Меньков А.В., Острейковский В.А. Теоретические основы автоматизированного управления

Подождите немного. Документ загружается.

470

9.1. Математичесое обеспечение

автоматизированных систем

Мы рассмотрим математичесое обеспечение применительно

 системам правления производством, во-первых, потом, что в

настоящее время этот ласс систем является наиболее разрабо-

танным, и, во-вторых, наиболее типичным.

В соответствии с ГОСТом, под математичесим обеспечением

понимается совопность математичесих моделей, методов и

ал оритмов для решения задач обработи информации с приме-

нением средств вычислительной технии.

Если математичесое обеспечение рассматривать с позиций

использемо о математичесо о аппарата, то е о можно разде-

лить на три части:

Задачи лоичесой обработи информации (типа сортирови,

слияния, объединения и т. п.). Эти задачи, а правило, реализо-

ваны в стандартном про раммном обеспечении.

Задачи прямоо счета, или, их еще называют, ртинные зада-

чи. Это вычисления по известным соотношениям смм, произве-

дений, смм произведений и т. д. Типичный пример — расчет за-

работной платы повременщиа: необходимо е о почасовю та-

рифню став множить на число отработанных им часов, затем

честь надбави, если они положены, затем произвести вычеты,

оторые положены все да; в ито е полчим величин заработной

платы, подлежащю выдаче.

Задачи оптимизации. Процесс оптимизации предпола ает вы-

бор тао о варианта решения, при отором дости ается эстре-

мальное (масимальное или минимальное) значение неоторой

фнции, харатеризющей ачество правления. Выбор этой

фнции осществляется постановщиом задачи в зависимости

от целей, стоящих перед системой правления.

Наиболее часто использются следющие основные эономи-

о-математичесие модели правления производством (ЭММ):

1) модели, оторые полчили название производственные фн-

ции. Это простейший вид моделей. Они представляют собой ал еб-

раичесие зависимости межд различными фаторами и поазате-

лями производства. Примеры фаторов производства: числен-

ность основных рабочих, численность аппарата правления,

размер и степень амортизации основных средств, виды и оличес-

тво обордования и т. п. Примеры поазателей производства: при-

быль, себестоимость, оличество выпсаемой продции и т. п.;

2) балансовые модели. Они представляют собой линейные за-

висимости межд различными производственными фаторами и

471

поазателями производства. Типичный пример — модель межот-

раслево о баланса, оторая бдет рассматриваться ниже;

3) модели объемноо планирования. Это, по сти, те же самые ба-

лансовые модели, но с азанием неоторых ритериев оцени;

4) модели алендарноо планирования, или, а их еще называ-

ют, модели расписания. Они порядочивают по времени выпол-

нение тех или иных работ или событий. Проще оворя, это раз-

работа расписания неоторой деятельности;

5) потоовые модели. Они оперирют с потоами продции,

финансов, энер ии, сл одно о предприятия др им и т. п. Ча-

ще все о эти модели отображаются с помощью рафов;

6) модели правления запасами. С одной стороны, наопление

запасов ведет  излишним издержам, связанным с их хранени-

ем, запасы мо т терять ачество, морально старевать и т. п. Все

это приводит  финансовым потерям предприятия. С др ой сто-

роны, отстствие запасов и вызванные этим слчайные останов-

и производства вынждают предприятие-поставщи платить

штрафы своим потребителям за недопостав. Уазанные модели

оптимизирют эт ситацию;

7) модели распределения, оторые осществляют поис реше-

ния в словиях взаимозаменяемости обордования, техноло ий,

процессов и т. п.;

8) модели массовоо обслживания. В отличие от всех предыд-

щих моделей, они читывают слчайный харатер различных

фаторов, воздействющих на производство. Например, момен-

ты выхода обордования из строя слчайны во времени, продол-

жительность ремонта таже величина слчайная. Если ремонтни-

ов очень мно о, то они бдт простаивать, и предприятие несет

быто; если их очень мало, то бдет простаивать обордование,

и предприятие снова понесет быти. Модели массово о обсл-

живания позволяют оптимизировать эти ситации;

9) имитационные модели. Это самый ниверсальный вид моде-

лей, посоль это есть не что иное, а эсперимент, проводи-

мый на ЭВМ, и, стало быть, с помощью имитации можно решать

любой из перечисленных выше лассов задач.

Модели типа «производственные фнции». Ка отмечалось,

это самый простейший вид моделей, они предназначены для вы-

работи общей эономичесой политии.

Пример 1. Определение размера партии выпсаемых деталей.

Псть цена партии деталей прямо пропорциональна оличес-

тв шт деталей в партии, а затраты на выпс таже прямо про-

порциональны оличеств деталей в партии и требют неоторых

первоначальных апиталовложений (рис 9.2).

472

Из рис. 9.2 следет, что, тольо начиная с неоторо о

оличества деталей N

имеет смысл налаживать производство.

Если задаться желаемой величиной прибыли, то можно

определить, не менее ао о числа N должна содержать партия

деталей. В этом примере фатор производства — оличество

деталей, поазатель производства — прибыль.

Пример 2. Модель реализации про-

дции.

Из рис. 9.3 следет, что сначала

прибыль растет, а затем, по мере на-

сыщения рына данной продцией,

начинает падать.

Аналитичеси производственные

фнции записываются в виде:

y = f(x),

здесь y — поазатель производства, x —

фатор производства.

Приращение поазателя:

∆y = f ′(x) · ∆x.

Поис правляющих воздействий в таих моделях чрезвычай-

но прост:

—если f ′(x) > 0, то рост фатора x целесообразно стимлиро-

вать;

—если f ′(x) < 0, то целесообразно меньшать значение x;

—если f ′(x) = 0, то ситацию можно сохранить.

Ïåðâîíà÷àëüíûå

âëîæåíèÿ

Êîëè÷åñòâî

øòóê äåòàëåé

Öåíà

ïàðòèè

Çàòðàòû

íà âûïóñ

Ïðèáûëü

Äåíüãè

Рис. 9.2. Определение размера партии деталей

Êîëè÷åñòâî

øòóê äåòàëåé

ðèáûëü

Рис.9.3. Модель реализа-

ции продции

473

На пратие очень часто производственные фнции являют-

ся фнциями несольих ар ментов (несольих производс-

твенных фаторов), т. е.

y = f (x

, x

, ..., x

В этом слчае аждая частная производная поазывает зави-

симость y от соответствюще о ар мента:

= , i =

и полное приращение производственно о поазателя y:

∆y = ∆x.

Сществют различные способы определения вида фнции f.

Можно, например, использя эмпиричесие данные, методами ре -

рессионно о анализа найти вид фнции f(x) или, например, задав-

шись из аих-либо соображений видом фнции f, опять же, ис-

пользя статисти, найти все параметры выбранной фнции.

Балансовые модели. В них использются свойства аддитив-

ности, линейности и взаимной независимости различных фато-

ров и поазателей производства. В самом общем слчае это мож-

но записать в виде следюще о баланса:

F = .

Читается эта запись та: влияние сммы равно смме влия-

ний. Здесь Ф

— это i-тый фатор производственно о процесса,

F — это влияние фаторов.

Балансовые модели оличественно связывают потои реср-

сов и продции, производственные мощности предприятия и

за рз обордования и т.п.

Типичный пример: модель межотраслево о баланса. Эта мо-

дель задается системой линейных равнений вида:

° = y

, i, j = .

В этом i-том равнении:

— это оличество неоторой продции, производимой

i-той отраслью;

-------

′

1 n,

′

i 1=

∑

⎝

⎛

∑

⎠

⎞

F Ф

()

∑

1 n,

472

Из рис. 9.2 следет, что, тольо начиная с неоторо о

оличества деталей N

имеет смысл налаживать производство.

Если задаться желаемой величиной прибыли, то можно

определить, не менее ао о числа N должна содержать партия

деталей. В этом примере фатор производства — оличество

деталей, поазатель производства — прибыль.

Пример 2. Модель реализации про-

дции.

Из рис. 9.3 следет, что сначала

прибыль растет, а затем, по мере на-

сыщения рына данной продцией,

начинает падать.

Аналитичеси производственные

фнции записываются в виде:

y = f(x),

здесь y — поазатель производства, x —

фатор производства.

Приращение поазателя:

∆y = f ′(x) · ∆x.

Поис правляющих воздействий в таих моделях чрезвычай-

но прост:

—если f ′(x) > 0, то рост фатора x целесообразно стимлиро-

вать;

—если f ′(x) < 0, то целесообразно меньшать значение x;

—если f ′(x) = 0, то ситацию можно сохранить.

Ïåðâîíà÷àëüíûå

âëîæåíèÿ

Êîëè÷åñòâî

øòóê äåòàëåé

Öåíà

ïàðòèè

Çàòðàòû

íà âûïóñ

Ïðèáûëü

Äåíüãè

Рис. 9.2. Определение размера партии деталей

Êîëè÷åñòâî

øòóê äåòàëåé

ðèáûëü

Рис.9.3. Модель реализа-

ции продции

473

На пратие очень часто производственные фнции являют-

ся фнциями несольих ар ментов (несольих производс-

твенных фаторов), т. е.

y = f (x

, x

, ..., x

В этом слчае аждая частная производная поазывает зави-

симость y от соответствюще о ар мента:

= , i =

и полное приращение производственно о поазателя y:

∆y = ∆x.

Сществют различные способы определения вида фнции f.

Можно, например, использя эмпиричесие данные, методами ре -

рессионно о анализа найти вид фнции f(x) или, например, задав-

шись из аих-либо соображений видом фнции f, опять же, ис-

пользя статисти, найти все параметры выбранной фнции.

Балансовые модели. В них использются свойства аддитив-

ности, линейности и взаимной независимости различных фато-

ров и поазателей производства. В самом общем слчае это мож-

но записать в виде следюще о баланса:

F = .

Читается эта запись та: влияние сммы равно смме влия-

ний. Здесь Ф

— это i-тый фатор производственно о процесса,

F — это влияние фаторов.

Балансовые модели оличественно связывают потои реср-

сов и продции, производственные мощности предприятия и

за рз обордования и т.п.

Типичный пример: модель межотраслево о баланса. Эта мо-

дель задается системой линейных равнений вида:

° = y

, i, j = .

В этом i-том равнении:

— это оличество неоторой продции, производимой

i-той отраслью;

-------

′

1 n,

′

i 1=

∑

⎝

⎛

∑

⎠

⎞

F Ф

()

∑

1 n,

474

— это оличество продции, идщей на внтриотрасле-

вое потребление, т. е. остающейся в этой отрасли;

— это оличество продции i-той отрасли, идщей на

производство единицы продции в j-тю отрасль;

— это полное оличество продции, постпающей из

i-той в j-тю отрасль.

Анало ичной моделью можно описать связи межд предпри-

ятиями по продции, сл и одно о производственно о объета,

оазываемые др ом производственном объет, и т. п. задачи.

Балансовые модели дают точные про нозы тольо для стано-

вивше ося производственно о процесса. Их построение связано

с необходимостью определения специальных оэффициентов за-

трат или нормативов a

. Если эти оэффициенты меняются во

времени, то необходимо меть про нозировать их бдщие зна-

чения.

Модели объемноо планирования. Это типичный пример зада-

чи принятия решений с детерминированными параметрами.

Псть имеется несольо производственных объетов, этими

объетами мо т быть части цеха, цеха на предприятии, пред-

приятия в отрасли и т.д. Обозначим эти производственные объ-

еты через A

, A

, ..., A

, A

— тещий объет, r = .

Псть все эти производственные объеты способны выпс-

ать неоторые изделия, оторые обозначим через B

, B

, ..., B

неоторое тещее изделие B

, i = .

Для выпса этих изделий необходимо иметь k ресрсов (ра-

бочие различной валифиации и профессий, инженеры, стани

и т. п.). Обозначим эти производственные ресрсы через C

, C

..., C

, тещий ресрс — C

, j = .

На аждый вид выпсаемой продции имеется диретив-

ный план, т. е. то оличество изделий данно о вида, не менее о-

торо о все производственные объеты должны выпстить все

вместе. Обозначим диретивный план выпса изделия B

через b

Известны нормативы: норматив использования ресрса C

оторый необходим для выпса одной шти изделия B

, обоз-

начим через с

Время использования аждо о из ресрсов C

есть величина

о раниченная (не более 24 часов в сти), роме то о, для аждо-

о из производственных объетов эта величина различная (т. . на

одном предприятии, например, может быть трехсменная работа,

на др ом — двхсменная и т. п.). Обозначим допстимое время ис-

пользования ресрса C

на производственном объете A

, через a

Известна таже прибыль аждо о производственно о объета

от выпса одно о изделия аждо о вида. Обозначим прибыль,

1 n,

1 m,

1 k,

475

оторю полчает объет A

, выпсая одн шт изделий типа

через P

Требется та распределить план выпса всех изделий меж-

д всеми объетами, чтобы сммарная прибыль была бы маси-

мальной.

Это словесное описание задачи (проблемы). Теперь разрабо-

таем ее математичесю модель.

Обозначим через X

план выпса изделий типа B

, i = ,

оторый мы порчим предприятию или производственном объ-

ет A

, r = . Следет отметить, что аждый из производс-

твенных объетов, выпсая одн шт изделий типа B

, полча-

ет различню прибыль в зависимости от техноло ии, ор аниза-

ции трда и т.п.

Рассмотрим объет A

: выпсая одн шт изделий типа B

это предприятие полчает прибыль P

, но по план, оторый мы

ищем, он должен выпсать X

шт, значит, прибыль это о объ-

ета от выпса данно о изделия составит P

. Анало ичные

рассждения можно провести и для любо о из перечисленных из-

делий, следовательно, сммарная прибыль объета бдет слады-

ваться от выпса всех изделий, значит, азанню величин надо

просммировать по всем изделиям. В резльтате прибыль объета

бдет равна:

Но нас интересет сммарная прибыль всех объетов, поэто-

м азанню величин необходимо просммировать по всем

объетам. Сммарная прибыль составит:

= F .(9.1)

Ита, задача залючается в том, чтобы найти таие X

, ото-

рые бы обеспечивали масимм выражения (9.1), но при этом на

все X

наладываются следющие о раничения: исомые плана

не мо т быть отрицательными

l 0, r = , i = , (9.2)

второй вид о раничений вытеает из необходимости выполнения

диретивных планов. Одно предприятие выпсает X

шт изде-

лий, то да полный объем выпса этих изделий полчится в ре-

1 m,

1 n,

i 1=

∑

i 1=

∑

r 1=

∑

1 n, 1 m,

474

— это оличество продции, идщей на внтриотрасле-

вое потребление, т. е. остающейся в этой отрасли;

— это оличество продции i-той отрасли, идщей на

производство единицы продции в j-тю отрасль;

— это полное оличество продции, постпающей из

i-той в j-тю отрасль.

Анало ичной моделью можно описать связи межд предпри-

ятиями по продции, сл и одно о производственно о объета,

оазываемые др ом производственном объет, и т. п. задачи.

Балансовые модели дают точные про нозы тольо для стано-

вивше ося производственно о процесса. Их построение связано

с необходимостью определения специальных оэффициентов за-

трат или нормативов a

. Если эти оэффициенты меняются во

времени, то необходимо меть про нозировать их бдщие зна-

чения.

Модели объемноо планирования. Это типичный пример зада-

чи принятия решений с детерминированными параметрами.

Псть имеется несольо производственных объетов, этими

объетами мо т быть части цеха, цеха на предприятии, пред-

приятия в отрасли и т.д. Обозначим эти производственные объ-

еты через A

, A

, ..., A

, A

— тещий объет, r = .

Псть все эти производственные объеты способны выпс-

ать неоторые изделия, оторые обозначим через B

, B

, ..., B

неоторое тещее изделие B

, i = .

Для выпса этих изделий необходимо иметь k ресрсов (ра-

бочие различной валифиации и профессий, инженеры, стани

и т. п.). Обозначим эти производственные ресрсы через C

, C

..., C

, тещий ресрс — C

, j = .

На аждый вид выпсаемой продции имеется диретив-

ный план, т. е. то оличество изделий данно о вида, не менее о-

торо о все производственные объеты должны выпстить все

вместе. Обозначим диретивный план выпса изделия B

через b

Известны нормативы: норматив использования ресрса C

оторый необходим для выпса одной шти изделия B

, обоз-

начим через с

Время использования аждо о из ресрсов C

есть величина

о раниченная (не более 24 часов в сти), роме то о, для аждо-

о из производственных объетов эта величина различная (т. . на

одном предприятии, например, может быть трехсменная работа,

на др ом — двхсменная и т. п.). Обозначим допстимое время ис-

пользования ресрса C

на производственном объете A

, через a

Известна таже прибыль аждо о производственно о объета

от выпса одно о изделия аждо о вида. Обозначим прибыль,

1 n,

1 m,

1 k,

475

оторю полчает объет A

, выпсая одн шт изделий типа

через P

Требется та распределить план выпса всех изделий меж-

д всеми объетами, чтобы сммарная прибыль была бы маси-

мальной.

Это словесное описание задачи (проблемы). Теперь разрабо-

таем ее математичесю модель.

Обозначим через X

план выпса изделий типа B

, i = ,

оторый мы порчим предприятию или производственном объ-

ет A

, r = . Следет отметить, что аждый из производс-

твенных объетов, выпсая одн шт изделий типа B

, полча-

ет различню прибыль в зависимости от техноло ии, ор аниза-

ции трда и т.п.

Рассмотрим объет A

: выпсая одн шт изделий типа B

это предприятие полчает прибыль P

, но по план, оторый мы

ищем, он должен выпсать X

шт, значит, прибыль это о объ-

ета от выпса данно о изделия составит P

. Анало ичные

рассждения можно провести и для любо о из перечисленных из-

делий, следовательно, сммарная прибыль объета бдет слады-

ваться от выпса всех изделий, значит, азанню величин надо

просммировать по всем изделиям. В резльтате прибыль объета

бдет равна:

Но нас интересет сммарная прибыль всех объетов, поэто-

м азанню величин необходимо просммировать по всем

объетам. Сммарная прибыль составит:

= F .(9.1)

Ита, задача залючается в том, чтобы найти таие X

, ото-

рые бы обеспечивали масимм выражения (9.1), но при этом на

все X

наладываются следющие о раничения: исомые плана

не мо т быть отрицательными

l 0, r = , i = , (9.2)

второй вид о раничений вытеает из необходимости выполнения

диретивных планов. Одно предприятие выпсает X

шт изде-

лий, то да полный объем выпса этих изделий полчится в ре-

1 m,

1 n,

i 1=

∑

i 1=

∑

r 1=

∑

1 n, 1 m,

476

зльтате сммирования X

по всем предприятиям. И эта величина

не может быть меньше диретивно о плана b

т. е.

m b

, i = , (9.3)

следющая рппа о раничений вытеает из о раниченности ре-

срсов. Выпсая 1шт. изделий вида B

, мы занимаем ресрс C

течении времени c

(например, 1/2 часа из отавливается он-

ретная деталь на онретном стане). Но выпсать мы бдем X

шт изделий. Стало быть с

— время занятости данно о реср-

са выпсом деталей тольо это о вида. Но этот же ресрс может

быть занят выпсом и др их изделий. То да — полное

время занятости ресрса C

. Но время использования аждо о из

ресрсов есть величина о раниченная, поэтом

m a

, r = , j = . (9.4)

И, оончательно, необходимо найти таие планы выпса

всех изделий на всех производственных объетах X

, оторые бы

обращали в масимм выражение (9.1) при соблюдении систем

о раничений (9.2—9.4).

Если решать эт задач в масштабах отрасли, то приблизи-

тельными параметрами задачи бдт: число предприятий n = 20,

число видов продции m = 50, число видов ресрсов k = 10.

В резльтате число о раничений составит 1250.

Рассмотрим числовой пример модели объемно о планирования.

Псть, для простоты, мы имеем все о один производственный

объет (сажем, цех). Стало быть, в выше азанных обозначени-

ях, n = 1, A

— производственный объет.

Псть таже этот объет способен выпсать тольо два вида

изделий. То да, в этих же обозначениях, m = 2, изделия — B

и B

Псть таже для выпса этих двх изделий требются все о

два вида производственных ресрсов. В выше азанных обозна-

чениях, k = 2, C

и C

— производственные ресрсы.

Известны нормативы: для выпса одной шти изделий вида B

ресрс C

необходимо использовать один час, а ресрс C

— два часа.

Анало ично, для выпса одной шти изделий вида B

ресрс C

требется использовать два часа, а ресрс C

— один час (рис. 9.4).

i 1=

∑

1 m,

i 1=

∑

i 1=

∑

1 n, 1 k,

477

Масимально возможное время использования ресрса C

—

8 часов в сти, а ресрса C

— 10 часов.

Известна прибыль, оторю полчает производственный объет

от выпса этих изделий. Псть, выпсая 1 шт изделий B

, про-

изводственный объет полчает прибыль 5 тыс. рб., а если он же

выпсает 1 шт изделий B

, то он полчает прибыль 3 тыс.рб.

Для простоты бдем считать, что диретивные планы на вы-

пс этих изделий отстствют.

Требется составить план выпса этих изделий, оторый

обеспечивал бы производственном объет масимальню

прибыль.

Мы разработали словесное описание задачи (словесное опи-

сание серьезной задачи может составлять несольо томов).

Разработаем теперь математичесю модель, для это о обоз-

начим план выпса, или оличество изделий, обеспечивающих

масимальню прибыль, для изделия B

через X

; для изделия

— X

; X

и X

— исомые правляющие воздействия, оторые

необходимо отысать, это та называемый правляемый пара-

метр задачи.

Сначала распишем выражение для прибыли. Выпсая 1 шт. B

производственный объет полчает 5 тыс.рб. прибыли, а шт

этих бдет X

; 5 X

— прибыль, полчаемая им от выпса изделий

, плюс  этом 3 тыс. рб. от выпса 1 шт. B

, а шт этих X

;

— прибыль от выпса изделий B

, а смма (5X

+ 3X

) и бдет

составлять сммарню прибыль предприятия.

+ 3X

= F,тебетсяF → max. (9.5)

Выражение (9.5) есть ритерий оптимальности принимаемо о

решения, е о еще называют целевой фнцией. Если бы не было

о раничений, то, выпсая бесонечно мно о изделий одно о ви-

да, можно было бы полчать бесонечно большю прибыль, но

имеются о раничения, оторые определяют область допстимых

значений правляемых параметров задачи. Рассмотрим эти о ра-

ничения.

1 шт.

= 1

= 2

1 шт.

= 1

= 2

Рис. 9.4. Использование ресрсов для выпса 1 шт. B

и 1 шт. B

476

зльтате сммирования X

по всем предприятиям. И эта величина

не может быть меньше диретивно о плана b

т. е.

m b

, i = , (9.3)

следющая рппа о раничений вытеает из о раниченности ре-

срсов. Выпсая 1шт. изделий вида B

, мы занимаем ресрс C

течении времени c

(например, 1/2 часа из отавливается он-

ретная деталь на онретном стане). Но выпсать мы бдем X

шт изделий. Стало быть с

— время занятости данно о реср-

са выпсом деталей тольо это о вида. Но этот же ресрс может

быть занят выпсом и др их изделий. То да — полное

время занятости ресрса C

. Но время использования аждо о из

ресрсов есть величина о раниченная, поэтом

m a

, r = , j = . (9.4)

И, оончательно, необходимо найти таие планы выпса

всех изделий на всех производственных объетах X

, оторые бы

обращали в масимм выражение (9.1) при соблюдении систем

о раничений (9.2—9.4).

Если решать эт задач в масштабах отрасли, то приблизи-

тельными параметрами задачи бдт: число предприятий n = 20,

число видов продции m = 50, число видов ресрсов k = 10.

В резльтате число о раничений составит 1250.

Рассмотрим числовой пример модели объемно о планирования.

Псть, для простоты, мы имеем все о один производственный

объет (сажем, цех). Стало быть, в выше азанных обозначени-

ях, n = 1, A

— производственный объет.

Псть таже этот объет способен выпсать тольо два вида

изделий. То да, в этих же обозначениях, m = 2, изделия — B

и B

Псть таже для выпса этих двх изделий требются все о

два вида производственных ресрсов. В выше азанных обозна-

чениях, k = 2, C

и C

— производственные ресрсы.

Известны нормативы: для выпса одной шти изделий вида B

ресрс C

необходимо использовать один час, а ресрс C

— два часа.

Анало ично, для выпса одной шти изделий вида B

ресрс C

требется использовать два часа, а ресрс C

— один час (рис. 9.4).

i 1=

∑

1 m,

i 1=

∑

i 1=

∑

1 n, 1 k,

477

Масимально возможное время использования ресрса C

—

8 часов в сти, а ресрса C

— 10 часов.

Известна прибыль, оторю полчает производственный объет

от выпса этих изделий. Псть, выпсая 1 шт изделий B

, про-

изводственный объет полчает прибыль 5 тыс. рб., а если он же

выпсает 1 шт изделий B

, то он полчает прибыль 3 тыс.рб.

Для простоты бдем считать, что диретивные планы на вы-

пс этих изделий отстствют.

Требется составить план выпса этих изделий, оторый

обеспечивал бы производственном объет масимальню

прибыль.

Мы разработали словесное описание задачи (словесное опи-

сание серьезной задачи может составлять несольо томов).

Разработаем теперь математичесю модель, для это о обоз-

начим план выпса, или оличество изделий, обеспечивающих

масимальню прибыль, для изделия B

через X

; для изделия

— X

; X

и X

— исомые правляющие воздействия, оторые

необходимо отысать, это та называемый правляемый пара-

метр задачи.

Сначала распишем выражение для прибыли. Выпсая 1 шт. B

производственный объет полчает 5 тыс.рб. прибыли, а шт

этих бдет X

; 5 X

— прибыль, полчаемая им от выпса изделий

, плюс  этом 3 тыс. рб. от выпса 1 шт. B

, а шт этих X

;

— прибыль от выпса изделий B

, а смма (5X

+ 3X

) и бдет

составлять сммарню прибыль предприятия.

+ 3X

= F,тебетсяF → max. (9.5)

Выражение (9.5) есть ритерий оптимальности принимаемо о

решения, е о еще называют целевой фнцией. Если бы не было

о раничений, то, выпсая бесонечно мно о изделий одно о ви-

да, можно было бы полчать бесонечно большю прибыль, но

имеются о раничения, оторые определяют область допстимых

значений правляемых параметров задачи. Рассмотрим эти о ра-

ничения.

1 шт.

= 1

= 2

1 шт.

= 1

= 2

Рис. 9.4. Использование ресрсов для выпса 1 шт. B

и 1 шт. B

478

Первое о раничение — исходные планы не мо т быть отри-

цательны, если мы порчим выпсать изделие B

, то X

> 0 если

не порчим, то X

= 0. Это справедливо и для X

т. е.

l 0, X

l 0. (9.6)

Опять же, для простоты, мы снимаем требования целочислен-

ности X

и X

Второе о раничение — о раничение по времени использова-

ния ресрсов. Рассмотрим ресрс C

— выпсая 1 шт. изделий B

ресрс C

необходимо использовать 1 час, а все о бдет выпсать-

ся X

шт, следовательно, для выпса всех изделий вида B

ре-

срс C

бдет занят 1 × X

часов, но ресрс C

занят таже и выпс-

ом B

. То да полное время занятости ресрса C

бдет X

+ 2X

, но,

по словию, масимально возможное время использования ре-

срса C

не может превышать 8 часов, значит,

+ 2X

m 8. (9.7)

Совершенно анало ично расписывается о раничение и по ис-

пользованию ресрса C

+ X

m 10. (9.8)

Ита, требется найти таие значения X

и X

(таие планы,

таие правляющие воздействия), оторые бы, довлетворяя о -

раничениям (9.6—9.8) (оторые определяют область допстимых

значений правляющих воздействий), обращали бы в масимм

выражение (9.5) (ритерий эффетивности). И, оончательно,

+ 3X

= F → max при .

Модели алендарноо планирования. Эти модели порядочи-

вают во времени выполнение аих-либо работ или событий.

Математичесим аппаратом моделей алендарно о планирова-

ния является теория расписаний. Рассмотрим типичный пример

моделей алендарно о планирования.

Псть имеется m деталей, подлежащих обработе; обработа

идет на n станах: i = , j = . Маршрт обработи, то есть

порядо прохождения аждой детали станов,  всех деталей оди-

+ X

m 10,

+ 2X

m 8,

l 0,

l 0

1 m,

1 n,

479

наов, но время обработи естественно различное. Требется

порядочить очередь деталей на входе, т.е. определить таю пос-

ледовательность запса деталей в производство, оторая мини-

мизировала бы сммарное время обработи всех деталей.

Эт задач можно проиллюстрировать рисном 9.5.

Уазанная задача решается при следющих о раничениях: для

аждой детали i ее обработа на стане j может начаться не ранее,

чем она заончится на стане (j-1). Если t

— время начала обра-

боти i-той детали на j-том стане; — время оончания об-

работи i-той детали на j-том стане, то можно записать:

l ,

на аждом стане одновременно может обрабатываться тольо

одна деталь.

Процесс обработи детали не прерывается до полно о е о за-

вершения

= t

+ t

В настоящее время азанная задача стро о решена тольо

для слчая двх станов. При n > 2 использются либо эвристи-

чесие приемы, не арантирющие отысания лобально о эс-

тремма, либо перебор всех возможных ситаций.

Пример. Псть n = 2. В этом слчае может быть использован ал-

оритм Джонсона. Обозначим для простоты t

i,1

через a

, t

i,2

через b

Первый ша алоритма. Среди чисел (a

, a

, …, a

, b

, …, b

…, b

) ищется наименьшее число. Если этим числом оазывается

число a

, то пола ают i = i

, т. е. помещают i-тю деталь на первое

место в расписании. Если наименьшим числом оазалось число

, то пола ают i = i

, т. е. помещают i-тю деталь на последнее

место в расписании. Если а в 1-м, та и во 2-м слчае оазалось

несольо равных чисел, то берт любое из них, затем деталь i

вычеривается из расписания (т. е. вычериваются числа (a

, b

)).

k-тый ша алоритма (1<k<m): Среди оставшихся чисел, еще

не вычернтых на предыдщих ша ах, находим наименьшее

2 3

{i}

n = 3, i = 1, m

Рис. 9.5. Модель алендарноо планирования

ij 1−()

478

Первое о раничение — исходные планы не мо т быть отри-

цательны, если мы порчим выпсать изделие B

, то X

> 0 если

не порчим, то X

= 0. Это справедливо и для X

т. е.

l 0, X

l 0. (9.6)

Опять же, для простоты, мы снимаем требования целочислен-

ности X

и X

Второе о раничение — о раничение по времени использова-

ния ресрсов. Рассмотрим ресрс C

— выпсая 1 шт. изделий B

ресрс C

необходимо использовать 1 час, а все о бдет выпсать-

ся X

шт, следовательно, для выпса всех изделий вида B

ре-

срс C

бдет занят 1 × X

часов, но ресрс C

занят таже и выпс-

ом B

. То да полное время занятости ресрса C

бдет X

+ 2X

, но,

по словию, масимально возможное время использования ре-

срса C

не может превышать 8 часов, значит,

+ 2X

m 8. (9.7)

Совершенно анало ично расписывается о раничение и по ис-

пользованию ресрса C

+ X

m 10. (9.8)

Ита, требется найти таие значения X

и X

(таие планы,

таие правляющие воздействия), оторые бы, довлетворяя о -

раничениям (9.6—9.8) (оторые определяют область допстимых

значений правляющих воздействий), обращали бы в масимм

выражение (9.5) (ритерий эффетивности). И, оончательно,

+ 3X

= F → max при .

Модели алендарноо планирования. Эти модели порядочи-

вают во времени выполнение аих-либо работ или событий.

Математичесим аппаратом моделей алендарно о планирова-

ния является теория расписаний. Рассмотрим типичный пример

моделей алендарно о планирования.

Псть имеется m деталей, подлежащих обработе; обработа

идет на n станах: i = , j = . Маршрт обработи, то есть

порядо прохождения аждой детали станов,  всех деталей оди-

+ X

m 10,

+ 2X

m 8,

l 0,

l 0

1 m,

1 n,

479

наов, но время обработи естественно различное. Требется

порядочить очередь деталей на входе, т.е. определить таю пос-

ледовательность запса деталей в производство, оторая мини-

мизировала бы сммарное время обработи всех деталей.

Эт задач можно проиллюстрировать рисном 9.5.

Уазанная задача решается при следющих о раничениях: для

аждой детали i ее обработа на стане j может начаться не ранее,

чем она заончится на стане (j-1). Если t

— время начала обра-

боти i-той детали на j-том стане; — время оончания об-

работи i-той детали на j-том стане, то можно записать:

l ,

на аждом стане одновременно может обрабатываться тольо

одна деталь.

Процесс обработи детали не прерывается до полно о е о за-

вершения

= t

+ t

В настоящее время азанная задача стро о решена тольо

для слчая двх станов. При n > 2 использются либо эвристи-

чесие приемы, не арантирющие отысания лобально о эс-

тремма, либо перебор всех возможных ситаций.

Пример. Псть n = 2. В этом слчае может быть использован ал-

оритм Джонсона. Обозначим для простоты t

i,1

через a

, t

i,2

через b

Первый ша алоритма. Среди чисел (a

, a

, …, a

, b

, …, b

…, b

) ищется наименьшее число. Если этим числом оазывается

число a

, то пола ают i = i

, т. е. помещают i-тю деталь на первое

место в расписании. Если наименьшим числом оазалось число

, то пола ают i = i

, т. е. помещают i-тю деталь на последнее

место в расписании. Если а в 1-м, та и во 2-м слчае оазалось

несольо равных чисел, то берт любое из них, затем деталь i

вычеривается из расписания (т. е. вычериваются числа (a

, b

)).

k-тый ша алоритма (1<k<m): Среди оставшихся чисел, еще

не вычернтых на предыдщих ша ах, находим наименьшее

2 3

{i}

n = 3, i = 1, m

Рис. 9.5. Модель алендарноо планирования

ij 1−()

480

число. Если им оазалось число a

, то помещаем деталь i на пер-

вое место из мест еще не занятых в списе. Если им оазалось

число b

, то помещаем на последнее еще не занятое место в спис-

е; вычериваем деталь i из списа.

m-ный ша алоритма (последний): Помещаем единственню

оставшюся деталь на единственное свободное место.

Рассмотрим числовой пример: псть время обработи деталей

задано табл. 9.1.

Табл иц а 9 .1

Таим образом, оптимальное расписание opt < i

, i

> = < 2, 3, 1, 4, 6, 5 >. Перебор потребовал бы просмотра

6! = 720 вариантов.

Модели правления запасами. Запас — это всяое неиспольз-

емое в данный момент времени средство, имеющее эономичес-

ю ценность. Из это о определения следет, что на данный запас

все да пристствет спрос. Запас пополняется посредством пос-

тплений (рис. 9.6).

Эономичесой единицей мо т быть часто, цех, предпри-

ятие, объединение, отрасль. Дисретность поставо, сбои произ-

Номер шаа

Место детали

в расписании

189 V i

= 3

235 I i

= 1

346 II i

= 2

4109 VI i

= 4

574 III i

= 6

675 IV i

= 5

ÑêëàäÏîñòàâùèê Ïðîèçâîäñòâî

Ýêîíîìè÷åñêàÿ åäèíèöà

Ñêëàä Ïîòðåáèòåëü

a(t) b(t)

Рис. 9.6. Стртра модели правления запасами

481

водства, слчайные олебания в спросе вынждают эономичес-

ю единиц создавать запас своей продции с тем, чтобы не

подвер ать потребителя рис простоя, посоль в этой сита-

ции эономичесая единица вынждена платить нестойи или

штраф. С др ой стороны, наопление чрезмерных запасов при-

водит  излишним затратам на их хранение, запасы морально и

физичеси старевают. Все это приводит  омертвлению до (50%)

апитала.

Таим образом, основной задачей правления запасами явля-

ется определение минимально о ровня запаса при довлетвори-

тельном снабжении всех потребителей. В данной модели произ-

водство рассматривается а процесс постпления (от поставщи-

а) и выхода ( потребителю). Постпление и выход описываются

интенсивностями a(t) и b(t).

Если ровень запаса в момент времени t = 0 есть I

, то в мо-

мент времени t фнция запаса I(t):

I(t) = I

+ dt.

Интенсивность выхода очень часто отождествляется с интен-

сивностью спроса r(t). Этой харатеристиой харатеризется

предприятие-потребитель. Фнция запаса I(t), а отмечалось

выше, вызывает появление затрат, оторые являются в общем

слчае неоторым фнционалом от a(t), b(t), r(t):

E = E{a(t), b(t), r(t)}.

Этот фнционал харатеризет эффетивность системы.

Требется найти таие значения фнций a(t), b(t), r(t), оторые

бы оптимизировали е о значение.

Рассмотрим частный слчай этой задачи, введя следющие

предположения.

Псть спрос не зависит от времени и пристствет все да.

Уменьшение запаса от спроса происходит с постоянной соро-

стью r, т. е.

∆I(t) = –r∆t, r = const.

Пополнение запаса происходит в дисретные моменты вре-

мени. Увеличение запаса от постпления происходит с неоторой

постоянной соростью p, т. е.

∆I(t) = +p∆t, p = const.

at() bt()−

[]

∫