Новиков Д.А. Математические модели формирования и функционирования команды

Подождите немного. Документ загружается.

120

среды. Агент с номером i Î N имеет интервальную

информацию

(

) Í

о состоянии природы, причем эта информация не проти-

воречит истинному положению дел, то есть "

, " i Î N

(

Агент

Информированность

Действие

«Результат»

(x, z)

Агенты

-i

(

)

-i

Рис. 14. Структура модели адаптации команды

Результат z = G(

, x) команды в целом зависит от вектора

x = (x

, x

, …, x

) Î X’ =

ÎNi

X действий всех членов команды, где

Î X

, и состояния природы

. Будем считать, что каждый агент

наблюдает вектор действий всех агентов, общий результат и выиг-

рыши всех агентов.

Предположим, что выигрыш каждого агента зависит от со-

стояния природы

и результата z команды в целом:

(z) = f

(

, G(x,

)), i Î N, причем множество агентов N, их действи-

Традиционно в теории управления при рассмотрении моделей адапта-

ции большее внимание уделяется случаю вероятностной неопределенно-

сти относительно внешней среды. Использование развитого в этой

области математического аппарата применительно к задачам адапта-

ции команд представляется перспективным направлением будущих

исследований.

121

тельнозначные целевые функции {f

(

)} и допустимые множества

}, а также множество W возможных значений состояний приро-

ды, функция G(

) и факт наблюдения как результата и выигрышей,

так и всего вектора действий каждым членом команды являются

среди них общим знанием

. Если агенты выбирают свои действия

одновременно и независимо, то имеет место их игра.

Обозначим множество параметрических (параметром является

значение состояния природы – см. связь между информированно-

стью и действием на Рис. 14) равновесий Нэша через

(1) E

(

) = {{x

}

i Î N

Î X’ | " i

N, " y

Î X

(

, G(

, x

, …, x

)) ³ f

(

, G(

, x

, …, x

i-1

, y

, x

i+1

, …, x

))}.

Если множество

возможных значений состояний природы

является общим знанием среди агентов, то, предполагая, что они

устраняют неопределенность вычислением максимального гаран-

тированного результата, получим следующее множество равнове-

сий их игры:

) = {{x

}

i Î N

Î X’ | " i

N, " y

Î X

min

WÎq

(

, G(

, x

, …, x

)) ³

min

WÎq

(

, G(

, x

, …, x

i-1

, y

, x

i+1

, …, x

))}.

Обозначим

(x) Í

– множество состояний природы, при ко-

торых наблюдаемый агентами вектор их действий является равно-

весием:

(2)

(x) = {

| $ W

, x Î E(

)}.

Обозначим g = (g

, g

, …, g

) Î Â

– наблюдаемый агентами

вектор значений их целевых функций.

Обозначим множество тех значений состояний природы, при

которых (наряду с наблюдаемым результатом z) могут реализо-

ваться наблюдаемые выигрыши агентов g через

(3)

(g, z) = {

| f

(

, z) = g

, j Î N}.

Проанализируем более детально информированность агентов.

У i-го агента имеются, как максимум, четыре «источника инфор-

мации» о состоянии природы:

1) априорная частная информация

(

) Í

;

Возможными расширениями модели являются предположения о том,

кто из агентов какие величины наблюдает – ненаблюдаемыми для аген-

та могут быть вектора действий других агентов, их выигрыши и т.д.

(см. раздел 3).

122

2) действия других агентов: наблюдая их и предполагая, что

оппоненты действуют рационально (см. связь между информиро-

ванностью и действием на Рис. 14), агент может (считая, что имеет

место общее знание на первом уровне структуры информирован-

ности – см. Приложение и [78]

) осуществлять рефлексию – оце-

нивать ту информацию

(x) о состоянии природы, на основании

которой рационален выбор оппонентами именно этих действий;

3) выигрыши g агентов – на основании этой информации аген-

ты могут сделать вывод о тех состояниях природы, при которых

наблюдаемый результат приводит к наблюдаемым выигрышам –

см. выражение (3);

4) множество

состояний природы, при которых наблю-

даемый вектор действий агентов приводит именно к данному

наблюдаемому значению z результата:

(4)

(x, z) = {

| G(

, x) = z}.

Отметим, что в силу введенных предположений информация

пунктов 2)-4) является общим знанием среди агентов, то есть, с

точки зрения друг друга они, наблюдая одни и те же параметры,

должны одинаково (и предсказуемо для оппонентов) изменять свои

представления о состоянии природы. То есть, общим знанием

является информация

I(x, z, g) =

(x) ∩

(x, z) ∩

(g, z) Í

Этим предположением, наряду с предположением о том, что

каждый агент считает, что имеет место общее знание на первом

уровне структуры информированности, исключается из рассмотре-

ния (но не из предметов дальнейших исследований) рефлексия

агентов относительно информированности оппонентов.

На основании перечисленных источников информации i-ый

агент может вычислить оценку J

значения состояния приро-

ды как пересечение общего знания I(x, z, g) с его частной инфор-

мацией ω

(5) J

(

, x, z, g) =

∩ I(x, z, g).

Возможны и более сложные случаи – когда имеет место нетривиаль-

ная взаимная информированность агентов. Тогда вместо параметриче-

ского равновесия Нэша (1) следует использовать информационное равно-

весие игры агентов.

123

Обозначим

– фактическое значение состояния природы и

рассмотрим последовательно в порядке усложнения несколько

моделей: один агент – несколько агентов, статика – динамика

Один агент, статика. Если агент принимает решение одно-

кратно, то на момент принятия решений о выбираемом им значе-

нии своего действия ему известно только множество

значе-

ний состояний природы. Будем считать, что, принимая решение в

условиях интервальной неопределенности, агент использует прин-

цип максимального гарантированного результата, то есть, выбира-

ет действие:

(6) x

МГР

(

) = arg

XxÎ

max

wÎq

min f(

, G(

, x)).

Так как рассматривается статическая ситуация (однократный

выбор агентом своего действия), и другие агенты отсутствуют, то

агент не может использовать информацию (4) о наблюдаемом им

результате или своем выигрыше.

Пример 8.1. Пусть n = 1, x ³ 0,

= [1; 4],

= [2; 4];

= 3,

z = x /

(7) f(

, z) = (

–

z) z – z

/ 2,

где a > 0 – известная размерная константа. Содержательно, если

интерпретировать агента как производителя некоторой продукции,

спрос на которую зависит от объема производства, то

может

рассматриваться как уровень спроса (по объему и по качеству) –

чем больше значение

, тем выше цена (

–

z) и выше требования

к качеству – для обеспечения одного и того же «объема» нужны

бóльшие усилия – действие x. Чем выше объем производства, тем

цена ниже.

В соответствии с целевой функцией (7) выигрыш агента пред-

ставляет собой разность между выручкой (произведением цены на

объем производства) и затратами, которые описываются квадра-

тичной зависимостью.

Если бы значение состояния природы было достоверно из-

вестно агенту, то ему следовало бы выбирать действие

Под «статикой» в рассматриваемой дискретной модели подразумева-

ется однократный выбор агенами своих действий, под «динамикой» –

последовательность таких выборов.

124

(8) x

(

) =

максимизирующее целевую функцию, зависящую от состояния

природы и его действия:

(9) f

(

, x) = (

–

x /

) x /

– x

/ (2

Так как целевая функция (7) монотонно возрастает по

при

любых допустимых действиях агента, то в соответствии с выраже-

нием (6)

(10) x

МГР

(

) = 4 / (2

+ 1).

Наблюдая (10) и либо результат x

МГР

(

) /

, либо свой выиг-

рыш f(

, x

МГР

(

) /

), а, тем более, обе эти величины одновремен-

но, агент может однозначно оценить истинное значение

состоя-

ния природы. ·

Пример 8.1 иллюстрирует ситуации, когда однократного на-

блюдения агентом соответствующей информации достаточно для

восстановления истинного значения состояния природы. При этом

нет нужды ни в повторных наблюдениях, ни в информации о вы-

борах других агентов (если бы таковые имелись). Однако, возмож-

ны случаи, когда однократного наблюдения агенту недостаточно.

Приведем пример.

Пример 8.2. Пусть n = 1, x ³ 0, z = x,

= (

)

= [1; 4] ´ [1; 4],

= [2; 4]

´ [2; 4];

= (3; 3),

(11) f(

, x) = (

–

x) x – x

/ 2 ,

где a ³ 0 – известная размерная константа. Содержательно, в отли-

чие от примера 8.1, состояние природы является двумерным векто-

ром, первая компонента которого характеризует параметры цены, а

вторая – параметры затрат.

Если бы значение состояния природы было достоверно из-

вестно агенту, то ему следовало бы выбирать действие

(12) x

(

) =

q+a

Так как целевая функция (11) монотонно возрастает по

монотонно убывает по

при любых допустимых действиях аген-

та, то в соответствии с выражением (6)

(13) x

МГР

(

) = 1 / (

+ 2).

125

В рассматриваемом примере действие агента совпадает с его

результатом, следовательно, единственным источником информа-

ции для агента является наблюдение своего фактического выиг-

рыша. Из этого наблюдения он может сделать следующий вывод о

множестве возможных значений состояния природы:

(14) I = {

= 2

(

+ 2) – 6

– 9}.

Например, при a = 1 из (5) получаем:

(15) J = {(

;

) |

= 6

– 15,

Î [17/6; 19/6]}.

Отметим, что непротиворечивость информации агента истин-

ному положению дел, по-прежнему имеет место, то есть J Í

Î J,

Î I. ·

Один агент, динамика. Возможность «повторного» исполь-

зования информации, полученной в результате наблюдения за

результатами деятельности, появляется в случае многократного

повторения выбора агентом своего действия. Будем считать, что

агенты выбирают свои действия на каждом шаге одновременно, а

шаги «равномерны».

Пример 8.3. Пусть в условиях примера 8.2

= 1, и агент при-

нимает решения последовательно несколько раз. После первого

«шага» он обладает информацией (15). В соответствии с выраже-

нием (6) его действием на втором «шаге» будет выбор

МГР

(J) = 17 / 31. Наблюдая свой выигрыш при этом действии,

агент может однозначно восстановить истинное значение состоя-

ния природы

= (3; 3).

Таким образом, в настоящем примере агенту достаточно было

двух наблюдений (двух «шагов»), чтобы восстановить всю недос-

тающую информацию. ·

Нескольких агентов в статике рассматривать мы не будем, пе-

рейдя сразу к динамическому случаю.

Несколько агентов, динамика. Обозначим

x Î X

– дейст-

вие i-го агента в момент времени t, x

1, t

– совокупность векторов

действий всех агентов за t периодов. К окончанию периода t об-

щим знанием среди агентов является информация

I(x

, z

, g

) =

) ∩

, z

) ∩

, z

) Í

На основании всех источников информации i-ый агент за t пе-

риодов может вычислить оценку

J Í

значения состояния при-

126

роды как пересечение общего знания I(x

, z

, g

) с его частной ин-

формацией

1-t

J , соответствующей предыдущему периоду:

(16)

J =

1-t

J ∩ I(x

, z

, g

Другими словами, его оценка состояния природы сузится до

множества

(17)

J (

, x

1, t

, z

1, t

, g

1, t

) =

∩

gzxI

),,(

ttt

Пример 8.4. Рассмотрим модель олигополии Курно [37, 155],

функционирующей в условиях неопределенности.

Пусть n = 2, x

³ 0, i = 1, 2, z = x

+ x

= [1; 5],

= [1; 4];

= [2; 5];

= 3,

(18) f

(

, z) = (

–

z) z – x

r / 2,

где a > 0, r > 0 – известные размерные константы. То есть, агенты

различаются лишь своей информированностью о состоянии при-

роды.

Если бы значение состояния природы было достоверно из-

вестно агентам, то им следовало бы выбирать действия

(19) x

(

) =

, i = 1, 2.

Так как целевые функции (18) монотонно возрастают по

при

любых допустимых действиях агентов, то в соответствии с выра-

жением (6) агенты в первом периоде выберут действия

(20)

x = 1 / (4

+ r),

x = 2 / (4

+ r).

В результате выбора таких действий, агенты, однократно на-

блюдая векторы действий и выигрышей, восстановят истинное

значение состояния природы. ·

Введем такое понятие, как «время адаптации команды» – вре-

мя, за которое при неизменном значении состояния природы аген-

ты на основании наблюдаемой информации могут однозначно

идентифицировать состояние природы. Значение времени адапта-

ции (продолжительности переходного процесса) определяется тем,

какие параметры наблюдают агенты, размерностью вектора, опи-

сывающего состояние природы, а также свойствами точечно-

множественных отображений (2)-(4) – см. аналогичные модели для

«технических» систем в [40]. В примерах 8.1 и 8.4 время адаптации

равнялось единице (одному периоду), в примере 8.3 – двойке.

127

Время адаптации сокращается (корректней говоря – не увели-

чивается) с увеличением числа наблюдаемых членами команды

параметров и возрастает (корректней говоря – не уменьшается) с

увеличением размерности вектора, описывающего состояние

природы, и/или ростом априорной неопределенности (расширени-

ем множеств {ω

}, описывающих частную информацию агентов).

Пример 8.5. Пусть к условиям примера 8.4 добавляется третий

агент с первоначальной информированностью

= [2,5; 3,5].

Если каждый агент по-прежнему наблюдает действия и выиг-

рыши всех агентов, то значение состояния природы они смогут

восстановить, как и в примере 8.4, за один шаг. Время адаптации

может увеличиться, если «ухудшится» информированность аген-

тов – сократится множество наблюдаемых ими параметров или

наблюдаемыми станут лишь некоторые агрегированные характе-

ристики, например, сумма действий всех агентов.

Поэтому предположим, что i-ый агент наблюдает свое дейст-

вие x

, свой выигрыш g

и сумму действий всех агентов

z, причем

факт таких наблюдений является среди агентов общим знанием.

При известных x

, z и g

уравнение

(

–

z) z – x

r / 2 = g

решается относительно

однозначно, i = 1, 2. То есть с ростом

числа агентов время адаптации в рассматриваемом случае не уве-

личивается. ·

Пример 8.6. Предположим теперь, что в условиях примера 8.5

имеются два агента, каждый из которых наблюдает только свое

действие и свой выигрыш. Тогда в результате наблюдений i-ый

агент получает уравнение

(21) (

–

+ x

)) (x

+ x

) – x

r / 2 = g

с двумя неизвестными – x

3-i

, i =1, 2.

Если каждый из агентов считает, что имеет место общее зна-

ние, то есть наделяет оппонента той же информированностью,

какой обладает он сам, то он должен считать, что оппонен выберет

то же действие, что и выбирает рассматриваемый агент (напомним,

что в данном примере агенты различаются лишь своей информи-

Если агентов всего два, то каждый, зная сумму действий и свое дей-

ствие, может вычислить действие оппонента. В случае, когда агентов

уже три и больше, действия оппонентов на основании такой информа-

ции не могут быть восстановлены однозначно.

128

рованностью о состоянии природы). Подставляя в (21) реальный

выигрыш агента и

3-i

= x

МГРi

(

получим:

(22) (

– 2

x ) 2

x – (

x )

r / 2 =

= (

–

(

x +

x )) (

x +

x ) – (

x )

r / 2,

откуда i-ый агент может вычислить на конец первого периода

нижнюю оценку

(23)

q = (

–

(

x +

x )) (

x +

x ) / 2

x + 2

значения состояния природы, i = 1, 2.

Предположим, что

= r = 1, тогда

x = 0,2,

x = 0,4,

q = 4,

q = 2,6.

Во втором периоде агенты подставят соответствующие оценки

q и

q в выражение (19), то есть выберут действия

x = 0,8,

x = 0,52,

подставят их в аналог выражения (22), вычислят новые оценки

состояния природы и т.д.

В общем случае динамика оценок состояния природы агента-

ми имеет вид (ср. с (22)):

(24)

q = (

–

(

)) (

) / 2

x + 2

x ,

i =1, 2, t = 1, 2, … .

На основании этих оценок агенты будут выбирать действия

(см. выражение (19))

(25)

x (

) =

, i = 1, 2, t = 1, 2, … .

Таким образом, адаптация команды в рассматриваемом при-

мере будет описываться системой (24)-(25) итерированных функ-

ций с начальными условиями (20), определяемыми на основании

априорной информации агентов в соответствии с принципом мак-

симального гарантированного результата.

На Рис. 15 и Рис. 16 представлены соответственно динамика

оценок состояния природы агентами (первый уровень адаптации –

см. Рис. 13) и динамика действий агентов (второй уровень адапта-

ции – см. Рис. 13).

129

2,50

3,00

3,50

4,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 15. Динамика оценок состояния природы агентами

(первый агент – треугольники, второй – квадраты)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 16. Динамика действий агентов

(первый агент – треугольники, второй – квадраты)