Неверов В.Н., Титов А.Н. Физика низкоразмерных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.1. 8 Схематическое изображение гетероструктуры 1 - подложка, 2 - изолирующий слой GaAs, 3 -

нелегированный слой AlGaAs (спейсер), 4 - легированный слой AlGaAs, 5 - закрывающий

легированный слой. Двумерный электронный газ находится на границе между 2 и 3 слоем со

стороны GaAs.

Инверсионные слои в кремниевых структурах.

Типичной двумерной системой является инверсионный канал на поверхности кремния,

Рассмотрим кремний p-типа Рис.1. 9, на поверхности которого находится слой

диэлектрика (SiO

). На диэлектрик нанесен металлический электрод, называемый

затвором. Если на затвор подать отрицательное относительно объема полупроводника

напряжение, то вблизи поверхности образуется область положительного

пространственного заряда, т.е обогащенный основными носителями заряда слой. Если

же на затвор подано положительное напряжение, то зоны вблизи поверхности

изгибаются вниз. Образуется отрицательный индуцированный заряд за счет

ухода дырок

валентной зоны или с нейтральных акцепторов из приповерхностной области: возникает

обедненный слой. При увеличении положительного напряжения на затворе

число

отрицательно заряженных неподвижных акцепторов возрастает, увеличивается изгиб

зон и край зоны проводимости опускается ниже уровня Ферми. В возникающей

потенциальной яме появляются электроны - неосновные носители. Когда поверхностная

плотность электронов превышает концентрацию дырок, то говорят, что произошла

инверсия поверхности, а образовавшийся слой электронов называют инверсионным.

Этот слой отделен от объема полупроводника областью

отрицательного заряда - так

называемым обедненным слоем шириной z

(см.Рис.1. 9). Рассматривая металлический

затвор и инверсионный слой как две обкладки плоского конденсатора, легко заключить,

что двумерная плотность электронов в слое

(плотность состояний электронов на

единицу площади двумерного электронного газа) будет пропорциональна напряжению

на затворе:

(

)

−=

(1.20)

где

- диэлектрическая проницаемость диэлектрика;

V - пороговое значение

напряжения, соответствующее открытию инверсионного канала, т.е. появлению в нем

электронов.

Точно также на поверхности полупроводника n-типа может образоваться

инверсионный дырочный слой, отделенный от объема областью положительного

фиксированного заряда. В таких структурах плотность двумерных электронов можно

варьировать от 10

до 10

см

-2

. При больших концентрациях наступает пробой

диэлектрика, а концентрации менее 10

см

-2

не достижимы, так как из-за

несовершенства границы радела диэлектрик-полупроводник все носители локализуются.

Толщина поверхностного слоя, заполненного электронами, составляет обычно 3-5 нм, а

обедненного до 1 мкм. Случайный потенциал, связанный с заряженными примесями и

структурными несовершенствами, ограничивает подвижность носителей заряда в

инверсионных слоях. Максимальные величины подвижностей достигают значений 5

/Вс.

Полевые системы создаются в структурах на основе полупроводников A

III

. В

них вместо слоя диэлектрика (SiO

) используется обедненный слой возникающий в

эффекте Шотки на границе металл- полупроводник.

Рис.1. 9 Схема образования инверсионного слоя на поверхности кремния. а)1,3 — низкоомные

электроды сток-исток, 2 — затвор, 4 — инверсионный n-канал, б) схема энергетических зон вблизи

границы раздела диэлектрик—полупроводник: E

- дно зоны проводимости, E

— потолок

валентной зоны, z

— область обеднения, E

— уровень Ферми в полупроводнике, eV

- потенциал

на затворе; E

- энергия акцепторного уровня

Дельта слои.

Укажем в заключение еще на один тип квантово-размерных структур с

треугольной потенциальной ямой - так называемые дельта-слои. Это полупроводники с

предельно неоднородным профилем легирования, где примесные ионы не распределены

однородно по объему, а сосредоточены в очень тонком слое в один или несколько

периодов решетки. Носители, образовавшиеся при ионизации примесей,

удерживаются

их зарядом вблизи плоскости слоя. Электрическое поле слоя ионов экранируется

зарядом электронов, и результирующая потенциальная яма имеет вид, схематически

показанный на Рис.1. 10, Отличительной чертой дельта-слоев является возможность

получения в них очень высокой концентрации размерно-квантованных носителей (до

значений порядка 10

см

-2

), заметно большей, чем в других описанных структурах.

Однако подвижность носителей в них сравнительно невелика за счет рассеяния на

большом количестве примесных ионов, лежащих непосредственно в плоскости слоя.

Рис.1. 10 Зонная диаграмма дельта слоя.

Прямоугольная квантовая яма.

Простейшая квантовая структура - это достаточно тонкий слой

полупроводника, или полупроводниковая пленка. Именно на тонких пленках

полуметалла висмута и полупроводника InSb в 60-х годах был обнаружен эффект

размерного квантования.

Последовательный рост двух гетеропереходов приводит к образованию

квантовой ямы - Рис.1. 11. В такой квантовой яме в зависимости от ее размеров

возникает один или несколько

уровней энергии. При легировании эти уровни будут

заполнены 2D носителями заряда.

Рис.1. 11 Схематическое образование квантовой ямы из двух гетеропереходов AlGaAs/GaAs, энергия

отсчитывается от Уровня вакуума Е

vac

Структуры с туннельнопрозрачными барьерами.

Большой интерес вызывают структуры со слоями или квантовыми точками

находящимися достаточно близко друг к другу, что возможно носители заряда могут

туннелировать между ними. Как правило это бывают серия прямоугольных квантовых

ям для структур с двумерным электронным газом или массивы квантовых точек

самоорганизующихся при росте структуры (см. главу 2). Выделяют двойные квантовые

ямы

– две прямоугольных квантовых ямы выращенных близко друг от друга (их

легируют как единое целое) и сверхрешетки где есть большое количество

повторяющихся квантовых ям (Рис.1. 12).

Рис.1. 12 Зонная диаграмма сверхрешетки.

1.5. Квантовая механика простейших структур.

Сейчас рассмотрим простейшее квантово-механическое описание структур описанных

выше.

Прямоугольная потенциальная яма.

Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме решается точно и это решение

приведено в первом параграфе.

Ниже рассматриваются простейшие одномерные квантовые модели, обычно

используемые для описания электронных состояний в реальных структурах. Уравнение

Шредингера рассматривается в простейшем приближении эффективной массы, в

котором электронный спектр определяется единственным параметром m.

В квантовой механике известен ряд

одномерных потенциалов U(x), для которых

существуют аналитические решения стационарного уравнения Шредингера. В качестве

первого примера рассмотрим простейшую модель полупроводниковой структуры —

прямоугольную квантовую яму (бесконечно глубокая потенциальная яма была

рассмотрена в параграфе 1). Для нее уравнение Шредингера запишем в виде

ψψ)(

=+− xU

(1.21)

где потенциальная энергия определяется выражением

⎩

⎨

⎧

<−

)(

LxU

xU ,

(1.22)

Очевидно, что при

спектр будет дискретным, а при 0>

- непрерывным и

двукратно вырожденным. Поскольку потенциал (1.21) симметричен по отношению к

замене

−→ , собственные функции (1.20) будут либо четными, либо нечетными.

Положив

kkk

E −==−=

(1.23)

Можно записать эти решения в виде:

четные

()

;

cos

sin

),()(

,2,2cos

,20),cos(

)(

)2(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−

⎩

⎨

⎧

≤≤

−

kLkLkL

xuxu

LxekLA

LxkxA

xLk

(1.24)

нечетные

()

sin

cos

sin

),()(

,2,2sin

,20),sin(

)(

)2(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

−=−

⎩

⎨

⎧

≤≤

−

−−

−

kLkLkL

xuxu

LxekLA

LxkxA

xLk

(1.25)

Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы

функция u(x) оставалась непрерывной в точке

2Lx

. Нормировочная постоянная была

определена из условия

∫

∞

∞−

dxu

(1.26)

Требование непрерывности

′

в точке 2Lx

дает еще условие:

четные

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

tg ;

(1.27)

нечетные

kkL

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.28)

С помощью соотношений (1.24), (1.25) и (1.27), (1.28) можно упростить выражения для

нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство

(1.29)

Чтобы из уравнений (1.27), (1.28) можно было найти собственные значения, заменим в

правых частях этих уравнений величину

k в соответствии с выражением (1.23) и

введем обозначение

C =

(1.30)

тогда

четные

(

)

kLС

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

;

(1.31)

нечетные

()

kLС

kLkL

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.32)

При данном потенциале величина C является постоянной, зависящей лишь от размеров

ямы (

~ ULС ), и уравнения (1.31) и (1.32) дают возможность определить все значения

L, а тем самым и все значения энергии

,...1 ,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

(1.33)

реализующиеся в яме данных размеров. Из данного анализа следует, что в любой даже

самой мелкой яме существует хотя бы одно связанное состояние, а полное число

состояний равно

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

mod1

LmU

(1.34)

где функция mod(

x) – есть целая часть числа x. По мере увеличения энергии E

четные и

нечетные состояния чередуются, причем основное состояние всегда четное. Это

иллюстрирует Рис.1. 13.

Рис.1. 13 Волновые функции и уровни энергии в прямоугольной квантовой яме

Приведем аналитические выражения для нормированных волновых функций и

спектра в случае, когда выполнено неравенство

222

>>h

LmU и яму можно считать

бесконечно глубокой, а также для мелкой ямы, где выполнено обратное неравенство

222

<<h

LmU .

В бесконечно глубокой яме при 2Lx < имеем (1.2)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= x

cos

)( , n = 1, 2, 3,…

а энергия, отсчитываемая от дна ямы, есть (1.3)

В мелкой яме имеется только одно (четное) решение, отвечающее дискретному

уровню причем его величина оказывается много меньше глубины ямы:

LmU

UE ≈−

(1.35)

Соответствующая волновая функция почти постоянна внутри ямы и

экспоненциально убывает вне ее:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.36)

(знаки «—» и «+в относятся соответственно к областям х >0 и х <0).

Треугольная потенциальная яма.

В физике микроструктур также часто рассматривается модель треугольной ямы. Будем

считать, что в области

0>x электрон движется в однородном электрическом поле, а в

начале координат (

0=x

) находится бесконечно высокая отражающаяся стенка, т.е.

⎩

⎨

⎧

<∞

)(

xFxe

(1.37)

где

е - заряд электрона; F - напряженность электрического поля. Стационарное

уравнение Шредингера в поле (1.37)

)()(

xExeFx

nnn

ψψ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.38)

имеет два независимых решения. Решением, которое удовлетворяет граничному

условию

0)( =∞→x

, является функция Эйри

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Fem

CAx

)(

(1.39)

где С — нормировочная константа. Закон квантования энергии находится из условия

)0(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

Fem

(1.40)

Корни функции Эйри ,...)2,1(

определяют дискретные уровни энергии в

треугольной яме

,...)1,0(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.41)

В частности, энергия основного состояния равна (

34,2

)

86.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(1.42)

На Рис.1. 14 можно видеть собственные функции, отвечающие пяти низшим уровням

энергии.

Рис.1. 14 Квантовые состояния в треугольной квантовой яме

При больших n для расчета волновых функций и спектра можно воспользоваться

квазиклассическим приближением, которое для уровней энергии треугольной ямы дает

следующую асимптотическую формулу:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= n

(1.43)

Двойная квантовая яма.

Двойную квантовую яму можно представить, как квантовую яму с проницаемым

барьером посередине. Полупроницаемую перегородку

Рис.1. 15, разделяющую всю

область на две равные части, можно получить как предельный случай барьера конечной

ширины 2

b (между точками bx

−

= и bx

) и конечной высоты

V. Для краткости

введем обозначения

Рис.1. 15 Прямоугольная потенциальная яма с полупроницаемой перегородкой.

()

kEV

=−=

(1.44)

Кроме двух граничных условий

0)(

au , благодаря наличию барьера мы имеем еще

четыре граничных условия, так как функции

)(xu и )(xu

′

должны быть непрерывны в

точках bx ±= . Удовлетворяя первым двум условиям и беря решение в действительной

форме, имеем

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤

≤≤−

−≤≤−

−

),(sin

axb

bxb

bxa

axkA

CeBe

axkA

xkxk

(1.45)

Требование непрерывности при

теперь дает

()

.)(cos)(

,)(sin)(

,)(cos)(

,)(sin)(

bkbk

CeBekabkkAbu

CeBeabkAbu

CeBekbakkAbu

CeBebakAbu

+−=−=+

′

+=−=+

+−=−=−

′

+=−=−

−

(1.46)

После исключения

и A

из равенств (1.46) соответственно остаются два соотношения

.)(ctg

,)(ctg

CeB

kbakk

CBe

kbakk

−

=−

+−

=−

(1.47)

Из тождественности их левых частей следует равенство правых частей. Последние же

равны в том и только в том случае, если CB

. При CB

из первого и третьего

равенств (1.46) следует, что

−

, и мы получаем решения с положительной

четностью, если же CB −= , то

, и мы получаем решения с отрицательной

четностью. Стационарные состояния разделяются на два класса, характеризующиеся

различными четностями.

Теперь перейдем к пределу

∞

→→

kb ,0 так, чтобы 0→bk

, но величина

Ω=bk

(1.48)

оставалась конечной. Величину

Ω будем называть коэффициентом непроницаемости

перегородки, так как с ростом Ω она становится все более непроницаемой. При

положительной четности

)( CB = соотношение (1.47) после разложения его правой

части в ряд дает

Ω

−

kak ctg .

(1.49)

При отрицательной четности

)( CB

−

аналогичным путем получаем

−

∞

kak ctg

(1.50)

Второй случай проще. Собственные функции обращаются на перегородке в нуль, так

что решение имеет вид

),()(

...,3,2,1

,0),(sin

Axuxu

nnak

axaxkA

xaaxkA

=−=−

⎩

⎨

⎧

≤<−

<≤−+

−−

−

(1.51)

Что же касается уравнения (1.49), то оно позволяет определить собственные значения

k лишь численно. Исключение представляют только два предельных случая:

1) полностью непроницаемая перегородка

)(

∞

→

Ω

, когда для собственных значений

получается тот же результат, что и в случае уравнения (1.50), т. е.

;

полностью проницаемая перегородка )0(

Ω

, когда

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

Таким образом, при конечном коэффициенте непроницаемости собственное

значение

k заключено между

−

k и

−

k т. е. уровни с положительной и отрицательной

четностями чередуются. Собственные функции можно записать в виде

2sin2

),()(

...,3,2,1

,0),(sin

akak

Axuxu

nnakn

axaxkA

xaaxkA

−

==−

=<<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎩

⎨

⎧

+≤<−+

<≤−+−

(1.52)

Их значения при

0=x конечны, а на графиках имеются изломы.

Рис.1. 16 Расположение уровней при различных значениях коэффициента непроницаемости барьера.

Сплошные линии – состояния с положительной четностью; пунктирные линии – состояния с

отрицательной четностью.

Уровни двойной квантовой ямы изображены на Рис.1. 16, где сплошные линии

относятся к состояниям с положительной четностью, а пунктирные - к состояниям с

отрицательной. Крайним слева на Рис.1. 16 показан случай

0=Ω , когда барьер

полностью прозрачен, что соответствует ситуации бесконечно глубокой ямы (см.

параграф 1). Чем непрозрачней становится барьер, т. е. по мере приближения к правому

краю рисунка, тем выше поднимаются уровни с положительной четностью; уровни же с

отрицательной четностью остаются на прежнем месте (и соответствуют первым уровням

пространственного квантования изолированных квантовых ям).

Это находит отражение

и в поведении четных собственных функций. В качестве примера одна такая функция

для

1=n показана на Рис.1. 17 (волновые функции не нормированы). В случае

непроницаемой перегородки )(

∞

→Ω она при

обращается в нуль, и обе части ямы

становятся независимыми друг от друга. За исключением знака в левой части ящика эта

функция совпадает с первой нечетной собственной функцией, показанной в нижней

части Рис.1. 17; таким образом, в пределе

∞

→

Ω

энергетические уровни становятся

вырожденными (крайняя правая полоса на Рис.1. 16).

Рис.1. 17 Волновые функции двух первых стационарных состояний при различных значениях

коэффициента непроницаемости барьера. Вверху – состояние 1

, внизу – состояние 1

Сверхрешетки. Образование минизон.

Одномерная задача движения электрона в периодическом потенциале,

допускающая точное решение, была предложена Кронигом и Пенни. В этой модели

потенциал представляет из себя прямоугольные барьеры высотой V

и шириной b, как

это показано на Рис.1. 18, расщепленные прямоугольными потенциальными ямами

шириной a. При 0

→bV электроны движутся как свободные, при ∞→bV

электрон

находится в бесконечно глубокой потенциальной яме и энергетический спектр

становится дискретным. Для краткости введем обозначения

()

kEV

=−=

Уравнение Шредингера с таким потенциалом имеет решение в виде плоской

волны, модулированной с периодом решетки:

xik

exux )()( =

, где )(xu

является

периодической функцией с периодом

. Из условия ее непрерывности на границах

ям при )(0 banx

+= и )( banax

+= получается уравнение, связывающее энергию

электрона Е с его волновым вектором K.

)(cos)cos()ch(

)sin()sh()(

baKkabk

kabkkk

+=+

−

(1.53)

Рис.1. 18 Одномерная периодическая потенциальная энергия в модели Кронига - Пенни