Мироновский Л.А. Моделирование линейных систем Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

изображение входного сигнала имеет вид

() ,

поэ-

тому для изображения выходного сигнала получаем

1 11

() .

( )( )

pp p

p pp

+ ++

выполняем разложение на простейшие дроби

2 22

11 1 1

( )( )

p A Bp C

pp p p

=+ +

++ + +

Постоянные A, B, C находим, приводя выражение в правой

части к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты

при одинаковых степенях p в числителях правой и левой части:

A = B = 1; С = –1. возвращаясь к оригиналам, получаем y(t) = e

–t

+ cos t – sint.

Пример 11. решить дифференциальное уравнение

()yt-

 

544() ()yt yt-+=



при начальных условиях

00 02() , () .yy==



Применив к заданному уравнению преобразование Лапласа,

получаем для Y(p) алгебраическое уравнение

54 2( ) () .p p Yp

- + =+

отсюда находим выражение для Y(p) и разлагаем его на сумму

простых дробей:

24 1 2 1

() .

()

pp p

= =- +

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение

12() .

yt e e=- +

2.3.4. Системы линейных дифференциальных уравнений

рассмотрим случай, когда математическая модель имеет вид

системы однородных дифференциальных уравнений первого по-

рядка

11 0

01, () , ,,

i i in n i i

x ax ax x x i n= ++ = =



…

(2.14)

где a

– постоянные коэффициенты.

ее матричная запись имеет вид

0, () ,==



X AX X X

(2.15)

где Х – вектор-столбец с компонентами x

, …, x

; A – квадратная

матрица с элементами a

; X

– вектор начальных условий.

один из методов интегрирования системы дифференциаль-

ных уравнений основан на предварительном переходе от системы

(2.15) к одному уравнению n-го порядка. для этого из уравнений

системы и из уравнений, полученных их дифференцированием,

исключают все переменные, кроме одной. для нее получают одно

дифференциальное уравнение n-го порядка. решая его, опреде-

ляют эту переменную, а остальные находят по возможности без

интегрирования.

Пример 12. дана система из двух дифференциальных уравне-

ний

112

212

xxx

=- -



(2.16)

После дифференцирования первого уравнения и подстановки

производных получаем:

11212

3 2 21 4 .xxxxx=-=-

   

чтобы исключить х

, вычтем отсюда удвоенное первое урав-

нение системы (2.16):

111

2 15 0.xxx--=

  

Мы получили линейное дифференциальное уравнение вто-

рого порядка. так как корни характеристического полинома

– 2р – 15 вещественны и различны: р

= –3, р

= 5, то решение

имеет вид

11 2

x ce ce

Переменную х

находим из соотношения

2 11 1 2

053 3,( ) .

x x x ce ce

= -= -



для определения постоянных коэффициентов с

и с

исполь-

зуют начальные условия системы.

Пример 13. дана система неоднородных уравнений

112

212

325

yyy

=-+



(2.17)

из второго уравнения выразим у



( ) ( )

1 22 1 22

05 05, ,,y yy y yy=+ =+

   

(2.18)

и подставим их в первое уравнение:

2 22

2 10.y yy- +=

 

(2.19)

находим корни характеристического полинома

2pp-+

10,+=

,p =

и общее решение соответствующего однородного

уравнения

( )

îäí

y c cte=+

частное решение уравнения (2.19) имеет вид

10.y =

общее

решение неоднородного уравнения получаем как сумму этих ре-

шений

( )

îäí ÷

2 2 12

10.

y y ó c cte= +=+ +

из соотношения (2.18) находим

( ) ( )

1 2 2 1 22

05 05 5, ,.

y y y c c cte= +=+ + +



Постоянные с

и с

рассчитываем, используя начальные усло-

вия системы (2.17).

Аналогичным образом этот метод применяется и для систем

уравнений более высоких порядков.

таким образом, имеется тесная связь между линейным диффе-

ренциальным уравнением n-го порядка и системой n уравнений

первого порядка. от любой системы n линейных дифференциаль-

ных уравнений с постоянными коэффициентами можно перейти

к одному дифференциальному уравнению относительно одной из

неизвестных. справедливо и обратное утверждение: всякое ли-

нейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно пред-

ставить в виде системы n уравнений первого порядка.

в частности, уравнение (2.10) введением обозначений

()

, ,,

xxxx x x

= =¼ =



приводится к виду

01 1

01 0

00 0

00 1

aa a

éù

êú

-- -

êú

ëû

…



… …… …

…

X AX A

Матрица А такого вида называется фробениусовой, или ма-

трицей, сопровождающей характеристический полином.

например дифференциальное уравнение второго порядка

230yyy++=

 

после введения обозначений у = у

yy=



приво-

дится к системе с фробениусовой матрицей А второго порядка:

2 12

y yy

=- -



éù

êú

ëû

запись уравнений в таком виде удобна для моделирования в

MATLAB и составления схем моделирования в SIMULINK.

2.4. Матричные методы решения

дифференциальных уравнений

2.4.1. Метод матричной экспоненты

Пусть дана система дифференциальных уравнений

0, () ,==



X AX X X

(2.20)

где А – квадратная матрица; Х – вектор переменных; Х

– вектор

начальных условий.

для ее решения можно использовать матричную формулу

() ,

t =

X eX

где

– матричная экспонента. она вводится как сумма ряда

() ()

= + + + + +¼…

e EA

(2.21)

аналогичного ряду тейлора для обычной экспоненты. Первый

член этого ряда – единичная матрица.

Матричная экспонента представляет собой квадратную ма-

трицу того же размера, что и матрица А.

особенно легко находится матричная экспонента для диаго-

нальных матриц – в этом случае достаточно взять обычные экс-

поненты от диагональных элементов. в общем случае вычисле-

ние матричной экспоненты – трудоемкая процедура.

Матричная экспонента

обладает рядом свойств, справед-

ливых для обычной экспоненты:

, ,.

tt t t t

== = + =

A A At A A A

Ae e A e A e c e E

в то же время некоторые свойства обычной экспоненты не со-

храняются, например равенство

()tt t+

A B AB

ee e

не имеет места.

изображение матричной экспоненты по Лапласу имеет вид

( )

®-

e EA

, где

( )

-EA

– так называемая резольвента

матрицы А. эта формула представляет собой обобщение изобра-

жения по Лапласу обычной экспоненты

к основным способам вычисления матричной экспоненты от-

носятся:

1. непосредственное суммирование членов ряда (2.21).

2. Приведение матрицы А к диагональному виду с помощью

формулы Н

–1

АН (каноническая форма Жордана), вычисление

экспонент от диагональных элементов и обратный переход.

3. вычисление матричной экспоненты с помощью преобразо-

вания Лапласа

( )

Û-

e EA

4. использование команды expm пакета MATLAB.

Пример 14. найдем матричные экспоненты

для следую-

щих матриц А:

123 4

1 0 12 0 1 11

02 01 10 11

, , ,.

é ù é ù é ù éù

ê ú ê ú ê ú êú

=== =

ê ú ê ú ê ú êú

ë û ë û ë û ëû

AAA A

возводя их в степени и выполняя поэлементное суммирова-

ние членов ряда (2.21), получаем:

cos sin

sin cos

t tt

e ee

tt ee

éùéù

êúêú

ëûëû

éù

êú

ëû

в частности, для матрицы А

имеем:

23 1

4 44 4 4 4

24 2, , ..., .

kk-

== =A AA A A A

суммирование ряда (2.21) дает

234

122 2 2 1

21234 2

() () ()

( ...) ( ).

!! ! !

tt t t

e=+ + + + + =+ -

e EA EA

Пример 15. найдем для матрицы

éù

êú

ëû

матричную

экспоненту

с помощью преобразования Лапласа.

Решение. Формируем матрицу

p -EA

и вычисляем матрич-

ную резольвенту:

( )

éù

êú

ëû

используя тождество

1 11

, переходим

к оригиналам

22 2

tt tt

tttt

ee ee

-- --

éù

êú

- + -+

ëû

Пример 16. дана система дифференциальных уравнений

x xy



0 01() () .xy==

найдем ее решение с помощью матричной экспоненты.

выписываем матрицу А и находим матричную экспоненту

31 2

22 2

t ttt

e e ee

éù

- -+ -

êú

-+ -

ëû

искомое решение имеет вид

()

é ù éù

ê ú êú

ë û ëû

или в скалярной

форме

() , () .

xte yte==

2.4.2. Метод собственных векторов

в методе матричной экспоненты для записи решения систе-

мы (2.20) используется формула

() .

t =

X eX

если собственные

числа матрицы А вещественны и различны, то удобнее пользо-

ваться методом собственных векторов. согласно ему решение за-

писывается в форме

() ,

tc e c e

λλ

= ++…XH H

(2.22)

где λ

и H

– собственные числа и собственные векторы матрицы А;

– произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Пример 17. рассмотрим систему из предыдущего примера.

собственные значения матрицы А этой системы λ

= 1, λ

= 2.

для них собственными векторами будут соответственно

éù éù

êú êú

ëû ëû

согласно формуле (2.22) решение будет содержать два слагае-

мых

()

tc ec e

éù éù

êú êú

ëû ëû

запись решения в скалярной форме имеет вид

12 12

2,.

tt tt

x ce ce y ce ce=+ = +

Пример 18. дана система дифференциальных уравнений

2 (0) 0,

2 (0) 1.

x xyzx

y x y zy

z xy zz

= -+ =

=+ - =

=-+ =



найдем ее решение методом собственных векторов.

Переходим к матричной форме записи:

2 11

12 1

1 12

éù

êú

= =-

êú

ëû



X AX A

находим собственные числа и собственные векторы матрицы А:

123 1 2 3

0 11

123 1 1 0

1 11

,,, , , .λλλ

éù éù éù

êú êú êú

=== = = =

êú êú êú

ëû ëû ëû

H HH

общее решение имеет вид

11 22 33

() .

ttt

tc ec e c e=+ +XH H H

Постоянные

123

,,ccc

определяем из начальных условий:

12 3

1 11, ,.cc c= =- =

окончательно получаем:

32 2 32

() , () , () .

t t tt t tt

xte e yt e e zte e e=- =-+ =-+

Формула (2.22) справедлива только для матриц А простой

структуры, когда среди ее собственных чисел нет кратных. су-

ществует обобщение этой формулы на случай кратных и ком-

плексных собственных чисел. соответствующий материал мож-

но найти в учебных пособиях [2, 5].

2.5. краевые и нелинейные дифференциальные уравнения

2.5.1. Краевые задачи

общее решение дифференциального уравнения n-го порядка

() ( )

() () ()

x t a x t a xt

+ ++ =…

(2.23)

содержит n произвольных коэффициентов. для того чтобы их

определить, задают значения переменной и ее производных в

определенные моменты времени. если указанные значения от-

носятся к одному и тому же моменту времени, то они называются

начальными условиями. дифференциальные уравнения с задан-

ными начальными условиями называются задачей Коши. если

же эти значения относятся к разным моментам времени, напри-

мер,

1122

() ; () , , ( ) ,

xt A xt A xt A= =¼ =

то задача называется

краевой. краевые задачи часто встречаются в механике, теории

упругости, баллистике.

в частности, в теории оптимального управления возника-

ет так называемая д в ух т о ч е ч н а я краевая задача, в которой

значения переменной и ее производных задаются в начальный и

конечный моменты времени t = 0 и t = T. например, при n = 4

возможны следующие варианты:

12 3 4

1234

10 0

20 0

) () , () , ( ) , ( ) ;

) () , () , ( ) , ( )

x Ax AxTAxTA

¢¢

== = =

¢ ¢¢ ¢

====

и ряд других.

другим примером краевой задачи может служить задача бал-

листики, когда нужно определить угол наклона ствола орудия

(угол возвышения), чтобы поразить цель. в качестве краевых

условий здесь выступают координаты орудия и цели.

Аналитическое решение краевой задачи полностью аналогич-

но решению задачи коши. единственное отличие заключается

в том, что при определении произвольных коэффициентов, вхо-

дящих в решение, используются не начальные, а краевые усло-

вия. например, для дифференциального уравнения второго по-

рядка

0xaxax++=

 

(2.24)

с краевыми условиями

1122

() , ()xt A xt A==

сначала нахо-

дят общее решение, которое в случае простых веществен-

ных корней

,pp

характеристического уравнения имеет вид

() .

pt pt

xt ce ce=+

После этого, полагая

tt=

,tt=

получа-

ют систему алгебраических уравнений для определения постоян-

ных

11 21

12 22

12 1

22 2

pt pt

ce ce A

Аналогичным образом получают уравнения и для других

вариантов краевых условий. отметим, что в некоторых особых

случаях указанные уравнения могут оказаться несовместными

либо, наоборот, иметь бесконечно много решений.

в тех случаях, когда дифференциальные уравнения анали-

тически решить не удается, используют моделирование на вы-

числительных машинах. для компьютерного решения краевой

задачи ее необходимо предварительно свести к эквивалентной

задаче коши, решение которой совпадает с решением поставлен-

ной краевой задачи.

рассмотрим два метода нахождения начальных условий экви-

валентной задачи коши для краевой задачи: метод пристрелки и

метод частных решений.

Метод подбора начальных условий (метод пристрелки). сущ-

ность этого метода состоит в том, что недостающие начальные

условия задаются произвольно и с ними решают задачу коши.

если полученное решение не удовлетворяет заданным краевым

условиям, то начальные условия изменяют и решение повторяют.

совокупность начальных условий, при которых решение в гра-

ничных точках соответствует краевым условиям, и будет началь-

ными условиями для эквивалентной задачи коши, полученное ре-

шение будет соответствовать решению исходной краевой задачи.

достоинством метода пристрелки является то, что он применим

для решения как линейных, так и нелинейных дифференциаль-

ных уравнений. основной недостаток его заключается в трудоем-

кости процесса подбора начальных условий.

Метод частных решений. в основе этого метода лежит прин-

цип суперпозиции, поэтому он применим только для линейных

систем. сущность метода частных решений поясним на приме-

ре дифференциального уравнения (2.23) с краевыми условиями

1 12 2

() , () , , () .

xt A xt A xt A= =¼ =

требуется найти решение х(t), которое проходит через все

указанные точки.

для того чтобы перейти к эквивалентной задаче коши, необ-

ходимо найти начальные условия

0 0 0

()

( ), ( ), , ( ).

xx x



Поиск

этих значений будем осуществлять следующим образом.

сначала получим n частных решений

(), , ()

xt x t¼

уравне-

ния (2.23), отвечающих начальным условиям

0 1 0 0 … 0

……………………………………..........

00 00 … 1

()

() , () , , ;

() , () , , .

nn n

xx x

== =



запишем решение уравнения (2.23) в виде линейной комбина-

ции этих частных решений

11 22

…() () () ().

xt cx t cx t c x t= + ++

(2.25)

Подставляя в уравнение (2.25) заданные краевые условия, по-

лучим систему алгебраических уравнений

1 1 11 1 22 1 1

11 22

…

………………………………………………..............

…

() () () (),

() () () ().

n n n n nn n

xt A cx t cx t c x t

= = + ++

(2.26)

так как значения

()

известны (они определяются чис-

ленно при получении n частных решений), то систему (2.26)

можно рассматривать как систему n уравнений с n неиз-

вестными с

, …, с

. После их определения начальные усло-

вия эквивалентной задачи коши можно найти, n – 1 раз про-

дифференцировав уравнение (2.25) и положив после этого

0 0 0 0

()

: () , () , , () .

t xcxc x c

= = =¼ =



окончательное решение получим, моделируя задачу коши

с этими начальными условиями. Алгоритм решения краевой за-

дачи методом частных решений приведен на рис. 2.6.

отметим, что указанный выбор начальных условий для полу-

чения частных решений не только упрощает вычисления, но и