Мастяева И.Н. Математические методы и модели в логистике
Подождите немного. Документ загружается.
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
41
Размер заказа Скидка, % Цена за упаковку, ф.ст.
0-199 0 2
,
00
200
-
499
2
1.96
500 и более 4 1,92
Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок?
7. [8.,9.] На некотором станке производятся детали в количестве 2000 единиц в ме-
сяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производи-
тельностью 500 единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. По оценкам специа-
листов компании, издержки хранения составляют 20% средней стоимости запасов в год,
Стоимость производства одной детали равна 2,50 ф. ст. Стоимость
организации одного
производственного цикла составляет 1000 ф. ст.
7. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, и с
какой частотой следует организовывать циклы для производства этих деталей?
8. Если бы можно было снизить издержки производства до 500 ф. ст., каков был бы
ответ на предыдущий вопрос ?
9
. Как изменился бы ответ на вопрос из задания 7, если бы произошло дальнейшее
снижение стоимости производства до 250 ф. ст.?
10. Компания «Greens Ltd» – крупный универмаг по продаже электронной и аудио-
аппаратуры. Одним из наиболее популярных товаров является стереоплейер со встроен-
ным радиоприемником. Спрос на эту продукцию, равный 2000 единиц, равномерно рас-
пределяется в течение года. Закупка плейеров у непосредственного производителя обхо-
дится универмагу в 50 ф. ст. за единицу. Стоимость подачи заказа составляет 50 ф.
ст., а
издержки хранения– 15% среднегодовой стоимости запасов,
Администратор компании рассматривает вопрос о сокращении запасов данной
продукции, что позволило бы улучшить движение потоков наличности. По его оценке
система заказов, предусматривающая отсутствие запасов, включая расходы, связанные со
снижением объемов продаж и утратой доверия клиентов, составляет 5 ф. ст. в год за один
плейер.
Требуется:
1. Определить минимальное значение общей переменной стоимости запасов плейе-
ров при условии, что отсутствие запасов является недопустимым. Каков оптимальный
размер заказа?
2. Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планиро-
вания отсутствия запасов. Принимается предпосылка о покрытии размера дефицита из но-
вых поставок. Каков оптимальный размер заказа?
4.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами
с ограничениями на емкость склада
Пусть P – площадь складского помещения для хранения n видов продукции, при-
чем площадь, выделяемая для хранения единицы продукции i-го вида, равна P
i
(i=1,..,n).
Вводя те же обозначения, что и в разделе 4.4.1, для каждого вида продукции, полу-
чаем многопродуктовую модель управления запасами с ограничением на емкость склада.
min)
δh
δ
dK
(),(F)(F
ii
n
i
i
ii
2
1
21
(4.12)
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
42
n
i
ii
PP
1
(4.13)
i
>0 (дефицит не допускается) (4.14),
где d
i
– спрос на продукцию i-го вида в единицу времени; K
i
– затраты на выполнение за-
каза; h
i
– затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.
Задача (4.12)-(4.14) является задачей выпуклого программирования, так как
F(
1
,
2
)является выпуклой функцией, а множество планов ЗВП (4.12-4.14) является вы-
пуклым множеством в силу линейности ограничения (4.12).
Общее решение ЗВП (4.12)-(4.14) может быть найдено любым методом решения ЗВП.
В частности, для решения задачи (4.12)-(4.14) можно применить метод множителей
Лагранжа, предварительно проверив выполнимость ограничения (4.13) для решения ЗУЗ
без ограничений на емкость склада.
Действительно, используя формулу 4.4,
получим
n1,..,i ;
h
dK
δ
i
ii
*
i
2
(4.15)
Если i
n
i
*
ii
PδP
1
, то (4.15) является решением задачи (4.12)-(4.14), иначе
ограничение (4.13) необходимо рассматривать как строгое, то есть
n
i
ii
PP
1
(4.13’)
Пример 4.3. Пусть в задаче (4.12)-(4.14) n=1; K
1
=10; d
1
=2; h
1
=0,3; P
1
=1. Требуется
определить оптимальный размер заказа для двух складов площадью P = 12 и P = 9 соот-
ветственно.
Решение.
Для случая n = 1 задача имеет вид
P
min,
hdK
10
1
1
11
1
11
150
20
2
511
3
202
1
11
1
,
h
dK
*
По формуле 4.4 (без ограничения на емкость склада)
Далее, если P = 12, то P
1
1
*
= 11,5<12, следовательно
1
*
= 11,5 является решением
задачи (4.12)-(4.14).
Если P = 9, то P
1
1
*
= 11,5>9, следовательно решением задачи
P
min,
10
1
1
150
20
будет
1
*
= 9.
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
43
Пример 4.4. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов про-
дукции (n = 2), исходные данные которой приведены в таблице.
Вид продукции K
i
, $ d
i
, ед.h
i
, $ P
i
, м
2
1 10 2 0,3 1
2 5 4 0,1 1
Общая площадь складского помещения составляет P = 25 кв.м. Требуется оперде-
лить оптимальный размер заказа для каждой продукции.
Решение.
Для случая n = 2 задача (4.12)-(4.14) имеет вид
0
11
22
21
21
22
2
2211
1
11
,δ
Pδδ
min
h
δ
dKhdK
или
min,,)(F
, 025
050
20
150
20
2121
2
2
1
1
(4.16)
Оптимальный размер заказа для каждой продукции без ограничения на емкость
склада определяем по формуле 4.4.
511
3
20
30
21022
1
11
1
,
,h
dK
*
20400
10
4522
2
22
2
,h
dK
*
Так как
255,31
*
2
*
1
, то необходимо решать задачу (4.16), учитывая огра-
ничение на емкость склада как строгое, то есть
2521
(4.17)
Выразим
из 4.17 (
и подставим в (4.16).
0
1
1
1
1
11
1
25050
25
20
150
20
25
min)(,,),(F (4.18)
Решим задачу (4.18) приближенно с помощью методов одномерной оптимизации.
Пусть приближенное значение
1
(0)
= 10 и h = 1.
Так как F(9) = 5,62; F(10) = 5,58; F(11) = 5,59 , то очевидно, что
9 <
1
*
< 11.
Примем, что
1
*
= 10, тогда
2
*
= 25 – 10 =15.
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
44
При этом
F(
1
*
,
2
*
) = 5,58.
Домашнее задание 9.
1. Фирма пополняет запас некоторого изделия, заказывая его в количестве, доста-
точном для покрытия одномесячного спроса. Годовой спрос на изделие равен 1500 ед.
Каждое размещение заказа оценивается затратами в 20 долларов. Затраты на хранение од-
ного изделия в течение месяца составляют 2 долл., задолженность не допускается.
– Определите оптимальный размер заказа и интервал времени между
моментами
размещения заказов.
– Определите различие в годовых затратах на хранение системы при оптимальной
и применяемой стратегиях. Последняя предусматривает размещение заказов в размере ме-
сячной потребности ежемесячно в течение года.
2. Фирма хранит изделие, потребляемое с интенсивностью 50 ед. в день. Она несет
расходы в 25 долл. При размещении каждого заказа. Хранение одного изделия в течение
одной недели обходится в 70 долл. Определите оптимальное число заказов (округленное
до ближайшего целого числа), которое фирма должна размещать ежегодно, предполагая,
что фирма придерживается стратегии, не допускающей дефицита.
3. Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпу-
скает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 долл. Интенсивность
производства составляет 100 ед. в день. Если изделие закупается, то затраты на размеще-
ние каждого заказа равны 15 долл. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от
того, закупается
оно или производится, равны 0,02 долл. В день. Потребление изделия
предприятием оценивается в 26000 ед. в год. Предполагая, что фирма может работать без
дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие?
4. Интенсивность потребления изделия составляет 30 ед. в день. Удельные затраты
на хранение равны 0,05 долл., а затраты на размещение заказа – 100 долл. Предполагая,
что дефицит не допускается и затраты на закупку одного изделия равны 10 долл. При
приобретении любого количества, не превышающего q = 300, и составляют 8 долл. В про-
тивном случае, найдите экономичный размер заказа. Каков
он будет, если q = 500?
5. Изделие продается по цене 4 долл., но за партию размером более 150 изделий
предоставляется 10%-ная скидка. Фирма, потребляющая 20 изделий в день, хочет решить,
стоит ли воспользоваться скидкой. Затраты на размещение заказа на одну партию состав-
ляют 50 долл., затраты на хранение одного изделия 0,03 долл. в день. Целесообразно ли
для фирмы воспользоваться скидкой?
6. В задаче 5 определите диапазон процентной скидки в цене изделия, в пределах
которого предполагается, что скидка на размер партии в 150 изделий и более не дает ни-
какой экономической выгоды фирме.
7. Предположим, что в детерминированной модели с мгновенным пополнением за-
паса при отсутствии дефицита и постоянной интенсивности спроса затраты на хранение
единицы равны h
1
, если ее количество меньше q, и равны h
2
при количестве продукции
больше q, h
1
>h
2
. Найдите экономический размер заказа для этого случая.
8. K = 50 долл., h = 0,05 долл., d = 30 ед./день. Определите точку возобновления за-
каза, предполагая, что срок выполнения заказа равен (1) 14 дням; (2) 40 дням.
9. Четыре различных вида продукции хранятся в запасе с целью непрерывного ис-
пользования в производственном процессе. Интенсивность спрооса постоянна для всех
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
45
четырех видов. Дефицит не допускается, и запас должен пополняться мгновенно после
поступления заказа. Пусть D
i
– количество требуемого i-го вида продукции (i = 1, 2, 3, 4) в
год. Исходные данные определяются таблицей.
Вид продукции K
i
d
i
h
i
D
i
1 100 10 0.1 10000
2 50 20 0.2 5000
3 90 5 0.2 7500
4 20 10 0.1 5000
Найдите экономические размеры заказов для четырех видов продукции, предпола-
гая, что суммарное число заказов в год (для четырех видов продукции) не может превы-
шать 200.
10. Решите задачу 9, предполагая, что существует предельный объем C=10000
долл., который можно вложить в запас в любой момент времени. Пусть c
i
– стоимость
единицы i-го вида продукции, где c
i
= 10, 5, 10 и 10 при i = 1, 2, 3 и 4. Ограничение на чис-
ло заказов в год не учитывается.
4.4.4. Однопродуктовая динамическая модель управления запасами
В этой модели предполагается, что спрос на поставляемую (производимую) про-
дукцию известен, но он может меняться от этапа к этапу. Например, предприятие произ-
водит партиями некоторые изделия. Размеры заказов значительно меняются от месяца к
месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять заказ нескольких месяцев одной партией (учи-
тывая затраты на переналадку оборудования),
а затем хранить, чем выполнять заказ имен-
но в тот месяц, когда он должен быть отправлен. Необходимо составить план производст-
ва на указанные N месяцев с учетом затрат на переналадку оборудования, производство и
хранение изделий.
Обозначим: j – номер периода (месяца), j=1,..,N;
j
– число изделий, производимых в j-й месяц;
x
j-1
– величина запаса к началу j-го месяца;
d
j
– спрос на изделия в j-й месяц;
f
j
(x
j
,
j
) – затраты на переналадку, производство и хранение в j-й ме-
сяц, а именно:
,)(δψ)(x )(δK),δ(xf jjjjjjjjj
(4.19)
где
0 если ,0
0 если ,
)(
j
jj
jj
K
K
– затраты на переналадку оборудования (либо оформление за-
каза) в j-ом периоде;
j
(x
j
) = h
j
x
j
– затраты на хранение x
j
единиц продукции,
h
j
– затраты на хранение единицы запаса, переходящей из периода j в j+1;
j
(
j
) – затраты на производство (закупку)
j
единиц продукции в периоде j.
Кроме того, будем считать известными величины запасов к началу первого периода
x
0
и к концу последнего x
N
.
Задача УЗ
состоит в том, чтобы найти план производства (закупки)
…
N
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
46
и хранения
x
1
…x
N-1
,
удовлетворяющий уравнению баланса
x
j
= x
j-1
+
j
– d
j
; j=1,..,N (4.20)
и минимизирующий суммарные затраты за весь период
, ),x(fF
N
j
jjj
1
(4.21)
при очевидных дополнительных условиях
x
j
0;
j
; j=1,..N (4.22)
0
x
j
d
j
+ d
j+1
+ .. + d
N
(4.23)
0
j
d
j
+ x
j
(4.24)
В общем случае задача (4.20)-(4.24) представляет собой задачу нелинейного про-
граммирования. Кроме того, если переменные x
j
,
j
могут принимать только целые значе-
ния, то получим задачу целочисленного нелинейного программирования.
Будем решать задачу (4.20)-(4.24) методом динамического программирования.
Обозначим
K
j
jjj
..
kk
),x(fmin)x(*F
k
1
1
– минимальные затраты за первые k периодов.
Тогда справедливо уравнение Беллмана
.*;F,Nk
)]dδ*(xF)δ(x[fmin)*(xF
kkkkkk,k
dXδ
kk
kkk
01 0
1
0
(4.25)
Решение уравнения Беллмана (4.25) осуществляется в два этапа.
Пример 4.5. Рассмотрим задачу управления запасами в течение одного квартала по
месяцам (N=3). Исходные данные поместим в таблицу
J 1 2 3
d
j
3 6 2
K
j
6 8 7
h
j
4 3 5
441528
407
jj
jj;
j
δ );(δ
δ; δ
)ψ(δ (4.26)
x
0
= 1; x
3
= 0.
Решение.
1-й этап решения уравнения Беллмана.
Пусть K=1, тогда
- ])(x)([Kmin)]δ(x[fmin)*(xF
X
Xδ
,
ddX
dXδ
k
1111
8260
30
111
0
0
11 4
1
1
321
111
(4.27)
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
47
– минимальные затраты по управлению запасами в течение первого месяца при ус-
ловии, что запас к концу первого месяца составит x
1
единиц.
На основании уравнения баланса (4.20) имеем
x
1
= x
0
+
1
- d
1
= 1 +
1
- 3 =
1
- 2, т.е.
x
1
) = x
1
+ 2 (4.28)
оптимальное производство (пополнение) в первом месяце в зависимости от запаса к
концу месяца.
Далее, т.к. x
1
=
1
- 2 0, то
1
2, следовательно
2419
22011
42421528
4227
46
4
11
11
11
11
1
2
1111
32
11
111
1
x;x
x;x
x);x(
x);x(
x
])(x)([Kmin)*(xF
x)x(*
Xδ
k
(4.29)
Пусть K=2, тогда
])*(xF)δ(xf[min)*(xF ,
Xδ
11222
60
22
22
– минимальные затраты по
управлению запасами в течение двух
первых месяцев квартала, при условии, что запас к
концу второго месяца составит x
2
единиц. Подставляя в выражение для F
x
2
) числовые
данные, получим
6
63
221
2212222
20
60
22
32
22
xx
)]*(xF)(x)([Kmin)*(xF
dX
Xδ
(4.30)
Для определения F
2
*
(x
2
) строим таблицу 4.4.1 для x
2
= {0, 1, 2}.
Обозначим
)*(xF)(x)(K),(xF 63 2212222222
Таблица 4.4.1
x
2
2
x
1
K
2
(
2
)+3x
2
+(
2
)+F
1
*
(x
1
)=F
2
(x
2
,
2
)
F
2
*
(x
2
)
2
*
(x
2
)
0 6 0 0 0 118 118
1 5 8 0 7 99 114
2 4 8 0 14 80 102
0 3 3 8 0 21 61 90 78 4
4
*
2 8 0 28 42 78
*
5 1 8 0 43 31 82
6 0 8 0 58 20 86
0 7 0 3 0 137 140
1 6 8 3 7 118 136
2 5 8 3 14 99 124
3 4 8 3 21 80 112
1 4 3 8 3 28 61 100 96 5
5
*
2 8 3 43 42 96
*
6 1 8 3 58 31 100
7 0 8 3 73 20 104
0 8 0 6 0 156 162
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
48
1 7 8 6 7 137 158
2 6 8 6 14 118 146
3 5 8 6 21 99 134
2 4 4 8 6 28 80 122 114 6
5 3 8 6 43 61 118
6
*
2 8 6 58 42 114
*
7 1 8 6 73 31 118
8 0 8 6 88 20 122
Наконец, пусть K = 3, тогда
,xx
,x
).(,)]*(F)(x)([Kmin)*(xF
Xδ
3332
3
223333
20
33
22
0
31425
33
где F
3
*
(x
3
) – минимальные затраты по управлению запасами в течение квартала.
Обозначим
)*(FK)(xF 22333333 2)()(,
и строим таблицу 4.4.2.
Таблица 4.4.2
x
3
3
x
2
K
3
+(
2
)+F
2
*
(x
2
)=F
3
(x
3
,
3
)
F
3
*
(x
3
)
3
*
(x
3
)
0 2 0 0 114 114
0 1 1 7 7 96 110 99 2
2
*
0 7 14 78 99
*
2-й этап решения уравнения Беллмана.
Итак, из таблицы 4.4.2 имеем, что
3
*
= 2; x
3
= 0; F
3
*
= 99.
Далее из уравнения баланса находим
x
2
= x
3
-
3
*
+ 2 = 0 - 2 + 2 = 0.
Из табл.4.4.1
2
*
(x
2
= 0) = 4.
Из уравнения баланса
x
1
= x
2
-
2
*
+ 6 = 0 - 4 + 6 = 2.
Далее по формуле (4.28) находим
1
*
(x
1
= 2) = 2 + 2 = 4,
и из уравнения баланса имеем
x
0
= x
1
-
1
*
+ 3 = 2 - 4 + 3 = 1,
что соответствует исходному запасу.
ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)
49
Итак, стратегия пополнения запасов состоит в следующем:
1-й месяц.
1
*
= 4, из них 2 единицы покрывают спрос (x
0
= 1), 2 единицы остаются
в запасе (x
1
= 2).
2-й месяц
2
*
= 4, что позволяет покрыть спрос данного месяца (x
1
=2;d
2
=6), запаса нет.
3-й месяц.
3
*
= 2, что соответствует потребности данного периода (d
3
= 3).
ОС (оптимальная стратегия) =
)244( ,,*δ
.
ОТ (оптимальная траектория) = X
*
= (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) = (1, 2, 0, 0).
Оптимальные расходы составляют 99 денежных единиц.
Домашнее задание 10.
В заданиях 1-10 решить задачу из примера 4.5 при соответствующих условиях.
1.
x
3
= 1.
2. x
0
= 0.
3. Спрос задан вектором d=(4,6,2).
4. Решить задачу из примера 4.5 для следующих исходных данных:
J 1 2 3
d
j
534
K
j
687
h
j
334
5. x
3
= 3.
6. x
0
= 0, x
3
= 0.
7. h = (2 ,3, 2).
8. K = (5, 6, 4).
9.
x
0
= 0, x
3
= 2.
10.
d = (1, 7, 6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
50
Список литературы
Основная:
1. Мастяева И.Н. «Математические методы и модели в логистике», 1999.
2. Логистика. Под ред. Б. А. Аникина. – М.: ИНФРА-М, 2001.
3. Гаджикский A.M. Основы логистики. – М.: ИВЦ «Маркетинг», 2001.
4. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: МИР, т. 1, 2, 2002.
5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: ЮНИТИ, 1997.
6. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Горбовцов Г.Я. Исследование операций в эко-
номике. Уч. пособие. – М., МЭСИ, 2003 г, 5 п.л.
7. Тимашков П.С.
Математические методы принятия решений. Уч. пособие. – М.,
МЭСИ. 2003 г. 7.1. п.л.
Дополнительная:
1. Костоглодов Д.Д., Харисова Л.М. Распределительная логистика. – М.: ЭБ, 1997.
2. Смехов А.А. Введение в логистику. – М.: Транспорт, 1993.
3. Смехов А.А. Логистика и транспорт. – М.: Транспорт, 1993.
4. Родников А.Н. Логистика. – М.: Экономика, 1995.
5. Неруш Ю.М. Коммерческая логистика. – М.: Юнити,1997.
6. Дегтяренко В.Н. Основы логистики и маркетинга. – М.: ЭБ, 1996.
7. Логистика и бизнес. Материалы конференции. – М.: БРАНДЕС, 1997.