Меледин Т.В., Черкасский В.С. Электродинамика в задачах. Часть 1. Электродинамика частиц и полей
Подождите немного. Документ загружается.
180
6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
равным нулю: A
2
= 0, поскольку Y
0
(0) = ∞. Таким образом,
E
z
= A
1
I
0
(kr).
Используя разложение функции Бесселя при kr 1, что соот-
ветствует предельному случаю малых частот ( a/δ 1),
I
0
(kr) = 1 −
(kr/2)
2
(1!)
2
+
(kr/2)
4
(2!)
2
− . . .
для напряженности электрическсго поля получим
E
z
' A
1
"
1 −
i
2
r
δ
2
−
1
16
r
δ
4
#
e
−iω t
.
По такому же закону распределена плотность тока j
z
= σE
z
. Со-
противление проводника переменному току силы J найдем как отно-
шение среднего количества энергии W , выделяемой в проводнике за
единицу времени, к среднему за период значению квадрата силы тока
J
2
:
R =
W
J
2
,
W =
σ l
2
a
Z
0
Re (E
z
· E
z
∗
) 2πr dr '
πa
2
l σ A
2
1
2
1 +
1
24
a
δ
4
!
.
Найдем полный ток, текущий по проводнику:
J =
a
Z
0
j
z
2πr dr = πa
2
σ A
1
"
1 −
i
4
a
δ
2
−
1
48
a
δ
4
#
e
−iω t
.
Тогда средний квадрат тока
J
2
=
1
2
Re (JJ
∗
) =
π
2
a
4
σ
2
A
2
1
2
1 +
1
48
a
4
δ
4
и сопротивление
R =
l
πa
2
σ
1+
1
48
a
4
δ
4
=
l
πa
2
σ
1+
1
12
π σ ω a
2
c
2
!
при δ a.
6.7 Решение типичных задач
181
При больших частотах ( δ a) можно считать поверхность плоской.
Поэтому (см. Р.59)
E
z
= A
1
e
−
a−r
δ
e
−i(ω t −
a−r
δ
)
.
Поступая далее так же, как и в случае малых частот, найдем
W =
πal σ δA
2
1
2
, J
2
= π
2
a
2
σ
2
δ
2
A
2
1
.
И, значит,
R =
W
J
2
=
l
2πa σ δ
при δ a .
Р.61. Металлический шар радиуса a с проводимостью σ и магнит-
ной проницаемостью µ помещен в однородное переменное магнитное
поле
~
H(t) =
~
H
0
exp(−iω t). Считая частоту малой, найти в первом
неисчезающем приближении распределение вихревых токов в шаре и
среднюю поглощаемую им мощность.
Если частота ω изменения поля мала, т.е. глубина проникновения
δ велика по сравнению с размерами тела, тогда распределение маг-
нитного поля в каждый момент времени будет таким, каким оно бы-
ло бы в стационарном случае при заданном значении внешнего поля
вдали от тела. Действительно, в этом случае правую часть уравнения
∇
2
~
H = −
4πiµσ ω
c
2
~
H
можно заменить нулем. Используя решение
задачи Р.43, получим, что поле внутри шара в
нулевом (по частоте) приближении равно
~
H =
3
µ + 2
~
H
0
e
−iω t
,
Выберем сферическую систему координат (R, θ, α) с началом в
центре шара. Угол θ будем отсчитывать от оси Z, направленной вдоль
182
6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
~
H
0
. Из свойств симметрии системы ясно, что вихревое электрическое
поле согласно уравнению
rot
~
E = −
1
c
∂
~
B
∂t
(1)
будет лежать в плоскостях, перпендикулярных
~
H
0
, и направлено по
касательным к окружностям с центром на оси Z. Оно зависит только
от величины радиусов этих окружностей. Так же будут направлены и
токи: j
α
= σE
α
. Нужно заметить, что в нулевом по частоте прибли-
жении поле
~
E отсутствует, что следует из уравнения
rot
~
H =
4πσ
c
~
E = 0 .
Воспользуемся интегральным аналогом уравнения (1)
I
E
l
dl = −
1
c
∂Φ
∂t
,
где Φ — поток вектора магнитной индукции через поверхность, натя-
нутую на контур, по которому берется циркуляция вектора
~
E в левой
стороне уравнения. Взяв интеграл по окружности радиуса R sin θ,
найдем
E
α
=
3µ i
2 (µ + 2)
H
0
Rω sin θ
c
e
−iω t
и, значит,
j
α
=
3µ
2 (µ + 2)
H
0
R σ ω sin θ
c
e
−i(ω t−π/2)
.
Отбрасывая мнимую часть, получим
j
α
=
3µ σ ω H
0
R
2 (µ + 2) c
sin θ sin ωt .
Количество тепла, выделяемое в единицу времени в элементе
объема dv = 2πR
2
sin θ dθ dR, равно
dW =
j
2
σ
2πR
2
sin θ dθ dR .
6.7 Решение типичных задач
183
Интегрируя это выражение по объему шара, получим
W (t) =
6π
5
µ ω H
0
(µ + 2) c
2
σ a
5
sin
2
ω t .
Тогда среднее количестно тепла, выделяемое в единицу времени, будет
W =
1
T
T
Z
0
W (t) dt =
3π
5
µ
2
ω
2
σH
2
0
a
5
c
2
(µ + 2)
2
при δ a .
Поглощаемая мощность энергии при малых частотах пропорциональ-
на ω
2
.
Р.62. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле,
изменяющееся с частотой ω. Найти результирующее поле и среднюю
поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шара
a, магнитная проницаемость µ, проводимость σ.
Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри ша-
ра поле равно нулю (т.е. пренебречь глубиной проникновения δ по
сравнению с радиусом шара a). При определении поля внутри шара
считать его поверхность плоской.
При больших частотах магнитное поле проникает лишь в тонкий
поверхностный слой проводника. Глубина про-
никновения δ a. Для вычисления поля вне
проводника можно пренебречь толщиной это-
го слоя, т.е. считать, что внутрь тела магнитное
поле не проникает. По шару будут течь поверх-
ностные токи. Эти токи создадут магнитный
момент шара ~m = b
~
H
0
, так что поле вне шара согласно результа-
там задачи Р.47 можно записать как
~
H =
~
H
0
−
~m
R
3
+
3
~
R(~m
~
R)
R
5
при R > a .
184
6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора маг-
нитной индукции на поверхности шара B
R
R=a
= 0 получим
H
0
cos θ −
bH
0
cos θ
a
3
+
3bH
0
cos θ
a
3
= 0 ,
откуда ~m = −
~
H
0
a
3
/2 , b = −a
3
/2— магнитная поляризуемость
шара при сильном скин-эффекте. Значит,
~
H(R = a) = −
3
2
H
0
sin θ ~n
θ
,
где ~n
θ
— единичный вектор, соответствующий углу θ в сферической
системе координат (R, θ, α). Нахождение истинного распределе-
ния поля в поверхностном слое шара можно упростить, рассматривая
небольшие участки поверхности как плоские с известным значением
поля на поверхности. Тогда (см. Р.59)
~
H = −
3
2
H
0
sin θ e
−
h
δ
e
−i(ω t −
h
δ
)
~n
θ
,
H
R
= H
α
= 0 ,
где δ = c/
√
2πµσω, a h отсчитывается от поверхности по нормали в
глубь шара. Среднюю поглощаемую шаром энергию можно найти как
средннее количество энергии поля, втекающей извне внутрь провод-
ника в единицу времени, т.е. интеграл от среднего по времени вектора
Пойнтинга
~
S, взятый по поверхности шара:
W =
Z
(
~
S d~s) =
c
4π
Z
[
~
E ×
~
H] · d~s
.
Из уравнения rot
~
H = 4πσ
~
E/c найдем
~
E =
c (1 − i)
4π σ δ
[
~
H ×~n],
где ~n — единичный вектор, перпендикулярный поверхности и
направленный внутрь шара.
6.7 Решение типичных задач
185
Найдем средний вектор Пойнтинга на поверхности шара:
~
S =
c
4π
[
~
E ×
~
H] =
c
8π
Re [
~
E ×
~
H
∗
] =
c
32π
2
σ δ
Re
(1 − i)
[
~
H ×~n] ×
~
H
?
!
=
9
128
c
2
H
2
0
sin
2
θ
π
2
σ δ
~n .
Интегрируя
~
S по поверхности, окончательно получим
W =
π
Z
0
S 2π a
2
sin θ dθ =
3
8
H
2
0
a
2
c
r
µ ω
2π σ
при δ a .
Таким образом, диссипация энергии при больших частотах
пропорциональна
√
ω.
Р.63. По цилиндрическому прямолинейному проводнику радиуса a
с проводимостью σ и магнитной проницаемостью µ = 1 течет пере-
менный ток J = J
0
exp (−iω t). В случае сильного скин-эффекта
найти долю времени, в течение которого поток энергии направлен от
провода в окружающее пространство. Найти на единицу длины про-
водника среднюю поглощаемую проводником мощность.
При больших частотах можно считать поверхность проводника
плоской, тогда (см. Р.59, Р.60) для напряженности электрического по-
ля запишем
E
z
= A e
−
h
δ
e
−i(ω t −
h
δ
)
,
где δ = c/
√
2πµσω, A — константа, a h отсчитывается от поверх-
ности в глубь проводника. Ось Z направлена вдоль проводника. Из
уравнения rot
~
E = −
1
c
∂
~
B
∂t
найдем напряженность магнитного поля
H
α
=
A
√
2 c
δ ω
e
−
h
δ
e
−i(ω t −
h
δ
−
π
4
)
.
186
6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Константу A можно найти, проинтегрировав плотность тока j =
σE
z
по сечению проводника и приравняв амплитуду полученного тока
амплитуде J
0
.
Re
2π A σ
a
Z
0
e
h
δ
(i − 1)
(a − h) dh
!
= J
0
.
Откуда
A =
J
0
a c
r
2 ω
π σ
.
При вычислении интеграла учтено, что a/δ 1. Константу A
можно найти и более просто, если вспомнить, что интеграл от векто-
ра
~
H по замкнутому контуру равен полному току, проходящему через
поверхность, натянутую на этот контур, умноженному на 4π/c (по-
скольку справедливо уравнение rot
~
H = 4π
~
j/c):
A
√
2 c
σ ω
cos
π
4
· 2π a = J
0
4π
c
.
Итак, на поверхности проводника напряженность электрического и
магнитного полей будет зависеть от времени следующим образом:
E
z
=
J
0
a c
r
2 ω
π σ
cos ω t ,
H
α
=
2
√
2J
0
a c
cos(ω t −
π
4
).
Поток энергии через единицу площади
~
S =
c
4π
[
~
E ×
~
H] =
J
2
0
2π a
2
c
r
ω
π σ
cos
π
4
+cos
2ω t−
π
4
~n, (1)
где ~n — единичный вектор, направленный в глубь проводника. В те-
чение большей части периода колебаний, равной трем четвертям пери-
ода изменения E и H, величина вектора Пойнтинга положительна,
187
и, следовательно, энергия поступает в провод из внешнего простран-
ства и идет на изменение энергии магнитного поля в объеме провода
и на выделение тепла в проводе. В течение одной четвертой периода
изменения E и H τ = T/4 = π/2ω вектор Пойнтинга отрицатель-
ный, и, следовательно, поток энергии направлен от провода в окру-
жающее пространство. В течение этого промежутка времени энергия,
запасенная в магнитном поле в объеме провода, частично возвраща-
ется в окружающее провод пространство и частично преобразуется в
тепло. Среднее значение вектора Пойнтинга за период, умноженное
на величину поверхности провода единичной длины, есть мощность
энергии, выделяемая в проводнике единичной длины в виде тепла:
W = 2π a
~
S
.
Из формулы (1) сразу можно написать, что
~
S =
J
2
0
2π a
2
c
r
ω
π σ
cos
π
4
~n =
J
2
0
4π a
2
c
r
2ω
π σ
~n;
тогда
W =
J
2
0
a c
r
ω
2π σ
при δ a.
Сравните с задачей Р.60.
7. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ
Уравнение движения и сила Лоренца d
~
P /dt = e
~
E + q[~v
~
B]/c.
~
P = γm
0
~v; E = γm
0
c
2
;
~
P /E = ~v/c
2
, т.е., ~v =
~
P c
2
E
=
d~r
dt
.
В постоянном однородном электрическом поле
~
P = q
~
Et, E =
p
E
0
+ (cqEt)
2
.
188
7 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ
В постоянном однородном магнитном поле
˙
~
P =
q
c
h
~v
~
B
i
, или
E
c
2
d~v
dt
=
q
c
h
~v
~
B
i
Для тонкой электростатической линзы в парксиальном приближе-
нии
1
F
= −
1
4
√
U
0
b
Z
a
U
00
√
U
dz,
а для такой же магнитной линзы
1
F
=
q
8mc
2
U
b
Z
a
H
2
z
dz
7.1. Движение частиц в электрическом и магнитном полях. Дрейф. Магнит-
ная ловушка
7.1. Найти траекторию релятивистской частицы с зарядом q, на-
чальной кинетической энергией E
0
и начальным импульсом
~
P
0
= (0, P
0
, 0)
в постоянном однородном электрическом поле
~
E = (E, 0, 0).
7.2. Релятивистская частица с зарядом q движется в постоянном
однородном магнитном поле
~
H. Найти зависимость её координат от
времени, а также радиус и частоту вращения.
7.3. Найти частоты колебаний заряженного пространственного нере-
лятивистского осциллятора, находящегося в постоянном однородном
магнитном поле. Собственная частота колебаний осциллятора равна
ω
0
.
7.4. К зазору размером d = 10 см между параллельными проводя-
щими пластинами приложено напряжение U = 100 кВ. Параллель-
но плоскостям пластин направлено постоянное однородное магнитное
7.1 Движение частиц в электрическом и магнитном полях. Дрейф. Магнитная ловушка
189
поле
~
H. При какой величине поля H электрон (масса m, заряд e),
вылетающий из пластины с отрицательным потенциалом с нулевой на-
чальной скоростью, не достигает другой пластины (условие магнитной
изоляции)?
7.5. Частица массы m, имеющая заряд q, движется в постоянных
однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном
полях. Найти её координаты в зависимости от времени в нереляти-
вистском случае, а также скорость её дрейфа.
7.6. При какой скорости заряженной частицы её траектория прямо-
линейна при движении в ортогональных электрическом и магнитном
полях?
7.7. Найти скорость дрейфа частицы в задаче 7.5, если вместо элек-
трического поля на частицу действует сила
~
F того же направления.
7.8. Показать, что для заряженной частицы, движущейся в маг-
нитном поле H, с учетом выражения её обобщенного импульса
~
P
⊥
=
~
P
⊥
+
e
c
~
A существует адиабатический инвариант
I =
1
2π
I
~
P
⊥
d~r = 3c
~
P
2
⊥
/ (2eH) .
7.9. Между областями 1,2 однородности статического магнитного
поля H находится область 3, где аксиальное поле усилено до макси-
мального значения H
m
("магнитная пробка"). Угол между импульсом
~
P и
~
H в области I в некоторый момент равен θ. При каком соотно-
шении между θ, H и H
m
частица отразится от области 3 с сильным
полем, если изменение поля медленное?
7.10. В среднюю часть ловушки с аксиальной симметрией
инжектирована порция частиц с изотропно распре-
делёнными скоростями. Какая доля R частиц удер-
жится в ловушке достаточно долго?