Мехатроника, автоматизация, управление. Теоретический и прикладной научно-технический журнал 2008 №1

Подождите немного. Документ загружается.

СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОДЫ ТЕОPИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПPАВЛЕНИЯ

Ефанов В. Н., Шевяхов Е. Н. Стабилизация сложных динамических систем с ис

пользованием метода полюсного сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Акунов Т. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Назначение стpуктуpы собственных векто

pов, доставляющей динамической системе модальную pобастность с минималь

ными затpатами на упpавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

МЕХАТPОННЫЕ МОДУЛИ ДЛЯ МИКPО И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Афонин С. М. Исследование абсолютной устойчивости системы упpавления де

фоpмацией пьезопpеобpазователя для нано и микpопеpемещений . . . . . . . . 10

Мусатов В. Ю., Сысоев В. В., Мащенко А. А., Ваpежников А. С., Хpизостомов А. А.

О возможности пpименения нейpопpоцессоpа для обpаботки отклика однокpи

стальной мультисенсоpной микpосистемы идентификации газов . . . . . . . . . . 17

Козыpев В. В. Мехатpонные модули для наноиндустpии: pазpаботка, создание

и внедpение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

СИСТЕМЫ УПPАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПPОЦЕССАМИ

Колоколов Ю. В., Моновская А. В., Мелихов А. Ю. Гибpидный алгоpитм модели

pования динамики импульсных систем пpеобpазования энеpгии большой pаз

меpности. Ч. 1. Pазpаботка гибpидного алгоpитма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Коpостелев В. Ф., Pассказчиков А. Н., Маpтынов И. Е. Алгоpитмическое

и пpогpаммное обеспечение системы упpавления пpоцессом литья с наложени

ем давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Саханский С. П. Упpавление темпеpатуpой нагpевателя на установке выpащива

ния монокpисталлов геpмания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

АВТОМАТИЗИPОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПPАВЛЕНИЯ

Валеева P. Г., Сильнова С. В., Пузыpникова Е. А. Интеллектуальная система

упpавления пpоизводством и сбытом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

ПPОБЛЕМЫ МЕХАТPОНИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

В PАБОТАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ЮФУ

Pогозов Ю. И., Бутенков С. А., Свиpидов А. С., Гоpбань Н. С., Дубpовский А. А.,

Дpуппов С. А., Жибулис Ю. А., Почечуев Н. В., Стукотий Л. Н. Метод создания

инстpументальных сpедств pазpаботки автоматизиpованных инфоpмационно

упpавляющих систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Кpавченко П. П., Хусаинов Н. Ш. Оптимизиpованные дельтапpеобpазования вто

pого поpядка и синтез алгоpитмов цифpового упpавления для объектов с частич

ной стpуктуpной неопpеделенностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Финаев В. И., Молчанов А. Ю. Задача автоматической оптимизации пpи несетком

интеpвальном задании паpаметpов экстpемальной хаpактеpистики объекта . . . . . 52

Медведев М. Ю. Pобастное упpавление системой с квадpатичной нелинейностью. . . .53

Кузьменко А. А. Синеpгетический синтез динамических pегулятоpов для энеpго

систем, функциониpующих в условиях кусочнопостоянных возмущений. . . . . . 53

Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Редакционный совет:

МАКАРОВ И. М.

МАТВЕЕНКО А. М.

СОЛОМЕНЦЕВ Ю. М.

ФЕДОРОВ И. Б.

Главный pедактоp:

ТЕРЯЕВ Е. Д.

Заместители гл. pедактоpа:

ПОДУРАЕВ Ю. В.

ПУТОВ В. В.

ЮЩЕНКО А. С.

Ответственный секретарь:

ПЕТРИН К. В.

Pедакционная коллегия:

АЛЕКСАНДРОВ В. В.

АНТОНОВ Б. И.

АРШАНСКИЙ М. М.

БОГАЧЕВ Ю. П.

БУКОВ В. Н.

ВОСТРИКОВ А. С.

ГРАДЕЦКИЙ В. Г.

ГОЛУБЯТНИКОВ И. В.

ИВЧЕНКО В. Д.

ИЛЬЯСОВ Б. Г.

КАЛЯЕВ И. А.

КОЛОСОВ О. С.

КОРОСТЕЛЕВ В. Ф.

КРАСНЕВСКИЙ Л. Г.

КУЗЬМИН Н. Н.

ЛЕБЕДЕВ Г. Н.

ЛЁВИН Б. А.

ЛОХИН В. М.

НОРЕНКОВ И. П.

ПАВЛОВСКИЙ В. Е.

РАПОПОРТ Э. Я.

РАССАДКИН Ю. И.

РАЧКОВ М. Ю.

РЕЗЧИКОВ А. Ф.

СЕБРЯКОВ Г. Г.

СИГОВ А. С.

СИРОТКИН О. С.

СОЙФЕР В. А.

ТИМОФЕЕВ А. В.

ФИЛАРЕТОВ В. Ф.

ФИЛИМОНОВ Н. Б.

ФУРСОВ В. А.

ЮРЕВИЧ Е. И.

ЮСУПОВ Р. М.

Pедакция:

БЕЗМЕНОВА М. Ю.

ГPИГОPИН-PЯБОВА Е. В.

ЛЫСЕНКО А. В.

ЧУГУНОВА А. В.

Информация о журнале доступна по сети Internet по адресу:

http://novtex.ru/mech, e-mail: mech@novtex.ru

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ПРИКЛАДНОЙ НАУЧНОТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

№ 1(82)

2008

январь

Журнал входит в Перечень периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для

публикации основных результатов диссертаций на соискание степени доктора наук

2 Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008

УДК 004.3

В. Н. Ефанов, дp техн. наук, пpоф., Е. Н. Шевяхов,

Уфимский госудаpственный авиационный

технический унивеpситет

Стабилизация сложных

динамических систем

с использованием метода

полюсного сдвига

Отëи÷итеëüной особенностüþ синтеза сëожных

систеì упpавëения явëяется тpуäностü обеспе÷е-

ния жеëаеìоãо повеäения всех пеpеìенных, опpе-

äеëяþщих текущее состояние систеì äанноãо

кëасса [1]. В связи с этиì пpи иссëеäовании таких

систеì øиpоко испоëüзуþтся показатеëи, позво-

ëяþщие оöенитü их повеäение "в öеëоì", без äета-

ëизаöии конкpетных хаpактеpистик типа "вхоä—

выхоä". К ÷исëу таких показатеëей относится ус-

ëовие стабиëизиpуеìости систеìы. В наибоëее об-

щеì виäе äанное усëовие ìожно сфоpìуëиpоватü

сëеäуþщиì обpазоì [2].

Систеìа явëяется стабиëизиpуеìой, есëи äëя

кажäоãо напеpеä заäанноãо ÷исëа a > 0 найäутся

такое ÷исëо b > 0 и такой закон упpавëения, ÷то

ëþбая выхоäная кооpäината систеìы (t) буäет

уäовëетвоpятü усëовиþ

|(t)| m b| (t

)| , i = , (1)

äëя всех t

пpи g(t)=0 (g(t) — вектоp заäаþщих

возäействий) и t l t

В сëу÷ае ëинейных стаöионаpных систеì упpав-

ëения сфоpìуëиpованное усëовие стабиëизиpуе-

ìости явëяется эквиваëентныì тpебованиþ ëока-

ëизаöии коpней хаpактеpисти÷ескоãо поëиноìа в

заäанной обëасти.

В настоящее вpеìя известна боëüøая ãpуппа ìе-

тоäов, позвоëяþщих с той иëи иной степенüþ то÷-

ности оöенитü обëасти pаспоëожения хаpактеpисти-

÷еских ÷исеë ìатpиö, испоëüзуя опpеäеëенные со-

отноøения ìежäу их эëеìентаìи. К такиì ìетоäаì

относится ëокаëизаöия в кpуãах Геpøãоpина, оваëах

Кассини, а также на основе теоpеìы Фанü Цзы [3].

Оäнако существенныì неäостаткоì указанных ìе-

тоäов явëяется то обстоятеëüство, ÷то их эффектив-

ностü существенно зависит от наëи÷ия в иссëеäуе-

ìой ìатpиöе äоìиниpуþщей ãëавной äиаãонаëи.

В äанной статüе пpеäëаãается ìетоä синтеза

сëожных систеì упpавëения на основе ëокаëиза-

öии поëþсов в заäанной обëасти пpиìенитеëüно к

ìатpиöе состояний общеãо виäа, без пpеäъявëения

особых тpебований к ее эëеìентаì.

Дëя pеøения этой заäа÷и пpеäëаãается пpоöе-

äуpа поëþсноãо сäвиãа, котоpой соответствует ото-

бpажение виäа

ℑ : Λ Ѕ U → Z *, (2)

ãäе U — ìножество ваpиантов упpавëений, сäви-

ãаþщих поëþса систеìы из на÷аëüноãо pаспpеäе-

ëения Λ в обëастü Z *, опpеäеëяþщуþ äопустиìое

ка÷ество упpавëения в заìкнутой систеìе.

Чтобы сфоpìиpоватü ìножество U, pассìотpиì

систеìу, äинаìи÷еские свойства заäанной ÷асти

котоpой описываþтся сëеäуþщей совокупностüþ

уpавнений состояния:

(t)=A

(t) + B

(t),

(t)= C

(t) + D

(t). (3)

Зäесü x

(t), u

(t), y

(t) — вектоpы пеpеìенных

состояния, упpавëений и выхоäных кооpäинат

объекта pазìеpностей dimx

(t)=n

, dimu

(t)=m

и dimy

(t)=l

l l

) соответственно.

К упpавëяþщей ÷асти pеаëüных техни÷еских

систеì поìиìо жеëаеìоãо ка÷ества упpавëения

пpеäъявëяется öеëый pяä важных тpебований. К их

÷исëу относятся:

 независиìое упpавëение заäанной совокупно-

стüþ выхоäных кооpäинат систеìы;

 тpебуеìый поpяäок астатизìа в ãëавных канаëах

упpавëения;

 фиëüтpаöия поìех и øуìов и т. ä.

Дëя обеспе÷ения этих тpебований ввеäеì в со-

став упpавëяþщей ÷асти l

поäсистеì виäа

(t)= (t) + (t),

(t)= (t), i = , (4)

ãäе (t) — вектоp пеpеìенных состояния pазìеp-

ности dim (t)=n

; (t) — вектоp выхоäных ко-

оpäинат; (t) — упpавëяþщее возäействие;

Пpедлагается подход к pешению задачи аналитического

синтеза систем упpавления по желаемому pаспpеделению

полюсов, котоpый базиpуется на итеpационной пpоцедуpе

локализации полюсов, позволяющей свести нелинейную за-

дачу паpаметpического синтеза к последовательности ли-

нейных задач. Пpедложенный метод иллюстpиpуется пpи-

меpом синтеза системы упpавления паpаметpами газотуp-

бинного двигателя.

МЕТОДЫ ТЕОPИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПPАВЛЕНИЯ

at t

–()–[]

1 n

1 l

Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008 3

Ефанов В. Н., Шевяхов Е. Н.



Стабилизация сложных динамических систем с использованием метода полюсного сдвига

=; =.

Зäесü эëеìенты (j =) ìатpиö

обеспе÷иваþт тpебуеìые фиëüтpуþщие свойства

ввоäиìых поäсистеì, а нуëевые эëеìенты

(j = ) — заäанный поpяäок σ астатизìа

систеìы.

Объеäиняя (3), (4) и поëаãая, ÷то u

(t)=

=[ (t)] = g(t) – y

(t) (зäесü g(t) — вектоp за-

äаþщих возäействий), поëу÷иì ìоäеëü всей сис-

теìы

(t)=A

(t) + B

(t) + Eg(t),

(t)=C

(t) + D

(t), (5)

ãäе x

(t) — пpяìая суììа вектоpов x

(t), (t),

(t), ..., (t) pазìеpности dimx

(t)=n

+ n

=; A

=, B

E =, C

=[C

| 0] — бëо÷ные ìатpиöы; A

= blockdiag{ , , ..., }, B

= blockdiag{ ,

, ..., } — бëо÷но-äиаãонаëüные ìатpиöы.

Упpавëение u

(t) äëя систеìы (5) буäеì искатü

в сëеäуþщеì виäе:

(t)=Ky

(t), (6)

ãäе y

(t) — пpяìая суììа вектоpов (t), (t), ...,

(t); K — искоìая ìатpиöа паpаìетpов упpавëяþ-

щей ÷асти.

Pассìотpиì выpажение äëя хаpактеpисти÷ескоãо

поëиноìа систеìы (5), заìкнутой упpавëениеì (6),

(s) = det(

–

–1

+ ... +

,(7)

ãäе G =[ | ], f

=(–1/j)[tr(A)

+ f

tr(A)

j – 1

+ ... + f

j – 1

tr(A)], A = A

+ B

KG.

В записи (7) выäеëиì составëяþщие

= p

+ L

+ N

, j = , (8)

пеpвая из котоpых не зависит от ìатpиöы K и оп-

pеäеëяется свойстваìи pазоìкнутой систеìы; вто-

pая — L

=trK[p

j – 1

+ p

j – 2

+ ... +

+ GB

] — объеäиняет составëяþщие, ëинейно

зависящие от K; тpетüе N

— у÷итывает сëеäы пpоиз-

веäений ìатpиö GB

и pазëи÷ных степеней ìат-

pиöы K, т. е. явëяется неëинейной функöией от K.

Чтобы заäатü то÷ные зна÷ения жеëаеìых поëþ-

сов хаpактеpисти÷ескоãо поëиноìа, äостато÷но

потpебоватü

=, j = , (9)

ãäе — коэффиöиенты поëиноìа с заäанныì pас-

пpеäеëениеì коpней.

Пустü | – p

|<δ

. Есëи δ

→ 0, то в (8)

(K) → 0, и тоãäа синтез ìожно осуществëятü ис-

хоäя из усëовия

(K)= – p

, j =. (10)

Тpивиаëüное pеøение (10) пpи усëовии δ

→ 0

иìеет виä K ≡ 0. Это сëу÷ай отсутствия сìещения

поëþсов к жеëаеìой обëасти. Чтобы обеспе÷итü

такое сìещение, необхоäиìо выбpатü ìаëое, но

коне÷ное δ

. Оäнако äаже в этоì сëу÷ае коэффи-

öиенты хаpактеpисти÷ескоãо поëиноìа систеìы,

синтезиpованной на основе ëинейноãо пpибëиже-

ния (10), буäут отëи÷атüся от жеëаеìых зна÷ений

как pаз на веëи÷ину N

В связи с этиì упpавëение (6) буäет сìещатü по-

ëþса систеìы в некотоpуþ окpестностü жеëаеìоãо

pаспpеäеëения Λ* = { , , ..., } (s – ) =

= s

+ s

n – 1

+ ... + , уäовëетвоpяþщуþ оãpа-

ни÷енияì

– | m ε(N

), j = . (11)

Чтобы обеспе÷итü выпоëнение äвух пpотивоpе-

÷ивых тpебований, связанных с необхоäиìостüþ

заäания ìаëых зна÷ений δ

и, в то же вpеìя, с не-

обхоäиìостüþ пеpеìещения поëþсов систеìы в

жеëаеìуþ обëастü Z*, опpеäеëяеìуþ усëовиеì (1)

стабиëизаöии систеìы, поëþсный сäвиã буäеì

pассìатpиватü как итеpаöионный пpоöесс, на ка-

жäоì øаãе котоpоãо фоpìиpуется ëокаëüное

упpавëение

(t)=K

(t), q =,

пеpеìещаþщее поëþса заìкнутой систеìы Λ

q – 1

= { , , ..., } в обëастü Z

, обеспе÷и-

ваþщуþ выпоëнение pавенств

=, j =.

Зäесü Q — ÷исëо итеpаöий, посëе осуществëе-

ния котоpых поëþса систеìы буäут ëокаëизованы

в жеëаеìой обëасти Z *.

Суììиpуя сказанное, отобpажение (2) пеpепи-

øеì в виäе

ℑ : [Λ

q –1

Ѕ u

) → Z

]. (12)

01...0

00...0

... ... ... ...

– λ

1–

– ... λ

–

...

1 n

σ–, A

σ– 1 n

1×

i 1=

∑

– C

–

-----

1 n,

j 1–

1 n,

⎝

⎛

∏

⎠

⎞

1 n,

1 Q,

q 1–

1 n,

q 1=

∪

4 Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008

МЕТОДЫ ТЕОPИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПPАВЛЕНИЯ

Такиì обpазоì, аëãоpитì (12) буäет вкëþ÷атü

сëеäуþщие øаãи.

Шаг 1. Опpеäеëение жеëаеìой обëасти ëокаëи-

заöии Z * поëþсов исхоäя из тpебований, пpеäъяв-

ëяеìых к äинаìи÷ескиì свойстваì систеìы упpав-

ëения.

Шаг 2. Заäание на÷аëüных зна÷ений эëеìентов

ìатpиöы K

Шаг 3. Выбоp вектоpа сäвиãа поëþсов. Пpи

этоì еãо ìоäуëü оãpани÷ивается усëовиеì | N

|<δ

Шаг 4. Pас÷ет пpиpащений ΔK

, соответствуþ-

щих выбpанноìу сìещениþ, на основе pеøения

систеìы уpавнений виäа (9).

Шаг 5. Опpеäеëение pаспpеäеëения поëþсов

синтезиpуеìой систеìы, заìкнутой упpавëениеì с

ìатpиöей коэффиöиентов K

= K

q – 1

+ ΔK

Шаг 6. Пpовеpка усëовия ëокаëизаöии поëþсов

в жеëаеìой обëасти. Есëи вы÷исëенные коэффи-

öиенты упpавëяþщей ÷асти систеìы K

обеспе÷и-

ваþт тpебуеìое pаспpеäеëение, то осуществëяется

выхоä из öикëи÷ескоãо пpоöесса синтеза. В иноì

сëу÷ае опpеäеëенное на øаãе 5 pаспpеäеëение коp-

ней хаpактеpисти÷ескоãо поëиноìа пpиниìается

за на÷аëüное, и итеpаöионная пpоöеäуpа повтоpя-

ется с øаãа 3.

Пpимеp. Pассìотpиì заäа÷у синтеза систеìы

упpавëения äëя äвухваëüноãо äвухконтуpноãо туp-

боpеактивноãо äвиãатеëя с фоpсажной каìеpой

(ТPДДФ), äинаìи÷еские свойства котоpоãо на

ìаксиìаëüноì pежиìе описываþтся систеìой

äиффеpенöиаëüных уpавнений [4]

(t)=–1,225x

(t) – 0,783x

(t) +

+1,311u

(t) + 1,621u

(t);

(t)=1,611x

(t) – 5,281x

(t) +

+2,441u

(t) + 4,161u

(t);

(t)=x

(t); y

(t)=0,192x

(t) + 0,201x

(t) +

0,145u

(t) – 0,856u

(t).

Зäесü x

(t) — ÷астота вpащения pотоpа высокоãо

äавëения; x

(t) — ÷астота вpащения pотоpа низкоãо

äавëения; y

(t) — степенü pасøиpения ãаза в туp-

бине; u

(t) — pасхоä основноãо топëива; u

(t) — эк-

виваëентная пëощаäü пpохоäноãо се÷ения pеак-

тивноãо сопëа.

Тpебуется обеспе÷итü независиìое упpавëение

выхоäныìи кооpäинатаìи объекта с нуëевой уста-

новивøейся оøибкой (y = 1). С этой öеëüþ ввеäеì

в состав систеìы äве поäсистеìы виäа (pис. 1)

(t)=ε

(t); ε

(t)=g

(t) – y

(t);

(t)=ε

(t); ε

(t)=g

(t) – y

(t);

(t)=k

(t) + k

(t); u

(t)=k

(t) + k

(t).

Объеäиниì пpивеäенные выøе уpавнения и по-

ëу÷иì систеìы уpавнений виäа (5) и (6):

= +

+ + ;

Заäа÷а синтеза состоит в опpеäеëении паpаìет-

pов k

, котоpые обеспе÷ат ëокаëизаöиþ поëþсов

заìкнутой систеìы в окpестности сëеäуþщих то-

÷ек, pаспоëоженных на отpиöатеëüной поëуоси

коìпëексной пëоскости: Λ* = {–8; –4; –2; –1}.

Пpи этоì поëаãаеì, ÷то ε(N

) m 0,01.

Pассìотpиì äетаëüно оäин øаã поëþсноãо

сäвиãа. Исхоäная ìатpиöа паpаìетpов pеãуëятоpа

опpеäеëяет сëеäуþщие поëþса систеìы: Λ

= {–4,931; –1,548; –0,041; 0,000}. Потpебуеì, ÷то-

бы на пеpвой итеpаöии поëþса пpинаäëежаëи

окpестности pаспpеäеëения = {–4,962; –1,573;

–0,061; –0,010}. Испоëüзуя выpажение F(s)=

=(s – ), найäеì вектоp исхоäных и жеëаеìых

коэффиöиентов хаpактеpисти÷ескоãо поëиноìа

Pис. 1. Система упpавления паpаметpами ТPДДФ

t()

1,225– 0,783– 00

1,611 5,281– 00

1– 000

0,192– 0,201– 00

t()

1,311 1,621

2,441 4,161

0,145– 0,856

t()

00,1

∏

Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008 5

Ефанов В. Н., Шевяхов Е. Н.



Стабилизация сложных динамических систем с использованием метода полюсного сдвига

= [6,519 7,897 0,311 0]

;

= [6,604 8,263 0,552 0,005]

Дëя отыскания неизвестных коэффиöиентов

ìатpиöы K необхоäиìо составитü систеìу ëиней-

ных аëãебpаи÷еских уpавнений виäа (9). Дëя этоãо

ìатpиöу

= K[p

j –1

+ p

j –2

+ ... +

+ GB

]=KQ

пpеäставиì в виäе

=[(Q

)

⊗ I

ãäе , — пpяìые суììы стоëбöов соответст-

вуþщих ìатpиö; ⊗ — сиìвоë тензоpноãо пpоизве-

äения.

Дëя тоãо ÷тобы вы÷исëитü сëеä ìатpиöы R

, уì-

ножиì на ìатpиöу-стpоку виäа E

=[e

ãäе e

=1, есëи i =(k – 1)l + k, k =, e

=0 —

в остаëüных сëу÷аях. Сëеäоватеëüно,

(K)=trR

= E

[(Q

)

⊗ I

Такиì обpазоì, уpавнения (9) пpиобpетаþт виä

[(Q

)

⊗ I

]= – p

, j =,

иëи, с у÷етоì ÷исëенных зна÷ений,

Откуäа нахоäиì

ΔK

= = .

В pезуëüтате pеãуëятоp с ìатpиöей паpаìетpов

= K

+ ΔK

буäет обеспе÷иватü, с у÷етоì неëинейной состав-

ëяþщей, сëеäуþщее pаспpеäеëение поëþсов хаpак-

теpисти÷ескоãо поëиноìа:

= {–4,961; –1,573; –0,059; –0,011}.

Поëу÷енное pаспpеäеëение поëþсов пpиниìаеì

за исхоäное и выпоëняеì сëеäуþщуþ итеpаöиþ.

Посëе осуществëения Q = 100 итеpаöий быëо

поëу÷ено пpибëижение Λ

100

= {–8; –4; –2; –0,999},

котоpоìу соответствует pеãуëятоp с паpаìетpаìи

100

На pис. 2 показаны выхоäные pеакöии ТPДДФ,

ãäе 1, 2 — пеpехоäные функöии äëя ÷астоты вpа-

щения pотоpа высокоãо äавëения и степени pас-

øиpения ãаза в туpбине соответственно.

Pазpаботанный поäхоä обеспе÷ивает стабиëиза-

öиþ сëожных систеì автоìати÷ескоãо упpавëения

на основе ëокаëизаöии поëþсов заìкнутой систе-

ìы в заäанной обëасти пpиìенитеëüно к ìатpиöе

состояний общеãо виäа, пpи этоì пpеäëоженная

конöепöия поëþсноãо сäвиãа позвоëяет уìенü-

øитü сëожностü пpоöеäуpы синтеза за с÷ет заìены

неëинейной заäа÷и паpаìетpи÷ескоãо синтеза по-

сëеäоватеëüностüþ ëинейных заäа÷.

Список литеpатуpы

1. Егупов Н. Д., Пупков К. А. Метоäы кëасси÷еской и со-

вpеìенной теоpии автоìати÷ескоãо упpавëения. В 5 тоìах. Изä.

2-е. М: Изä. МГТУ, 2004.

2. On the decentralized control of large dynamical complex sys-

tem / M. Kidouche, M. Zelmat, A. Charef // ICINCO. 2004.

P. 383—389.

3. Маpкус М., Минк Х. Обзоp по теоpии ìатpиö и ìатpи÷-

ных неpавенств: Пеp. с анãëийскоãо. Изä. 2-е. М., 2004. 232 с.

4. Синяков А. Н., Шаймаpданов Ф. А. Систеìы автоìати-

÷ескоãо упpавëения ЛА и их сиëовыìи установкаìи. М.: Ма-

øиностpоение, 1991. 320 с.

j 1–

1 l

1 l,

1 n,

000,145– 0,856

1,310– 1,621 1,685 4,421

5,005– 5,436– 3,107– 4,049

00,475– 00

Δk

0,085

0,366

0,241

0,005

Δk

0,010 0,108

0,010 0,117

0,010 0,208

0,010 0,117

1,654 0,298

10,187 9,975

Pис. 2. Выходные pеакции синтезиpованной системы

6 Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008

МЕТОДЫ ТЕОPИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПPАВЛЕНИЯ

УДК 62-50

Т. А. Акунов

, канд. техн. наук,

О. В. Слита

, канд. техн. наук,

А. В. Ушаков

, дp техн. наук, пpоф.,

СанктПетеpбуpгский госудаpственный

унивеpситет инфоpмационных технологий,

механики и оптики,

Балтийский госудаpственный унивеpситет

"Военмех" им. Д. Ф. Устинова

Назначение стpуктуpы

собственных вектоpов,

доставляющей динамической

системе модальную pобастность

с минимальными затратами

на упpавление

Введение. Постановка задачи

Пpи пpоектиpовании систеì упpавëения с же-

ëаеìыìи показатеëяìи ка÷ества в пеpехоäноì и

установивøеìся pежиìах наøëи øиpокое пpиìе-

нение ìетоäы [1—4], основанные на обеспе÷ении

необхоäиìой стpуктуpы собственных зна÷ений

(ìоä) ìатpиöы состояния синтезиpуеìой систеìы.

Наибоëее поëно äанный поäхоä pеаëизован в со-

вpеìенных ìетоäах ìоäаëüноãо упpавëения [5—8],

основанных на конöепöии вектоpноãо и ìатpи÷-

ноãо поäобия, котоpая позвоëяет синтезиpоватü

аëãоpитìы ìоäаëüноãо упpавëения на основе pе-

øения ìатpи÷ноãо уpавнения Сиëüвестpа. Пpи

этоì в боëüøинстве пpакти÷еских сëу÷аев спеöиа-

ëисты по синтезу ìоäаëüных упpавëений пока иã-

ноpиpуþт необхоäиìостü и возìожностü контpоëя

стpуктуpы собственных вектоpов, поëу÷аеìой в pе-

зуëüтате синтеза. Теì не ìенее, иссëеäование

стpуктуpы собственных вектоpов ìатpиöы состоя-

ния спpоектиpованной систеìы откpывает боãатые

возìожности [9, 10] обеспе÷ения äопоëнитеëüных

свойств систеìы, таких как паpаìетpи÷еская ин-

ваpиантностü выхоäа систеìы в сëу÷ае наëи÷ия не-

опpеäеëенности заäания ìатpиöы состояния ис-

хоäноãо объекта и pобастностü эëеìентов спектpа

собственных зна÷ений ìатpиöы состояния систе-

ìы пpи наëи÷ии той же неопpеäеëенности. Вìесте

с теì, существуþт аëãоpитìи÷еские возìожности

ìоäаëüноãо упpавëения, пpоöеäуpа синтеза кото-

pоãо основана на pеøении ìатpи÷ноãо уpавнения

Сиëüвестpа, в пpоöессе синтеза оäновpеìенно кон-

тpоëиpоватü как аëãебpаи÷еский спектp собствен-

ных зна÷ений, так и ãеоìетpи÷еский спектp собст-

венных вектоpов пpи опpеäеëенноì способе заäа-

ния ìатpиöы состояния ìоäаëüной ìоäеëи [11, 12].

В äанной статüе äеëается попытка äаëüнейøей

pазpаботки пpобëеìы контpоëя стpуктуpы собст-

венных зна÷ений и собственных вектоpов ìатpиöы

состояния пpоектиpуеìой систеìы в заäа÷е обес-

пе÷ения ìоäаëüной pобастности ìиниìаëüныìи

по ноpìе упpавëенияìи.

Концепция модальной pобастности

Pассìотpиì паpаìетpи÷ески невозìущенный

объект упpавëения (УО) виäа

(t)=Ax(t) + Bu(t), x(t)| = x(0), y(t)=Cx(t), (1)

äëя котоpоãо тpебуется синтезиpоватü закон упpав-

ëения (ЗУ) в виäе пpяìой связи по заäаþщеìу воз-

äействиþ g(t) и обpатной связи по вектоpу состоя-

ния x(t)

u(t)=K

g(t) – Kx(t), (2)

обеспе÷иваþщий жеëаеìые показатеëи ка÷ества

пpоектиpуеìой систеìы. Объеäинение ОУ (1) и

ЗУ (2) обpазует заìкнутуþ систеìу

(t)=Fx(t) + Gg(t); y = Cx(t), (3)

ãäе F = A – BK, G = BK

Аëãебpаи÷еский спектp собственных зна÷ений

ìатpиöы F иìеет виä

σ{F{={λ

, i =}. (4)

Поëожиì, ÷то возìущения в систеìе поpожäа-

þт неопpеäеëенностü ΔF знания паpаìетpов ìат-

pиöы F, в pезуëüтате ÷еãо спектp собственных зна-

÷ений ìатpиöы F + ΔF пpиниìает виä σ{F + ΔF}=

={λ

+ Δλ

, i =}, Δλ =col{Δλ

, i =}. Дëя

оöенки ваpиаöий эëеìентов аëãебpаи÷ескоãо спек-

тpа собственных зна÷ений сфоpìуëиpуеì сëеäуþ-

щее утвеpжäение [11].

Утвеpждение 1. Пустü ìатpиöа F состояния сис-

теìы (3) явëяется ìатpиöей пpостой стpуктуpы

[13], тоãäа оöенка || ΔF || ваpиаöии ΔF и оöенка ||Δλ||

ваpиаöии Δλ =col{Δλ

, i = } вектоpа собствен-

ных зна÷ений λ, поpожäаеìая ваpиаöией ΔF, свя-

заны неpавенствоì

|| Δλ|| m C{M }||ΔF ||, (5)

ãäе C{M } — ÷исëо обусëовëенности ìатpиöы M

пpивеäения ìатpиöы F к äиаãонаëüноìу виäу

Λ =diag{λ

, i = } (6)

Pассматpивается пpоблема синтеза непpеpывной сис-

темы, обладающей свойством модальной pобастности, с

помощью назначения желаемой стpуктуpы собственных

вектоpов матpицы состояния пpоектиpуемой системы.

Обсуждается множественность pешений данной пpобле-

мы. Для сужения класса pешений, доставляющих модаль-

ную pобастность минимальными упpавлениями, пpедлага-

ется функционал оценки затpат на упpавление.

t 0=

1 n,

1 n, 1 n,

1 n,

Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008 7

Акунов Т. А., Слита О. В., Ушаков А. В.



Синтез модальноробастных систем управления

в сиëу ìатpи÷ноãо усëовия поäобия

MΛ = FM,(7)

ãäе M : || M

|| = 1; i =; M

— i-й стоëбеö M.

Заìетиì, ÷то в неpавенстве (5) испоëüзуется

бесконе÷ная ноpìа Δλ и спектpаëüная ноpìа ΔF.

Доказательство. Дëя äоказатеëüства воспоëüзу-

еìся возìущенной веpсией ìатpи÷ноãо усëовия

поäобия (7), котоpое пpиниìает виä

(M + ΔM)(Λ + ΔΛ)=(F + ΔF)(M + ΔM). (8)

Есëи оãpани÷итüся ваpиаöией (поãpеøностüþ)

ΔF, позвоëяþщей äопуститü спpавеäëивостü ìаëо-

сти ÷ëенов ΔMΔΛ и ΔFΔM, то ìатpи÷ное уpавнение

(8) с у÷етоì (7) пpивоäит к ìатpи÷ноìу ëинейноìу

уpавнениþ относитеëüно ваpиаöии коìпонентов,

записываеìоìу в виäе

MΔΛ + ΔMΛ = ΔFM + FΔM.(9)

Пеpейäеì в (9) к стоëбöовой фоpìе записи. То-

ãäа поëу÷иì

M(ΔΛ)

+ ΔMΛ

= ΔFM

+ F(ΔM)

, i =.(10)

В сиëу стpуктуpы стоëбöов Λ

=[ , λ

, ]

и ΔΛ

=[ , Δλ

, ] вектоpно-ìатpи÷ное

уpавнение (10) пpиниìает виä

Δλ

= ΔFM

+ (F – λ

I )(ΔM

), i = . (11)

Дëя pазpеøения уpавнения (11) относитеëüно

ваpиаöии Δλ

собственноãо зна÷ения λ

ìатpиöы F

воспоëüзуеìся пpеäставëениеì ìатpи÷ноãо усëо-

вия поäобия (7) в эквиваëентной фоpìе

ΛM

–1

= M

–1

F.(12)

Стpо÷ная фоpìа пpеäставëения (12) иìеет виä

–1

=(M

–1

)

F,(13)

ãäе (Λ

, M

) — соответственно i-е стpоки ìатpиö

Λ и M. В сиëу стpуктуpы стpоки

=[ , λ

, ]

ìатpи÷ное соотноøение (13) пpиниìает стpо÷ное

вектоpно-ìатpи÷ное пpеäставëение

–1

)

(F – λ

)=0. (14)

У÷теì тепеpü, ÷то ìатpи÷ное соотноøение

–1

M = I иìеет эквиваëентное стpо÷но-стоëбöо-

вое пpеäставëение

–1

)

= δ

,(15)

ãäе δ

— сиìвоë Кpонекеpа [13]. Уìножиì ìатpи÷-

ное уpавнение (11), pазpеøенное относитеëüно ва-

pиаöии Δλ

, на i-þ стpоку (M

–1

)

ìатpиöы M

–1

сëе-

ва. Тоãäа с у÷етоì (14) и (15) äëя Δλ

поëу÷иì

Δλ

=(M

–1

)

ΔFM

=(M

–1

ΔFM )

.(16)

Сконстpуиpуеì вектоp Δλ, составëенный из ва-

pиаöий Δλ

, i = . Тоãäа с у÷етоì (16) поëу÷иì

пpеäставëение этоãо вектоpа в виäе

Δλ =col{Δλ

; i =}=

=col{(M

–1

ΔFM)

; i =}. (17)

Пеpехоä в (17) к соãëасованныì ноpìаì позво-

ëяет постpоитü öепо÷ку из pавенств и неpавенств:

|| Δλ || = ||col{(M

–1

ΔFM)

; i =}||=

=||diag{(M

–1

ΔFM)

; i =}||m ||M

–1

ΔFM || m

m || M

–1

||•||ΔF ||•|| M || = C{M}||ΔF ||. (18)

Назначение оpтогональной стpуктуpы

собственных вектоpов минимальными

по норме упpавлениями

Как показывает пpактика пpоектиpования сис-

теì автоìати÷ескоãо упpавëения, заäание тpебова-

ний к ка÷еству пpоöессов в пеpехоäноì и устано-

вивøеìся pежиìах в виäе жеëаеìой стpуктуpы

собственных зна÷ений тpуäностей не вызывает.

Наìноãо сëожнее сфоpìуëиpоватü тpебования к

жеëаеìой стpуктуpе собственных вектоpов. Со-

ãëасно выpажениþ (18) она äоëжна бытü такой,

÷тобы ÷исëо обусëовëенности быëо ìиниìаëü-

ныì, пpи÷еì ìиниìаëüное зна÷ение ÷исëа обу-

сëовëенности, pавное еäиниöе, соответствует ìат-

pиöе, стоëбöы котоpой обpазуþт оpтоãонаëüнуþ

стpуктуpу. В связи с этиì сфоpìуëиpуеì и äокажеì

сëеäуþщее утвеpжäение.

Утвеpждение 2. В ìатpи÷ноì соотноøении по-

äобия (7), явëяþщеìся оäноpоäныì ìатpи÷ныì

уpавнениеì Сиëüвестpа относитеëüно ìатpиöы M,

стоëбöы M

явëяþтся собственныìи вектоpаìи

ìатpиöы F так, ÷то выпоëняется вектоpно-ìатpи÷-

ное соотноøение

= λ

, i =. (19)

Доказательство. Пpеäставиì уpавнение поäо-

бия MΛ = FM в фоpìе Mcol{Λ

; i =}=

= Fcol{M

; i = }, ãäе M

и Λ

— i-е стоëбöы ìат-

pиö Λ и M соответственно. Вы÷ëенение из ëевой

÷асти коìпоненты MΛ

и коìпоненты FM

из пpа-

вой ÷асти позвоëяет записатü вектоpно-ìатpи÷ное

соотноøение

MΛ

= FM

,(20)

котоpое с у÷етоì стpуктуpы стоëбöа Λ

пpивоäится

к фоpìе (19).

Сëеäует заìетитü, ÷то ìножество веpсий оpто-

ãонаëüных стpуктуp собственных вектоpов беско-

не÷но, сëеäоватеëüно, бесконе÷но и ìножество

pеаëизаöий ìатpиöы K. В связи с этиì возникает

заäа÷а фоpìиpования кpитеpия пpеäпо÷тения. Ав-

тоpаìи в ка÷естве такоãо кpитеpия пpеäëаãается

1 n,

i 1–

ni–

i 1–

ni–

1 n,

i 1–

ni–

1 n,



8 Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008

МЕТОДЫ ТЕОPИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПPАВЛЕНИЯ

оöенка затpат на упpавëение на сфеpе на÷аëüных

состояний.

Дëя оöенки затpат на упpавëение, с поìощüþ

котоpоãо обеспе÷иваþтся жеëаеìые стpуктуpы ìоä

и собственных вектоpов, pассìотpиì упpавëение

объектоì (g(t) = 0) пpи еãо пеpевоäе из на÷аëüноãо

состояния x(0) в коне÷ное x(∞) = 0 с поìощüþ

сиãнаëа упpавëения u(t)=–Kx(t)=–Ke

x(0).

Ввеäеì в pассìотpение эëеìент U

= u

[0, t]

ëиней-

ноãо функöионаëüноãо пpостpанства , ãäе

T ={t : 0 m t < ∞}. Тоãäа äëя кваäpата кваäpати÷-

ной ноpìы эëеìента U

в соответствии с опpеäеëе-

ниеì кваäpати÷ной ноpìы эëеìентов функöио-

наëüноãо пpостpанства ìожно записатü

(||U

||)

=(τ)u(τ)dτ =

= x

(0) K

Fτ

dτ x(0) = x

(0)W

(t)x(0), (21)

ãäе

(t)= K

Fτ

dτ (22)

— ãpаììиан затpат на упpавëение на интеpваëе [0, t].

Пpоинтеãpиpовав выpажение W

(t)= Ѕ

Ѕ K

Fτ

dτ по ÷астяì, поëу÷иì

(t)= K

Fτ

dτ =

= K

Fτ

–1

) – F

(t)F

–1

.(23)

Из выpажения (23) нетpуäно виäетü, ÷то ãpаì-

ìиан затpат на упpавëение W

(t) ìожет бытü вы-

÷исëен из pеøения ìатpи÷ноãо уpавнения

(t) + W

(t)F =–K

K + K

.(24)

Пpеäеëüный пеpехоä в поëу÷енноì ìатpи÷ноì

соотноøении пpи t → ∞ с у÷етоì ãуpвиöевости ìат-

pиö F и F

пpивоäит к ìатpи÷ноìу уpавнениþ от-

носитеëüно ãpаìììиана затpат на упpавëение

= W

(t) на бесконе÷ноì интеpваëе [0, ∞)

типа ìатpи÷ноãо уpавнения Ляпунова

+ W

F =–K

K.(25)

Дëя оöенки затpат на упpавëение на бесконе÷-

ноì интеpваëе [0, ∞) как функöии на÷аëüноãо со-

стояния в сиëу (21) и (25) становится спpавеäëивой

систеìа неpавенств

}||x(0)|| m ||U

∞

|| =

=(x

(0)W

x(0))

1/2

m {W

}||x(0)||, (26)

ãäе α

}, α

} — соответственно ìиниìаëüное

и ìаксиìаëüное синãуëяpные ÷исëа ãpаììиана W

Есëи сpавнение ваpиантов pеаëизаöии стpуктуp

собственных вектоpов осуществëятü на еäини÷ной

сфеpе на÷аëüных состояний || x(0)|| = 1, то ìакси-

ìаëüные затpаты на упpавëение ìожно оöенитü

выpажениеì

||U

∞

|| =

={W

}||x(0) || = {W

}. (27)

Такиì обpазоì, заäа÷а äостижения ìоäаëüной

pобастности, котоpая pеøается ìиниìизаöией

÷исëа обусëовëенности ìатpиöы собственных век-

тоpов, и оäновpеìенноãо обеспе÷ения ìиниìаëü-

ных затpат пpивоäит к необхоäиìости ввеäения аã-

pеãиpованноãо функöионаëа виäа

={W

}C{M }, (28)

ãäе C{M} — ÷исëо обусëовëенности ìатpиöы соб-

ственных вектоpов M.

Дëя вы÷исëения ìатpиöы обpатных связей K

воспоëüзуеìся обобщенныì ìоäаëüныì упpавëе-

ниеì, опиpаþщиìся на pеøение ìатpи÷ноãо уpав-

нения Сиëüвестpа.

Алгоpитм pешения поставленной задачи

сpедствами обобщенного модального упpавления

1. Сфоpìиpоватü (A, B, C) — ìатpи÷ные коìпо-

ненты объекта упpавëения виäа (1) с упpавëяеìой

паpой (A, B) и набëþäаеìой паpой (A, C).

2. Сфоpìиpоватü (n Ѕ n)-ìеpнуþ äиаãонаëüнуþ

ìатpиöу Λ =diag{λ

; i = } состояния ìоäаëüной

ìоäеëи [9, 11], явëяþщуþся носитеëеì жеëаеìой

стpуктуpы ìоä ìатpиöы F состояния синтезиpуе-

ìой систеìы, с теì ÷тобы за с÷ет выпоëнения со-

отноøения σ{Λ}=σ{F}={λ

, i =} äоставитü

пpоектиpуеìой систеìе жеëаеìые äинаìи÷еские

свойства в пеpехоäноì и установивøеìся pежиìах.

3. Заäатü на÷аëüное зна÷ение ìатpиöы H, соãëа-

сованное по pазìеpности с ìатpиöей B и обpазуþ-

щее с ìатpиöей Λ набëþäаеìуþ паpу.

4. Pеøитü ìатpи÷ное уpавнение Сиëüвестpа

MΛ – AM =–BH (29)

пpи заäанных ìатpиöах Λ, A, B и H относитеëüно

ìатpиöы M и вы÷исëитü ее ÷исëо обусëовëенности.

∫

⎝

⎛

∫

⎠

⎞

∫

lim

t ∞→

1/2

max

x 0() 1=

1/2

x 0() 1=

1/2

1 n,

Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008 9

Акунов Т. А., Слита О. В., Ушаков А. В.



Синтез модальноробастных систем управления

5. Вы÷исëитü ìатpиöу K отpиöатеëüной обpат-

ной связи по вектоpу x(t) состояния ОУ (1) с по-

ìощüþ соотноøения

K = HM

–1

.(30)

6. Pеøитü уpавнение (25) относитеëüно ãpаì-

ìиана затpат и вы÷исëитü еãо ìаксиìаëüное син-

ãуëяpное ÷исëо.

7. Вы÷исëитü зна÷ение функöионаëа (28).

8. Путеì оpãанизаöии аëãоpитìа неäиффеpен-

öиpуеìой ìиниìизаöии по функöионаëу (28) осу-

ществитü поиск pеаëизаöии ìатpиöы H, äостав-

ëяþщей функöионаëу ìиниìаëüное зна÷ение.

В сëу÷ае выпоëнения усëовия ìиниìаëüности пе-

pейти к п. 9, ина÷е пеpейти к п. 3.

9. Сфоpìиpоватü ìатpиöу K

закона ОМУ в

фоpìе (2) в öеëях обеспе÷ения тpебуеìых свойств

отноøения вхоä-выхоä пpоектиpуеìой систеìы,

обязатеëüныì из котоpых явëяется свойство pавен-

ства выхоäа y(t) вхоäу g(t) в установивøеìся pежи-

ìе пpи непоäвижноì состоянии систеìы с поìо-

щüþ соотноøения

=arg Φ(s)=C(sI – F )

–1

g |s =0

= I =

=–(CF

–1

.(31)

Из аëãоpитìа нетpуäно виäетü, ÷то успех pеøе-

ния заäа÷и существенныì обpазоì зависит от pан-

ãа ìатpиöы упpавëения B. Так, есëи pанã ìатpиöы

B pавен поpяäку систеìы (rankB = n), то уpавнение

Сиëüвестpа (29) оказывается pазpеøиìыì пpи ëþ-

бой стpуктуpе собственных зна÷ений и собствен-

ных вектоpов. Пpи этоì в сëу÷ае, есëи M и Λ за-

äаны, то ìатpиöа обpатных связей по состояниþ K

вы÷исëяется как K = B

–1

(AM – MΛ)M

–1

Такиì обpазоì, в сëу÷ае ìатpиöы упpавëения

поëноãо pанãа äостижиìо обеспе÷ение оpтоãо-

наëüной стpуктуpы собственных вектоpов пpоек-

тиpуеìой систеìы. Тоãäа функöионаë (28) пpини-

ìает виä

={W

}, (32)

и заäа÷а нахожäения ìиниìаëüноãо упpавëения за-

кëþ÷ается в поиске ìиниìаëüноãо зна÷ения

} и соответствуþщеãо еìу зна÷ения ìатpи-

öы обpатных связей K.

Пpоиëëþстpиpуеì выбоp жеëаеìой стpуктуpы

собственных вектоpов пpиìеpоì.

Пpимеp. Pешение задачи ОМУ для объекта 2-го

поpядка с матpицей упpавления полного pанга.

Дëя тоãо ÷тобы оöенитü затpаты на упpавëение

пpи обеспе÷ении кажäой из жеëаеìых стpуктуp

собственных вектоpов, воспоëüзуеìся функöиона-

ëоì виäа (32).

Pассìотpиì объект упpавëения 2-ãо поpяäка,

описываеìый ìатpиöаìи A =, B =,

C =.

Жеëаеìая стpуктуpа собственных зна÷ений

ìатpиöы F заìкнутой систеìы заäана как σ{F}=

={λ

=–2, λ

= –5}. Жеëаеìая стpуктуpа собст-

венных оpтоãонаëüных вектоpов заäана в паpаìет-

pизованной β фоpìе ξ

=; ξ

ãäе β — уãоë повоpота этой стpуктуpы вокpуã на-

÷аëа кооpäинат относитеëüно естественноãо (евк-

ëиäовоãо) базиса.

Сфоpìиpуеì ìатpиöу состояния ìоäаëüной ìо-

äеëи в äиаãонаëüной фоpìе Λ = и ìатpиöу M

поäобия ìатpиö F и Λ, сконстpуиpованнуþ на соб-

ственных вектоpах, так ÷то она пpиниìает виä

M =[ξ

]= .

Pеøиì ìатpи÷ное уpавнение Сиëüвестpа (29)

относитеëüно ìатpиöы H и вы÷исëиì ìатpиöу K

отpиöатеëüной обpатной связи по вектоpу x(t) со-

стояния ОУ (1) с поìощüþ соотноøения (30):

K =.

Выясниì, пpи какой стpуктуpе оpтоноpìиpо-

ванных собственных вектоpов, паpаìетpизован-

ных зна÷ениеì уãëа β, функöионаë (32) пpиниìает

ìиниìаëüное и ìаксиìаëüное зна÷ения.

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫



1/2

1– 1

⎩

⎨

⎧

βcos

βsin–

βsin

βcos

⎭

⎬

⎫

Зависимость функционала J

от значения угла b

2– 0

05–

βcos βsin

βsin– βcos

1,5 ββcossin sin

β 2,5cos

β+

2cos

β 1,5 βcos– 5 βsin+()βsin+ 3 ββcossin 1,5cos

β–

10 Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2008

МЕХАТPОННЫЕ МОДУЛИ ДЛЯ МИКPО И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Гpафик зависиìости функöионаëа J

от зна÷е-

ния уãëа β пpивеäен на pисунке.

Из pисунка виäно, ÷то функöионаë J

пpини-

ìает ìиниìаëüное зна÷ение J

=1,0321 пpи

β = 28,7°. Такиì обpазоì, ìатpиöа обpатных свя-

зей, с поìощüþ котоpой пpоисхоäит назна÷ение

стpуктуpы собственных вектоpов, обеспе÷иваþ-

щих ìоäаëüнуþ pобастностü, пpиниìает зна÷ение

K =.

Список литеpатуpы

1. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical

parameters. London, Springer-Verlag, 1993.

2. Синтез äискpетных pеãуëятоpов пpи поìощи ЭВМ //

В. В. Гpиãоpüев, В. Н. Дpозäов, В. В. Лавpентüев, А. В. Уøаков.

Л.: Маøиностpоение, 1983.

3. Arzelier D., Bernoussou J., Garsia G. Pole assignment of li-

near uncertain system in a sector via a Lyapunov-type approach //

IEEE Trans. Automatic control. 1993. Vol. 38. N 7. P. 1128—1132.

4. Chilali M., Gabinet P., Apkarian P. Robust pole placement in

LMI regions // IEEE Trans. Automatic control. Vol. 44. N 12.

P. 2257—2270.

5. Заде Л., Дезоеp Ч. Теоpия ëинейных систеì. М.: Наука,

1970.

6. Квакеpнаак X., Сиван P. Линейные оптиìаëüные систе-

ìы упpавëения. М.: Миp, 1977.

7. Поpтеp У. А. Совpеìенные основания общей теоpии сис-

теì.: Пеp. с анãë. М.: Наука, 1971.

8. Cavin R. K., Bhattacharyya S. P. Robust and well-condi-

tioned eigenstructure assignment via Sylvester equation // Proc.

American Control Conference. 1982. P. 1053—1057.

9. Ушаков А. В. Обобщенное ìоäаëüное упpавëение // Изв.

вузов. Пpибоpостpоение. 2000. Т. 43. № 3. С. 8—15.

10. Слита О. В., Ушаков А. В. Пpобëеìа паpаìетpи÷еской ε-

инваpиантности выхоäа непpеpывной систеìы: аëãебpаи÷еский

поäхоä // Мехатpоника, автоìатизаöия, упpавëение. 2006. № 2.

С. 2—7.

11. Никифоpов В. О., Ушаков А. В. Упpавëение в усëовиях

неопpеäеëенности: ÷увствитеëüностü, аäаптаöия, pобастностü.

СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002.

12. Акунов Т. А., Ушаков А. В. Синтез систеì ãаpантиpован-

ной ìоäаëüной стабиëüности// Известия PАН. Теоpия и систе-

ìы упpавëения. 2003. № 4. С. 9—17.

13. Гантмахеp Ф. P. Теоpия ìатpиö. М.: Наука, 1973.

УДК 62-50:621.3

С. М. Афонин, канд. техн. наук,

Московский госудаpственный институт

электpонной техники (ТУ)

Исследование абсолютной

устойчивости системы

упpавления дефоpмацией

пьезопpеобpазователя

для нано и микpопеpемещений

Введение

Пüезопpеобpазоватеëи äëя нано- и ìикpопеpе-

ìещений ìоãут пpиìенятüся в таких обëастях, как

нанобиоëоãия, ìикpоэëектpоника, астpоноìия и

аäаптивная оптика. Пüезопpеобpазоватеëü (пüезо-

äвиãатеëü, пüезоактþатоp) pаботает на основе об-

pатноãо пüезоэффекта, пеpеìещение äостиãается

за с÷ет еãо äефоpìаöии пpи пpиëожении эëектpи-

÷ескоãо напpяжения. Пüезопpеобpазоватеëи иìе-

þт äиапазон пеpеìещения от нескоëüких äо 10

нì,

наãpузо÷нуþ способностü äо 1000 Н, ìощностü на

выхоäноì ваëу äо 100 Вт и поëосу пpопускания по-

pяäка нескоëüких äесятков ãеpö. В аäаптивной оп-

тике на пüезопpеобpазоватеëü äействует инеpöион-

ная иëи упpуãоинеpöионная наãpузка [1—7].

Наpяäу с пpеиìуществаìи пüезопpеобpазовате-

ëей, такиìи как высокая то÷ностü, боëüøая наãpу-

зо÷ная способностü, øиpокая поëоса пpопускания,

иìеется существенный неäостаток в виäе неëиней-

ной ãистеpезисной стати÷еской хаpактеpистики.

В отëи÷ие от систеìы упpавëения с оäнозна÷ной

неëинейностüþ, äëя котоpой устой÷ивостü поëо-

жения pавновесия иссëеäуется с поìощüþ кpите-

pия Попова, устой÷ивостü систеìы упpавëения äе-

фоpìаöией пüезопpеобpазоватеëя с ãистеpезисной

неëинейностüþ и ìножествоì поëожений pавно-

весия оöенивается с пpиìенениеì кpитеpия абсо-

ëþтной устой÷ивости Якубови÷а [3, 8—10].

Статические и динамические хаpактеpистики

пьезопpеобpазователя для нано-

и микpопеpемещений как объекта упpавления

Динаìи÷еские хаpактеpистики и пеpеäато÷ные

функöии пüезопpеобpазоватеëя äëя нано- и ìик-

pопеpеìещений (pис. 1) pасс÷итываþтся на основе

0,632 2,1538

2,4449 0,1101

МЕХАТPОННЫЕ МОДУЛИ

ДЛЯ МИКPО И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Для системы упpавления дефоpмацией пьезопpеобpазо-

вателя найдено множество положений pавновесия пpи пpо-

дольном или попеpечном пьезоэффекте. Опpеделены условия

абсолютной устойчивости системы упpавления дефоpма-

цией пьезопpеобpазователя для нано- и микpопеpемещений

пpи пpодольном и попеpечном пьезоэффектах для детеpми-

ниpованных и случайных воздействий.