение нового функционала на

экстремальном уровне. Наличие адаптации позволяет ослабить

требования к процессу проектирования объекта и тем самым

упростить и удешевить этот трудоемкий и дорогой процесс.

§ 1.5. Типы адаптации

Как уже говорилось, адаптация является частным случаем

управления и заключается в изменении управляемого фактора

U таким образом, чтобы поддерживать некие заданные функционалы

объекта в требуемом состоянии независимо от действия всякого

рода внешних и внутренних воздействий. При этом специфика

объекта накладывает на управление требование

(1.5.1)

где S — множество допустимых управлений. Структура этого

множества определяется двумя факторами — целевыми ограни-

чениями Z* и самим объектом. В данном случае нас будет ин-

тересовать специфика объекта, так как именно она через струк-

туру множества определяет тип адаптации. Исходя из этого

можно классифицировать различные типы адаптации [170].

1.5.1. Классификация типов адаптации

Если объект таков, что его изменение в процессе адаптации

удобно осуществлять с помощью параметров u

,..., u

, т. е.

U = (u

,..., u

), (1.5.2)

то такую адаптацию естественно назвать параметрической. Тогда

каждый параметр u

может принимать бесконечное или конеч-

ное число значений. В первом случае

(1.5.3)

т. е. множество S является континуумом, во втором

(1.5.4)

где D — дискретное множество значений управления U.

Однако очень часто адаптацию объекта удобно осуществлять

не путем изменения его параметров, а модификацией его струк-

туры, т. е. вводя структурную адаптацию. Для этого представим

фактор управления U в виде пары

U = ‹ W, C ›, (1.5.5)

где W — структурные факторы, с помощью которых можно изменять

структуру объекта адаптации, a C = (с

, ..., c

) — адаптируемые

параметры объекта (это параметры (1.5.2), с помощью которых

реализуется параметрическая адаптация).

Целенаправленная вариация структурных факторов дает воз-

можность адаптировать структуру объекта.

Такая декомпозиция управления U на структурные W и па-

раметрические С факторы позволяет более эффективно решать

задачи адаптации сложных объектов, для которых параметриче-

ская адаптация малоэффективна.

Теперь задачу адаптации (1.2.9) следует записать в виде

где E

— множество

допустимых структур W; E

— множество допустимых параметров

С, соответствующих структуре, определяемой W; W* —

оптимальная структура; C*

— оптимальные параметры этой

структуры. (Так как W однозначно определяет структуру объекта, то

можно W условно называть структурой.) Очевидно, что

S = E

× E

, (1.5.7)

т. е. множество S допустимых управлений при адаптации (1.2.10)

образуется как произведение множеств допустимых структур E

параметров E

этих структур.

Блок-схема решения

задачи (1.5.6) показана на рис.

1.5.1, из которого хорошо

виден иерархический

характер адаптации. На

верхнем уровне произ-

водится адаптация струк-

туры W, а на нижнем —

параметров С этой струк-

туры. Очевидно, что эти

Два контура адаптации

Работают в разных вре-

менных режимах: темп па-

ис. 1.5.1. Двухконтурная схема структур:

ной а

апта

ии.

Рис. 1.5.2. Классификация типов адаптации.

раметрической адаптации (контур 2 на рис. 1.5.1) значительно выше

темпа структурной (контур 1). Действительно, на каждый шаг

структурных изменений объекта должен приходиться весь цикл

параметрической адаптации, иначе не выявится полностью

эффективность реализованной структуры.

Очевидно, что методы решения задач структурной и парамет-

рической адаптации различны, что и заставляет обращаться к

такой дифференциации. Ее можно продолжить. На рис. 1.5.2

показана схема классификации различных типов адаптации.

Прежде всего структурную адаптацию удобно подразделить на

альтернативную и эволюционную [113].

Альтернативная адаптация отличается тем, что множество

допустимых структур E

невелико и содержит две — пять альтер-

нативных структур.

Эволюционная адаптация, по сути дела, моделирует процесс

биологической эволюции (см. § 3.7 настоящей книги) . Этот алгоритм

отличается введением незначительных вариаций структуры δW,

моделирующих случайные мутации, которые также незначительно

изменяют эффективность Q адаптируемого объекта. Иначе говоря,

имеет место соотношение типа неравенства Липшица:

| Q(W+δW) - Q(W) | ≤ µ||δW||, (1.5.8)

где µ = const, а под нормой вариации структуры ||δW|| следует

понимать число, характеризующее степень изменения структуры

этой вариацией δW. Например, при графическом описании структуры

W нормой такой вариации может быть число новых введенных или

«выброшенных» вершин или ребер графа, описывающего

структуру адаптируемого объекта.

«Мутации» структуры δW u правило отбора, позволяющее

выявлять ее благоприятные вариации, и образуют механизм эво-

люции, с помощью которого строится последовательность улуч-

шающихся структур

→ W

→...→ W

→ W

N+1

→..., (1.5.9)

обладающих свойством

(1.5.10)

где знак предпочтения имеет

очевидный смысл:

Q (W

) < Q (W

N-1

). (1.5.11)

Заметим, что иногда допустимы нарушения соотношения

(1.5.11) — например, в случае, когда вариацией структуры W

не

удается получить лучшую, чем W

, по критерию (1.5.11). Тогда

выбирают лучшую из «мутированных» структур, что нарушает

(1.5.11), но обеспечивает процедуре эволюции глобальные свойства,

очень ценные в задачах структурной адаптации.

Очевидно, что такой новый тип адаптации, как структурная,

требует разработки новых подходов к решению задач. Однако

не следует забывать, что существует мощный аппарат параметри-

ческой адаптации, который можно использовать и для решения

задач структурной. Для этого достаточно параметризовать струк-

туру адаптируемого объекта (см. рис. 1.5.2).

1.5.2. Параметризация структуры объекта

Простейшим способом параметризации структуры является

введение двоичных переменных

(1.5.12)

однозначно характеризующих структуру адаптируемого

объекта. Это всегда можно сделать, и тогда полученный двоичный

вектор (1.5.2) является кодом структуры объекта. Например, в случае

альтернативной адаптации, когда множество допустимых структур

мало:

(1.5.13)

задача структурной адаптации сводится к

следующей оптимизационной задаче с двоичными переменными:

(1.5.14)

где

(1.5.15)

Аналогично параметризуются задачу эволюционной

адаптации. Например, структура, представленная

графом с фиксированным числом (n)

вершин, кодируется двоичным

вектором

U = (u

, ...

, u

, ..., u

) (1.5.16)

компоненты которого определяют наличие (1) или отсутствие (0)

соответствующего ребра графа:

(1.5.17)

и задача адаптации сводится к следующей задаче бинарного про-

граммирования:

(1.5.18)

(1.5.19)

а функционалы H и G определены выше (см. § 1,2) на

графе U.

Как видно, полученные задачи являются параметрическими с

дискретным множеством допустимых параметров (1.5.4). Подходи к

решению задач такого рода рассмотрены в § 3.4.

Эти задачи можно свести к непрерывным путем вве-

дения штрафной функции:

(1.5.20)

где υ>0 — коэффициент

штрафа, а множество S' уже непрерывно и получается из (1.5.19)

путем исключения требования двоичности (1.5.17) вектора U.

Другим способом сведения дискретной задачи к непрерывной

является рандомизация, в соответствии с которой вводится

непрерывный вектор вероятностей

P = (p

, ..., p

), (1.5.21)

где