Москвин Б.В. Теория принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

291

ции или об оценках возможных состояний среды, которая учиты-

вается в том или ином виде.

Рассмотрим здесь второе направление, связанное с анали-

зом способов учета экспертной информации в моделях принятия

решений.

13.4.1. Модели типа "игра с природой".

Специфическим видом игр, имеющих важное прикладное

значение для анализа ситуаций, возникающих при принятии ре-

шений в неизвестной среде, являются так называемые "игры с

природой". В этих играх в качестве второго игрока выступает

"природа", которая не заинтересована в результатах игры и, сле-

довательно, действует по своим законам, не противодействуя

сознательно другой

оперирующей стороне. К прикладным про-

блемам, использующим модели типа "игра с природой", можно

отнести многие военно-технические задачи разработки систем,

задачи планирования боевых действий в различных условиях.

Неопределенность воздействия среды может определяться как

принципиальной невозможностью ее изучения, так и ограниче-

ниями ресурсного характера, связанными с этим изучением. Под

такими ограничениями, как

правило, понимается время, матери-

альные, финансовые затраты и т.п.

Множество с о с т о я н и й п р и р о д ы R (стратегий) ин-

терпретируется как известное по своему составу множество со-

стояний внешней среды. При этом предполагается, что в каждой

конкретной ситуации принятия решения

реализуется только один

элемент из R, который при решении задачи выбора полагается

неизвестным. Будем полагать, что множество состояний природы

конечно R = { R

,...,R

Тогда возможные исходы игры можно характеризовать пла-

тежной матрицей F:

. . . . . . . . . R

. . . . . . . . . f

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . f

Рис.13.4

292

Существенным отличием данной ситуации от ситуаций,

рассмотренных в условиях целенаправленной среды, является

то, что здесь второй игрок (природа) не стремится действовать

максимально во вред первому. Это создает возможность первому

игроку повысить свой выигрыш по сравнению с гарантированной

стратегией (оптимальной смешанной), в то же время неопреде-

ленность состояния природы, в которых она

может находиться,

требует введения лицом, принимающим решение, некоторых

предположений, выраженных в аксиомах, принципах оптимизации

и т.п., а также соответствующих этим предположениям критериев

выбора поведения. Следует отметить, что такой неформальный

ввод некоторого принципа, осуществляемый на основе эксперт-

ного анализа складывающейся ситуации, во многом определяет

дальнейший поиск оптимального решения. Естественно, насколь-

ко полно будет проведен такой анализ, и насколько полно вы-

бранный принцип оптимизации будет соответствовать реально-

сти, настолько эффективным будет принятое решение.

Предположения (принципы, аксиомы), вводимые лицом,

принимающим решение, позволяют свести ситуацию принятия

решения в условиях неизвестной среды к ситуации принятия ре-

шения в условиях стохастической или целенаправленной среды.

Так, в

частности, исходная ситуация сводится к стохастиче-

ской среде, при введении предположения о равновероятном рас-

пределении состояний природы.

Принцип равновероятных состояний среды (критерий Лапласа)

Следует отметить, что знание вероятностного распределе-

ния состояний среды (такое знание можно интерпретировать, как

знание смешанной стратегии q второго игрока) делает ситуацию

вполне определенной - в этом случае целесообразно выбирать

чистую стратегию из X, на которой достигается максимальный

средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша), най-

денный в соответствии с

= arg

max F(x

), где F(x

) = F

∑

, i=1,...,m.

Тогда, если состояния среды равновероятны (q

=1/s), то следует

выбирать решение

= arg

∑

max

= arg

∑

max f

293

Существует ряд широко распространенных принципов оп-

тимальности и соответствующих им критериев, позволяющих

свести исходную неизвестную ситуацию к целенаправленной

среде.

Принцип гарантированного результата (критерий пессимизма,

критерий Вальда)

Это известный принцип максимина, который позволяет по-

лучить гарантированный результат для оперирующей стороны

(1-ый игрок) независимо от того, в каком состоянии находится

среда (даже если она будет преследовать строго антагонистиче-

ские цели). Правило выбора (1 игрока) имеет следующий вид:

= arg max min f(x,r),

x∈X r∈R

здесь f(x,r) - функция выигрыша оперирующей стороны.

Данный принцип является выражением крайнего пессимиз-

ма, поскольку рекомендует ориентироваться на самые худшие

условия.

Принцип максимального оптимизма

Этот принцип оптимальности, противоположный предыду-

щему, ориентирует оперирующую сторону на то, что среда мак-

симально благоприятствует ее действиям. В указанной ситуации

осуществляется выбор в соответствии с правилом:

= arg max max f(x,r),

x∈X r∈R

Принцип пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

На основе введения числа g, характеризующего степень

оптимизма оперирующей стороны, и изменяющегося от 0 до 1,

осуществляется линейная свертка первых двух правил выбора:

= arg max (g max f(x,r) + (1-g) min f(x,r)).

x∈X r∈R r∈R

Поскольку g характеризует степень оптимизма оперирую-

щей стороны, то, если g = 0 - получаем критерий пессимизма

Вальда; если g = 1 - получаем критерий оптимизма.

294

Принцип минимума максимальных потерь

(критерий минимизации риска, критерий Сэвиджа)

Данный критерий гарантирует наименьшую величину мак-

симально возможной потери выигрыша по сравнению с тем, кото-

рый мог бы быть достигнут, если бы было известно состояние

среды r∈R. Этот критерий аналогичен критерию Вальда, но сам

пессимизм здесь понимается по другому. Вводится функция рис-

ка

z(x,r) = max f(x,r) - f(x,r),

∈X

которая характеризует отклонение выигрыша при некоторой стра-

тегии x и состоянии среды r от максимального при данном со-

стоянии природы выигрыша. Тогда критерий Сэвиджа имеет вид:

= arg max min z(x,r),

x∈X r∈R

В некоторых случаях решения, выбранные по разным кри-

териям, совпадают друг с другом, и тогда, естественно, целесо-

образно принять такое решение в качестве окончательного. Од-

нако довольно часто этого не происходит, и эффективность ре-

шения определяется тем, насколько правильно будет произведе-

на неформальная оценка неизвестных состояний среды. Тем не

менее, всегда

целесообразно провести предварительное иссле-

дование с использованием различных критериев, проанализиро-

вать причины несовпадения решений (если оно имеет место) и

после этого принять окончательное решение.

13.4.2. Выбор на основе нечеткого описания среды.

Исследования процессов принятия решений при управле-

нии сложными военно-техническими системами показывают, что

обрабатываемая и анализируемая информация о состоянии ука-

занных систем в условиях неизвестной среды представлена в

большинстве случаев в виде понятий и отношений, задаваемых

на естественном либо на профессионально-ориентированных

языках. Одним из конструктивных способов формального описа-

ния ситуаций

, связанных с неопределенностью принятия реше-

ния, является способ, основанный на н е ч е т к о м (размытом)

295

описании основных элементов формализованного представления

ситуации принятия решений.

Поскольку понятие "множество" лежит в основе построения

формальных математических моделей, то введение нечеткости в

определение множества и рассмотрение на этой основе "нечет-

ких множеств" служит основой построения нечетких моделей

принятия решений в условиях неизвестной среды. Нечеткие мно-

жества были введены Л.Заде в

1965 г., как средство описания не

вполне различимых объектов и процессов окружающей действи-

тельности. И, если по определению Г.Кантора: множество - сово-

купность элементов (объектов),

хорошо различимых нашей мыс-

лью или интуицией, то можно определить, что

Н е ч е т к о е м н о ж е с т в о - совокупность объектов,

не

достаточно хорошо

различимых нашей мыслью или интуицией.

Некоторое четкое множество D можно формально задать с

использованием индикаторной функции

: U → {0, 1},

которая принимает значение 1 или 0 в зависимости от того входит

элемент универсального множества U в множество D, или нет.

Тогда

D = { x∈U ⏐ μ

( x ) = 1}.

Обобщая данные понятия на "не вполне различимые объ-

екты", можно определить формальный способ задания нечеткого

множества:

- нечеткое множество задается множеством пар вида

D = { ( x, μ

(x)) }, (13.23)

где μ

(x) - степень принадлежности элемента x из универсального

множества U к нечеткому множеству D, которая задается функци-

ей принадлежности

: U → [ 0, 1]. (13.24)

Нечеткое множество представляет собой обобщение тра-

диционного понятия множества, и, поскольку понятие нечеткости

вводится в основу формального описания систем - в понятие

множества, то создается возможность формального представле-

ния различного рода нечетких систем и процессов (формального

ввода в эти системы неопределенности знаний исследователя).

Рассмотрим основные определения, связанные с нечетки-

ми

множествами.

296

- Н о с и т е л е м нечеткого множества D называется четкое

множество B(D) = { x ∈U ⏐ μ

(x) > 0 }.

- В ы с о т о й нечеткого множества D называется число H(D),

такое, что H(D) = sup μ

(x), x ∈U .

- Нечеткое множество D называется н о р м а л ь н ы м, если

H(D) = sup μ

(x) = 1, x ∈U .

- Нечеткое множество D называется п у с т ы м, если μ

(x) = 0,

∀x∈U .

Примеры.

1). D - нечеткое множество "малых" чисел на R

(x) = ( 1 + (x/10)

)

-1

тогда μ

(0) = 1; μ

(10) = 0.5; μ

(100) = 0.01.

2). Задание нечеткого множества

на примере нечеткого числа.

Пусть " х приблизительно

а ", тогда

(x) = (1 + ((x-a)/q)

)

-1

здесь q характеризует степень "размытости" нечеткого числа от-

носительно а. Действительно, при (х-а) = q степень принадлеж-

ности μ

(x)=0.5.

Операции над нечеткими множествами.

Над нечеткими множествами проводятся операции, анало-

гичные тем, которые проводятся над четкими множествами. В ре-

зультате теоретико-множественных операций, проводимых над

нечеткими множествами A = {(x, μ

(x))} и B = {(x, μ

(x))}, получа-

ется нечеткое множество C = {(x, μ

(x))}. Следовательно, для за-

дания нечеткого множества C необходимо определить, каким об-

разом вычисляются значения μ

(x) по значениям μ

(x) и μ

(x).

Рассмотрим основные теоретико-множественные операции.

Равенство: A = B <==> ∀x∈U μ

(x) = μ

(x).

Подмножество: A ⊆ B <==> ∀x∈U μ

(x) , μ

(x).

Объединение:C = A ∪ B <==> ∀x∈U μ

(x) = max {μ

(x), μ

(x)}.

Пересечение: C = A ∩ B <==> ∀x∈U μ

(x) = min {μ

(x), μ

(x)}.

Дополнение : C = C

A <==> ∀x∈U μ

(x) = 1 - μ

(x).

Разность : C = A \ B <==> ∀x∈U μ

(x) = max {μ

(x)-μ

(x), 0}.

Декартово произведение: C = A×B <==> ∀(x,y)∈U×U μ

(x,y) = min

{μ

(x), μ

(y)}.

297

Дополнительные операции над нечеткими множествами:

Растяжение: C = DIL (A) <==> ∀x∈U μ

(x) = (μ

(x))

1/2

Концентрация: C = CON (A) <==> ∀x∈U μ

(x) = (μ

(x))

Нормализация C = N(A) <==> ∀x∈U μ

(x) = μ

(x) / sup μ

(x).

Нечеткие отношения и отображения.

Нечеткое о т н о ш е н и е R на декартовом произведении

множеств A×B - нечеткое множество элементов из A×B, задавае-

мое функцией принадлежности μ

: A × B → [0,1].

R = { ( (x,y), μ

(x,y) ) }. (13.25)

Пример.

Пусть A=B=N; нечеткое отношение R: "x много больше y ",

тогда:

(x,y) =

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

y. x если ,0

y x если ,

y-x

Поскольку нечеткое отношение - нечеткое множество, над

ним выполняются все операции нечетких множеств, но кроме того

есть дополнительная операция - к о м п о з и ц и я нечетких от-

ношений.

Пусть имеются нечеткие отношения A ⊆ X×Y и B ⊆ Y×Z,

тогда к о м п о з и ц и

е й A◦B называется нечеткое отношение

C ⊆ X×Z, такое, что

(x,z) = max min {μ

(x,y), μ

(y,z)}.

В случае, когда X и Y - конечные множества, отношение

A ⊆ X×Y, как и в случае четкого множества, можно задавать мат-

рицей М(A). Пусть X = { x

,..., x

}, Y = { y

,..., y

}, тогда

М(A) = { μ

) }

nm.

. Матрицу отношения С, являющегося компо-

зицией отношений A и B, можно вычислить как

M(C) = M(A◦B) = M(A) × M(B),

причем операции (×) соответствует (min), а операции (+) соответ-

ствует (max).

Важным частным случаем нечеткого отношения является

нечеткое о т о б р а ж е н и е (функция). Можно различать три

298

ситуации, когда результатом отображения является нечеткое

множество.

1). Нечеткое множество, индуцированное отображением.

Пусть задано четкое отображение f: X → Y и нечеткое множест-

во A на X: A = { (x, μ

(x)) }. Тогда на Y будет индуцировано нечет-

кое множество B = { (y, μ

(y)) }, причем

(y) = max μ

(x), (13.26)

x∈f

-1

(y)

где f

-1

(y) - множество элементов из X, имеющих своим образом

элемент y∈Y.

2). Нечеткое отображение множества.

Нечеткое отображение f: X → Y - нечеткое отношение, следова-

тельно, оно задается функцией принадлежности вида μ

(x,y). То-

гда, если на X задано четкое множество A, то оно отображается в

нечеткое множество B на Y. Причем

(y) = max μ

(x,y). (13.27)

x∈A

3). Нечеткое отображение нечеткого множества.

Пусть имеется нечеткое отображение f: X → Y с функцией при-

надлежности μ

(x,y), и на X задано нечеткое множество A. Тогда

A = { (x, μ

(x)) }, заданное на X, отображается в B = { (y, μ

(y)) },

заданное на Y. При этом μ

(y) вычисляется по правилу:

(y) = μ

f(A)

(y) = max min { μ

(x), μ

(x,y)}. (13.28)

x∈A

Если A и B - конечные множества A = { a

,...,a

}, B = {b

,..

..,b

}, то нечеткому множеству A можно сопоставить вектор m

компонентами которого являются степени принадлежности μ

(x),

а нечеткому множеству B можно сопоставить вектор m

, компо-

нентами которого являются степени принадлежности μ

(y). То

есть, m

= ( μ

) ,…, μ

)), m

= ( μ

),..., μ

)),

тогда

= m

где M

- матрица отображения f.

Ситуация принятия решений (в том числе и в условиях не-

известной среды) характеризуется парой (Δ, f), где Δ - множество

299

допустимых альтернатив, а f - целевая функция (отображение)

вида f: Δ → R

. Здесь Δ формируется на основе учета условий,

которым должно удовлетворять допустимое решение. Такие ус-

ловия описываются множеством {r

, i∈C} - отношений, ограничи-

вающих выбор и отражающих основные пространственно-

временные, технические и технологические ограничения. В си-

туациях, когда отношения {r

,i∈C} строятся на нечетких множест-

вах, они, в свою очередь, сами являются нечеткими множествами

(13.25); обозначим такие множества, как D

, i∈C. Тогда множество

допустимых альтернатив Δ также является нечетким множест-

вом, которое формируется как

Δ = ∩ D

. (13.29)

i∈С

Из множества Δ выбирается наилучшее в смысле крите-

рия оптимальности, задаваемого с использованием f, решение x

Поскольку множество Δ, является нечетким множеством, то на

множестве R

- множестве оценок решений x∈Δ, также формиру-

ется нечеткое множество оценок G, которое в зависимости от

способа задания f определяется в соответствии с (13.26)-(13.28).

Нечеткость полученного множества оценок решений есть следст-

вие нечеткости описания исходной задачи. Однако для принятия

решений необходимо конкретно выбрать одну альтернативу. В

качестве такой альтернативы целесообразно выбрать решение,

соответствующее максимальной

степени принадлежности на

множестве G, т.е.

= arg max μ

(f(x)) , (13.30)

x∈U

здесь

U – универсальное множество, на котором задано нечеткое

множество оценок G.

Лингвистическая переменная.

Дальнейшее развитие способов принятия решений в неиз-

вестной среде связано с использованием лингвистических пере-

менных [33]. В рамках лингвистического подхода ситуация приня-

тия решения, под которой понимаются условия и цели, описыва-

ется фразами, соответствующими термам из терм-множеств лин-

гвистических переменных, введенных для формализованного

описания ситуации.

300

Л и н г в и с т и ч е с к а я п е р е м е н н а я (L

) описыва-

ется математической конструкцией вида

= ( I, T, U, Г, М ). (13.31)

Рассмотрим составляющие L

I - и м я лингвистической переменной - некоторое выраже-

ние, определяющее область действия лингвистической перемен-

ной. Например, "решение", "ограничение", "правило", "число",

"удовлетворительный выбор",...

T - т е р м - м н о ж е с т в о - множество значений лингвис-

тической переменной. В терм-множестве различают п р о с т ы

и с о с т а в н ы е термы. Например, пусть I = "решение", тогда

элементами T могут быть простые термы: "хорошее", "плохое",...

и составные термы: "не хорошее", "очень хорошее", "достаточно

хорошее", "очень хорошее и не очень плохое",...

Г - с и н т а к с и ч е с

к о е п р а в и л о - правило (совокуп-

ность правил), которое служит для образования составных тер-

мов из простых. Составные термы образуются из простых термов

и других составных термов на основе введения

- лингвистических неопределенностей ("очень", "вполне", "дос-

таточно" и т.д.)

- лингвистических связок (и, или, не

Некоторому часто используемому составному терму может при-

даваться вид простого терма - образованного простого терма.

Например, "плохое" <=> "не хорошее". Это позволяет упростить

составные термы, сделать их более легкими для восприятия. Так

терму "очень хорошее и не очень не хорошее" может соответст-

вовать терм "очень хорошее и не очень плохое".

U - у н

и в е р с а л ь н о е м н о ж е с т в о - множество

объектов (значений), на котором каждому терму (простому или

составному) сопоставляется нечеткое множество - смысл терма

(значение лингвистической переменной).

М - с е м а н т и ч е с к

о е п р а в и л о - правило (совокуп-

ность правил), сопоставляющее значениям лингвистической пе-

ременной смысл - нечеткое множество в U. Таким образом, про-

стым и составным термам сопоставляется некоторое нечеткое

множество, причем

- для простого терма функция принадлежности задается непо-

средственно (на основе взаимодействия с ЛПР),

- для составных

термов функция принадлежности вычисляет-

ся. При этом