Петров Ю.П. Очерки истории теории управления

Подождите немного. Документ загружается.

Реализация оптимального

управления...

где к

— постоянные коэффициенты, и дал методику вы-

числения этих коэффициентов. Поскольку математическая мо-

дель оптимального для функционала (89) регулятора (90) опреде-

лялась аналитически, то А. М. Лётов предложил назвать

методику построения этой математической модели методикой

аналитического конструирования регуляторов.

Выбором весовых коэффициентов т

]

;т

;...\т

в функционале

(89) можно получить различные варианты управления в зависи-

мости от практических требований к системе.

Аналитическое конструирование быстро получило популярность

и широкое распространение. Оно стало использоваться как

в комбинации с оптимальным программным управлением, так

и самостоятельно, для самых различных объектов, поскольку ис-

пользование простых и удобных регуляторов вида (90) обеспечи-

вало устойчивость и хорошее качество переходных процессов

в замкнутой системе.

Подкосила аналитическое конструирование в конце 60-х — нача-

ле 70-х годов неожиданная встреча с необъяснимым тогда явле-

нием потери устойчивости при изменении числа переменных,

используемых для управления. Методика расчета регуляторов

вида (90), разработанная А. М. Лётовым, приводила к коэффици-

ентам &,-, ни один из которых не был равным нулю — т. е. в ре-

гуляторе (90) присутствовали все фазовые координаты объекта

управления от х, до х

. Однако на практике некоторые из фазо-

вых координат недоступны для измерения, или же их измерение

затруднительно. Было хорошо известно, что в этих случаях, ис-

пользуя уравнения объекта управления (88) и эквивалентные

преобразования, можно заменить неизмеряемые фазовые коорди-

наты на измеряемые, причем заменить так, что переходные про-

цессы в системе не изменятся. Поясним сказанное на простом

примере: рассмотрим управление движением массивного тела,

математической моделью которого являются уравнения

X] -Х

=и,

(91)

§ 9.

Реализация оптимального

управления...

в которых Х\ — положение тела, х

— его скорость движения.

Используем регулятор вида (90):

и =

-к

(92)

Движение замкнутой системы будет описываться системой

уравнений (91)—(92), из которой следует, что переходные про-

цессы в системе, изменение переменных х

и х

будут описы-

ваться дифференциальными уравнениями

х,

+к-)Х<

+к,Хл = 0,

.. , _ (93)

"Ь

К^Х

—

\).

Уравнения (93) показывают, что при к

0 и к

0 замкнутая

система устойчива и начальные отклонения положения х

и ско-

рости х

массивного тела от заданных значений, соответствую-

щих х

0 и х

= 0 с течением времени плавно затухают и при

I —> оо

имеем х

—>

0 и х

—>

Изменяя коэффициенты к

и к

в регуляторе (92), можно регу-

лировать скорость затухания переходных процессов.

Если переменную х

(скорость) измерить затруднительно,

то можно, воспользовавшись первым из уравнений (91), заме-

нить ее равной ей производной х

и тогда регулятор (92)

примет вид:

и = -к

-к

}

-(к

)х

. (94)

Теперь движение замкнутой системы будет описываться систе-

мой уравнений (91)—(94). Нетрудно проверить, что изменение

переменных х

и х

будет по-прежнему описываться уравне-

ниями (93). Поэтому переходные процессы при замене регуля-

тора (92) на регулятор (94) не изменятся, что и должно быть,

поскольку замена члена х

в уравнении (92) на равный ему

член Л] является эквивалентным преобразованием. (Напомним,

что эквивалентными или — что то же самое — равносильными

называют преобразования, не изменяющие решений преобра-

Реализация оптимального

управления...

зуемой системы уравнений; примеры эквивалентных преобра-

зований: перенос членов из левой части в правую с изменением

знака, умножение всех членов на число, не равное нулю, замена

любого члена уравнения на член, равный ему). И вот совершенно

неожиданно оказалось, что замена неизмеряемых членов в регу-

ляторах вида (90) на равные им члены все же в некоторых случа-

ях что-то изменяет и ведет затем к авариям объектов управления,

на которых были установлены "аналитически сконструирован-

ные"

регуляторы. Аварии происходили из-за неожиданной по-

тери устойчивости в замкнутой системе в ходе эксплуатации

объекта управления, хотя на испытаниях устойчивость проверя-

лась,

и все было хорошо. Это явление неожиданной потери ус-

тойчивости было тем более таинственным и необъяснимым, что

"грубость" решения задачи аналитического конструирования

(при полном векторе х

;х

;...;х

) в регуляторе (90) была стро-

го доказана (смотри публикацию [291]), а эквивалентные пре-

образования замены неизмеряемых составляющих вектора х на

измеряемые не должны были — как в те годы все считали —

ничего менять.

По теории все должно было быть хорошо, но аварии с "аналити-

чески сконструированными" регуляторами происходили неодно-

кратно, и от этого нельзя было отмахнуться.

Отметим, что для восстановления неизмеряемых переменных

часто использовали такие устройства, как "фильтры Калмана"

или "наблюдатели Люенбергера" [5]. При этом, как это было по-

казано в публикации [5], тоже часто происходили потери устой-

чивости при малых отклонениях параметров регулятора или объ-

екта управления от расчетных значений.

В результате доверие к методике "аналитического конструиро-

вания" было подорвано, и она постепенно перестала приме-

няться. По времени (конец 60-х — начало 70-х гг. XX века)

это совпало с аналогичными авариями, подорвавшими доверие

к регуляторам, расчет которых основывался на корреляционной

теории случайных процессов. Мы уже рассказывали об этих

§ 9.

Реализация оптимального

управления...

авариях в § 5. Там удалось спасти положение за счет изменения

аналитической аппроксимации спектра возмущающих воздейст-

вий. В "аналитическом конструировании" этого было сделать

нельзя. Неприятности и стрессы, связанные с авариями, повлия-

ли на здоровье А. М. Лётова, который был не только большим

ученым, но очень добрым, отзывчивым человеком (могу под-

твердить это по опыту своих встреч с Александром Михайлови-

чем).

Он заболел раком — болезнью, которая всегда приходит на

фоне переживаний и стрессов — и скончался в сентябре 1973 го-

да в возрасте всего

лет.

Причины неприятностей, связанных с "аналитическим конструи-

рованием", были раскрыты спустя почти двадцать лет. О них бу-

дет рассказано в следующих разделах "Очерков". Эти причины,

безусловно, были бы раскрыты гораздо раньше, если бы не ве-

личайшая секретность, господствовавшая в Советском Союзе

в 60-х—70-х годах. Все сведения об авариях были секретны, их

открытое обсуждение не разрешалось. До нас, до инженеров

и исследователей, работавших в области автоматического

управления, доходили лишь смутные известия о таинственных

авариях и потерях устойчивости, мы горячо обсуждали их в сво-

ем кругу, но публичные дискуссии в печати — в отличие от

практики предыдущих десятилетий (напомним еще раз публи-

кацию

[255],

— уже не поощрялись и происходили все реже

и реже. В 1973 г. П. В. Надеждину удалось в публикации [152]

хотя бы поставить вопрос о странных явлениях, происходящих

при преобразованиях уравнений, но дискуссия не была тогда

доведена до конца, и все прояснилось лишь через многие годы.

Сделаем замечание о терминологии. Первоначально под терми-

ном "аналитическое конструирование" понималась методика рас-

чета регуляторов для линейных систем, доставляющих минимум

функционалам вида (89) — т. е. интегралам в пределах от

= 0

до

х —» °°

от квадратичной формы. В дальнейшем этот термин

стали часто понимать расширительно, называя "аналитическим

конструированием" процесс создания регуляторов с обратной

связью, доставляющих минимум функционалам, уже не

Реализация оптимального

управления...

обязательно квадратичным и не обязательно для линейных сис-

тем. Но для этих случаев гораздо правильнее использовать хорошо

известный термин "синтез оптимальных регуляторов", а термин

"аналитическое конструирование" лучше сохранить за разработ-

ками нашего выдающегося соотечественника А. М. Лётова, опи-

санными в публикациях

[145],

|147] и сыгравшими большую

роль в развитии автоматического управления и регулирования.

Что же касается неприятностей, связанных с неожиданными по-

терями устойчивости у систем управления, спроектированных

на основе методики "аналитического конструирования", то эти

неприятности, как показали дальнейшие исследования, вполне

преодолимы. Об этом мы расскажем позже.

§10.

Реализация оптимальных

регуляторов для нелинейных

систем на длительных

интервалах времени

Сразу после исследования оптимальных законов управления

для электроприводов, реализующих заданные перемещения

(или повороты) исполнительных механизмов, описанных в мо-

нографии

[186],

новым объектом исследования и оптимизации

стали электроприводы, а затем и другие механизмы, работаю-

щие на длительных интервалах времени в переменной внешней

среды.

Первыми были исследованы гребные электрические установки

судов — т. е. системы, состоящие из электрического двигате-

ля,

приводящего во вращение гребной винт судна и получающе-

го питание от генератора, вращаемого первичным двигателем —

дизелем или турбиной.

Эти исследования проводились в 1962—65 гг., а результаты ис-

следований были опубликованы в монографии

[188],

стр. 36—

40.

В основу исследования были положены известные зависи-

мости момента и упора гребных винтов от частоты вращения.

Момент на гребном валу М пропорционален квадрату его

частоты вращения V:

М=Ц,(1)У\

(95)

где ф(?) — функция времени, зависящая от волнения моря

(в формуле (95) и последующих формулах знак равенства означает

102

10.

Реализация

оптимальных

регуляторов...

"равенство с точностью до постоянного коэффициента пропор-

циональности"). Упор винта К пропорционален моменту:

Я =

<р(1)у

(96)

а мощность Ы, потребляемая винтом, пропорциональна третьей

степени его частоты вращения:

(р(/>

(97)

Работа А, необходимая для перемещения судна на расстояние

за время Т, пропорциональна интегралу

•*о

'о

А=

рг<&

|ф(г)у

<&,

или, учитывая, что

из =

г)

ей,

где 1)

— скорость движения цен-

тра масс судна, имеем:

Л =

г)

/ф(/>

Л, (98)

(при выводе формулы (98) в работе [188] учитывалось, что из-за

огромной инерции корпуса судна волнение моря не изменяет

сколько-нибудь заметно скорость движения центра масс судна,

т. е. 1>

можно с очень хорошей точностью считать постоян-

ной величиной, но на частоту вращения гребного винта мор-

ское волнение влияет существенно).

Электрическую мощность р, потребляемую гребным элек-

тродвигателем, можно, если пренебречь малым падением на-

пряжения в обмотке якоря, выразить формулой:

Р =

УУ

Ф(Г)У

где щ — постоянный коэффициент, зависящий от момента

инерции якоря и гребного винта. Энергия, потребляемая

электродвигателем за время 7\ пропорциональна интегралу

Э=][/П

УУ+Ф(ОУ

]Л.

(99)

10.

Реализация оптимальных регуляторов...

103

После того как интегральные выражения для работы Л, необхо-

димой для перемещения судна и для потребленной энергии Э

были записаны в виде функционалов, зависящих от искомой

функции у(/) и ее производной, все дальнейшее сделать было

уже не сложно: достаточно было найти функцию, доставляющую

минимум интегралу (99) при заданном значении интеграла (98).

_ дЬ

с1

дЬ

Уравнение Эйлера = 0 для вспомогательной функ-

д\'

сН

ЭУ

ции Лагранжа

Ъ =

/Н

УУ +

ф(г)У

А.

ф(/)у

где А.

— постоянный коэффициент (множитель Лагранжа), име-

ло вид:

Зф(/)у

+ 2Л

ф(?)У = 0, (100)

откуда сразу следовало, что экстремалью является простая

функция у =

соп$г.

Таким образом, для обеспечения минимума

затрат энергии на движение судна оказалось достаточно ре1>ли-

ровать напряжение генератора так, чтобы частоты вращения

электродвигателя и гребного винта оставались постоянны-

ми (только через несколько лет выяснилось, что простота опти-

мального управления была обусловлена тем, что функционал

(99) является вырожденным функционалом; в 1966 г. ясности

в этом вопросе еще не было),

Заметим, что качество работы гребной электрической установ-

ки может оцениваться различными функционалами. Так, напри-

мер,

можно искать управление, обеспечивающее минимум

потерь энергии в якоре — т. е. искать функцию

У(/),

обеспечи-

вающую минимум интеграла

2= ||

А= |[у + ф(/)1-

]

А, (101)

о о

при заданном значении интеграла (98). В этом случае мате-

матические преобразования, позволяющие найти оптимальное

управление, значительно сложней. Они приведены в

[188],

104

10.

Реализация

оптимальных

регуляторов...

стр.

37—40, но полученное решение оказалось простым. Оказа-

лось,

что управление, обеспечивающее минимум потерь в якоре

в данном случае заключается в поддержании постоянства тока,

соп81.

Встал вопрос — минимуму какого из функционалов —

(99) или (101) — отдать предпочтение? Исследование, результа-

ты которого были опубликованы в

[188],

стр. 40, показало, что

для типичного гребного электродвигателя мощностью, напри-

мер,

1000 киловатт и типичного морского волнения управление

по закону постоянства частоты вращения по сравнению с зако-

ном /

= соп51

увеличивает потери в якорной цепи на 8 % (или

4 киловатта), но зато снижает общее потребление мощности

гребной установки на 3 % или на 30 киловатт. В целом реализа-

ция закона управления, обеспечивающего постоянство частоты

вращения, т. е.

соп$1,

предпочтительнее.

Поскольку реализация закона у=соп$1 не требовала создания

новых регуляторов, простое оптимальное управление гребны-

ми электрическими установками сразу стало широко исполь-

зоваться, а потом из монографии [188] быстро перешло в учеб-

ники ([238], стр. 36, [35], стр. 257—266) и стало применяться

повсеместно.

Следующим объектом исследования стали наиболее рас-

пространенные на флоте силовые установки с прямой передачей

от первичного двигателя (чаще всего — дизеля) на гребной винт.

При движении судна в условиях морского волнения момент на

гребном валу М, упор винта К и мощность, потребляемая вин-

том УУ, пропорциональны уже приводившимся выражениям

(95),

(96), (97). Количество топлива, расходуемое силовой ус-

тановкой на прохождение судном пути длиной «

за время Г,

пропорционально интегралу

т т

С = ^N41 =

|Ф(0У

•

(102)

о о

Теперь приходим к следующей математической формулировке

задачи об оптимальном управлении силовой установкой: найти

функцию у(0, доставляющую минимум интегралу (102) при