Меледин Т.В., Черкасский В.С. Электродинамика в задачах. Часть 1. Электродинамика частиц и полей

Подождите немного. Документ загружается.

150

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

лец проводника, образующих "восьмерку", рав-

ные a и b. По проводнику течет ток J =

sin ωt. В точке A на расстоянии R от точки

самопересечения проводника расположен непо-

движный заряд Q, Найти силу, действующую на

этот заряд, R  a, b и OA составляет с вертикалью OZ угол θ.

6.51. Скомпенсированный электронный пучок (ток J радиус a) дви-

жется соосно внутри заземленного идеально проводящего цилиндра

(радиус b). Под действием собственного магнитного поля пучок ради-

ально равномерно по всей длине сжимается (скорость изменения ра-

диуса v

). Найти распределение в пространстве продольного электри-

ческого поля E

в некоторый момент времени.

6.52. Найти продольное электрическое поле E

цилиндрического

электронного пучка (радиус a ток J

) с закомпенсированным объем-

ным зарядом, распространяющегося по оси идеально проводящего за-

земленного цилиндра (радиус b), если ток пучка нарастает во времени.

6.53. Примерно в середине зазора между двумя коаксиальными ци-

линдрическими соленоидами (числа витков N

и N

, диаметры D

, зазор ∆D  D

, D

) расположен сверхпроводящий тонкостен-

ный цилиндр. Во внутреннем соленоиде начинает течь ток, и в неко-

торый момент цилиндр взрывается за время τ. Найти э.д.с. на кон-

цах наружного соленоида в этот момент времени. Нарисовать картину

магнитных силовых линий до и после взрыва цилиндра.

6.54. Найти скорость вращения ротора асинхронного двигателя в

зависимости от нагрузки.

6.55а. Два длинных коаксиальных полых цилиндра заряжены за-

крепленными противоположении по знаку и рав-

ными по величине зарядами. Поверхностная плот-

ность зарядов внутреннего цилиндра радиуса a

равна +σ, масса его единицы длины равна µ.

Внешний цилиндр закрутили с угловой скоростью

6.4 Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные линии

151

−

. Найти угловую скорость ω

внутреннего цилиндра.

6.55б. Твердый непроводящий диск, равномерно заряженный по

поверхности, может свободно вращаться вокруг оси, проходящей че-

рез его центр перпендикулярно плоскости диска. Вначале диск поко-

ился. Затем было включено однородное магнитное поле

B =

iωt

перпендикулярное плоскости диска. Найти движение диска, если его

масса m, а величина заряда на поверхности q.

6.56. На полубесконечный соленоид "надето"тонкое проводящее

кольцо радиуса b (сопротивление кольца R, индуктивность L).

Плоскость кольца перпендикулярна оси соле-

ноида, центр расположен на оси. Положение

кольца задается углом θ (см. рисунок). Най-

ти среднюю за период силу, действующую на

кольцо, если магнитное поле в соленоиде (далеко от конца) H(t) =

iωt

и радиус соленоида a  b.

6.4. Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные линии

6.57. На схему подаются периодические прямоугольные импульсы

напряжения. Длительность импульсов τ,период повторения

U(t)

импульсов T (см. рисунок). В течение периода

напряжение на конденсаторе изменяется очень

мало. Найти установившееся через очень мно-

го периодов напряжение на конденсаторе.

6.58. Ключ K замыкают поочередно с каждым из контактов,

на очень маленькие одинаковые промежутки

времени, причем изменение заряда конденса-

тора за время каждого включения мало. Какой

заряд окажется на конденсаторе после очень

большого числа переключений?

6.59. Рассчитать процесс зарядки реального конденсатора (с утеч-

кой).

152

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

6.60. Рассмотреть разрядку конденсатора C

на

конденсаторе C

6.61. Два последовательно соединенных конденсатора с утечками

подключены к источнику высокого напряже-

ния. Затем конденсаторы отключаются от ис-

точника, заземляются на короткое время, после

чего отсоединяются от "земли". Найти напря-

жение в точке a.

6.62. Тонкий (цилиндрический) пучок электронов в течение вре-

мени τ пронизывает полый цилиндр вдоль его

оси. Найти зависимость потенциала цилиндра

от времени U(t), если он заземлен через RC-

цепочку. Рассмотреть случаи: а) τ  RC; б)

τ  RC. Пучок очень длинный (`/v  τ).

6.63. К цепочке, состоящей из последовательно соединенных со-

противления R и емкости C, прикладывается прямоугольный импульс

напряжения: U

(t) = U

при 0 ≤ t ≤ T и U

(t) = 0 при t < 0,

t > T . Найти напряжение на сопротивлении R. При каких условиях

оно ∼ dU/dt(дифференцирующая цепочка)?

6.64. К цепочке, состоящей из последовательно соединенных со-

противления R и индуктивности L, прикладывается прямоугольный

импульс напряжения: U

(t) = U

при 0 ≤ t ≤ T и U

(t) = 0 при

t < 0, t > T . Найти напряжение на сопротивлении R. При каких

условиях оно ∼

Udt(интегрирующая цепочка)?

6.65. При измерении теплоёмкости C образца (нить лампочки

ÇÃ

накаливания) модуляционным методом ис-

пользуется мост переменного тока, в одно из

плечей которого вставлен испытываемый обра-

зец R

, а в другое для уравновешивания ампли-

туды и фазы - сопротивление R

и шунтирую-

щая его емкость C

. Ток, питающий мост, равен J = J

+ J

sin ωt,

6.4 Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные линии

153

 J

), где постоянная составляющая J

регулируется реостатом

R, а переменная - звуковым генератором (ЗГ). При этом сопротив-

ление образца и его температура T изменяются по такому же закону,

но со сдвигом ∆ϕ, по фазе, так что

mc =

ω∆T

sin ∆ϕ,

где m - масса образца, а ∆T - амплитуда колебаний его температу-

ры. Показать, что электрический импеданс образца для переменной

составляющей тока равен

Z = R +

∆T cos ∆ϕ − i

∆T sin ∆ϕ

Определить величину mC для образца, если выполнены условия

∆T cos ∆ϕ  R

, ω

 1

и мост находится в равновесии (по амплитуде и фазе).

6.66. Для измерения тока "неконтактным"способом с помощью

пояса Роговского (см. задачу 6.48) собрана

измерительная схема, эквивалент которой по-

казан на рисунке (R

, L

, C

- параметры соб-

ственно пояса, E - э.д.с., наводимая на концах обмотки пояса). При

каком выборе R

и C

напряжение в точках A, B пропорционально

измеряемому току. Чему оно будет равно при C

= 0?

6.67. На магнитопровод (сечение S, длина `, магнитная

L ,R

1 1

L ,R

2 2

проницаемость µ) надеты две обмотки (чис-

ла витков N

, N

, индуктивности L

, L

), на-

ходящиеся в сверхпроводящем состоянии, при

этом только во второй из них течет ток J. В момент t = 0 ее переводят

в обычное состояние (сопротивление R). Найти ток в первой обмотке,

пренебрегая полями рассеяния.

6.68. Электрическая цепь (искусственная длинная линия) состоит

154

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

n+1

n-1

из N одинаковых звеньев (N  1)

разомкнута на концах. Найти частоты

собственных колебаний этой системы.

6.69. Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосредото-

ченными параметрами (задача 6.68) получить путем предельного пе-

рехода дифференциальное уравнение для тока в длинной цепи с рав-

номерно распределенными параметрами.

6.70. Идеальная длинная линия с распределенными параметрами

длиной ` разомкнута на концах. Определить спектр собственных ко-

лебаний такой системы. Сравнить его со спектром линии с сосредото-

ченными параметрами (задача 6.68).

6.71. Найти закон распределения вдоль линии амплитуд токов J

и напряжений U

для собственных колебаний в двухпроводной линии

длиной `, а также частоты собственных колебаний. Концы линии: а)

разомкнуты; б) замкнуты накоротко; в) один конец замкнут, другой

разомкнут. Потерями пренебречь.

6.72. Найти волновое сопротивление ρ двухпроводной линии без

потерь, провода которой имеют диаметр 2r = 4 мм и расположены

на расстоянии d = 10 см друг от друга. (Волновым сопротивлением

линии называется отношение амплитуды напряжения волны, бегущей

в линии, к амплитуде тока этой волны.)

6.73. Найти волновое сопротивление ρ воздушной коаксиальной

линии без потерь, жила которой имеет диаметр 2r = 8 мм, а оплет-

ка 2R = 40 мм. (Определение волнового сопротивления линии см. в

задаче 6.72.)

6.74. Найти входное сопротивление двухпроводной линии без по-

терь на частоте ν = 5 · 10

Гц, если провода линии имеют диаметр

2r = 2 мм и расположены на расстоянии d = 12 мм. Конец линии

разомкнут, а ее длина равна: I) `

= 2 м; 2)`

= 3 м; 3)`

= 3, 5

м; 4)`

= 7, 5 м. Определить, каков характер входного сопротивле-

ния - емкостной или индуктивный (входное сопротивление линии для

6.5 Скин-эффект

155

данной частоты есть отношение между амплитудами напряжения и си-

лы тока, устанавливающимися на входе линии, питаемой переменной

э.д.с. данной частоты).

6.5. Скин-эффект

6.75. Показать, что на границе с проводником отношение нормаль-

ной компоненты магнитного поля к тангенциальной есть величина та-

кого же порядка малости, что и отношение глубины проникновения к

длине волны переменного поля.

6.76. Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с прово-

- tiw

s,m

димостью σ магнитной проницаемостью µ.

Параллельно плоскости Z = 0 имеется элек-

трическое поле

E =

−iωt

. Найти: а) по-

ле в полупространстве; б) среднюю за период

мощность W =

∞

(

E)dz, выделяющуюся в

бесконечном столбике от нуля до ∞ по Z и с единичной площадью

сечения (1 × 1).

6.77. Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с проводи-

мостью σ. Параллельно плоскости Z = 0 включено переменное элек-

трическое поле, представляющее собой сумму двух полей с разными

амплитудами E

и E

. Частоты различаются на порядок ω и 10ω со-

ответственно. Найти среднюю за большой период мощность W , вы-

деляющуюся в бесконечном столбике по Z от нуля до бесконечности с

единичной площадью сечения.

6.78. Покрытая тонким изолирующим покрытием металлическая

пластина толщины a, ширины b, длины 2`

(a  b, `) и проводимостью σ сложена вдвое

(см. рисунок). Найти активное сопротивление

пластины переменному току частоты ω в слу-

156

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

чае сильного скин-эффекта.

6.79. Найти активное сопротивление тонкого цилиндрического про-

водника (длина `, радиус a, проводимость σ; µ = 1) в предельных

случаях слабого и сильного скин-эффекта.

6.80. Над полупространством с очень низкой проводимостью σ на

расстоянии a от него идет линейный переменный ток частоты ω. Оце-

нить сопротивление тока на единицу длины, полагая глубину скин-

слоя δ  a.

6.81. Широкая плита с проводимостью σ и магнитной проницае-

мостью µ, ограниченная плоскостями x = ±h, обмотана проводом

по которому течет ток J = J

−iωt

. Провод тонкий, число витков

на единицу длины n, витки намотаны параллельно друг другу. Пре-

небрегая краевыми эффектами, определить вещественную амплитуду

магнитного поля внутри плиты. Исследовать предельные случаи сла-

бого (δ  h) и сильного (δ  h) скин-эффекта.

6.82. Металлический шар радиуса a проводимостью σ и магнитной

проницаемостью µ помещен в однородное переменное магнитное поле

H(t) = H

−iωt

. Считая частоту малой, найти в первом неисчезаю-

щем приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю

поглощаемую им мощность.

6.83. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле,

меняющееся с частотой ω. Найти результирующее поле и среднюю

поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шара a,

магнитная проницаемость µ, проводимость σ. Указание. При опреде-

лении поля вне шара считать, что внутри шара поле равно нулю (т. е.

пренебречь глубиной проникновения δ по сравнению с радиусом ша-

ра a). При определении поля внутри шара, считать его поверхность

плоской.

6.84. Металлические шарики равномерно распределены в диэлек-

трике. Включено однородное магнитное поле H = H

−iωt

. Во сколь-

ко раз изменится количество тепла, выделяющееся в единице объема,

6.5 Скин-эффект

157

если имеющиеся шарики измельчены (R = R

/n) и вновь равномер-

но размешаны в диэлектрике? Результат найти для случая слабого и

сильного скин-эффекта.

6.85. Найти среднюю магнитную проницаемость среды, представ-

ляющую собой "газ"из металлических шариков радиуса a, их число

в единице объема n. Проводимость металла σ, магнитная проницае-

мость µ. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот ω,

когда а) толщина скин-слоя много меньше a; б) много больше a.

6.86. Два медных шарика радиусами a, проводимостью σ поме-

щены на расстоянии r  a друг от друга в переменное однородное

магнитное поле

H =

−iωt

, (

H ⊥ ~r, ω  c

/2πσa

). Оценить

силу их взаимодействия.

6.87. По горизонтально расположенному кольцу радиуса r

= 1 см

течет переменный ток J = J

−iωt

. Над кольцом на его оси свободно

повис медный шарик на высоте h = 10r

(плотность меди ρ = 9

г/см

). Диаметр шарика d = r

/2, частота ω  c

/(σd

). Найти

величину J тока в кольце.

6.88. Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус

a, толщина стенки h(h  a), находится в однородном продольном

магнитном поле H(t) = H

−iωt

. Найти амплитуду магнитного поля

в полости и ее зависимость от ω. Указание. Так как h  a, то при

определении поля в толще оболочки можно считать ее плоской.

6.89. Полый медный цилиндр помещен в однородное магнитное

поле, параллельное его оси. Поле быстро выключают. Описать изме-

нение поля во времени внутри цилиндра. Что значит быстро?

6.90. Тонкий (h  R) бесконечный цилиндр находится

в продольном внешнем магнитном поле

H =

sin ωt. Внутри цилиндра - феррит с маг-

нитной проницаемостью µ. Найти амплитуду в

феррите.

6.91. В однородном магнитном поле H = H

−iωt

находится бес-

158

6 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

конечная труба с радиусами стенок R и r (R−r  r), изготовленная

из материала с проводимостью σ (µ − 1). Внутри нее - сверхпровод-

ник. Ось трубы параллельна полю. Найти магнитное поле внутри ме-

талла трубы.

6.92. Во внешнее однородное переменное магнитное поле H =

−iωt

внесли бесконечный проводящий цилиндр с проводимостью

σ так, что его ось перпендикулярна магнитному полю. Найти поле во

воем пространстве в случаях: а) слабого; б) сильного скин-эффекта.

Магнитная проницаемость цилиндра µ = 1.

6.93. Во внешнее однородное переменное магнитное поле H =

−iωt

внесли бесконечный полый цилиндр, ось которого первое пер-

пендикулярна магнитному полю. Найти поле внутри цилиндра (про-

водимость σ магнитная проницаемость µ = 1) при сильном скин-

эффекте.

6.94. Металлический сплошной цилиндр помещают в переменное

магнитное поле H = H

−iωt

первый раз так, что ось цилиндра пер-

пендикулярна полю, второй раз так, что ось параллельна полю. В слу-

чае сильного скин-эфекта найти отношение мощностей выделяющихся

в цилиндре (магнитная проницаемость µ = 1).

6.95. Проводящий диск радиуса a и толщины h внесли в перемен-

ное однородное магнитное поле так, что ось диска параллельна маг-

нитному полю. Оценить поле на поверхности диска вблизи его оси в

случае слабого скин-эффекта (h  δ).

6.96. По двум бесконечно длинным и тонким проводникам,

расположенным над проводящей плоскостью

с проводимостью σ, текут равные и противо-

положно направленные токи J

= −J

cos ωt. В случае сильного скин-эффекта

найти распределение плотности индуцированного тока

j(x).

6.97. Сферический тонкостенный проводящий экран (радиуса a,

толщина стенок h  a, проводимость σ помещен в переменное одно-

6.6 Поток энергии. Ток смещения

159

родное магнитное поле

H =

−iωt

. Оценить магнитное поле внутри

экрана в случае слабого скин-эффекта (h  δ).

6.98. Найти суммарный момент сил, действующих на непод-

вижный тонкостенный шар радиуса a (толщи-

на стенки равна ∆, проводимость материала σ,

(µ = 1)), во вращающемся с угловой скоро-

стью ω однородном магнитном поле. Вращаю-

щееся поле можно представить в виде суперпозиции

H = H

(~e

−

i~e

iωt

. Задачу решить в приближении слабого скин-эффекта.

6.99. В случае сильного скин-эффекта оценить индуктивность на

единицу длины бесконечной линии, сечение кото-

рой показано на рисунке. (Толщиной проводников

пренебречь.) Ширина проводника 10 см., δ

1мм, δ

= 2мм, δ

= 3мм.

6.100. В однородное переменное магнитное поле

H =

−iωt

внесли короткозамкнутый виток(проводимость σ), в форме прямо-

угольного короба (поперечное сечение a×b, высота h; h, b  a > 2d,

толщина стенки d). Найти поле внутри витка, если

H параллельно его

высоте. Краевыми эффектами пренебречь.

6.101. Многослойный с полной толщиной слоя d коротко-

замкнутый тороидальный соленоид со средним

малым радиусом сечения a изготовлен из про-

волоки с удельным сопротивлением ρ. Найти

параметры, при которых ток в соленоиде про-

порционален переменному (с характерным временем τ) току в витке,

расположенном по оси тороидального соленоида.

6.6. Поток энергии. Ток смещения

6.102. По цилиндрическому проводнику радиуса a и длины `  a

течет равномерно распределенный по сечению ток J. Показать, что