Маринюк Б.Т. Аппараты холодильных машин

Подождите немного. Документ загружается.

разбиения

всего

периода теплового воздействия на элементарные

стадии с постоянным тепловым потоком на каждом из них. Изменение

теплофизических

свойств

тела учитывается на каждом участке [21].

Решение задачи представляется в виде выражений, содержащих

быстро

сходящиеся ряды.

Приняв

значение F

*» 0,5, получим, что для

температуры с нулевой координатой {X = 0) пренебрежение

рядами

не дает погрешность больше 0,5%. На этом основании определяется

координата

фронта

фазовых

превращений

пластины при

Х=——

Проведен анализ погрешности, возникающей в определении

распределения температур в связи с допущением о постоянстве

теплового

потока на участках процесса. Как следует из анализа,

погрешность прямо пропорциональна скорости изменения теплового

потока и толщине пластины, а также зависит от ее материала и

элементарных отрезков времени разбиения процесса.

Ускоренная разведка

нефти

и газа в Арктике вызвала потребность в

создании уточненных теоретических моделей процесса льдообра-

зования. В этом отношении интересно исследование

Т.Р.Сю

и Г. Пайзи

[22].

Изложенная теория позволяет рассчитать распределение темпе-

ратур

и скорость намерзания слоя льда при переменном тепловом

воздействии

с учетом явления образования термоклины - зоны воды

от

поверхности раздела до слоев с температурой

+4°С.

Эксперимен-

тальная проверка показала хорошую степень сходимости расчетных

и опытных значений по росту толщины слоя льда во времени.

Экспериментальное исследование в условиях вынужденной

конвекции воды, намораживаемой на изотермически охлаждаемом

цилиндре,

выполнено в университете Эдмонтон (Канада) [23]. В

отличие от предыдущих исследований аналогичной направленности

[24,

25],

проведенных при малых числах Re <

в данном исследова-

нии

[23]

диапазон изменения Re

составлял от 2

•

до 8,6

-10".

Эксперименты проводились в замкнутой гидродинамической

трубе, изготовленной из плексиглаза и имеющей прямоугольное

сечение рабочего участка

шириной

25,4 мм и высотой 457 мм. На

рабочем участке

длиной

2134 мм горизонтально устанавливался

испытуемый

цилиндр

диаметром 38,1 мм, выполненный из меди.

Температура поверхности

цилиндра

могла изменяться от 0 до -

25°С.

Локальные и осредненные

коэффициенты

теплоотдачи со стороны

воды

определялись из

соответствующего

краевого условия по снятым

слое льда температурным кривым.

Основным

результатом проведенного исследования является

обнаружение явления более раннего перехода ламинарного режима

течения

БОЛЫ

у поверхности льда в турбулентный. Физическое

обоснование этого явления в статье не приводится.

Из краткого обзора современных методов решения задач затверде-

вания и плавления

проф.

Л.А. Коздоба выделил семь приближенных

аналитических методов, имеющих важное значение в инженерной

расчетной практике

[26].

Среди них - вариационные методы, методы

взвешенных вычетов, интегральный метод, метод итераций, операци-

онные методы, методы сведения к

дифференциальным,

интегральным

и обыкновенным уравнениям, метод подстановки готовых

форм

решений.

Применительно к задачам с льдообразованием известен опыт

применения операционных методов [151, метода возмущений [27],

метода сведения к уравнениям различных типов

[28,

29,30].

Сравнение эффективности различных методов для решения задач

плавления и затвердевания рекомендуется вести по ряду критериев,

которым придаются соответствующие показатели, определяющие

количественные оценки применения метода

[31,

32].

По-видимому, следует считать, что приближенные аналитические

методы применимы для решения одномерных задач затвердевания

при выделении теплоты фазового перехода на четко выраженной

границе раздела фаз. Последнее условие соответствует физическому

процессу образования льда на теплопередающей поверхности стенки.

Публикации, рассмотренные выше, относятся к области умерен-

ных температур на охлаждаемой поверхности стенки. Гораздо менее

изученным является случай теплообмена между водой и стенкой,

охлаждаемой до криогенных температур. Несмотря на все возраста-

ющую актуальность процесса криогенного воздействия на воду через

стенку (газификация, строительство льдогрунтовых сооружений)

исследования данной направленности недостаточны.

Комплексное теоретическое и экспериментальное исследование

теплообмена при намораживании льда на стенку

цилиндра,

охлажда-

емого

жидким азотом, содержится в

[33].

Математическая модель процесса включает четыре

дифференциаль-

ных уравнения теплопроводности с граничными условиями. Среди

шести допущений, принятых при составлении модели, наименее

обоснованными являются предположение о линейном изменении

теплофизических

свойств

фаз, участвующих в теплообмене, и

допущение об отсутствии конвективного движения воды.

Решение задачи выполнено на ЭВМ по методу конечных разностей.

Опыты по намораживанию льда проводились на днище

цилин-

дрического

сосуда

из нержавеющей стали, диаметр теплопередающей

поверхности составлял 120 мм, толщина стенки 10 мм. Температура

воды

в опытах менялась от 4 до

°С,

время проведения опыта

ограничивалось продолжительностью выкипания азота из

сосуда

и в

условиях

опытов не превышало

15-20

мин.

Результатами опытов являются зависимости толщины слоя льда от

времени, теплового потока от времени и

коэффициентов

наружной

теплоотдачи от времени. Сравнение данных опытов и расчетов по

принятой

математической модели показывает, что расхождение между

ними

не превышает

25%.

Отмечая масштабность исследования и его комплексность, следует

указать на

ограниченный

временной интервал проведения опытов, что

затрудняет использование полученных результатов для оценки

толщины слоя льда в условиях многочасовой эксплуатации обору-

дования.

Решая практическую задачу по проектированию газификатора

жидкого кислорода, У. Баувер выполнил анализ и провел экспери-

ментальное исследование намерзания льда на трубе, охлаждае-

мой

изнутри

газифицируемым жидким кислородом

[2].

Теоретическая модель процесса составлена из

уравнений

теплоот-

дачи

и теплопроводности для установившихся условий по тепловому

потоку.

Дифференциальное

уравнение теплопроводности учитывало

температурную зависимость

коэффициентов

теплопроводности льда и

стенки трубы. Решение проведено на аналоговой вычислительной

машине по специально составленной

схеме.

Экспериментальная часть включала испытания на модельной

секции, представляющей змеевиковую конструкцию типа "труба в

трубе". При этом жидкий кислород поступал в секцию по внутрен-

ней трубе диаметром 254 мм, вода направлялась противотоком по

межтрубному кольцевому пространству. Испытуемая секция по-

гружена в водную ванну с постоянно поддерживаемой температурой.

Расхождение

расчетных и опытных

значений

температур потоков по

длине каналов секции не превышало

Степень точности результатов

решений,

полученных на основе

аналитических, полуаналитических и численных методов расчета,

во

многом определяется достоверностью данных по теплофизическим

свойствам

льда, в частности по его теплопроводности и удельной

теплоемкости.

справочной и

научной

литературе по физико-техническим

вопросам

применения

низких температур имеют исчерпывающие

сведения [14, 34, 35] по

коэффициентам

теплопроводности льда

вблизи 0°С.

Я,,

Ат/(м-К) р

ис

. 2.2. Зависимость коэффициента тепло-

проводности льда от температуры

•

+•

•

1 1 1

1 1

9.111111?5

1У/

17J

№ Ж

77.1

Т,К

Сведения по

коэффициентам

теплопроводности льда при

кри-

огенных температурах и близких

к ним малочисленны.

Па рис. 2.2 приведено сопостав-

ление

коэффициентов

теплопро-

водности льда в зависимости от

температуры его образования по

данным

[36,

37].

Из

графика

следует, что в интервале температур

153-237

К совпа-

дение

коэффициентов

теплопроводности удовлетворительное. В

области криогенных температур согласно [37] теплопроводность льда

изменяется с температурой по гиперболическому закону

к=К/Т,

(2.5)

где

К =

615,34

- размерная константа, Вт/м; к -

коэффициент

тепло-

проводности льда, Вт/(м

•

К); Т - температура, К.

инженерных расчетах часто пользуются средним по температуре

коэффициентом

теплопроводности к, который можно

найти

по

формуле

615,34

к=

I dT, (2.6)

-т

где

Г, и Г

- граничные значения температурного интервала, в

области которых определяется к.

Удельная теплоемкость водяного льда также зависит от темпера-

туры [36] и для широкого диапазона низких температур может быть

аппроксимирована

функцией

вида

ЬГ,

(2.7)

где

с„ - удельная .теплоемкость льда при начальной температуре

К; b =

7,970

- размерная константа, Дж/(кг • К

связи с расширением использования льда как строительного

материала при возведении платин, буровых платформ и других

объектов

интерес представляют его физико-механические свойства.

Подобные сведения можно

найти

в [34, 38, 39]. Примечательно, что

практически все сведения по механическим свойствам льда относят-

ся

к диапазону температур

(R-30°C.

При этом большинство иссле-

дователей отмечают значительное улучшение прочности свойств льда

понижением температуры.

2.2.

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО МАССИВА ЛЬДА

ТЕМПЕРАТУРОЗАВИСИМЫМИ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

При проектировании подземных хранилищ сжиженного природного

газа

необходимо знание распределения температур в толще грунта.

связи с интенсивным освоением приарктических районов нашей

страны известны проекты размещения таких хранилищ в мерзлых

грунтах и грунтах, состоящих главным образом из водяного льда.

Теплофизические свойства мерзлого грунта с большим содержанием

влаги близки к свойствам обычного водяного льда, поэтому целесооб-

разно рассмотреть распределение температур в массиве водяного льда

при его охлаждении до криогенных температур.

Как следует из анализа литературных данных, свойства водяного

льда зависят от температуры. Распределение температур в полуогра-

ниченном массиве льда с учетом температурной зависимости его

теплофизических свойств дается нестационарным

дифференциаль-

ным уравнением теплопроводности Фурье, которое для одномерной

задачи имеет вид

дТ

(flp (fl-

дХ

дТ

эх

(2.8)

Рассмотрим некоторые упрощения, связанные с анализом теплофи-

зических

свойств льда. Выше была приведена аналитическая зависи-

мость

между удельной теплоемкостью льда и его температурой,

уравнение

(2.7).

Удельная теплоемкость льда слабо увеличивается с

повышением температуры и почти в 2 раза меньше, чем воды. Отсюда

возможно

без опасения большой погрешности учесть переменность

удельной теплоемкости с

введением среднего по температуре зна-

чения с

по соотношению

=Ь

2 > (2.9)

где

и Г

- начальная температура массива и температура теплового

воздействия

на его поверхности, К; Ь

- размерная постоянная,

Дж/(кг-К

Для удобства последующих операций представим соотношение

(2.9)

в виде

=с

т,

(2.10)

где

т - постоянная, равная отношению удельной теплоемкости при

средней температуре к удельной теплоемкости при начальной

температуре Т

Согласно

[39] плотность льда практически не зависит от темпера-

туры. С учетом сказанного уравнение

(2.8)

можно записать

дТ

Эт

дХ

А.

(Г)

дТ

СО I

дХ

(2.11)

где

комплекс

ХТ/с

представляет собой

коэффициент

температуро-

проводности а

(Г),

который в развернутом виде запишется выраже-

нием

а (Л-

; (2.12)

Гс

тр

здесь

коэффициент

теплопроводности льда при начальной

температуре Г

Решение уравнения

(2.12)

получим на основе информационно-

вероятностного подхода. В соответствии с

принципами

информаци-

онно-вероятностного подхода определим исходную

информацию

процессе. В качестве исходной

информации

используем начальные и

граничные условия задачи:

Г(0,т)=Г

, (2.13)

Г(Х,0)

= Г

(2.14)

Известным

также является [40] гауссовский закон распределения

температур в полуограниченном массиве при постоянных теплофизи-

ческих

свойствах материала массива

Г(Х,

х) - т _

= er/(v^X),

(2.15)

'О

где Р

= 1/4о

т - размерный комплекс^ с/м

. '.'

Подставляя

в выражение для р

вместо

значение а

(Т)

из урав-

нения

(2Л2),

получаем

Т ,

Р(Г)

= •

(2-16)

Распределение температур в полуограниченном массиве льда

температурозависимыми теплофизическими свойствами будем

искать

на основе базового распределения

(2.15),

определяющего поле

температур при постоянных теплофизических

свойствах

материала

массива.

Представим

уравнение

(2.15)

дифференциальной

форме

2дт

\ 1

(№Х)

(2.17)

exp (-РХ)

где

ДГ

= Г

-Г

Заменяя р в уравнении

(2.17)

на его значение из выражения

(2.16),

получаем

ДТт

Г'х(Х,т)

= —

Vna

1 \ /

—

-ui

ехр

1 (2.18)

/ \

4а

тГ

Уравнение

(2.18)

представляет собой дифференциально-вероят-

ное соотношение, т.е. является плотностью распределения коорди-

наты X в интервале температур от Г до Г + dT- Вид

функции

распре-

деления найдем путем разложения ее в степенной ряд с точностью до

членов третьего порядка.

Применяя к уравнению

(2.18)

граничное условие

(2.13),

получаем

ДГт"

Т_"

- г— .

(2.19)

Аналогично для второй и третьей производной

ДГ

Т':„=

(2.20)

-T(iv)/T

-T

в, в

о,г\

Рис.

2.3. Профиль

температур

полуогра-

ниченном

массиве

водного

льда

при его

охлаждении:

расчеты

по уравнению

(2.22);

•

расчеты

по уравнению

(2.23);

граничные положения профиля

температур

по методике Фридмана [41]

0,1 0> 0,6 В,

Окончательно решение задачи представим в виде

Т{Х,

т)

ДГт

1/а

,/а

АТтТ°Х*

ЗДГ

Г-

4(ла

т)

1-2-3

пв

тГ

1.2

ATm

il2

(2.22)

некоторых случаях при анализе процесса теплопроводности

твердых телах с переменными теплофизическими свойствами

полезным является решение

дифференциального

уравнения теплопро-

водности, в котором температурная зависимость коэффициентов

теплопроводности и удельной теплоемкости учитывается по их

истинным

функциям

от температур в комплексе а (Г). Такой прием

упрощает решение нелинейной задачи, внося при этом определенную

погрешность.

Реализация данного приема в рамках информационно-вероятност-

ного подхода позволяет получить решение задачи при принятых

краевых условиях

(2.13), (2.14)

в виде

Т(Х,т)-Г

дгт

Па

тГ

гьт*т

п«.тТ

М.2

дгх

(яв

т)

'»Г

1.2-3

2аЛу[йГ\Т* 1-2-3

(2.23)

связи с отсутствием экспериментальных данных по распределе-

нию температур в полуограниченном массиве льда при его охлаж-

дении до криогенных температур решения

(2.22)

(2.23)

проверены по

методике

Фридмана [41], определяющей граничные положения

профиля

температур в связи с переменностью теплофизических

свойств

материала массива.

Как

видно из рис. 2.3, решения, представленные в виде уравнений

(2.22)

(2.23),

дают

профили

температур, лежащие между двумя

граничными

профилями

во

всем

диапазоне параметра

Е,

=Х/2Уат.

Кроме

того,

расхождения между результатами

решений

по уравнениям

(2.22)

(2.23)

не превышают 5%, что указывает на их достовер-

ность

[42].

2.3.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ПРИ

НАМОРАЖИВАНИИ ЛЬДА

НА

ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ

УЧЕТОМ ПЕРЕМЕННОСТИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЛЬДА

Решение задачи нестационарного теплообмена в условиях намер-

зания льда на плоской стенке, охлаждаемой изнутри холодильным

агентом,

часто сводится к расчету динамики намораживания льда.

Знание закономерностей зависимости роста толщины слоя льда от

времени и других факторов протекания процесса необходимого при

проектировании целого ряда теплообменных устройств (генераторов

льда,

газификаторов жидких криопродуктов, работающих за счет

теплоты

воды, систем замораживания участков воды и слабых грунтов

т.д.).

Большинство

из предложенных в настоящее время

решений

задачи

теплообмена

при образовании льда даны в [11, 13] применительно к

генераторам льда различных типов, условия работы которых позволя-

ют

принять прямолинейный закон распределения температур в слоях

намораживаемого

льда, а также постоянство его теплофизических

свойств.

Известно

[36, 37],

что теплофизические

свойства

льда зависят

от

температуры.

Рассмотрим

с этой точки зрения теплообмен при наморажива-

нии льда на изотермической плоской стенке охлаждаемой изнутри до

температуры Т

, и решение при постоянных теплофизических свой-

ствах

получим как частный случай. Допустим, что температура

кипящего криогенного агента равна Т

, а термическим сопротив-

лением стенки можно пренебречь.

Тогда

математическая модель

задачи сводится к записи нелинейного

дифференциального

уравне-

ния теплопроводности Фурье, теплового условия воздействия со

стороны воды, а также начальных и граничных условий.

С учетом выражений (2.5) и (2.7) нелинейное

дифференциальное

уравнение теплопроводности будет иметь вид

дТ

а / К ЭТ

Ь(Г)р

—

[

(2.24)

Эт дх \ Т дх

где

т - текущее время, с; X - координата, м; р - плотность льда,

кг/м

Тепловое

условие воздействия со стороны воды

дТ

ЭХ

а(Г

-Г

)

+ Р

(2.25)

где

и Т

- температура воды и поверхности льда соответ-

ственно,

К; L - теплота фазового перехода воды в лед,

Дж/кг;

ij - координата

фронта

фазового превращения, м; ос - коэф-

фициент

теплоотдачи от воды к поверхности намораживаемого льда,

ВтДм

• К).

Краевые условия задачи

Г(0,

т) = Г

;

Т(Х,0)

= Т

;

Г(6,т)

273К.

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Применим к уравнению

(2.24)

подстановку Больцмана, т.е. будем

искать температуру Т как

функцию

комплекса v

T(X,x)

= T{v); *=X/ft; |=pV^

где

P - неизвестная постоянная.

С учетом этого нелинейное

дифференциальное

уравнение тепло-

проводности

(2.24)

в частных производных тренсформируется в

дифференциальное

уравнение в полных производных

dr-

—рЬГ

2 d<

(2.29)

Тепловое

условие воздействия со стороны воды будет иметь вид

-р-

pi —

+ ос

(Г

- Т

(2.30)

Краевые условия соответственно запишутся

Г(0)

= Г

;

(2.31)