Петров Ю.П. Очерки истории теории управления

Подождите немного. Документ загружается.

12.

Исследование регуляторов

систем

управления...

155

доставляющих минимум среднеквадратичным критерием качест-

ва, в зависимости от степени п операторного полинома А{Э) в

уравнении объекта управления (139), степени т полинома В(О)

в этом же уравнении, и степеней р и д в спектре возмущающего

воздействия(142).

Получились следующие простые зависимости, опубликованные

впервые в монографии

[187],

стр. 204 второго издания:

• если р<ш +

<7-1,

(144)

то степень полинома №

]

(0)<п

д-1, (145)

степень УУ

Ф) </и +

<7~1;

(146)

• если т

д-\<р<2п-т

д-\, (147)

то степень ЩО)<п

д-1, (148)

степень

ИА,

(О) <р; (149)

• и если, наконец, р>2п-т

ц-\, (150)

то степень Щ(0)<т

д-п, (151)

степень Щ(О) <р. (152)

При этом, хотя в формулах (145)—(146), (148)—(149) и (151)—

(152) стоят знаки, означающие возможность неравенства, на

практике в них почти всегда стоит знак равенства. Знак неравен-

ства возникает лишь в тех редких случаях, когда в полиномах

присутствуют одинаковые операторные множители и произво-

дится их сокращение. В этом случае степени полиномов Щ(й)

и \У

(0) уменьшаются на одно и то же число — на степень со-

кращаемого операторного множителя.

Степень операторного полинома у замкнутого оптимальным регу-

лятором (143) объекта управления (139) — т. е. степень опера-

торного полинома А(0)\У

(0)— будет во всех трех случаях

равна п+ р.

бЗак .4820

156 §

12.

Исследование регуляторов

и систем управления...

Из простых формул (144)—(152) сразу вытекало, что при

р<т

д-\ степени полиномов А(0)У/

ф) и Вф)Щф)

в уравнениях замкнутой системы

[Аф)Щф)-ВфЩф)]х

ЩФШ1) (153)

во-первых, равны друг другу и равны

и +

^-1,

а во-вторых,

они больше, чем результирующая степень операторского поли-

нома замкнутой системы, больше, чем

п +

р.А это означало, что

старшие члены полиномов Аф)Щф) и Вф)Щф) равны

друг другу

по

абсолютной величине, но противоположны

по

знаку;

они взаимно сокращаются. Именно поэтому степень операторно-

го полинома замкнутой системы оказывается меньше степеней

полиномов Аф)УУ

ф) и Вф)\У

ф). Но взаимное сокращение

и обнуление старших членов этих полиномов может происходить

лишь в том случае, когда все коэффициенты объекта управления

(139) и оптимального регулятора (143) в точности равны расчет-

ным значениям. Уже сколь угодно малое, неизбежное на практи-

ке отклонение действительных величин параметров от расчет-

ных, сколь угодно малые вариации параметров могут привести

к тому, что обнуления не произойдет, в характеристическом по-

линоме замкнутой системы появится старший член, знак которо-

го будет зависеть от непредсказуемых вариаций параметров —

тогда замкнутая система, в полном согласии

критерием Стодолы,

может потерять устойчивость. А при р

> т + ц

-1,

как легко про-

верить, этого не произойдет.

Таким образом, после этих исследований окончательно проясни-

лась причина потери устойчивости при вариациях параметров

у многих якобы "оптимальных" систем — систем, построенных

по методикам синтеза оптимальных регуляторов, считавшихся

надежными до 1973 г. (мы уже говорили о них в § 5). Прояснился

и смысл полученного несколько ранее известного неравенства

Ю.

П. Петрова (52), о котором уже говорилось в § 5, и выполне-

ние которого гарантирует сохранение устойчивости при вариаци-

ях параметров. Смысл неравенства (52) заключается в том, что

если оно выполняется, то обнуления старших членов не происхо-

дит, и при вариациях параметров устойчивость сохраняется.

§ 12. Исследование регуляторов

систем управления...

157_

Для обеспечения очень важного условия сохранения устойчиво-

сти при вариациях параметров достаточно выбрать аналитиче-

скую аппроксимацию спектра возмущающих воздействий таким

образом, чтобы выполнялось условие р

-1.

В монографии

[187],

стр. 218—227 и [1], стр. 144—170, а также

в учебном пособии

[195],

стр. 132—152 было рассказано, каким

образом проводить эту аппроксимацию, и было дано обобщение

на более сложные случаи (учет спектра погрешностей измери-

тельных приборов и т. п.).

Американские исследователи для обеспечения сохранения ус-

тойчивости при вариациях параметров использовали метод до-

бавления при расчете регулятора фиктивных "белых шумов"

в измеряемые переменные. Этот метод ведет к цели, но приводит

к более существенным потерям в критерии качества по сравне-

нию с методикой, разработанной на факультете ПМ-ПУ и осно-

ванной на использовании неравенства (52).

Обобщение условий сохранения устойчивости при вариациях

параметров для многомерных оптимальных регуляторов было

сделано М. А. Галактионовым и опубликовано потом в работе

[195],

стр. 212—230, с соответствующей ссылкой в "Предисловии",

стр.

6, на авторство М. А. Галактионова. Там же, стр. 227—229,

было показано, что нужно сделать для обеспечения сохранения

устойчивости многомерной системы при вариациях ее парамет-

ров,

если в первоначальной математической модели сохранение

устойчивости при вариациях параметров не обеспечивалось.

Вторым существенным дополнительным практическим требовани-

ем к регулятору является его непосредственная реализуемость —

т. е. в регуляторе (143) степень полинома Щ(О) не должна быть

выше степени полинома

\У

(0).

Между тем методы синтеза оп-

тимальных регуляторов, изложенные, например, в работах

[110],

[141], [174],

[266] и др., часто приводят к регуляторам, в которых

степень полинома И^,(0) больше, чем У/

{0). Если говорить

о расчетных величинах, то такие регуляторы обеспечивают ми-

нимум среднеквадратичного критерия качества, но это только по

158 §

12.

Исследование регуляторов

и систем управления...

расчету. Реализовать такие регуляторы нельзя, можно реализо-

вать лишь приближения к ним. Давно и хорошо известно, что

даже простейший регулятор вида

и = Ох (154)

реализовать нельзя (такой регулятор реализовал бы "идеальное

дифференцирование" сигнала х{1)), а можно реализовать лишь

регулятор

где Т

— паразитная постоянная времени, зависящая от качества

аппаратуры, с помощью которой реализуется регулятор (155).

Паразитная постоянная времени Т

при хорошей аппаратуре мо-

жет быть сделана малой, но не может быть точным нулем. Такие

же паразитные параметры неизбежны и при реализации любых

регуляторов вида (143), в которых степень полинома Щ (О)

больше, чем И^

ф). Поскольку паразитные параметры, даже ма-

лые,

могут исказить работу системы управления, задачу опти-

мизации полезно сформулировать следующим образом: найти

математическую модель регулятора, обеспечивающего устойчи-

вость замкнутой системы и минимум среднеквадратичного кри-

терия качества при выполнении дополнительных требований:

• сохранения устойчивости при неизбежных на практике малых

отклонениях действительных значений параметров объекта

управления и регулятора от расчетных;

О непосредственной реализуемости регулятора без паразитных

параметров.

Метод реализации второго требования сразу и непосредственно

вытекал из формул (144)—(152): достаточно в аналитической

аппроксимации спектра возмущающего воздействия выбрать р и

так, чтобы выполнялось неравенство:

р>п

д-1, (156)

12.

Исследование регуляторов

систем

управления... 159

и тогда степень №

(0) будет не меньше, чем степень ^(О), и ус-

ловие непосредственной реализуемости сразу будет выполнено.

Поскольку в реальных объектах управления выполняется неравенст-

во п

т, то условие (156) является более сильным (но в то же вре-

мя и труднее выполнимым), чем известное "неравенство Ю. Петро-

ва" (52). Если выполнено условие (156), то тем более выполнено

и условие сохранения устойчивости при вариациях параметров.

Таким образом, публикация в 1977 г. формул (144)—(152) сразу

прояснила дело с реализацией дополнительных практических

требований к регулятору и замкнутой системе управления.

Несколько позже В. А. Якубович и его сотрудники — А. Е. Бара-

банов, А. X. Гелиг, Ю. Ф. Казаринов, Г. А. Леонов, В. Н. Фомин —

разработали другой, более сложный подход к реализации регуля-

торов, удовлетворяющих дополнительным требованиям

[288].

Методы реализации еще нескольких дополнительных техниче-

ских требований к регулятору и замкнутой системе управления

описаны в монографии [1], стр. 160—170, и учебном пособии

[195],

стр. 153—158.

12.4. Учет реальных ограничений

на управляющие воздействия

В теории оптимальных систем управления очень долго сохраня-

лось большое и неприятное противоречие. Наиболее распростра-

ненной формулировкой задачи оптимизации линейных систем

при наличии не полностью известных возмущающих воздействий

и погрешностей измерения случайного характера была следую-

щая: найти регулятор, обеспечивающий минимум среднего квад-

рата регулируемой переменной (х~) при учете ограничений на

средний квадрат управляющего воздействия:

Пт — и

с11=<и

>=с

, (157)

Т->~Т

где с

— некоторая постоянная величина.

160 §

12.

Исследование регуляторов

и систем управления...

Между тем было сразу видно, что эта формулировка совсем не

отвечает реальным ограничениям на управления. Для большин-

ства объектов управления управляющее воздействие жестко ог-

раничено и сверху и снизу неравенствами вида

«тт^О^тах-

(158)

Можно, разумеется, выбором точки отсчета посредине интервала

["штатах!

и выбором единиц измерения для управляющего воз-

действия привести ограничения (158) к "стандартному" виду:

|и|<1,

(159)

т. е. — к ограничению на модуль управляющего воздействия.

Однако ограничение (159) имеет все равно мало общего с огра-

ничением (157); кроме того, оставался без ответа очень неприят-

ный вопрос: какую связь имеют рекомендации по синтезу опти-

мального управления на основе ограничения (157), изложенные

в монографиях [ПО],

[140], [174], [248],

[266] и др. с реальными

требованиями к системам управления? Не являются ли эти реко-

мендации пустым математическим упражнением, не помогаю-

щим в решении практических задач? Интересно отметить, что

в большинстве упомянутых монографий этот важный вопрос не

рассматривался совсем.

Ограничение (157) у них как бы "падало с неба", безо всякого

обоснования, и это оставляло у читателя чувство глубочайшего

разочарования. Обширная и изощренная математическая теория

синтеза оптимальных линейных систем управления, изложенная

в этих монографиях, оставалась без фундамента — в основе всех

расчетов должен был лежать учет реальных ограничений на

управление вида (158), а его не было. Это стало еще одной при-

чиной того, что, несмотря на обилие теоретических работ и мо-

нографий, посвященных синтезу оптимальных линейных систем,

практически реализованных систем было очень мало.

Все это происходило потому, что учет реальных ограничений

(159) сразу делал задачу оптимизации нелинейной, а методов

решения нелинейных задач оптимизации при наличии случай-

ного процесса <р(0 не было. Поэтому "роняли с неба" условие

12.

Исследование регуляторов

систем

управления...

161_

(157),

оправдываясь тем, что оно "косвенно учитывает" ограни-

чения на управляющее воздействие. Но "косвенно учитывает"

совсем не означает, что "правильно учитывает". Вопрос о пра-

вильном учете реальных ограничений на управление оставался

открытым.

Отметим, что требование минимизации среднего квадрата (х )

регулируемой переменной х(1) неплохо отражало реальные тре-

бования к системе управления — об этом говорилось, например,

[187],

стр. 175—178 второго издания. Главная причина расхож-

дений методов теории управления с практическими требования-

ми — это "падение с неба" ограничения (157), которое без долж-

ного обоснования клали в основу расчетов оптимальных систем,

в то время как реальные ограничения на управление чаще всего

описывались неравенствами (158) и (159).

Исследование проблемы учета реальных ограничений на управляю-

щие воздействия на факультете ПМ-ПУ проводилось в 1977—81 гг.

и опиралось на следующие положения:

Если максимальные значения возмущающих воздействий

ф(0 больше, чем и(1), или если после изменения масштабов

для х((), м(0, Ф(0 и приведения ограничений на управление

(158) к "стандартному" виду (159) оказалось, что тах|ф(/)| > 1,то

оптимальное управление, обеспечивающее минимум критерия

качества (х >, требует "упреждения" в управлении.

Пример такого "упреждающего" управления показан на рис. 25.

Пока

|ф(г)|<1,

можно за счет больших коэффициентов уси-

ления в регуляторе иметь и = -ф и поддерживать х(1) близ-

кое к значению

д:

= 0. Однако еще до того момента I

ко-

гда станет

|ф(г)|>1,

управление и (О переключается на

-1 для того, чтобы создать "запас" отрицательных значе-

ний х(1) и тем самым обеспечить минимум (х ).

162 §

12.

Исследование регуляторов

и систем управления...

Рис.

12.

Исследование регуляторов и систем управления... 163

Если "упреждения" не делать и переходить к управлению и

-1

только тогда, когда |ф(0|>1 , как это показано на рис. 26, —

то величина (х ), как это наглядно видно на рис. 26, сильно

возрастет.

В то же время известно, что точное "упреждение" в управле-

нии, обеспечивающее абсолютный минимум критерия (х ),

требует точного знания будущих значений возмущающего

воздействия ф(г) и, кроме того, несовместимо с устойчи-

востью замкнутой системы. Поэтому реализация регулятора,

обеспечивающего точное "упреждение" и абсолютный мини-

мум (х ), невозможна.

Для подавляющего большинства возмущающих воздействий

ф(г),

встречающихся в технике, значения ф(г) распределены

по нормальному закону. Для этих возмущающих воздействий,

как было ранее установлено в

[192],

оптимальный линейный

регулятор, использующий легко доступную информацию о кор-

реляционной функции возмущающего воздействия ф(/) и обеспе-

чивающий минимум (х ) при учете ограничения (157), реализует

наилучшее предсказание будущих значений ф(0> совмести-

мое с устойчивостью замкнутой системы.

Из этих трех положений сразу следовали рекомендации по синтезу

оптимальных регуляторов с учетом реального ограничения (159),

полученные на факультете ПМ-ПУ и опубликованные в моно-

графии [1], стр.

190—201.

Ограничение (159) заменялось на среднеквадратичное ограни-

чение

<„»):

. (160)

С его учетом, по обычной методике, описанной, например,

[187],

стр. 195—207 или

[195],

стр. 41—68, строился опти-

мальный линейный регулятор.

164 §

12.

Исследование регуляторов

и систем управления...

Регулятор дополнялся "упорами", не позволявшими ему выхо-

дить за пределы

|и|^1-

Построенный по этим рекомендациям регулятор часть общего

времени работал как оптимальный линейный и часть времени

находился "на упорах". Доля времени пребывания "на упорах"

легко определялась по формулам теории вероятностей. Она зави-

села от коэффициента к в ограничении (160) и была равна

1-Ф(к), где Ф(к) —это известный интеграл Лапласа

ф(к)

-==\е

е1х,

для которого имеются подробные таблицы, В частности,

Ф(3)

0,9973;

Ф(2)

0,9545;

Ф(1,645)

0,9;

Ф(1) =

0,6826

и т. п. Оставалась последняя задача: найти наилучшее значение

коэффициента к в равенстве (160). Для ее решения на факультете

ПМ-ПУ было проведено обширное компьютерное моделирова-

ние:

для типичных объектов управления (обычно морских судов)

и типичных реализаций возмущавшего воздействия строились

для различных значений коэффициента к в равенстве (160) оп-

тимальные линейные регуляторы, дополняемые упорами, строи-

лись процессы, протекающие в замкнутой системе (т. е. строи-

лись функции

ф(г),

м(0.

*(*)).

и вычислялось значение (х

для

разных значений коэффициента к. Результаты эксперимента ча-

стично опубликованы в [1], стр. 194—196, в

[194],

стр. 131—133

учебном пособии

[167],

стр.

46—57.

Было установлено:

При уменьшении к от &=3 до к

1,4* 1,6 величина (х

)

уменьшается очень существенно, в 5—10 раз.

При дальнейшем уменьшении коэффициента к величина

(х

) уменьшается уже очень медленно (а иногда даже возрас-

тает),

и в то же время начинает нарастать ряд нежелательных

явлений: повышается чувствительность к погрешностям изме-