Некипелов А. Становление и функционирование экономических институтов

Подождите немного. Документ загружается.

60 Глава 1. Экономика «робинзонады»

тан X. Куном и А. Таккером в 1951 г.^ В соответствии с ним полу-

чаем следующую функцию Лагранжа и необходимые условия

максимума:

3 = (/(jt:i,...,x„,L) +

•^IK-(bi -g'(x^,...,xj)

+ Х

(T-^aj'Xj-L), (1.46)

j = l,...,w; i = l,...,w.

m ^

= ^1 - X ^i ' 9\ ~^

•

a^<Q, если <, то x^ = 0.

/=i

(1.47)

3^„ = ^» - Z

>^i

•

^^ -

^* •

a« ^ 0. если <, то x„ = 0.

1=1

=Ui-X*

=0. (1.48)

3xi =

- ^^ ^ 0 , если >, TO X| = 0;

(1.49)

\^ =6,,-^">0, если >, ToX, = 0.

\^ =T-^ajXj-L=Q. (1.50)

Л,.

>0. (1.51)

Анализ уравнений (1.47) —(1.51) позволяет сделать следую-

щие выводы. Если множитель Лагранжа

Х^

= О, то имеющиеся фи-

зические ограничения по соответствующему ресурсу никак не ли-

^ Kuhn, H.W. and Tucker, A.W. Nonlinear Programming // /. Neymann

(ed.).

Proceedings of the Second Berkley Symposium on Mathematical Statistics and

Probabilities. Berkley : University of California Press, 1951.

Максимизация полезности Робинзоном 61

митируют производственный процесс; соответственно, если такая

ситуация характерна для всех ресурсов, то уравнения (1.47) при-

обретают при х„

Ф О

тот же вид, что и прежде: U^ -

X,*

•

а^ =0.

Однако в случае, когда множитель Лагранжа \ > О, из уравне-

ний (1.47) имеем:

ELA^^

(1.52)

aj aj

Таким образом, удельная предельная полезность тех благу

для производства которых имеются ресурсные ограничения,

оказывается выше, чем предельная полезность свободного вре-

мени

)С.

При этом она будет тем выше, чем больше количество ли-

митируюш;их производство данного блага ресурсов и чем больше

величина соответствующих этим ресурсам множителей Лагранжа

\. Почему так происходит?

Принимая решение о распределении своего времени, Робин-

зон вначале будет распределять труд между производством раз-

личных благ таким образом, чтобы удельная предельная полез-

ность последних постоянно была одинаковой. Однако если преж-

де,

чем предельная отдача труда сравняется с удельной полезно-

стью свободного времени, закончится какой-то ограниченный

ресурс, то Робинзон лишится возможности дополнительного вы-

пуска тех благ, в производстве которых этот ресурс используется.

Далее он будет распределять свой труд между остающимися бла-

гами до тех пор, пока либо не «отпадет» производство следующей

потребительной ценности, либо предельная полезность трудовых

затрат не сравняется с предельной полезностью свободного време-

ни.

Наличие различий в удельной предельной полезности не яв-

ляется в данном случае свидетельством субоптимального по-

ложения, поскольку перераспределение труда от производства

благ с наименьшей удельной предельной отдачей в пользу благ с

наибольшим удельным показателем полезности невозможно из-за

ресурсных ограничений.

Для окончательного выявления экономического смысла мно-

жителей

Х-

продифференцируем функцию Лагранжа в точке мак-

симума по

Ь-.

Приняв во внимание, что, по лемме об огибающей,

dZ/db^

= dU*/dbij получим:

62 Глава 1. Экономика «робинзонады»

ЯГ. (1.53)

Таким образом, множители Лагранжа Х^ показывают, на-

сколько возрастет максимальная величина «извлекаемой Ро-

бинзоном из жизни» полезности при увеличении г-го ресурса на

1 единицу (если этот ресурс имеется в избытке, то Х^

0).

В теории оптимального планирования Х^ получил название

объективно обусловленной оценки, на Западе — теневой це-

ны,

вмененной ренты или предельной производительности i-го

ресурса.

Все эти названия не представляются мне вполне подходящими

для характеристики рассматриваемой нами модели. Первое из

них является излишне абстрактным, а потому и туманным. Это,

впрочем, легко объяснимо: творцам «системы оптимального

функционирования экономики» (СОФЭ) приходилось заботить-

ся о том, чтобы их разработки не квалифицировались как проти-

воречащие марксистской теории трудовой ценности («стоимо-

сти»).

Следующие два названия очевидным образом привязаны к

условиям рыночной экономики, которой для нас пока не сущест-

вует. Что касается третьего названия — предельная производи-

тельность ограниченного ресурса, то его следует применять осо-

бенно осторожно, чтобы не оказаться жертвой довольно распро-

страненных заблуждений.

Суть одного из них в приложении к рассматриваемой модели

состоит в том, что каждый фактор производства вносит свой

вклад в удовлетворение потребностей Робинзона. На самом деле

изолировать роль в создании продукта отдельных производствен-

ных факторов невозможно в принципе, и данное обстоятельство

для экономической науки не является новым.

Второе заблуждение не столь очевидно: на первый взгляд

вряд ли можно что-то возразить против утверждения, в соответст-

вии с которым приращение ограниченного фактора «производит»

дополнительное количество блага. Между тем ошибка здесь име-

ется, и она состоит в некорректном использовании слова «произ-

водит». Ведь и в данном случае все количество продукта является

результатом совместного функционирования всех факторов про-

изводства; приращение же одного из факторов лишь меняет кон-

фигурацию их взаимодействия.

Максимизация полезности Робинзоном

Более того, организатором производственного процесса явля-

ется человек; он же ориентирует этот процесс на удовлетворение

собственных потребностей. Трудно себе представить, что Робин-

зон будет дифференцированно «вменять» полученное им удов-

летворение различным факторам производства. Для него зна-

чительно естественней продолжать рассматривать степень удовле-

творения потребностей

как

результат применения исключи-

тельно собственных способностей

условиях ограниченных

(«редких») ресурсов. Поэтому,

моей точки зрения, экономиче-

ское содержание множителей Лагранжа

Х^ в

рамках рассматри-

ваемой модели лучше всего характеризуется следующим названи-

ем:

предельная ценность ограниченного ресурса. Очевидно,

что величина этого показателя носит производный характер

от

ценности (полезности) производимых с участием соответствующе-

го ресурса предметов потребления, степени редкости самого

ре-

сурса,

также производственных навыков Робинзона.

В связи

рассматриваемым кругом вопросов вернемся

об-

щей формулировке нашей модели. Как правило, модели с ограни-

ченными ресурсами формулируются без учета свободного време-

ни как фактора удовлетворения потребностей человека. При этом

труд наряду

другими факторами производства включается

со-

став условий связи

д\

Примененный нами выше подход не случа-

ен.

Он наилучшим образом отвечает идеологии,

соответствии

которой набор природных условий — это

не

более чем внешние

ограничения,

которыми должен считаться Робинзон; рабочее

(как и свободное) время — часть его жизни, прожить которую он

хочет

максимальной для себя пользой.

Вместе

тем изолированный анализ максимизации полезности

в рамках одной лишь производственной деятельности вполне воз-

можен; важно лишь не забывать о тех допущениях,

которыми он

связан. Модель максимизации полезности Робинзоном при абстра-

гировании от свободного времени будет выглядеть следующим об-

разом

(в

число

ресурсных ограничений включен

труд):

max

и(х^,...,х„)

при ограничениях (условиях связи)

g\x^,...,xj<b^;

(1.54)

64 Глава 1. Экономика «робинзонады»

х^,...,х^^

> о, у =

\,...,п',

l,...,m.

Этой модели соответствуют следующие функция Лагранжа и

условия связи:

и(х„...,х^

^,Хг(Ь^-д'(х^,.--,х^). (1.55)

^Х- -gl, если <, то х^ = 0. (1.56)

1=1

-д' >0, если >, то X, = 0. (1.57)

Доказано^ что если целевая функция U и условия связи

д^

яв-

ляются однородными функциями одного порядка, то

уМ =Y^x^ 'hi. (1.58)

i=l

Иными словами, максимальная величина полезности от

произведенных благ равняется сумме произведений предель-

ной ценности каждого ресурса на его количество. Именно эта

формула часто используется для обоснования вывода, согласно

которому общий результат производства складывается из вкла-

дов отдельных производственных ресурсов в его достижение.

Между тем даже при соблюдении требования о том, что целевая

функция и ограничения являются однородными функциями од-

ного порядка, из этой формулы вытекают лишь количественные,

но отнюдь не причинно-следственные взаимосвязи. Тем более

зыбкими становятся такого рода выводы в условиях, когда от-

сутствуют серьезные аргументы в пользу упомянутого предполо-

жения в отношении особенностей целевой функции и функций,

выражающих условия связи.

До сих пор мы говорили только об ограниченности природ-

ных факторов. Возникает вопрос: а как быть с материальными

условиями производства, являющимися результатом трудовой

См.,

например: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 484.

Влияние фактора неопределенности на поведение Робинзона 65

деятельности? Если это продукт труда самого Робинзона, то

они есть результат исследовавшихся выше трудовых инве-

стиций и их нужно рассматривать как находящиеся в про-

цессе создания потребительские блага будущего периода.

Увеличивать или уменьшать их количество может только сам

Робинзон, и делать он это опять-таки будет не исходя из их

«редкости», а из соображений максимизации полезности за дос-

таточно длительный период времени. Если же являющиеся

продуктом человеческого труда факторы производства

«упали Робинзону с неба» (например, оказались в его распо-

ряжении после кораблекрушения, остались на острове от

прежних Робинзонов и т.п.), то по своему экономическому

смыслу они ничем не отличаются от ограниченных естест-

венных факторов производства: они определяют те наличные

материальные ресурсы, с которыми Робинзон вынужден счи-

таться, распределяя свой труд.

Влияние фактора неопределенности на поведение

Робинзона

До сих пор мы исходили из того, что изолированный хозяйствен-

ный субъект действует в обстановке полной определенности. В не-

явном виде мы предполагали, что Робинзон живет в абсолютно

неизменном, «прозрачном», а потому и идеально предсказуемом

мире, к которому совершенным образом адаптированы его по-

требности и способности. Эти допущения существенным образом

упрощали реальное положение дел, и сейчас настал момент, когда

мы должны от них отказаться.

Фактор неопределенности оказывает огромное влияние на

систему преференций индивида. При этом следует различать два

направления такого воздействия. С одной стороны, отношение

индивида к принятию решений в условиях неопределенности ста-

новится составной частью системы его предпочтений. С другой

—

сама система преференций индивида может претерпевать измене-

ния в зависимости от условий, в которых он оказывается.

Отношение к неопределенности как составная часть системы

преференций

Неопределенность во многих случаях касается результатов тех

или иных действий самого человека. Например, перед Робинзо-

66 Глава 1. Экономика «робинзонады»

НОМ

неизбежно будет возникать много вопросов такого рода: в ка-

кой части острова следует искать необходимые для производства

сырье и материалы? где больше урожай фруктов, необходимых

для пропитания? куда пойти охотиться? и т.п. Во всех подобных

случаях нашему герою предстоит сделать выбор, от которого, в

конечном счете, будет зависеть степень удовлетворения его по-

требностей. Совершая этот выбор, Робинзон будет ориентиро-

ваться на собственные оценки возможного результата (по терми-

нологии теории вероятностей — исхода) при различных вариан-

тах действия. Но на окончательном решении, несомненно, будет

сказываться и его отношение к неопределенности.

Сразу обратим внимание на следующее обстоятельство. Во

всех упомянутых случаях тот или иной выбор затрагивает не

предпочтения Робинзона в отношении обычных потребительских

благ, а его производственные возможности. Например, время по-

иска необходимого сырья не может не сказаться на величине

удельных трудовых затрат на производство готовой продукции.

Поэтому неопределенность относится здесь к положению не кри-

вых безразличия, а границы производственных возможностей.

Но сам по себе выбор основан на отношении к неопределенности,

которая, как отмечалось выше, становится одной из характери-

стик вкусов соответствующего индивидуума.

Имеется два основных подхода к трактовке вопроса о влиянии

неопределенности на поведение индивидуума.

Первый был разработан фон Нейманном и Моргенштерном^

применительно к проблеме потребительского выбора в условиях

рыночной экономики. В его основе лежит идея о ранжировании

потребителем по степени полезности различных вариантов рас-

пределения вероятностей между возможными наборами благ. При

этом предполагается, что тот или иной выбор сопряжен с разными

результатами (исходами), причем последние характеризуются од-

нозначно определенным распределением вероятностей. Таким об-

разом, каждый вектор — набор благ оказывается жестко увязан-

ным в рамках соответствующего выбора с вероятностью его полу-

чения. Благодаря этому вероятность превращается в составную

часть характеристики каждого набора благ и, в этом смысле, яв-

ляется «объективной».

^ См.: Von Neumann, J. and Morgenstern, О. Theory of Games and Economic

Behavior. N.J. : Princeton University Press, Princeton, 1944.

Влияние фактора неопределенности на поведение Робинзона 67

Выяснилось, что если рассматриваемая под этим углом зрения

система предпочтений индивида отвечает ряду требований', то су-

ществует функция полезности следующего вида, выражающая

эти предпочтения:

и(р)= J^u(x)-p(x). (1.59)

x&supip)

Соответственно U(p) > U(q) тогда и только тогда, когда со-

ответствующий потребитель предпочитает распределение вероят-

ностей р распределению вероятностей q, относящихся к возмож-

ным наборам благ и являющихся результатом различных дейст-

вий (выборов). Как видно из формулы (1.59), функция U(p)

фон Нейманна и Моргенштерна имеет форму математического

ожидания.

Особенностью функций, имеющих форму математического

ожидания, является то, что они сохраняют свою структуру лишь

в условиях линейных монотонных преобразований^ Иными сло-

вами, получаемый при помощи таких функций индекс полезности

однозначно определен с точностью до положительных линейных

трансформаций. Если задать нулевое значение и масштаб измене-

ний функции, то мы получим шкалу полезностей, подобную лю-

бой из имеющихся шкал измерения температуры. В силу данного

обстоятельства величину полезности, получаемую при помощи

функции фон Нейманна и Моргенштерна, принято называть кар-

диналистским индексом.

^ Во-первых, преференции должны быть, как и прежде, асимметричными и

негативно транзитивными. Во-вторых, они должны соответствовать так называе-

мой «аксиоме о замещении». Это означает следующее. Пусть р и q

—

два распре-

деления вероятностей, причем руд. Если а

—

любое число из сегмента (0,1), а

г - еще одно распределение вероятностей,

то

•

р + (\ — а) • г у а д + (\ —

- а) • г. В-третьих, преференции должны отвечать «аксиоме Архимеда». Она

гласит: если р, q wr

—

три распределения вероятностей, причем р> д > г,

то

обя-

зательно найдутся два числа а и р из сегмента (О, 1) такие, что ар

—

а)- г у

yqy^p + (\ — Р)г (см.: Kreps, D. А Course in Microeconomic Theory.

Princeton University Press, 1990. P.

74 —

75).

^ В самом деле, пусть U(p) = р^ • InX^ + р2 • lnX2 . Тогда V(p) - е

^^^

Х^^^

•

^2^1 является монотонной трансформацией функции U(p) , которая уже

не

обладает свойствами функции математического ожидания. Между тем линейная

трансформация функции U(p) приводит, поскольку р^

р2= \ , к новой функции,

имеющей структуру математического ожидания: V(p) = а + b (р^ - \пХ^ +

Р2' 1пХ2) = р^ ' (а + b

•

\пХ^) + Р2- (а + b • lnA'2).

68 Глава 1. Экономика «робинзонады»

В связи

данным подходом возникает по крайней мере два

вопроса. Не снижает ли его эффективность предполагавшаяся

выше ограниченность количества связанных с каждым выбором

оптимальных наборов потребительских благ? Всегда ли инди-

видуум имеет объективные основания для увязки в рамках со-

ответствующего выбора определенной вероятности с каждым из

этих наборов?

Ответ на первый вопрос, вообще говоря, не связан с особыми

трудностями, поскольку в рамках рассматриваемой концепции

имеется возможность использовать распределение вероятностей

на неограниченном множестве наборов благ\ Это связано с из-

вестными математическими тонкостями, углубление в которые

не входит в нашу задачу. Однако на второй вопрос дать положи-

тельный ответ удается далеко не всегда. Нередко, делая тот или

иной выбор, индивидуум не располагает информацией, необхо-

димой для объективного определения того, как распределяются

вероятности между различными исходами. Данное обстоятельст-

во и стало предпосылкой появления подхода с позиций «состоя-

ний окружающего мира» (state preference approach), разработан-

ного Л. Сэвиджем^. Отметим, кстати, что в тех случаях, когда

имеются предпосылки для объективного определения вероятно-

стей наступления тех или иных событий, принято говорить о

риске] в случаях же, когда такой возможности нет,

—

о неопре-

деленности.

Идея подхода Л. Сэвиджа состоит в следующем. Имеется мно-

жество Sy определяющее все возможные состояния окружающего

мира, причем индивидуум субъективно присваивает вероятность

наступлению каждого такого состояния:

Ti\

я^,...,

я^ (1.60)

71^

+ Я^ + ... + я^ = 1.

Как и прежде, X представляет собой множество наборов потре-

бительских благ. Но появляется новое множество Я, элементы ко-

^ См.: Fishburn, Р. Utility Theory for Decision Making. NY. : John Wiley and

Sons,

1970 и Kreps, D. Notes on Theory of Choice. Boulder, Colo.: Westview Press,

1988.

^ См.: Savage, L. The Foundations of Statistics. NY. : John Wiley and Sons,

1954.

Влияние фактора неопределенности на поведение Робинзона 69

торого h описывают для каждого состояния s набор благ х, кото-

рый будет получен, если s наступит. Иными словами, для каждого

состояния окружающего мира 5^ ^2, ...,

в рамках каждого элемен-

та множества Н — h^, /22, ..., А„ — задается единственный исход:

потребительский набор h{s)

—

х. Совокупность таких наборов, от-

носящихся к любому элементу /г, получила название наборов по-

требительских благу увязанных с состоянием окружающего

мира (state contingent commodity bundles). В свою очередь, эле-

менты h множества Н называются либо испытаниями (в соответ-

ствии с терминологией теории вероятностей), либо актами {acts в

соответствии с терминологией Л. Сэвиджа).

Далее Л. Сэвидж показал, что при соблюдении определенных

условий можно дать количественное выражение предпочтениям

индивидуума на множестве Н при помощи функции полезности,

имеющей, как и в случае фон Нейманна—Моргенштерна, форму

математического ожидания^:

(/(/г)= Y.^{h{s))'n{s). (1.61)

Соответственно h^

>•

h2 тогда и только тогда, когда

'^u(h^(s))n(s)> '^u(h2(s))n(s). (1.62)

seS seS

Отличие рассматриваемого подхода от подхода фон Нейма-

на

—

Моргенштерна состоит в том, что здесь вероятность получе-

ния любого приза (набора благ) определяется в соответствии с

двуступенчатой процедурой. Вначале различным состояниям ок-

ружающего мира субъективно присваивается определенная веро-

ятность. Вероятность получения конкретного приза х, если вы-

бран акт /г, будет равняться сумме вероятностей тех состояний ок-

ружающего мира, при которых h(s) = х. Таким образом, вероят-

ность получения того или иного набора потребительских благ

становится здесь производной от сделанного выбора и вероятно-

сти наступления того или иного состояния окружающего мира.

Представление предпочтений индивидуума в форме функции

(1.61) получило название субъективной ожидаемой полезности.

Возникает вопрос: каковы же условия, при которых удается по-

^ Фактически Л. Сэвидж трактовал множество S как содержащее бесконеч-

ное число элементов. В этом случае знак суммирования должен быть заменен на

соответствующим образом определенный интеграл.