Мастяева И.Н. Математические методы и модели в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

КОНЦЕПЦИЯ ЛОГИСТИКИ

То есть цель современной логистики выходит за рамки сокращения издержек и

увеличения прибыли. На данном этапе концепция конкурентоспособности фирмы заклю-

чается в получении преимущества за счет предложения дополнительных услуг и повыше-

ния качества.

2.3. Основные требования логистики

Логистика способствует повышению эффективности работы фирмы при соблюде-

нии следующих условий:

1. Поддержание связи логистики с корпоративной стратегией;

2. Совершенствование организации движения МП;

3. Поступление необходимой информации и современная технология ее обработки;

4. Эффективное управление трудовыми ресурсами;

5. Налаживание взаимосвязей с другими фирмами в области выработки стратегии;

6. Учет прибыли от логистики в системе финансовых показателей;

7. Определение оптимальных уровней логистического обслуживания с целью по-

вышения рентабельности;

8. Тщательная разработка логистических операций.

Общепризнано, что все аспекты логистических операций должны быть связаны со

стратегическим планом корпорации или фирмы.

Совершенствование организации движения МП требует такой организации логи-

стических операций, при которой все ЛФ должны быть объединены под единым руково-

дством специально подготовленных менеджеров по логистике. Задачами единого руково-

дства логистическими операциями являются: взаимосвязь с другими фирмами, обеспече-

ние необходимой информационной поддержки логистики, организация учета прибыли от

логистики, определение уровней качества логистического обслуживания, тщательная раз-

работка логистических операций.

Домашнее задание 2.

1. Назовите периоды развития концепции логистики, их суть и принципы.

2. Охарактеризуйте области компромиссов, характерные для периода классиче-

ской логистики и применяемые критерии эффективности.

3. Охарактеризуйте области компромиссов, характерные для периода неологисти-

ки и применяемые критерии эффективности.

4. Сформулируйте принципиальную новизну логистического подхода к управле-

нию МП.

5. Обоснуйте возможности повышения конкурентоспособности фирмы за счет ло-

гистики.

6. Обоснуйте связь логистики с основными экономическими показателями фирмы.

7. Перечислить способы влияния логистики на показатель ПИК.

8. Перечислите основные требования логистики.

9. Обоснуйте необходимость централизованного руководства всеми логистиче-

скими операциями и функциями.

10. Обоснуйте функциональную взаимосвязь логистики с маркетингом, финансами

и производством.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

3. Транспортная логистика (ТЛ)

3.1. Предмет и задачи транспортной логистики

Значительная часть ЛО на пути движения МП от первичного источника сырья до ко-

нечного потребителя осуществляется с применением различных транспортных средств (ТС).

Затраты на выполнение этих ЛО составляют до 50% от суммы общих затрат на логистику.

Предметом ТЛ является комплекс задач, связанный с организацией перемещения

грузов транспортом общего назначения.

В условиях ТЛ необходим новый подход к транспорту, как составной части более

крупной системы, т.е. логистической цепи.

В области ТЛ ставятся и решаются следующие задачи: определение оптимального

плана перевозок однородной продукции, многопродуктовые ТЗ с независимыми и взаимо-

заменяемыми поставками, задачи размещения с учетом транспортных и производствен-

ных затрат, определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции.

Задачи ТЛ решаются во взаимной связи с другими задачами логистики, такими, как

производственная логистика (ПС), складская логистика, логистика запасов, сбытовая ло-

гистика, информационная логистика, что отражает объективный процесс срастания транс-

порта с обслуживаемым производством и распределением, превращение его в звено еди-

ной ЛС – производство – транспорт – распределение.

При решении задач, возникающих в ТЛ часто используется модель ТЗ и ее различ-

ные модификации.

3.2. Стандартная ТЗ и ее модификации

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линей-

ного программирования и находит широкое практическое приложение.

3.2.1.Постановка транспортной задачи

Некоторый однородный продукт

, сосредоточенный у m поставщиков A

в количе-

стве a

(i = 1..m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям B

в коли-

честве b

( j = 1..n) единиц. Известна стоимость c

перевозки единицы груза от i-го по-

ставщика к j-му потребителю.

Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, полно-

стью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость.

Обозначим через x

количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го

поставщика к j-му потребителю. Тогда стоимость перевозки составит c

Стоимость всего плана перевозок выразится двойной суммой







ijij

xcz

Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:

а) все грузы должны быть перевезены, т.е.







iij

m..i,ax

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.







jij

n..j,bx

Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

Найти минимальное значение линейной функции







ijij

xcz

(3.1)

при ограничениях







iij

m..i,ax

1 (3.2)

n..j,bx







(3.3)

 0, i = 1..m, j = 1..n (3.4)

В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным

потребностям, т.е.







. (3.5)

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е.

выполняется условие (3.5), называется закрытой моделью; в противном случае – откры-

той. Для открытой модели может быть два случая:

а) Суммарные запасы превышают суммарные потребности







б) Суммарные потребности превышают суммарные запасы







Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ог-

раничений.

Найти минимальное значение линейной функции







ijij

xcz

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

При ограничениях

m..i,ax







(случай «а»)







ijj

x,n..j,bx







iij

m..i,ax

(случай «б»)







ijjij

x,n..j,bx

Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вво-

дится фиктивный потребитель B

n+1

, потребность которого









bab

В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вво-

дится фиктивный поставщик A

m+1

, запасы которого









ijm

aba

Как стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя (C

in+1

i=1,..,m), так и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика (C

m+1j

, j=1,..,n) пола-

гаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

Замечание. Однако возможна ситуация, когда эти стоимости не равны нулю. На-

пример, если каждая недопоставленная единица продукции облагается штрафом. В этом

случае транспортные расходы на единицу недопоставленной продукции (C

m+1j

) равны

штрафу за единицу недополученной продукции. Если продукция имеется в избытке, то

можно назначить штраф за хранение невывезенной продукции, приняв его за стоимость

in+1

) перевозки к фиктивному потребителю. В том случае, когда поставщик (l) должен вы-

везти всю продукцию, то стоимость перевозки к фиктивному потребителю необходимо сде-

лать очень высокой (C

ln+1

=M).

Транспортная задача имеет n+m уравнений с mn неизвестными.

Матрицу X=(x

)

m,n

, удовлетворяющую условиям (3.2)-(3.4), называют планом пе-

ревозок транспортной задачи.

Определение.

План X*, при котором целевая функция (3.1) обращается в минимум,

называется оптимальным.

Определение.

План транспортной задачи называется опорным, если из его основ-

ных коммуникаций (ij;X

>0) невозможно составить замкнутый маршрут.

Опорный план транспортной задачи содержит не более m+n-1 положительных пе-

ревозок.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

3.2.2. Методы составления первоначального опорного плана

1. Метод Северо-западного угла

используют для нахождения исходного опорного

плана транспортной задачи.

Схема метода:

Полагают верхний левый элемент матрицы X: x

= min(a

Возможны три случая:

а) если a

< b

, то x

= a

, и всю первую строку начиная со второго элемента запол-

няют нулями.

б) если a

> b

, то x

= b

, а все оставшиеся элементы первого столбца заполняют

нулями.

в) если a

= b

, то x

= a

= b

, и все оставшиеся элементы первого столбца запол-

няют нулями и полагают а

= 0.

На этом один шаг метода заканчивается. Далее все повторяют с оставшейся частью

матрицы.

А-м метода С 39

1 шаг. Выбираем верхний левый элемент незаполненной матрицы.

2 шаг. Полагаем х

= min(a

, b

2.Метод минимального элемента

позволяет построить начальный опорный план

транспортной задачи и является вариантом метода северо-западного угла, учитывающим

специфику матрицы C=(c

)

m,n

Схема метода:

элементы матрицы C нумеруют начиная от минимального в порядке

возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу X

Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался элемент x

Тогда полагают x

= min (a

)

Возможны три случая:

а) если min (a

) = a

, то оставшуюся часть i-й строки заполняют нулями.

б) если min (a

) = b

, то оставшуюся часть j-го столбца заполняют нулями.

в) если a

= b

, то оставшуюся часть строки заполняют нулями и полагают b

=0.

Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы.

1 шаг. Определяем C

min; (ij) – номер заполняемого элемента матрицы

2 шаг. Полагаем X

= min (a

, b

)

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Задача 3.2.1.

Заводы фирмы-производителя стиральных машин расположены в А1, А2 и А3. Ос-

новные центры распределения продукции сосредоточены в В1 и В2. Объемы производства

указанных трех заводов равняются 1000,1500 и 1200 стиральных машин ежеквартально.

Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 стираль-

ных машин соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одной стиральной

машины

на один километр равняется примерно 8 копейкам. Расстояния в километрах ме-

жду заводами и центрами распределения приведены в следующей таблице:

В1 В2

А1 1000 2690

А2 1250 1350

А3 1275 850

Расстояния можно перевести в стоимость перевозки одной стиральной машины

(переводной коэффициент = 0,08 руб./км). В результате получается следующая таблица

стоимостей (округленных до рубля ), которая содержит коэффициенты С

общей модели.

В1 В2

А1 80 215

А2 100 108

А3 102 68

Обозначим количество стиральных машин, перевозимых из исходного пункта i в

пункт назначения j, через X

. Поскольку суммарный объем производства стиральных ма-

шин (1000 + 1500 + 1200 = 3700) равен суммарному спросу (2300 + 1400 = 3700), данная

модель является сбалансированной транспортной моделью, и соответствующая задача ли-

нейного программирования с ограничениями в виде равенств формулируется следующим

образом:

минимизировать Z=80X

+215X

+100X

+108X

+102X

+68X

при ограничениях

=1000,

=1500,

=1200,

+ X

=2300,

+ X

=1400,

0 для всех i,j.

Более компактный способ представления транспортной модели связан с использо-

ванием так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, в которой строки

соответствуют исходным пунктам, а столбцы – пунктам назначения. Коэффициенты

стоимости С

расположены в правом верхнем углу каждой ячейки (i, j). Модель фирмы

можно представить в виде табл. 3.2.1.

В следующем подразделе будет показано , что специальный метод решения транс-

портной задачи, основанный на симплекс-методе, предполагает использование транспорт-

ных таблиц.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Первоначальные опорные планы для транспортной задачи, представленной в

табл.3.2.1, найденные методом Северо-западного угла и методом минимального элемента,

совпадают и приведены в табл.3.2.2.

Таблица 3.2.1.

В1 В2 Объем производства

А1 80

215

1000

А2 100

108

1500

А3 102

1200

Спрос 2300 1400 3700

Таблица 3.2.2.

В1 В2 Объем производства

А1 80

1000

215

–

1000

А2 100

1300

108

200

1500

А3 102

–

1200

Спрос 2300 1400 3700

Z(X) = 80руб.

Задача 3.2.2.

Пусть теперь завод в А2 производит не 1500, а 1300 стиральных машин. Это при-

ведет к дисбалансу, поскольку суммарный объем производства (3500) не равен суммарно-

му спросу (3700).

Другими словами, дисбаланс означает, что спрос в центрах распределения сти-

ральных машин полностью удовлетворить не удается. В этом случае необходимо видоиз-

менить транспортную модель таким образом, чтобы

недостаток стиральных машин (3700–

3500 = 200) оптимально распределялся между центрами, в которые поступают стиральные

машины.

Поскольку спрос превышает объем производства, можно ввести дополнитель-

ный фиктивный исходный пункт (завод) с производительностью в 200 стиральных ма-

шин. В обычных условиях завод может отправлять свою продукцию в любой центр

распределения стиральных машин. Количество продукции, «отправляемой» фиктив-

ным заводом в пункт назначения, будет представлять собой объем недостающей про-

дукции в этом пункте.

Для завершения построения модели не хватает лишь информации о стоимости

«перевозок» с фиктивного завода в пункты назначения . Поскольку на самом деле та-

кого завода не существует, никакие перевозки не осуществляются, и соответствующая

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

стоимость перевозки единицы продукции равна нулю. Однако эту ситуацию можно

рассмотреть и по-другому, считая, что каждая единица недопоставленной в центры

распределения продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы

на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции, недополученную в том

или ином центре распределения.

В табл. 3.2.3. представлена сбалансированная модель

с измененной производитель-

ностью завода в А2.

Таблица 3.2.3

В1 В2

А1 80 215 1000

А2 100 108 1500

А3 102 68 1200

Фиктивный

завод

0 0 200

2300 1400

Фиктивный завод имеет производительность 200 стиральных машин. Аналогичным

образом, если объем производства превышает спрос, можно ввести дополнительные фик-

тивные пункты назначения, которые «поглощают» избыток продукции.

Задача 3.2.3.

Пусть спрос в В1 упал до 1900 стиральных машин. В табл.3.2.4 представлена мо-

дель с фиктивным центром распределения, поглощающим избыток производства. Соот-

ветствующая стоимость перевозки одного стиральной машины равна нулю. Однако можно

назначить штраф за хранение стиральной машины на складе завода , тогда стоимость пе-

ревозки одного стиральной машины станет равной стоимости его

хранения.

Таблица 3.2.4.

В1 В2 Фиктивный

центр

распределения

А1 80 215 0 1000

А2 100 108 0 1500

А3 102 68 0 1200

1900 1400 400 3700

Домашнее задание 3.

Замечание. В домашнем задании применяется укороченная форма записи. Строки

соответствуют исходным пунктам, столбцы – пунктам назначения, справа от вертикаль-

ной черты – объемы производства, под матрицей – спрос. Прочерк в матрице стоимости С

означает, что поставка между указанными пунктами отсутствует.

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

Составить первоначальный опорный план двумя методами и вычислить его стои-

мость.

1. – – 8 40 2. 18 10 5 23

3 5 1 60 – – 4 18

1 2 4 50 3 5 2 29

70 30 20 15 28 20

3. 6 5 4 – 500 4. 2 1 8 200

8 8 2 6 200 – 4 5 300

9 – 7 6 300 1 3 – 400

200 150 250 500 200 400

5. 5 8 1 100 6. 30 40 1 50

6 – 4 50 5 – 20 20

3 – 2 70 18 – 12 40

10 80 90 60 60 10

7. Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью в день

46, 34 и 40 т и затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. соответственно. Песок дос-

тавляется на четыре строительных площадки, потребность которых составляет 40, 35, 30 и

45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:















953

611

234

Недостающее количество песка – 30 т в день можно обеспечить двумя путями: уве-

личением производительности

а) первого карьера, что повлечет дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т;

б) второго с дополнительными затратами в 2 руб. / т.

Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами

и оптимальный вариант расширения поставок песка. Потребности четвертой строительной

площадки

должны быть удовлетворены полностью.

8. 2 4 5 1 60 У третьего поставщика груз

2 3 9 4 70 должен быть вывезен полностью.

8 4 2 5 50

40 30 20 50

9. 2 3 9 7 20 Первый и четвертый пункты

3 4 6 1 16 отправления должны быть

5 1 2 2 14 полностью разгружены.

4 5 8 1 22

16 18 12 15

ТРАНСПОРТНАЯ ЛОГИСТИКА (ТЛ)

10. 3 7 1 5 4 9 30 Четвертый и шестой

7 5 8 6 3 4 5 потребители должны

6 4 8 3 2 5 45 быть удовлетворены

3 1 7 4 2 2 40 полностью.

10 35 15 25 55 10

3.2.3. Метод потенциалов

Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой другой ЗЛП, существует двойст-

венная к ней задача.

Исходная задача





XCmin (3.6)

m,..,iax







(3.7)







jij

n1,..,j bX

(3.8)

n1,.., j ,m1,.., i 0,Xij



 (3.9)

Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (3.7) через U

( i = 1,..,m) и вида (3.8) – V

( j = 1,..,n), тогда двойственная задача имеет вид

Vb Ua max

jjii



















(3.10)

 C

, i = 1..m, j = 1..n (3.11)

Переменные задачи, двойственной к транспортной, U

и V

называют потенциалами

поставщика и потребителя соответственно.

Утверждение.

Для оптимальности плана X=(X

)

ТЗ, необходимо и достаточно

существование чисел (потенциалов) V

,…,V

и U

, U

, …, U

таких, что

1. U

+ V

 C

для i = 1,..,m , j = 1,…,n

2. U

+ V

= C

, для тех i, j, где X

>0 (3.12)

Из утверждения следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, доста-

точно выполнения следующих условий:

а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы X) сумма по-

тенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза

+ V

= C

(3.13)

б) для каждой незанятой клетки (X

= 0) сумма потенциалов должна быть меньше

или равна стоимости перевозки единицы груза

+ V



(3.14)