Петров Ю.П. Очерки истории теории управления
Подождите немного. Документ загружается.
§ 8. Совершенствование методов оптимизации
75
помогли ответить исследования Вадима Федоровича Кротова
(род. 1932 г.), установившего в 1960 г. критерий возможности
существования вертикальных отрезков у функционалов вида:
]= \Р{х-у;у)с1х. (63)
Критерий В. Ф. Кротова не сложен: если выражение
№(х;у)= \\т Р(х;у;у)- (64)
;у->±°° V
при у
—» +°°
стремится к +
°°,
а при
у —>
-<» стремится к -
°°
или наоборот, то вертикальных отрезков у функции у(х), дос-
тавляющей экстремум, быть не может. Это означает, что у таких
функционалов можно спокойно искать экстремум среди функ-
ций, удовлетворяющих уравнению Эйлера, не опасаясь особых
случаев (у функционала (62) будет №(х;у)
=
0, поэтому у функ-
ции у(х), доставляющей ему минимум, вертикальные отрезки
возможны). Доказательство критерия Кротова не сложно, оно
приведено, например, в
[187],
стр. 91—96 и в
[200],
стр. 189—
192.
Несмотря на это, результаты В. Ф. Кротова, доложенные на
одной из секций съезда математиков в Ленинграде в 1961 г., вы-
звали там яростную критику. Большинство участников секции
дружно отвергали предложения В. Ф. Кротова как нестрогие,
недостаточно обоснованные и даже просто неверные. Пред-
седателю секции пришлось обратиться к участникам с увещева-
нием: "напрасно вы так яростно нападаете на В. Ф. Кротова. Ведь
пройдет несколько лет, и вы сами будете студентам на лекциях
рассказывать его результаты" (что, кстати, очень быстро и про-
изошло). "И ведь совсем не так — добавил председатель секции —
отнеслись бы к Вадиму Федоровичу Эйлер и Лагранж, если бы
они могли сегодня присутствовать в нашем зале. Они сказали бы:
"молодец, коллега Кротов, ты нас продолжил". Реплика предсе-
дателя несколько разрядила обстановку.
Проверка несложного "критерия Кротова" значительно помогла
в решении практических задач оптимизации. Если же критерий
76
§ 8.
Совершенствование методов оптимизации
Кротова не удовлетворяется, то экстремумы функционалов (63)
могут достигаться на удивительно причудливых кривых с беско-
нечным числом скачков — эти кривые нельзя даже изобразить на
графике. Об этих особых случаях и о "скользящих режимах" было
рассказано в
[187],
стр.
94—96.
Значительно позже В. Ф. Кротова, в 1969 г., на возможность дос-
тижения экстремума на особых кривых (что делает неверным
обычное решение задач через уравнение Эйлера) указал англий-
ский математик Л. Янг в своей большой монографии [290] (из
которой, правда, очень трудно извлечь что-либо пригодное для
практического использования). Наиболее ясные и прозрачные
результаты были получены В. Ф. Кротовым и воспроизведены
в
[187],
стр.
91—95.
Важно отметить, что для практического решения задач оптими-
зации и оптимального управления часто требуются совсем не те
разделы вариационного исчисления, которые освещены в обыч-
ных учебниках. Так, в известном учебнике для университетов
М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника [143] вырожденным
функционалам было уделено всего две страницы, а из более
позднего учебника И. М. Гельфанда и С.
В.
Фомина [68] вырож-
денные функционалы вообще исчезли. Между тем они часто
встречаются при решении практических задач, и знать их своеоб-
разные свойства совершенно необходимо. Свойства вырожден-
ных функционалов и их применение были подробно рассмотрены
в
[187],
стр. 94—105 и 245—267 (напомним, что функционал, за-
висящий от первой производной искомой функции — функцио-
Ъ
2
Р
нал вида (63) — будет вырожденным, если
—— = 0;
в этом слу-
Ъу
2
чае уравнение Эйлера второго порядка вырождается в уравнение
нулевого порядка, не содержащее производных; для функциона-
лов,
зависящих от производных второго порядка
3= \Р(у\у;у\х)дх, (65)
§
8.
Совершенствование методов оптимизации
77
уравнение Эйлера в общем случае имеет четвертый порядок, но
при выполнении равенства
Ъ
2
Р
ду
-2
= 0 (66)
функционал вырождается, и уравнение Эйлера переходит в урав-
нение второго порядка). Решение задач оптимизации для кри-
териев качества, которые являются вырожденными функциона-
лами, сильно упрощается. Об этом было рассказано в [187] на
стр.
245—267.
Отметим еще, что на практике часто приходится иметь дело
с осредняемыми функционалами с предельным переходом — ти-
па функционалов (19) и им подобных, рассмотренных нами в § 3.
Встречаются они очень часто, а между тем для них самая основ-
ная теорема вариационного исчисления — теорема Эйлера (если
экстремум функционала существует и достигается в классе ку-
сочно-гладких функций, то он достигается только на экстрема-
лях) — уже не верна. Действительно, рассмотрим простейший из
осредняемых функционалов
1
Т
т }
У
= Нш
—
\х*Ж (67)
т^Т
0
с граничными условиями х(0)
=
0;
х(Т)
=
0. Уравнение Эйлера
для функционала (67) имеет вид 2х = 0; ему (и граничным усло-
виям) удовлетворяет единственная функция х
=
0, на которой
функционал (67), действительно, достигает своего минимального
значения, равного нулю. Однако то же минимальное значение
функционала будет достигаться и на очень многих других функ-
циях вида х
= 1
е~
ш
(удовлетворяющих тем же граничным усло-
виям) для всех значений к >
1;
а > 0. Между тем эти функции со-
всем не удовлетворяют уравнению Эйлера и, следовательно,
основная теорема вариационного исчисления (точно так же, как
и (скажем, забегая немного вперед) основные теоремы "принципа
максимума" Л. С. Понтрягина) для функционалов вида (19) или
(67) — не справедливы. А между тем на этих теоремах основаны
78
§ 8.
Совершенствование методов оптимизации
все расчеты. Как поступать в этом случае? Решение этого вопро-
са было описано в
[187],
стр.
178—181.
Наиболее интересными из исследований, посвященных совер-
шенствованию методов оптимизации, были исследования акаде-
мика Льва Семеновича Понтрягина (1908—1988) и его сотрудни-
ков,
получившие известность под не совсем удачным названием
"принцип максимума". Первый импульс к этим исследованиям
был дан выдающимся ученым и инженером Александром Ароно-
вичем Фельдбаумом (1913—1969), который обратил внимание на
то,
что в уравнения многих объектов управления управляющие
воздействия входят линейно, и обобщил опыт инженеров по
управлению подобными объектами.
Так, например, уравнение движения корабля, снабженного ру-
лем, имеет вид:
(Т
{
2
0
2
+
Т
2
0)х
= и +
<р(1),
(68)
где х — курс корабля, Т
х
и Т
2
— постоянные времени (пример:
для танкеров типа "Казбек" Г, =26,3 сек., Т
2
= 17,2 сек.), и —
управляющее воздействие, отклонение руля от диаметральной
плоскости, ф(0 — возмущающие воздействия от ветра, морского
волнения
и т.
п. Предельный угол отклонения руля ограничен:
Если нужно очень быстро, экстренно повернуть корабль на но-
вый курс, то оптимальный закон управления рулем был давно и
хорошо известен любому опытному рулевому: нужно быстро пе-
реложить руль на и
=
+и
тах
и подождать, когда корабль "пока-
тится" к нужному новому курсу, пройдет примерно половину за-
данного изменения курса, а затем быстро переложить руль и
держать и
=
-м
тах
до прихода корабля на заданный новый курс.
В данном случае управление, оптимальное по быстродействию,
по времени перехода корабля с одного курса на другой, целиком
проходило по границе области, допустимой для управления и
очерченной неравенством (69), и оно состояло из двух интерва-
§ 8. Совершенствование методов оптимизации
79
лов:
и = +и
тах
; и=-и
вах
. Переход от и = +м
тах
и м=-«
тах
и наоборот при оптимальном управлении происходил скачком.
А. А. Фельдбаум обобщил этот хорошо известный инженерам
способ управления на системы произвольного порядка и дока-
зал в 1953 г. важную "теорему об п интервалах" ([267], стр. 38):
если характеристический полином линейной системы управ-
ления имеет степень п и не имеет комплексных корней, то оп-
тимальное по быстродействию управление состоит из п интерва-
лов,
на каждом из которых управление постоянно, и = ±м
тах
.
В частности, для всех судов, математической моделью кото-
рых является дифференциальное уравнение второго порядка
(68),
оптимальное по быстродействию управление состоит из
двух интервалов.
Теорема Фельдбаума облегчила расчеты оптимальных по бы-
стродействию систем управления. Не ограничиваясь этим,
А. А. Фельдбаум, как было сформулировано в публикации
[267],
стр.
5, "поставил задачу оптимизации управления перед группой
математиков, возглавляемых академиком Л. С. Понтрягиным", и
решение, полученное этим коллективом, вылилось в известный
"принцип максимума".
Теоремы "принципа максимума" были опубликованы в [225] и
относились они к системам, математической моделью которых
являются системы уравнений
(70)
.*„
=
/„(*!
;...*„;
и)
В частном случае, когда /, зависят от управления линейно, урав-
нения (70) принимают вид:
-*!
=8\(х
]
;...х„)
+
и-1г
]
(х
]
;...х„)
(71)
х
н
=8
п
(х
1
\...х
п
)
+
и-Н„{х
1
\...х„)
80
§
8.
Совершенствование методов оптимизации
В уравнения (70), (71) производные от управления и не входят,
ограничения наложены только
на
управление:
\и\<1 (72)
и рассматривается задача о быстродействии — т. е. о минимуме
функционала
т
(73)
о
Т= |Ж
при заданных значениях
дг|(0);...х
п
(О);*,
(Т);...х„(Т).
Эта задача может быть решена методами вариационного исчисле-
ния и, в частности, на основе известного метода Гамильтона, по-
зволяющего вместо системы уравнений Эйлера второго порядка
получить систему уравнений первого порядка.
В
методе Гамильто-
на к системе (70), в которую входят
и
+ 1 неизвестных функций
х
1
;...х
п
;и,
добавляются вспомогательные функции \У|;\|/
2
;...у„ и
вводится выражение, называемое гамильтонианом:
" =
!>,•//•
1=1
При помощи гамильтониана Н исходные уравнения (70) и урав-
нения, необходимые для определения функций
*,-(/),
\|/,(0 и
управления
и{1)
записываются в виде системы:
Ох
1=
дН_.
^
=
_ЭЯ.
ЪН_
= () (?4)
Л
Э\|/
х
-
*
Л дх
{
' ди
состоящей из
2п + 1
уравнений, достаточных для определе-
ния
2и + 1
искомых функций дг,;...*„; \\/
х
;...\\1
п
;и. Все это было
установлено Гамильтоном (Ш.
К..
НатПсоп, 1805—1865) еще
в XIX веке.
Однако если уравнения (70) линейны по управлению, т. е. имеют
вид (71), то в уравнение
-г—= 0
не входит и, и оно не дает
ди
информации об управлении, обеспечивающем быстродействие.
§
8.
Совершенствование методов оптимизации
81
Интуитивно ясно, что в этом случае оптимальное управление
проходит по границе допустимой области, очерченной неравен-
ством (72), но о характере управления, о числе интервалов посто-
дн
л л
янства и =
+1,
или и =
-1,
уравнение
——
= 0 информации не дает.
ои
Л.
С. Понтрягин в 1956 г. высказал гипотезу: оптимальное управ-
ление должно доставлять максимум гамильтониану Н. Гипотеза
Л.
С. Понтрягина была быстро доказана и стала удобным оруди-
ем вычисления оптимального управления для линейных систем
[225].
Вот простейший пример, приведенный в
[225],
стр. 29—34: для
системы второго порядка
к{=Х1
(75)
х
2
=и
требуется найти оптимальное по быстродействию управление,
переводящее систему из состояния
дг,
(0);дг
2
(0) в состояние
х
1
(Т);х
2
(Т) при учете ограничения (72). Для системы (75) га-
мильтониан Н имеет вид: Я =\|/|Х
2
+\|/
2
и; для определения
вспомогательных переменных \|/, и \|/
2
имеем систему уравнений
<Л|/,
_ дН _ <Л|/
2
дН _
ш дх
{
ах дх
2
откуда следует, что
У1=с,;\|/
2
=с
2
-с,г,
поэтому Н
=Ц\Х
2
+\у
2
и =с
]
х
]
+(с
2
-с
х
1)и, и максимум га-
мильтониана Н с учетом условия (72) достигается при
и = 51§п(с
2
-с/).
Из условия максимума сразу следует, что оптимальное управление
имеет не более двух интервалов постоянства, что соответствует
и теореме Фельдбаума, поскольку система дифференциальных
уравнений (75) имеет второй порядок, а ее характеристический
полином Л =0 не имеет комплексных корней. Если же подоб-
82
§ 8.
Совершенствование методов оптимизации
ные корни есть, то число интервалов постоянства и число пере-
ключений от
и = +1
к
и =
-1 и обратно (как было показано
в [225]) может быть любым.
Так, для системы управления
.
кх=Х2
(76)
х
2
=-х
1
+и
характеристический полином X +1 имеет мнимые корни
А, =+./;Х
2
=-/.
Гамильтониан Н имеет вид
Н
=
л|/,д:2
~^2
Х
\ +Уг
и
-
На основании "принципа максимума" управление, оптимальное
по быстродействию, имеет вид: и
=
$1§п\|Г
2
.
Для определения \(Г|
и \у
2
имеется система уравнений
А аГ""
т
из которой следует, что \|г
2
=
С]8т(г-с
2
). Таким образом, опти-
мальное по быстродействию управление состоит из интервалов
и
= +1
и и
=
-1,
чередующихся через время
I =
п. Число интер-
валов зависит от граничных условий и может быть любым.
Заметим, что, используя дополнительный предельный переход,
можно с помощью вариационного исчисления (как было показа-
но в
[187],
стр. 116—121) решать задачи оптимального управ-
ления для систем, зависящих от управляющих воздействий ли-
нейно
—
типа систем (71) — и находить точки перехода от и
=
+1
кк
=
-1 и наоборот. Но принцип максимума для линейных задач
все же удобнее.
Примеры с системами (75) и (76) были подробно рассмотрены
в
[225],
стр.
28—43,
где они снабжены целой серией рисунков
поведения систем управления на фазовой плоскости, помогаю-
щих лучше разобраться в физическом смысле оптимального
управления.
§ 8. Совершенствование методов оптимизации
83
Мы убеждаемся, что для линейных систем принцип максимума
действительно, очень удобен. Что же касается систем нелиней-
ных, то для них методы, основанные на вариационном исчисле-
нии, остаются в большинстве случаев проще и удобнее (смотри
сравнение методов вариационного исчисления и принципа мак-
симума, проведенное в
[187],
стр. 115—132).
Отрицательную роль в развитии автоматического управления
в СССР сыграло приведенное в [225] на стр. 264—265 утвержде-
ние Л. С. Понтрягина о том, что методы вариационного исчисле-
ния не пригодны для отыскания экстремума в замкнутой области,
и, тем самым, не пригодны для решения большинства техниче-
ских задач, где ограничения на регулируемые величины и на
управление почти всегда существенны. В результате многие ис-
следователи стали использовать принцип максимума даже там,
где вариационное исчисление проще и быстрее вело к цели. Так,
в 1965 г. в журнале "Электричество" была опубликована статья
об оптимальном управлении электроприводами прокатного стана
при наличии ограничений, в которой автор использовал сложный
аппарат принципа максимума и допустил ошибку. Я послал
письмо автору статьи, где показал, как легко исправить ошибку
и получить верный результат при использовании простых ме-
тодов вариационного исчисления. Автор статьи негодующе отве-
тил: "но ведь академик Л. С. Понтрягин доказал, что для задач
с ограничениями вариационное исчисление непригодно". Ошиб-
ка так и не была исправлена.
Разумеется, высказывание Л. С. Понтрягина о непригодности ва-
риационного исчисления для решения задач с ограничениями
говорило только о том, что он был недостаточно знаком с исто-
рией математики и работами Н. Н. Гернет, но об этих работах
и об их использовании для решения технических задач к 1961 году
многие знали и писали об этом Понтрягину (кстати, я тоже писал
Л.
С. Понтрягину о работах Н. Н. Гернет, но не получил ответа).
Тем не менее, несмотря на письма, ошибочное утверждение
о непригодности вариационного исчисления для замкнутых облас-
тей повторялось без изменения и во втором, и в третьем изданиях
монографии
[225].
Согласно устному рассказу, Л. С. Понтрягин
84
§ 8.
Совершенствование методов оптимизации
на предложение исправить свою ошибку отвечал: "Моногра-
фия [225] — эго классика. А классику не исправляют". Вообще,
Л.
С. Понтрягин был очень своеобразным человеком. Его жизнь
ярко описана им самим в публикации
[226],
которую мы и реко-
мендуем вниманию читателя.
Кроме вариационного исчисления и принципа максимума извес-
тен еще один метод оптимизации — динамическое программиро-
вание, предложенное американским математиком Ричардом
Беллманом (К. Е. ВеПтап, 1920—1984) в 1957 г. [22]. Для расчета
оптимальных программ оно применяется реже. Изложение мето-
да динамического программирования применительно к задачам
управления было дано в
[187],
стр. 132—137. Использование ди-
намического программирования приводит, как правило, к необ-
ходимости решать достаточно сложные уравнения в частных
производных, потому используется оно реже, чем вариационное
исчисление или принцип максимума.
Каждый из трех методов имеет свои преимущества и свои не-
достатки, каждый метод имеет свою область применения, где
он удобнее остальных (так, для линейных задач, в которых ог-
раничения наложены только на управляющее воздействие,
принцип максимума удобнее других методов). В Советском
Союзе в 60-е годы популярность известной монографии
[225],
в которой на стр. 264—265 утверждалось, что вариационное
исчисление не пригодно для решения задач оптимизации с ог-
раничениями, привело к неоправданному "крену" в сторону
принципа максимума: этот метод применяли даже к тем зада-
чам,
которые было проще и удобнее решать на основе вариаци-
онного исчисления. Опыт успешного применения вариационно-
го исчисления для решения различных технических задач
с ограничениями восстановил доверие к нему, и уже в 1972 г.
в известном учебнике [168] все три метода — вариационное ис-
числение, принцип максимума и динамическое программирова-
ние — рассматривались, как равноправные.
Заметим, что
в
новейшем, издания 2000 г., учебнике [232]
в
томе 2,
стр.
440 снова делается вряд ли оправданный крен в сторону
принципа максимума и утверждается, что "в вариационном ис-