Поляков А.А., Кольцов В.М. Расчет статически неопределимых систем методом сил

Подождите немного. Документ загружается.

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 31 из 58

тремального значения), а у рамы (рис. 4.2, б) в плоскости симметрии обра-

щается в нуль изгибающий момент. Если для них выбрать основную сис-

тему путем рассечения рамы в плоскости симметрии, то степень статиче-

ской неопределимости можно понизить до двух (рис. 4.3, а и 4.3, б соответ-

ственно).

Рис. 4.2

Рис. 4.3

При несимметричной основной системе (рис. 4.4, а) имеем три неиз-

вестных усилия, для определения которых необходимо решать систему из

трех канонических уравнений с тремя неизвестными. Если же выбрать сим-

метричную основную систему (рис. 4.4, б), то при перемножении симмет-

ричных и кососимметричных единичных эпюр (рис. 4.5) получим симмет-

ричных единичных эпюр (рис. 4.5) получим

13 31

δδ

⋅

== =

∑

∫

23 32

δδ

⋅

== =

∑

∫

и система канонических уравнений упрощается:

11 1 12 2 1

++∆=

21 1 22 2 2

++∆=

33 3 3

+∆ =

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 32 из 58

Рис. 4.4

Таким образом, если выбрать основную систему симметричную, то и

при произвольной нагрузке решение задачи упрощается.

Учет свойств симметрии также используется и при решении статиче-

ски неопределимых балок.

Рис. 4.5

На рис. 4.6 показаны симметричные и кососимметричные заданные

системы, выбор рациональной основной системы для них и общий вид

эквивалентных систем.

Заданная система (рис. 4.6, а) является симметричной, следовательно, и

эпюра изгибающих моментов будет симметричной, а эпюра поперечных сил –

кососимметричной. Тогда посередине 2-го пролета поперечная сила будет от-

сутствовать. Если в общем случае эта

система дважды статически неопреде-

лима, то при выборе симметричной основной системы в сечении посередине

пролета будет иметь место одно неизвестное X

– изгибающих момент.

При аналогичных рассуждениях систему, представленную на рис. 4.6, б,

также можно привести к системе 1 раз статически неопределимой.

Для кососимметричной системы (рис. 4.6, в) эпюра изгибающих мо-

ментов будет кососимметричной, посередине пролета изгибающий момент

будет отсутствовать и в рекомендуемой основной системе будет одно из-

вестное Х

– поперечная сила.

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 33 из 58

Заданная система (рис. 4.6, г) является симметричной, в общем слу-

чае 5 раз статически неопределимой. Учитывая отсутствие продольной си-

лы и выбирая симметричную основную систему, задачу можно привести к

дважды статически неопределимой.

При аналогичных рассуждениях (но используя косую симметрию) систе-

ма, представленная на рис. 4.6, д, является дважды статически неопределимой.

Рис. 4.6

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 34 из 58

5. Расчет методом сил статически неопределимых систем,

работающих на растяжение или сжатие

Алгоритм решения таких задач аналогичен ранее рассмотренным, од-

нако можно отметить некоторые особенности.

 Основная система метода сил выбирается, как правило, путем

рассечения стержней, т. е. за неизвестные усилия принимаются внутренние

силовые факторы – продольные силы.

 Поскольку стержни прямолинейные и в пределах длины одного

стержня ЕА = const, то при определении коэффициентов

∆ ин-

тегрирование можно опустить и определять эти коэффициенты путем про-

стого перемножения усилий, действующих в отдельных стержнях от разно-

го вида нагрузок, с учетом длины и жесткости этих стержней, и сумми-

рованием результатов перемножения, например:

11 11

;

ii ii

NN NN

EA EA

⋅

⋅⋅

∑∑

∫

iP i iP i

NN NN

EA EA

⋅

⋅⋅

∆= =

∑∑

∫

(5.1)

где

N – усилие в i-том стержне в основной системе метода сил от внеш-

ней нагрузки;

N – усилие в i-том стержне от силы

1;X

l – длина i-того стержня;

– жесткость i-того стержня.

Рис. 5.1

Примеры выбора основной системы и общий вид эквивалентных

систем показаны на рис. 5.1−5.4 и 5.7.

Рассмотрим примеры расчета некоторых стержневых систем.

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 35 из 58

Пример 1

Балка большой жесткости шарнирно прикреплена к стене и удержива-

ется тремя упругими стержнями (рис. 5.2, а).

Рис. 5.2

Требуется определить усилия в упругих стержнях. Нагрузку q, раз-

меры стержней и их жесткость считаем известными.

Решение.

5.1. Устанавливаем степень статической неопределимости п. На систе-

му наложены две внешние связи, тогда 3532.nx

−=−= Система дважды

статически неопределима.

5.2. Образуем основную систему метода сил путем перерезания упру-

гих стержней 1 и 2 (рис. 5.2, б). Требования к основной системе те же, что и

в ранее рассмотренных примерах.

5.3. Образуем эквивалентную систему путем загружения основной сис-

темы усилиями отброшенных связей Х

, Х

и внешней нагрузкой q (рис. 5.2, в).

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 36 из 58

5.4. Записываем канонические уравнения метода сил:

11 1 12 2 1

++∆=

21 1 22 2 2

++∆=

5.5. Находим усилия в упругих стержнях от действия единичных уси-

лий

1X =

и от внешней нагрузки q.

 Первое единичное состояние

Загружаем основную систему усилием

(рис. 5.3) и находим про-

дольные силы во всех стержнях:

1;NX==

0.N =

Из условия равновесия

∑

находим

30,XN

⋅

−⋅=ll тогда

N =−

(деформация сжатия).

 Второе единичное состояние

Аналогично загружаем основную систему усилием

1X =

(рис. 5.4)

и находим продольные силы во всех стержнях:

0;N =

1.NX==

Рис. 5.4

Рис. 5.3

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 37 из 58

Из условия равновесия

∑

находим

− (деформация сжатия).

 Грузовое состояние

Загружаем основную систему внешней нагрузкой q (рис. 5.5) и нахо-

дим продольные силы во всех стержнях:

N =

Из условия равновесия 0

∑

находим

⋅ l

Рис. 5.5

5.6. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений и грузовые

коэффициенты по формуле (5.1).

11 11 21 21 31 31

123

12 3

;

NN NN NN

AEA EAEA

AEA

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=+ + =+

⎛⎞⎛⎞

−⋅−⋅

⎜⎟⎜⎟

⋅

⎝⎠⎝⎠

llll

11 12 21 22 31 32

123

12 21

12 3

;

NN NN NN

EA EA EA EA

δδ

⎛⎞⎛⎞

−⋅−⋅

⎜⎟⎜⎟

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

⎝⎠⎝⎠

== + + = =

⋅

lll

12 12 22 22 32 32

123

12 3

;

NN NN NN

EA EA EA EA

AEA

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=+ + =+

⎛⎞⎛⎞

−⋅−⋅

⎜⎟⎜⎟

⋅

⎝⎠⎝⎠

llll

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 38 из 58

111 2 21 3 31

123

12 3

10 8

;

PP P

NN NN NN

EA EA EA

AEAEA

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=+ + =

⎛⎞⎛⎞

+⋅ ⋅− ⋅

⎜⎟⎜⎟

⋅

⎝⎠⎝⎠

===−⋅

lll

112 2 22 3 32

123

12 3

PP P

NN NN NN

EA EA EA

AEA

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=+ + =

⎛⎞⎛⎞

⋅⋅−⋅

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

==−⋅

lll

5.7. Записываем систему канонических уравнений. Для этого подставля-

ем значения полученных коэффициентов в уравнение (2.3).

10 2 8

999

EA EA EA

⋅⋅+⋅⋅−⋅ =

ll l

21316

99 9

EA EA EA

⋅⋅+⋅⋅−⋅ =

ll l

После сокращения канонических уравнений на величину

получаем:

10 2 8 0;XXq+−=l

213160.XXq+−=l

5.8. Решаем систему канонических уравнений и находим неизвестные

усилия:

0,572 ;Xq= l

0,572 .Xq= l

5.9. Находим действительные значения усилий в упругих стержнях за-

данной системы по формуле:

11 2

NN NXNX=+⋅+⋅ (5.2)

11 12

11 1 2

1 0,572 0,572 ;

NN NXNX q q=+⋅+⋅=⋅ ⋅= ⋅ll

21 22

22 1 2

11,143 1,143 ;

NN NXNX q q=+⋅+⋅=⋅ ⋅= ⋅ll

31 32

33 1 2

81 2

0,572 1,143

33 3

1, 714 .

NN NXNX q q q

=+⋅+⋅=⋅−⋅ ⋅−⋅ ⋅=

=⋅

lll

5.10. Выполняем деформационную проверку по формуле:

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 39 из 58

11 21 31

11 2 2 33

12 3

NN NN NN

EA EA EA

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=+ +

lll

(5.3)

где

0;N =

;

N =−

0,572 ;Nq

1,143 ;Nq

1, 714 ;Nq= l

123

;==ll l const.

A =

Тогда

()

1, 714

1 0,572 0 1,143

0,572 0,572 0

qq q

AEA EAEA

⎛⎞

−⋅ ⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅⋅

⎝⎠

++ =⋅−=

ll ll l

условие правильности решения выполняется.

5.11. Выполняем проверку на статическое равновесие (рис. 5.6):

Рис. 5.6

012 3

0: 2 3 4 2mNN N q=⋅+⋅+⋅−⋅⋅=

∑

lllll

222 22

0,572 2,286 5,142 4 2 8 8 0qqqq qq=⋅+⋅+⋅−⋅⋅=⋅−⋅=lllllll

Ус л о ви е равновесия выполняется.

Пример 2

Система состоит из трех стержней, соединяемых концами в шарнире С

(рис. 5.7).

Стержень 1 изготовлен короче требуе-

мого размера

l на величину .∆ После сбор-

ки стержневой системы в стержне 1 возника-

ют растягивающие напряжения, а в стержнях

2 и 3 – сжимающие. Такие напряжения на-

зывают монтажными.

Размеры стержней:

;=ll

==ll

/ cos30 1,154 .==

Жесткости стержней одина-

ковы (ЕА = const). Требуется найти усилия в стержнях.

Рис. 5.7

Поляков А.А., Кольцов В.М.

Расчет статически неопределимых

стержневых систем методом сил

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

стр. 40 из 58

Решение.

5.12. Заданная система показана на рис. 5.8, а. Усилия трех упругих

стержней пересекаются в одной точке (шарнир С). Для такой системы можно

составить только два независимых уравнения статики

(

)

0; 0 .XY==

∑

Рис. 5.8

Задача один раз статически неопределима.

5.13. Преобразуем заданную систему в эквивалентную путем перереза-

ния стержня 1 (рис. 5.8, б).

5.14. Образуем эквивалентную систему путем нагружения основной

системы усилием в перерезанной связи

X (рис. 5.8, в).

5.15. Записываем каноническое уравнение метода сил

11 1

⋅=∆

где величина ∆ в правой части уравнения показывает, что перемещение в на-

правлении неизвестного усилия

X , уже произошло при сборке конструкции.

5.16. Определяем усилия в упругих стержнях от единичного воздей-

ствия

1.X =

Рассмотрим равновесие вырезанного узла С (рис. 5.9):

Рис. 5.9

21 31

0;XNN=→ =

∑

0:1 2 cos30 0;YN=− =

∑

0,577.

2cos30

N ==