Неверов В.Н., Титов А.Н. Физика низкоразмерных систем

Подождите немного. Документ загружается.

159

оболочками. Однако, встаёт вопрос: а почему бы магнитному порядку не установиться

вследствие перекрытия спиновых осцилляций, порождённых соседними примесями? Дело

в том, что электроны, формирующие Кондо-состояния, компенсируют магнитный момент

примеси. Качественно ситуацию можно представить следующим образом. Кондо-пик

появляется вследствие процесса, схематически показанного на Рис. 7.3. Увеличение

амплитуды РАС при охлаждении означает

увеличение частоты актов такого рассеяния,

вследствие увеличения ВСС-«шубы». Однако, как видно из Рис.7.3., при каждом акте

рассеяния происходит изменение ориентации спина примеси и, следовательно, её

магнитного момента. В высокочастотном, а стало быть, низкотемпературном пределе

момент будет изменяться так часто, что с точки зрения электронов проводимости, он

просто станет равным

нулю. Для этого надо чтобы частота рассеяния сравнялась с

обратным временем релаксации электронов проводимости. Поскольку последняя

величина составляет ~ 10

-12

сек., то при частотах рассеяния ~ 10

Гц это условие будет

выполнено – электроны просто будут не успевать каждый раз реагировать на изменение

момента примеси. Это означает, что в области высоких температур такой материал может

демонстрировать Кюри-Вейссовскую парамагнитную восприимчивость, характерную для

локализованных магнитных моментов. Понижение же температуры будет приводить к

исчезновению локализованных магнитных моментов и, следовательно, стимула

установлению дальнего магнитного порядка. При этом сохранятся осцилляции зарядовой

плотности.

Всё вышесказанное означает, что для f-примеси возможна ситуация, когда

примесь сидит в каждом узле решётки, но магнитный порядок не устанавливается, а

плотность состояний на уровне Ферми очень велика из-за Кондо-эффекта. Такие

материалы принято называть Кондо-решётками. В случае

, если магнитного порядка не

устанавливается вовсе, то это т.н. немагнитные Кондо-решётки (НКР), если всё же

побеждает магнитный порядок, то, соответственно – магнитные. Удобным способом

изучить переход от изолированной Кондо-примеси к НКР является замещение f-примеси

аналогом, не имеющим f-электронов. Таковым может служить лантан. Им можно

замещать лантаноиды, обладающие f-оболочкой,

например, церий в CeCu

. Поскольку

все лантаноиды являются химическими аналогами и имеют близкие размеры атомов, то

единственным возмущением, вносимым в решётку таким замещением, будет являться

разбавление f-примеси. Температурная зависимость сопротивления такой системы

показана на Рис. 13.3. Видно, что во всех материалах наблюдается наличие минимума

сопротивления, соответствующего формированию РАС. Для материалов с х ≤ 0,3 в

низкотемпературном

пределе наблюдается выход на плато, соответствующий режиму

160

изолированной Кондо-примеси (сравните с Рис. 12.3.). При большем содержании церия в

низкотемпературной области наблюдается снижения сопротивления вследствие

формирования Кондо-решётки. Электроны в такой решётке уже не рассеиваются на

примеси, поскольку являются когерентными - стоячими волнами вследствие перекрытия

осцилляций зарядовой плотности , порождённых атомами церия. В таком материале

сопротивление уменьшается с охлаждением, также как

и в обычных металлах с

периодической решёткой.

Рис. 13.3. Температурная зависимость

сопротивления системы Ce

1-x

вблизи Т

Кондо

[4]. Цифрами обозначены

зависимости для следующих х: 1 – х = 0,2;

2 – х = 0,4; 3 – х = 0,5; 4 – х = 0,7; 5 – х =

0,9 и 6 – х = 1. На вставке показаны

концентрационные зависимости

температур Кондо и РККИ.

Рис. 14.3. Температурная зависимость

магнитной восприимчивости Ce

вблизи Т

Кондо

[4]. Цифрами

обозначены зависимости для следующих х:

1 – х = 0,2; 2 – х = 0,5; 3 – х = 0,6; 4 – х =

0,7; 5 – х = 0,9, 6 и 7 – х = 1 поли- и

монокристалл, соответственно.

Любопытно заметить, что в области температур, соответствующей

формированию НКР температурная зависимость сопротивления следует закону

~ T

Такое поведение характерно для случая доминирования электрон-электронного рассеяния,

или как его ещё называют Байберовского рассеяния, по имени учёного, предложившего

такой механизм. Суть этого механизма состоит в следующем. При рассеянии друг на

друге электрон может поделиться с другим электроном своим импульсом только в том

161

случае, если энергия их обоих отличается от энергии Ферми

E не более чем на kT . В

противном случае или один или другой электрон не смогут изменить свой импульс и

энергию. Это означает, что концентрация электронов - рассеивателей пропорциональна

kT . С другой стороны, концентрация электронов, способных рассеяться ограничена слоем

EkT / , вблизи энергии Ферми. Таким образом, общая вероятность рассеяния равная

произведению этих концентраций будет пропорциональна

ETk /

. Как ясно из этого

выражения, Байберовское рассеяние становится существенным при малых значениях

E .

Это и понятно – если в процессах рассеяния, например, на фононах участвуют все

электроны зоны проводимости, то здесь только те, что попадают в область близкую к

E .

Если

E мала, то общее число электронов проводимости близко к числу участников

Байберовского рассеяния.

В случае НКР высокая плотность состояний на уровне Ферми, обеспеченная

РАС, приводит к тому, что именно эти электроны играют основную роль в процессах

переноса. Но тогда для них

E следует отсчитывать от нижней границы РАС. А

поскольку общая ширина РАС мала, то и

E для этих электронов не может быть велика.

Численные оценки ширины РАС мы получим из анализа теплоёмкости чуть ниже.

На Рис. 14.3. приведены температурные зависимости магнитной

восприимчивости в зависимости от концентрации f-металла церия. Наличие пика означает

установление магнитного порядка. В данном случае это порядок типа спинового стекла –

когда магнитные моменты примеси упорядочиваются,

но из-за неравномерности

распределения примеси местами они упорядочиваются ферромагнитно, а местами

антиферромагнитно. Видно, что в пределе низких концентраций церия, повышение его

содержания повышает температуру магнитного упорядочения и делает пик более ярким.

Однако, начиная с концентрации х = 0,7 пик пропадает, а при более высоких

концентрациях восприимчивость становится температурно-независимой. Такое поведение

возможно

только в отсутствие локализованных магнитных моментов и может быть

связано с полной компенсацией магнитного момента церия электронами РАС.

Температурно-независимый вид магнитной восприимчивости позволяет связать

её с восприимчивостью свободных электронов. Действительно, восприимчивость одного

электрона пропорциональна ориентирующему воздействию магнитного поля. Стало быть,

рост температуры будет уменьшать её как

T/1~ . С другой стороны, изменять

ориентацию магнитного момента могут только электроны с энергией, отличающейся от

E не более чем на kT . С ростом температуры количество таких электронов будет

162

возрастать как NkT , где N - плотность состояний на уровне Ферми. Общая величина

магнитной восприимчивости свободных электронов (Паулиевской восприимчивости)

получается умножением восприимчивости одного электрона на их общее поголовье:

NkTNkT

BBBÏ

µµµχ

=×= (16.3)

где

- магнетон Бора. Видно, что величина

не зависит от температуры и

определяется только плотностью состояний на уровне Ферми. Это позволяет определить

величину N и увеличение её, связанное с формированием РАС.

Для зависимости 7, соответствующей монокристаллу CeCu

, наблюдается

падение восприимчивости в пределе низких температур. Такое поведение характерно для

сверхпроводимости и должно быть связано с электронами РАС.

Температурная зависимость теплоёмкости нормальных металлов С(Т)

описывается суммой электронного ( T

) и фононного (

) вкладов:

)( TTTC

βγ

+= (17.3)

Зависимость С от Т, построенная в координатах (С(Т)/Т) – Т

, позволяет определить

электронный коэффициент

как значение С/Т при Т

-> 0 и фононный коэффициент

как наклон линейного участка зависимости С/Т = f(T

). Коэффициент

пропорционален

плотности состояний на уровне Ферми:

)(

ENk

= (18.3)

У нормальных и переходных металлов значение

по порядку величины

составляет 1 – 10 мДж/моль К

. Как видно из Рис. 15.3., у CeCu

зависимость С/Т = f(T

)

при низких температурах отклоняется вверх, в сторону больших значений С/Т, и при T ->

0 коэффициент

достигает гигантских значений ~ 10

мДж/моль К

. Это почти на 3

порядка превышает аналогичную величину для нормальных металлов.

Повышение теплоёмкости в низкотемпературном пределе связано не с

перестройкой плотности состояний вследствие формирования РАС, он формируется при

Кондо

и более не изменяется при охлаждении, а с тем обстоятельством, что область kT

вокруг уровня Ферми, дающая вклад в теплоёмкость, становится меньше ширины РАС.

Это позволяет оценить последнюю величину как ~ 200 К ≈ 0,02 эВ.

Основные характеристики НКР суммированы в Таблице 2.3. Там же для

сравнения приведены данные для нормального металла – меди. Бросается в

глаза

гигантское увеличение теплоёмкости, обсуждавшееся выше, столь же гигантское

увеличение Паулиевской магнитной восприимчивости

, наличие значительного вклада

163

электрон-электронного рассеяния и малость Фермиевской скорости. Следует отметить,

что изменения во всех этих параметрах приблизительно прямо пропорциональны друг

другу: отношение

ÍÊÐ

примерно равно

ÍÊÐ

и т.п., где индекс НКР обозначает

величину для Кондо-систем, а Cu – величину для меди. Все эти факты свидетельствуют в

пользу присутствия на уровне Ферми узкой зоны почти локализованных электронов с

высокой плотностью состояний, определяющей электронные свойства материалов. Как

уже утверждалось, это и есть РАС. Большие эффективные массы электронов

проводимости

для НКР-систем дали основание назвать их системами с тяжёлыми

фермионами.

Рис. 15.3. Температурные зависимости

теплоёмкости С(Т) монокристалла

CeCu

в координатах С/Т и Т

. На

вставке показан низкотемпературный

участок, включая данные полученные в

магнитном поле (отмечены как х).

Таблица 2.3. Сравнение характеристик НКР и нормального металла. Через A

e-e

обозначен Байберовский вклад в сопротивление.

Металл

)0( →T

Дж/моль К

)0(

CGS/моль

e-e

мкОм

см/К

Эффективная

масса

электронов

Температура

Ферми

T , К

Скорость

Ферми

, см/с

CeCu

1050 0,0065 10 500 8 1,68 10

CeAl

1620 0,036 35 800 5 1 10

CeCu

1450 0,027 39,3 1000 3 10

UBe

1100 0,015 10

- 10

10 3,4 !0

Cu 0,695 10

-6

0,1 1 8 10

5,7 10

164

3.7. Сверхпроводимость Кондо-решёток

Как видно из Рис. 14.3., при охлаждении CeCu

переходит в сверхпроводящее

состояние. При разбавлении церия лантаном эффект пропадает. Следовательно,

естественно связать переход в сверхпроводящее состояние со сближением атомов церия.

Тогда дальнейшего сближения можно достичь с помощью внешнего давления. Суммарная

фазовая диаграмма показана на Рис. 16.3.

Рис. 16.3. Фазовая диаграмма магнитных и сверхпроводящих свойств системы

1-x

при разбавлении подрешётки церия и при приложении внешнего

гидростатического давления. Р – парамагнитная фаза, S – сверхпроводящая, МО –

магнитно-упорядоченная (спиновое стекло).Вставки показывают плотность состояний

вблизи уровня Ферми в двух крайних случаях: магнитном (Т

Кондо

<< Т

РККИ

), (а) и

немагнитном (Т

Кондо

>> Т

РККИ

), (б).

Вставка на Рис. 13.3., показывает, что в области относительно малых

концентраций f-центров (Се) реализуется магнитный сценарий Т

РККИ

>> Т

Кондо

. В этом

случае охлаждение неизбежно приводит к установлению магнитного порядка, как это

видно и из Рис.14.3. Увеличение концентрации Се приводит к компенсации магнитных

моментов атомов примеси и, следовательно, сначала понижению температуры магнитного

упорядочения а затем и полного его исчезновения с фазовой диаграммы. Дальнейшее

сближение атомов Се приводит к возникновению при

охлаждении сверхпроводящего

состояния. Можно ожидать, что это является следствием возрастающего перекрытия

зарядовых осцилляций вокруг f-активной примеси. Действительно, возрастание

температуры сверхпроводящего перехода в области давлений 0 – 4 кб указывает на

повышение устойчивости сверхпроводящего состояния. Это может указывать на

165

неполную компенсацию магнитных моментов, возрастающую с ростом давления и,

следовательно, возможность сосуществования небольших по величине остаточных

моментов со сверхпроводимостью.

Как известно, переход в сверхпроводящее состояние сопровождается

образованием бозе-конденсата куперовских пар и формированием на уровне Ферми щели.

Это означает скачкообразное уменьшение электронной темплоёмкости

. Такой скачок

действительно наблюдается для НКР и его величина в точности соответствует

полученной как это показано на Рис. 15.3. Поскольку эта величина связывается с

плотность состояний РАС, то ясно, что именно электроны, локализованные вследствие

Кондо-эффекта и обеспечивают сверхпроводимость в этих материалах.

Среди факторов, способствующих сверхпроводимости, следует отметить

высокую плотность состояний на уровне Ферми и малые Фермиевские скорости

электронов РАС, см. Таблицу 2.3. Второе

сближает характерные времена для электронной

подсистемы и решётки и благоприятно для усиления электрон-фононного

взаимодействия, лежащего в основе сверхпроводимости. Первое же приводит к резкому

увеличению диэлектрической проницаемости

. Действительно, если мы внесём пробный

заряд в некий материал, то электроны проводимости будут его экранировать. Однако,

принять участие в этом процессе смогут только электроны, чьи энергии будут отличаться

от энергии Ферми не более чем на eE, где е – заряд электрона, а Е – поле, создаваемое

пробным зарядом. Это приводит к следующему выражению

для

[6]:

ENe

)(4

1)(

→

(19.3)

где

→

k - волновой вектор электрона. Поскольку плотность состояний на уровне

Ферми в материалах с НКР примерно в 1000 раз выше, чем в нормальных металлах, то во

столько же раз сильнее экранировка электрон-электронного отталкивания,

препятствующего образованию куперовских пар.

Вообще, формирование узких зон с высокой плотность состояний на уровне

ферми оказывает влияние не только

на электронные свойства материалов, но и на

поведение решётки и термодинамическую устойчивость материалов, в чём мы убедимся в

следующих главах.

Литература.

1.3. Ф.Дж.Блатт, П.А.Шредер, К.Л.Фойлз, Д.Грейг «Термоэлектродвижущая сила

металлов» М.: Металлургия 1980

166

2.3. Р.Уайт, Т.Джебелл «Дальний порядок в твёрдых телах» М.: Мир 1982

3.3. Leo Kouwenhoven and Leonid Glazman «Revival of the Kondo effect»// Physics

World Jan. 2001.

4.3. В. В. Мощалков, II, Б, Брандт «Немагнитные Кондо - решётки»// Успехи

Физических Наук

149б (1986) № 4 (август) 585-634

5.3. В.Л.Бонч-Бруевич, С.Г.Калашникова «Физика полупроводников» М.: Наука

1990

6.3. Дж. Займан Принципы теории твёрдого тела Мир, М. 1974 С.174

167

Глава 4. Поляроны

4.1. Ограниченность адиабатического приближения

Традиционно электрические свойства материалов принято обсуждать в рамках т.н.

«адиабатического приближения». Оно основано на большой разнице характерных времён

релаксации для электронов проводимости и атомов, составляющих решётку. Причиной

тому очень большое различие в массах этих частиц. Действительно, электрон почти в 2000

раз легче протона или нейтрона, а поскольку таких частиц в

ядре атома может быть до

200, то различие в массах электронов и ядер составляет ~ 10

- 10

раз. Соответственно,

если характерные времена для электронов проводимости составляют ~ 10

-14

с., то для

атомов они находятся в переделах 10

-11

– 10

-12

с. Следовательно, электроны всегда будут

способны отследить изменения в подсистеме атомов, тогда как атомы в большинстве

случаев не успевают отреагировать на изменения в электронной подсистеме. Оказывается,

это не всегда так. Возможны ситуации, когда взаимодействие электронов проводимости с

решёткой приводит к «утяжелению» электронов вплоть до полной локализации. Ясно, что

характер такого

взаимодействия зависит от природы химической связи в кристалле.

Рассмотрим случаи наиболее типичных химических связей – металлическую, ионную и

ковалентную.

4.2. Металлы.

В металлах стабильность решётки обеспечивается коллективизированными

электронами. Адиабатическое приближение относится к фермиевским электронам,

эффективная масса и скорость которых определяются их законом дисперсии. В

простейшем случае, для квадратичного закона дисперсии и сферической поверхности

Ферми, масса фермиевских электронов

mm ≈ , где

m - масса свободного электрона, а

их скорость близка к скорости Ферми

10≈

v м/с, см. Таблицу 2.3. Минимально

возможное время искажения фермиевским электроном решётки определяется наиболее

высокой частотой колебания атомов – дебаевской частотой

и составляет половину

периода колебания ионов

= (1.4)

За это время фермиевский электрон удаляется от области максимальной

поляризации решётки на расстояние

≈

/ 100 нм. Искажённая область длиной

, обладающая положительным зарядом вследствие сближения ионов вокруг

168

отрицательно заряженного электрона – поляризованная электроном, движется за ним на

расстоянии во много раз превышающем межатомные расстояния составляющие ~ 0,1 – 0,5

нм. Такое искажение нельзя рассматривать как генерацию электронами акустических или

оптических фононов, распространяющихся в виде упругих волн в решётке, так как она

осуществляется и при температуре 0 К, когда тепловая энергия колебаний решётки равна

нулю

и рождение тепловых фононов невозможно. Поэтому такая поляризация решётки

связана с рождением и исчезновением виртуальных (существующих очень короткое

время) фононов, с частотой порядка дебаевской частоты

Принято говорить, что электрон в кристаллической решётке окружён «облаком»

виртуальных фононов с дебаевской частотой. Очевидно, что чем больше амплитуда

поляризации тем больше рождается виртуальных фононов и тем сильнее связь электрона с

решёткой. Энергия взаимодействия электрона с решёткой определяется константой

pe−

электрон-фононного взаимодействия. Величину

pe−

можно выразить через число

возбуждаемых виртуальных фононов как отношение энергии поляризации (упругой

деформации)

E решётки в области поляризации к энергии фонона

h . С учётом

наличия трёх фононных ветвей

pe−

определяется так:

−

(2.4)

За время

va / , где a - постоянная решётки, из-за взаимодействия иона массой М с

фермиевским электроном, импульс иона изменится на величину:

Fdtp

=≈=∆ (3.4)

Энергия поляризации (смещения) одного иона равна:

Mva

∆

≈ (4.4)

Число ионов в поляризованной области кристалла составит

)/(2/2

avaN

=≈ .

Энергия, связанная с упругой деформацией решётки в поляризованной области,

равна:

Mva

uNuE

DFD

≈== (5.4)

Учитывая, что

βπω

- упругая постоянная решётки, и подставляя в

(2.4) выражение для

E (5.4), получаем: