Мастяева И.Н. Математические методы и модели в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала постро-

ить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие 2 из

утверждения

+ V

= C

, X

> 0 (3.15)

Систему потенциалов можно построить только для невырожденного опорного пла-

на. Такой план содержит n+m-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систе-

му из n+m-1 линейно-независимых уравнений вида (3.13) c неизвестными U

и V

. Уравне-

ний на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одно-

му неизвестному придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы

определяются однозначно.

Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток.

Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнение ус-

ловия (3.14), т.е. суммируем потенциалы тех строк и столбцов, на пересечении которых

стоит незанятая клетка. Если для всех незанятых клеток U

+ V

 C

, то на основании

(3.12) проверяемый план является оптимальным. Если для некоторых клеток U

+ V

> C

то план не является оптимальным. Тогда для каждой клетки, в которой не выполняется

условие оптимальности, находим величину (U

+ V

) – C

> 0.

Выбор свободной клетки, в которую необходимо послать перевозку.

Загрузке подлежит в первую очередь клетка, которой соответствует

max((U

+ V

)-C

Построение цикла и определение величины перераспределения груза.

Для определения количества единиц груза, подлежащих перераспределению,

отмечаем знаком «+» незанятую клетку, которую надо загрузить. Это означает, что

клетка присоединяется к занятым клеткам. Занятых клеток стало m+n, поэтому появ-

ляется цикл, все вершины которого за исключением клетки, отмеченной знаком «+»,

находятся в занятых клетках, причем этот цикл

единственный. Отыскиваем цикл и на-

чиная движение от клетки, отмеченной знаком «+», поочередно проставляем знаки «–»

и «+». Затем находим





= min X

, где X

– перевозки, стоящие в вершинах цикла, от-

меченной знаком «-». Величина



определяет, сколько единиц груза можно перерас-

пределить по найденному циклу. Значение



записываем в незанятую клетку, отме-

ченную знаком «+», двигаясь по циклу, вычитаем



из объемов перевозок, располо-

женных в клетках, которые отмечены знаком «-», и прибавляем к объемам перевозок,

находящимся в клетках, отмеченных знаком «+». Если



соответствует несколько ми-

нимальных перевозок, то при вычитании оставляем в соответствующих клетках нуле-

вые перевозки в таком количестве, чтобы во вновь полученном опорном плане занятых

клеток было m+n-1.

Проверка нового плана на оптимальность.

Для проверки на оптимальность опор-

ного плана можно вновь построить систему потенциалов и проверить выполнение усло-

вия оптимальности для каждой незанятой клетки. Если полученный план снова окажется

не оптимальным, то следует выполнить вычисления, приведенные в предыдущем пунк-

те. Процесс повторяют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять

условию

(3.14).

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Домашнее задание 4. Решить транспортную задачу

1. а) 16 30 17 10 16 4 б) 15 1 22 19 1 20

20 27 26 9 23 6 21 18 11 4 3 20

13 4 22 3 1 10 26 29 23 26 24 20

3 1 5 4 24 10 21 10 3 19 27 20

7 7 7 7 2 19 19 19 19 4

2. а) 17 20 29 26 25 15 б)2026242629 14

3 4 5 15 24 15 15 20 29 26 23 17

19 2 22 4 13 10 4 10 27 30 7 17

20 27 1 17 19 10 9 16 29 20 3 17

11 11 11 11 16 12 12 12 12 12

3. а) 10 17 9 20 30 15 б)3024111225 21

13 4 24 26 26 15 26 4 29 20 24 19

22 24 30 27 29 19 27 14 14 10 18 15

25 12 11 24 23 11 6 14 28 8 2 25

9 24 9 9 9 15 15 15 15 20

5. а) 9 17 29 28 8 22 б) 21 22 2 13 7 18

13 21 27 16 29 13 27 10 4 24 9 12

20 30 24 7 26 17 3 16 25 5 4 17

11 19 30 6 2 18 28 11 17 10 29 13

7 7 7 7 42 8 8 8 8 28

6. а) 6 5 4 -- 500 б) 5 1 2 4 92

8 8 2 6 300 2 5 -- 3 45

9 -- 7 6 100 -- 2 2 5 63

400 200 150 250 60 40 36 14

7. а) -- 5 4 2 30 б) 6 6 1 4 80

2 5 -- 3 50 8 -- 6 5 320

3 2 -- 5 120 5 4 3 -- 100

40 30 20 10 250 100 150 50

8. а) 3 -- -- 6 140 б) 4 7 1 1 100

5 2 3 1 160 5 -- 3 4 50

1 1 2 4 150 3 -- 2 8 70

50 70 130 150 10 80 90 20

9. а) 3 -- 2 1 200 б) 4 3 2 -- 400

2 3 -- 4 70 10 10 4 7 200

5 8 7 3 80 12 -- 11 5 100

20 40 80 60 300 150 100 200

10. а) 4 1 2 3 100 б) 2 7 4 3 40

3 6 -- 4 200 5 -- 12 7 30

-- 2 3 5 150 8 1 -- 13 50

40 60 100 50 10 20 40 6

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

3.3. Многопродуктовая ТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками

Задача 3.3.1. Фирма, имеющая три завода (А1, А2, А3), производит стиральные

машины четырех моделей М1, М2, М3, М4. Основные центры распределения продукции

расположены в двух пунктах (оптовых базах) В1, В2. В табл. 3.3.1 приведены объемы вы-

пуска разных заводов и величины спроса в центрах распределения для каждой модели

машины.

Таблица 3.3.1

Модель

М1 М2 М3 М4 Всего

Завод

AII

AIII

500

800

600

400

700

300

400

1000

1500

1200

Центр распределения

BII

700

600

500

200

600

100

2300

1400

Стоимость перевозки одной стиральной машины приведена в табл. 3.3.2 (матрица

С = (С

) ).

Таблица 3.3.2

BI BII

AI 80 215

AII 100 108

AIII 102 68

Таблица 3.3.3

Заводы Модели

Центры распределения

Объем

пр-ва

BI BII

M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4

АI

M M 80 M M M 215 M 700

M4 M M M 80 M M M 215 300

AII M1 100 M M M 108 M M M 500

M2 M 100 M M M 108 M M 600

M4 M M M 100 M M M 108 400

AIII M1 102 M M M 68 M M M 800

M2 M 102 M M M 68 M M 400

Спрос 700 500 500 600 600 500 200 100 3700

Для того чтобы учесть многопродуктовый характер задачи, изменим транспортную

модель следующим образом. Вместо того чтобы рассматривать каждый завод как один

исходный пункт, разобьем его на несколько пунктов в соответствии с числом моделей

стиральных машин, выпускаемых этим заводом. Аналогично поступим и с пунктами на-

значения, т.е. будем считать, что каждый из

них состоит из четырех подпунктов, соответ-

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

ствующих четырем моделям стиральных машин. В результате получим семь исходных

пунктов и восемь пунктов назначения.

Табл. 3.3.3 представляет собой полную транспортную таблицу. Заметим, что неко-

торые маршруты недопустимы, поскольку в данной постановке задачи стиральные маши-

ны различных моделей не могут заменить друг друга.

Например, нельзя осуществлять перевозки из пункта производства стиральных

машин марки М1 в пункт доставки стиральных машин модели М4. В табл. 3.3.3 запре-

щенным маршрутам соответствует очень высокая стоимость перевозки М (C

= M).

Если внимательно изучить табл.3, то можно заметить, что на самом деле задачу не

обязательно описывать

одной моделью. В силу независимости поставок можно было бы

представить задачу по каждой модели машин в виде отдельной таблицы перевозок, но

только существенно меньшего размера. Табл. 3.3.3 можно разбить следующим образом:

Таблица 3.3.4

а) модель М1

Заводы

Центры распределения

Объем производства

BI BII

AII 100 108

500

AIII 102 68

800

Спрос

700 600

б) модель M2

Заводы

Центры распределения

Объем производства

BI BII

AII 100 108

600

AIII 102 68

400

Спрос

500 500

в) модель М3

Заводы

Центры распределения

Объем производства

BI BII

AI 80 215

700

Спрос

500 200

г) модель M4

Заводы

Центры распределения

Объем производства

BI BII

AI 80 215

300

AII 100 108

400

Спрос

600 100

Рассмотрение этих четырех транспортных моделей дает решение, совпадающее с

оптимальным решением задачи, соответствующей табл. 3.3.3. С вычислительной точки

зрения небольшие подзадачи решить существенно эффективнее, чем одну сложную зада-

чу, представленную в табл. 3.3.3.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Какой же смысл тогда использовать модель, заданную табл. 3.3.3? Вспомним, что

возможность разбиения табл. 3.3.3 на части обусловлена полной независимостью различ-

ных моделей стиральных машин. Если бы между разными моделями существовала связь

(например, одну из них можно было заменять другой ), то в общем случае исходную мо-

дель не удалось бы разбить

столь просто. Задача 5 иллюстрирует это замечание.

Домашнее задание 5.

1. Решить задачу 3.3.1 , найдя решение из таблицы 3.3.3.

2. Решить задачу 3.3.1 , найдя решение из таблиц 3.3.4 (а, б, в, г).

3. Решить задачу 3.3.1 при дополнительном условии, что потребность центра ВI со-

ставляет М1-800 ед., М2-500, М3-300, М4-600, а ВII составляет 700, 400, 300, 100 ед. соот-

ветственно, воспользовавшись табл.3.3.3 (с новыми данными).

4. Решить задачу 3 , воспользовавшись таблицами 3.3.4 с

новыми данными.

5. Решить задачу 1 при дополнительном условии: пусть некоторую часть спроса на

одну из моделей можно удовлетворить за счет другой в соответствии со следующими

данными:

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 10

M1,M2

M3,M4

BII 10

M1,M3

M2,M4

Указание.

Добавьте четыре новых пункта назначения, соответствующие новым

комбинациям (M1, M2), (M3, M4), (M1, M3) и (M2, M4). Величины спроса в новых пунк-

тах назначения определяются из данных о процентном соотношении заменяемых моделей.

6 – 10. Решить задачу 5 со следующими данными:

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 10

M1,M3

M2,M4

BII 15 M1,M2

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 20 M2,M4

BII 5

M1,M3

M2,M4

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 5 M1,M2

BII 10 M2,M3

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 5

M1,M3

M2,M4

BII 30

M1,M2

M3,M4

10.

Центр распределения Заменяемая часть спроса в % Взаимозаменяемые марки

BI 40 M3,M4

BII 5 M1,M3

3.4. Определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции

В стандартной транспортной модели предполагается, что прямой маршрут между

пунктом производства и пунктом потребления является маршрутом

минимальной стоимо-

сти.

Это означает, что определению стоимостей перевозок единицы продукции в стан-

дартной транспортной модели должна предшествовать предварительная работа, связанная

с выявлением кратчайших маршрутов.

В задачах небольшой размерности нахождение кратчайшего маршрута трудностей

не представляет. Когда число пунктов производства и пунктов потребления велико, для

определения минимальной стоимости

прямой перевозки единицы продукции по данному

маршруту следует обратиться к

алгоритму нахождения кратчайшего пути.

Другой метод определения минимальной стоимости прямой перевозки связан с по-

становкой задачи как транспортной задачи с промежуточными пунктами. При этом допус-

кается «перевозка» груза (частично или полностью) через другие исходные пункты или

пункты назначения

транзитом, прежде чем он достигнет установленного пункта назначе-

ния. В задаче с промежуточными пунктами автоматически отыскивается маршрут мини-

мальной стоимости между пунктом производства и пунктом назначения без предвари-

тельного определения кратчайшего маршрута.

Введение промежуточных пунктов дает возможность перевозить весь объем про-

дукции из исходных пунктов через любой другой исходный пункт или

пункт назначения,

прежде чем продукция будет распределена среди потребителей. Это означает, что любую

вершину транспортной сети (как исходный пункт, так и пункт назначения) можно рас-

сматривать как транзитный пункт. Поскольку априори не известно, какие вершины будут

обладать этим свойством, можно сформулировать задачу таким образом, чтобы каждую

вершину можно было рассматривать и

как исходный пункт, и как пункт назначения. Дру-

гими словами, число исходных пунктов (пунктов назначения ) в задаче с промежуточны-

ми пунктами равно

сумме исходных пунктов и пунктов назначения в стандартной задаче.

Для пояснения этого замечания рассмотрим задачу 3.2.1. Имеются три завода и два

центра распределения. В модели с промежуточными пунктами будет

пять исходных

пунктов и пять пунктов назначения. Для того чтобы учесть транзитные перевозки, в каж-

дом исходном пункте и пункте назначения предусмотрен дополнительный буфер емко-

стью В. По определению емкость буфера должна быть не меньше суммарного объема

производства (или спроса) стандартной (сбалансированной ) транспортной задачи, т. е.







baB

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Стоимости в расчете на единицу груза оцениваются на основании данных о мар-

шрутах, соединяющих исходные пункты с пунктами назначения в модели с промежуточ-

ными пунктами. Очевидно, что коэффициенты стоимости перевозки между первоначально

заданными исходными пунктами и пунктами назначения остаются такими же, как в при-

мере 3.2.1. Заметим также, что стоимость перевозки

из некоторого пункта в него же ( ска-

жем, из А1 в А1) равна нулю, и стоимость перевозки может меняться в зависимости от на-

правления движения (например, маршрут А1-А2 может отличаться по стоимости от мар-

шрута А2-А1, если используются различные режимы перевозок ).

Таблица 3.4.1

А1 А2 А3 В1 В2

3700

130 90 80

1000

215

4700

135 0

3700

200

100

1300

108

5200

95 35 0

3500

102 68

1400

4900

79 99 110 0

3700

205

3700

200 107 72 205 0

3700

3700 3700 3700 6000 5100

В табл.3.4.1 представлено оптимальное решение рассмотренной выше задачи с

промежуточными пунктами, в которой емкость буфера В равна 3700 стиральных машин.

Заметим, что коэффициенты стоимости перевозок между первоначально заданными ис-

ходными пунктами (А1, А2 и А3) и пунктами назначения (В1 и В2) те же, что и в примере

3.2.1. Предполагается, что остальные коэффициенты

оцениваются в зависимости от рас-

стояния и режима перевозок.

Из табл.3.4.1 видно, что диагональные элементы получены в результате использо-

вания буфера. Они не дают никакой информации об окончательном решении. Внедиаго-

нальные элементы обеспечивают получение решения, представленного на рис.3.1. Из А2 в

В2 перевозка производится через промежуточный пункт в А3, куда

поступает 200 сти-

ральных машин. Все другие перевозки осуществляются непосредственно с заводов в цен-

тры распределения.

Рис. 3.1

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Рис. 3.2

Помимо рассмотренной выше возможны ситуации, при которых имеет место тран-

зитная

перевозка продукции. Например, в задаче 3.2.1 конечные пункты назначения, куда

поступают стиральные машины, могут представлять отдельных продавцов, а не крупные

центры распределения.

В целях упрощения предположим, что имеется лишь пять продавцов, которые полу-

чают свои заказы из центров распределения в В1 и В2. Соответствующие величины, харак-

теризующие спрос пяти продавцов, составляют 800, 500, 750, 1000 и

650 стиральных ма-

шин. Предположим, что продавец может получать товар из любого центра распределения.

В данном случае промежуточными пунктами могут быть только центры распределения.

Поскольку центры распределения (вершины 4 и 5 на рис. 3.2) являются единствен-

ными промежуточными пунктами, каждый из них может рассматриваться и как пункт на-

значения, и как исходный пункт. С

другой стороны, заводы играют лишь роль исходных

пунктов, а продавцы – пунктов назначения. Построенная с учетом этого модель с проме-

жуточными пунктами приведена в табл. 3.4.2. Заметим, что в центрах распределения

(вершины 4 и 5) емкость буфера В, равна 3700 стиральных машин.

Таблица 3.4.2

4 5 6 7 8 9 10

1 80 215 M M M M M

2 100 108 M M M M M

1500

3 102 68 M M M M M

1200

4 0 M 130 135 95 80 100

3700

5 M 0 90 30 35 105 70

3700

3700 3700 800 500 750 1000 650

На рис. 3.2 видно, что прямые перевозки с завода продавцу не разрешены. В табл. 3.4.2

это ограничение представлено запрещенными (заштрихованными) ячейками. При числен-

ном решении задачи запрещенному маршруту соответствует очень большая стоимость

=М, записанная в соответствующей ячейке.

Таблица 3.4.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 130 90 80 215 M

4700

2 135 0 30 100 108 M

5200

3 95 35 0 102 68

4900

4 75 55 110 0 205 130 135 95 80 100

3700

5 200 107 72 205 0 90 30 35 105 70

3700

3700 3700 3700 3700 3700 800 500 750 1000 650

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Предположим, что разрешены маршруты с промежуточными пунктами между за-

водами и центрами распределения. Прямая перевозка допускается лишь из центра распре-

деления продавцам. В табл. 3.4.3 представлена такая модель. Заметим, что каждый завод и

центр распределения может теперь рассматриваться и как исходный пункт, и как пункт

назначения.

Домашнее задание 6.

1. Найти решение задачи, представленной в табл. 3.4.1 и сравнить его с решением

этой же задачи без промежуточных пунктов.

Найти решение задачи, представленной в табл. 3.4.2.

Найти решение задачи, представленной в табл. 3.4.3.

Решить задачу 2 с одним центром распределения С1.

Решить задачу 1, если транзитный перевоз через завод А1 запрещен.

Решить задачу 1, если через центр распределения В2 невозможен транзитный

перевоз.

Решить задачу, представленную в табл. 3.4.3 при условии, что через А1 не раз-

решен транзитный перевоз.

Решить задачу, представленную в табл. 3.4.3 при условии, что через А2 не раз-

решен транзитный перевоз.

Решить задачу, представленную в табл. 3.4.3 при условии, что через А3 не раз-

решен транзитный перевоз.

10.

Решить задачу, представленную в табл. 3.4.3 при условии, что запрещены пере-

возки между центрами потребления С1 и С2.

ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ (УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ)

4. Логистика запасов (Управление запасами)

4.1 Концепция логистического подхода к управлению запасами

С позиций логистики процесс производства отдельного вида продукции можно упрощен-

но представить в виде следующей схемы:

Рис. 4.1

В соответствии с этими тремя этапами логистика делится на следующие функцио-

нальные области: закупочная логистика, производственная логистика и распределитель-

ная (маркетинговая) логистика.

Более подробное рассмотрение движения материальных и информационных пото-

ков в рамках отдельного производства представлено на рисунке 4.2.

Как видно из рисунка 4.2, предметы труда как перед, так и после каждого этапа

об-

работки сосредотачиваются в виде запасов

. Независимо от того, являются ли МП внеш-

ними или внутренними, при фиксации места их накопления мы сталкиваемся с понятием

запасов. Таким образом запас

– это форма существования МП.

Цели образования и соответствующие им виды запасов

могут быть различными, но

независимо от этого запасы

представляют собой вторую по значимости после обработки

составляющую производственного процесса. Именно запасы

сырья, материалов, комплек-

тующих и готовой продукции непосредственно увязывают организацию с ее поставщика-

ми и потребителями, формируя цепи логистической системы экономики в целом.

Логистика запасов

занимает ключевое место в логистической системе, как отдель-

ной организации, так и экономики в целом.

Запасы

относятся к типу объектов, требующих больших капиталовложений, и по-

этому представляют собой один из факторов, определяющих политику предприятия и

воздействующих на уровень логистического обслуживания в целом.

Исследование логистической системы управления запасами (ЛСУЗ) отвечает на

следующие вопросы:

1. Какой уровень запасов необходимо иметь на любом предприятии для обеспече-

ния требуемого уровня обслуживания

потребителя?

2. В чем состоит компромисс между уровнем обслуживания потребителя и уровнем

запасов в логистической системе?

Закупка Производство Распределение