Москвин Б.В. Теория принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

301

- лингвистическим неопределенностям соответствуют неко-

торые функциональные преобразования функции принад-

лежности, например, "очень" - операция концентрации

CON; "достаточно" - операция растяжения DIL;

- лингвистическим связкам соответствуют операции над не-

четкими множествами: связке "или" соответствует операция

объединения нечетких множеств; связке "и" - пересечение;

"не" - взятие дополнения в универсальном множестве.

Связь составляющих лингвистическую переменную понятий

можно характеризовать схемой

на рис. 13.5.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

. . . . .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

M 0.3 0.8 0.1 0.9 0.6 0.3

0.2 0.9 0.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Рис. 13.5

В рамках лингвистического подхода ситуация принятия ре-

шения, под которой понимаются условия и цели, описывается

фразами, соответствующими термам из терм-множеств лингвис-

тических переменных, введенных для формализованного описа-

ния ситуации. Каждому терму, описывающему i-е условие r

, i∈С

соответствует нечеткое множество D

; терму, описывающему

цель f, соответствует нечеткое множество G.

Использование лингвистических переменных позволяет

ЛПР уточнять нечеткие цели и ограничения в ходе поиска опти-

мального решения. При этом конструируются составные термы,

соответствующие новым предпочтениям ЛПР и новому понима-

нию им роли ограничений в формировании альтернатив. Это соз-

Решение

очень

хорошее

не очень

хорошее

(

плохое

)

302

дает формальную базу для построения интерактивных процедур

принятия решения, основывающихся на понятии лингвистической

переменной.

Структура процедуры принятия решений на основе лин-

гвистического подхода обобщенно может быть представлена как

Рис.13.6

Дальнейшее развитие лингвистических моделей принятия

решений основывается на введении нечетких алгоритмов, под

которыми понимается

упорядоченное множество нечетких инст-

рукций, обеспечивающих при своей реализации приближенное

решение заданной проблемы.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит проблема принятия решения в условиях не-

определенности воздействия среды ?

2. Что такое стохастическая среда, чем она характеризуется ?

3. Какие методы принятия решений используются в условиях

стохастической среды ?

4. Как найти оптимальное решение, если число состояний сто-

хастической среды конечно и множество допустимых решений

также конечно ? В чем здесь суть

детерминизации ?

ЛПР

конструктор

нечетких

целей и

ограничений

выбор

решения

реализация

решения

операционные

преобразования

степени

принадлежности

анализ результатов

реализации решения

303

5. Что такое целенаправленная среда, в чем ее особенности ?

6. Какие модели используются при принятии решения в усло-

виях целенаправленной среды ?

7. Что такое конфликтная ситуация ?

8. Дайте классификацию игр и поясните примерами.

9. Что такое матричная игра ?

10. Определите понятие стратегии, оптимальной стратегии.

11. Какую стратегию целесообразно выбирать при однократ-

ном принятии решения

в целенаправленной среде ?

12. При каких условиях гарантирующая стратегия становится

оптимальной ?

13. Что такое "седловая точка", когда она существует в мат-

ричной игре и как называются стратегии, соответствующие сед-

ловой точке ?

14. В чем смысл гарантированного результата и гарантирую-

щей стратегии для обеих оперирующих сторон ?

15. Можно ли повысить гарантированный выигрыш при много

кратном принятии решения, и как ?

16. Поясните смысл процесса принятия решения на основе из-

вестной оптимальной смешанной стратегии.

17. Что такое активные и пассивные стратегии, в чем их осо-

бенности и практический смысл ?

18. В чем заключаются доминирование стратегий ?

19. Какие игровые задачи целесообразно решать методами

линейного программирования ? Что служит формальной основой

для использования методов линейного программирования.

20. Какие задачи целесообразно решать итерационным мето-

дом. В чем его суть ?

21. Найдите результат применения (выигрыш) оптимальной

смешанной стратегии первого игрока против некоторой чистой

стратегии второго игрока. Сопоставьте результат применения с

ценой игры, сделайте выводы.

22. Что такое неизвестная среда, чем она характеризуется ?

23. Какие критерии можно

использовать при принятии решений

на основе модели типа игры с природой ? Поясните их смысл и

отличия ?

24. В чем суть лингвистического подхода к принятию решения

в условиях неизвестности ?

25. Что такое лингвистическая структура? Поясните связь со-

ставляющих ее элементов.

304

14. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ КРИТЕРИАЛЬНОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

14.1. Характеристика задач многокритериального выбора

При принятии решений по управлению военно-техничес-

кими системами на первое место в современных условиях выдви-

гаются задачи обеспечения эффективного целевого функциони-

рования систем с ориентацией преимущественно на их качест-

венные характеристики. В то же время обстановка применения

военных систем характеризуется частой сменой целевых устано-

вок, существенной неопределенностью функционирования. В

этих

условиях к принимаемому решению предъявляется, как пра-

вило, большое число разнородных требований, которым оно

должно удовлетворять, и тогда качество решения необходимо

оценивать с учетом этих требований, для чего используется не-

сколько критериев оптимальности. Таким образом, достижение

адекватности математического описания проблем принятия ре-

шений сложной обстановке выдвигает на передний план требо-

вание рассмотрения данных задач, как задач выбора с многими

критериями (с несколькими отношениями предпочтения, на осно-

ве отношения мультипредпочтения, с векторным критерием оп-

тимальности). Это приводит, в свою очередь, к появлению в за-

дачах принятия решений специфического вида неопределенности

- к р и т е р и а л ь н

о й н е о п р е д е -л е н н о с т и.

Суть данного вида неопределенности в задачах выбора за-

ключается в том, что оптимальное решение, найденное по одно-

му из критериев, может быть существенно различным по сравне-

нию с решением, найденным по другому критерию

Основная особенность задач многокритериального выбора

заключается в том, что данные задачи не являются корректными

305

в рамках аксиоматики, принятой в классической теории оптими-

зации и принятия решений. Действительно, на основе различных

критериев оптимизации получаются различные решения, не сов-

падающие в общем случае друг с другом. Регуляризация таких

задач строится на основе привлечения дополнительной качест-

венной и количественной информации о свойствах критериаль-

ных функций, о свойствах множества

альтернатив и достигается

путем введения некоторых аксиом (принципов оптимальности) о

том, что следует понимать под оптимальным в целом решением в

этой неопределенной ситуации. Следует особо отметить, что эта

дополнительная информация получается от лица, принимающего

решение и несущего за него ответственность (ЛПР). Формальным

выражением аксиомы (системы аксиом) является решающее пра-

вило,

представляющее собой либо некоторый оператор, позво-

ляющий сформировать результирующую целевую функцию, либо

некоторый алгоритм, позволяющий выделить оптимальное реше-

ние. Естественным требованием, предъявляемым к решающим

правилам, является требование выделения на их основе недоми-

нируемых решений - решений, не улучшаемых по всем показате-

лям одновременно.

Один из способов разрешения критериальной неопреде-

ленности, основанный на

сведении исходной многокритериаль-

ной задачи к традиционной постановке задачи математического

программирования или задачи оптимального управления дина-

мическими системами, заключается, по существу, в замене всех

целевых функций, кроме одной, выступающей в качестве крите-

рия, соответствующими ограничениями. Однако такая замена,

совершаемая во имя перевода задачи на "обкатанный математи-

ческий путь", не получает

во многих задачах соответствующего

обоснования, зачастую носит волюнтаристический характер и для

достаточно сложных ситуаций выбора может привести к большим

просчетам. Поэтому на практике большое значение приобретает

разработка новых методов принятия решений, учитывающих раз-

нородные показатели качества решения и соответствующие им

критерии.

Итак, традиционная последовательность действий при при-

нятии решения в задачах

многокритериального выбора дополня-

ется процедурами задания аксиом оптимизации и соответствую-

щего решающего правила, которые проводятся на основе тесного

взаимодействия с лицом, принимающим решение. Выбор ре-

шающего правила обычно представляет собой существенно не-

306

формальное действие (за исключением некоторых достаточно

редких случаев, когда ввод решающего правила строго обосно-

ван как, например, принцип минимакса в антагонистических иг-

рах), поэтому по результатам анализа найденного решения зада-

чи многокритериального выбора может возникнуть необходи-

мость некоторого изменения (модификации) решающего правила.

Будем далее рассматривать ситуации, когда критерии задаются с

использованием

целевых функций. Такие задачи часто называют

задачами в е к т о р н о й о п т и м и з а ц и и.

Ситуацию принятия решения S (см. (1.2)) формально можно

описать конструкцией следующего вида

S = (Δ, {f

(x), i∈G }),

где Δ - множество допустимых альтернатив; x ∈ Δ;

(x) - i-я целевая функция, позволяющая оценивать качест-

во альтернативы x;

G - множество индексов целевых функций.

Будем далее предполагать, что решается задача вида

= arg Max f

(x), i ∈ G , (14.1)

x∈Δ

Можно различать два подхода к решению задач векторной

оптимизации, которые различаются способом учета информации,

получаемой от ЛПР. Это подходы, основанные на построении:

- операторного решающего правила;

- лингвистического решающего правила.

Операторное решающее правило.

В этом случае процесс принятия решений можно характе-

ризовать схемой:

ЛПР

S ⎯→ А ⎯→ F ⎯→ f

рез

⎯→ x

, (14.2)

где А - аксиома (система аксиом, принцип оптимальности, схе-

ма компромисса) о том, что следует понимать под оптимальным

решением;

F - решающее правило - оператор, позволяющий сформи-

ровать результирующую целевую функцию f

рез

, или алгоритм, по-

зволяющий выделить оптимальное решение x

; F: {f

(x),i∈G} → f

рез

;

- оптимальное в целом решение.

Принцип оптимальности и соответствующее ему решающее

правило существенно зависят от информированности ЛПР об от-

307

носительной важности критериев оптимальности в задаче много-

критериального выбора. Здесь можно различать три группы си-

туаций, оказывающих существенное влияние на выбор конкретно-

го решающего правила:

- отсутствие информации об относительной важности целевых

функций;

- информация об относительной важности целевых функций

задана в "гибкой" форме - допускается компенсация ухудшения

значений более важных показателей за

счет значительного улуч-

шения менее важных;

- критерии лексикографически упорядочены ("жесткая" форма

задания приоритетов критериев) - не возможна компенсация

ухудшения значений более важных показателей.

Лингвистическое решающее правило.

Другим способом организации процесса принятия решений

в ситуациях многокритериального выбора является формирова-

ние нечетких множеств "рациональных" решений по каждому от-

дельному критерию, затем на основе использования лингвисти-

ческого подхода строится л и н г в и с т и ч е с к о е решающее

правило, которое позволяет выделить оптимальное

в целом ре-

шение. В этом случае процесс принятия решения можно характе-

ризовать схемой:

ЛПР ЛПР

S ⎯→ {M

, i ∈ G} ⎯→ L ⎯→ x

, (14.3)

где M

= {(x, μ

(x))} - нечеткое множество "хороших" (рациональ-

ных) по i-му критерию решений;

L - лингвистическое решающее правило.

Лингвистическое решающее правило L, по существу, пред-

ставляет собой некоторый составной терм (см. понятие лингвис-

тической переменной (13.31)), смысл которого задается нечетким

множеством. Тогда оптимальное решение x

соответствует мак-

симальной степени принадлежности элемента универсального

множества к нечеткому множеству, сформированному на основе

анализа L.

Критериальное пространство решений. Нормализация.

В задачах векторной оптимизации, характеризуемых парой

S= (

Δ, {f

(x),i=1,...,s}), каждому решению x∈Δ можно сопоставить s

значений целевых функций f

(x), i=1,...,s. Тогда можно рассматри-

308

вать s-мерное пространство с координатами f

значений целевых

(критериальных) функций, которое в задачах векторной оптими-

зации часто называют, как к р и т е р и а л ь н о е пространство

решений. Можно показать, что в задачах линейного программи-

рования, в которых множество допустимых решений

Δ описыва-

ется некоторым многогранником в n-мерном пространстве реше-

ний, образ

Δ в критериальном пространстве также является мно-

гогранником.

Для применения решающих правил важно, чтобы показате-

ли качества решений изменялись в одном масштабе. Соответст-

вующая операция сведения диапазонов изменения целевых

функций к единому масштабу называется н о р м а л и з а ц и е й

целевых функций. В частности,

в задачах максимизации показа-

телей довольно часто нормализацию осуществляют следующим

путем

(x) =

)x(f

, (14.4)

где f

(x) - нормализованная целевая функция; f

(x) ∈ [0,1];

- оптимальное решение.

Такой способ целесообразно использовать в случаях, если

значения f(x)≥0, ∀x∈

Δ. Когда f(x) знакопеременна в допустимой

области

Δ, нормализация проводится в соответствии с

f(x) - f

(x)

(x) =

⎯⎯⎯⎯ , (14.5)

f(x

) - f

(x)

где f

(x) = Inf f(x), x∈Δ.

Далее будем полагать, что целевые функции нормализова-

ны.

14.2. Множество недоминируемых решений

В задачах многокритериального выбора можно выделить

некоторое подмножество множества допустимых альтернатив,

элементы которого обладают определенными характерными

свойствами. Это множество неулучшаемых одновременно по

всем критериям (целевым функциям, показателям качества ре-

шения) альтернатив. Такое множество часто называется множе-

ством недоминируемых альтернатив (областью компромиссов,

множеством Парето, множеством эффективных решений). Дадим

309

определение понятия недоминируемого (эффективного) реше-

ния.

Решение x

называется н е д о м и н и р у е м ы м (Паре-

то-оптимальным, эффективным) решением, если в множестве Δ

не существуют решения, которое лучше x

по всем целевым

функциям одновременно.

Тогда множество недоминируемых решений Δ

(множество

Парето) можно определить как

= { x∈Δ ⎪¬∃y∈Δ, f

(y) ≥ f

(x), i∈G }. (14.6)

Естественно, что Δ

⊆ Δ, т.е., выделяя множество Парето, можно

сократить область поиска оптимального решения. В то же время

в задачах оптимизации множество допустимых решений Δ явля-

ется, как правило, бесконечным множеством (за исключением

некоторых случаев, когда Δ дискретное), тогда и множество Паре-

то Δ

содержит, как правило, бесконечное множество решений. В

этой связи понятие множества недоминируемых решений имеет

скорее методическое значение, чем практическое. Это значение

состоит в том, что решающие правила (принципы оптимальности)

в задачах многокритериального выбора следует строить так, что-

бы решение выбиралось заведомо из множества Парето.

Рассмотрим некоторые основные свойства множества Па-

рето, вытекающие из его определения.

Свойство 1. Никакие альтернативы, принадлежащие мно-

жеству допустимых альтернатив Δ, не доминируют (не превосхо-

дят) альтернативы, принадлежащие множеству Парето Δ

Свойство 2. При переходе от одной точки (альтернативы)

множества Парето к другой точке множества Парето происходит

увеличение значений одних критериальных функций и уменьше-

ние значений других критериальных функций.

Свойство 3. Множеству Парето принадлежат все альтер-

нативы, при которых достигается экстремумы значений хотя бы

одной из критериальных функций.

Важное свойство множества недоминируемых решений, ко-

торое имеет место в ситуациях, когда Δ представляет собой

замкнутое и ограниченное множество, а все f

(x) непрерывны на

Δ, формулируется в следующем виде.

Свойство 4. Любая точка множества Парето, расположен-

ного в строго положительном ортанте критериального простран-

ства, может быть найдена в результате решения задачи

310

= arg Max Σ α

(x), (14.7)

x∈Δ i=1

при соответствующем подборе коэффициентов α

, на которые

накладываются условия

∑

= 1, ∀α

≥0.

Для исследования множества Парето часто используется

понятие критериального пространства, под которым понимается

s-мерное пространство векторов вида f =

║f

(x)║, i=1,...,s, x∈Δ. В

задачах линейного программирования при s = 2 критериальное

пространство решений будет иметь вид

5 f

f(Δ)

2 7

1 9

Рис.14.1.

Пусть в критериальном пространстве крайние точки много-

гранника допустимых решений Δ имеют образы в виде точек

1,...,9. Тогда в соответствии с определением множества Парето

недоминируемыми будут решения, соответствующие граням (4,5),

(5,6), (6,7) многогранника f(Δ).

Важную роль в задачах векторной оптимизации играет точ-

ка в пространстве критериальных функций, в которой все крите-

риальные

функции принимают экстремальные значения (в дан-

ном случае максимальные значения). Такая точка называется

и д е а л ь н о й (у т о п и ч е с к о й) т о ч к о й множества Паре-

то. Нахождение идеальной точки f

во многих случаях оказывает-

ся весьма полезным при постановке задач определения рацио-

нальной альтернативы. Кроме того, компоненты (координаты в