Макаров В.А. (ред.) Задачи вступительных испытаний и олимпиад по физике в МГУ

Подождите немного. Документ загружается.

Факультеты химический, биоинженерии и биоинформатики

3.6. При разомкнутом ключе батарею можно представить в виде

двух параллельно соединенных участков, в каждом из которых после-

довательно соединены конденсаторы с электроемкостями

C и C3 . В

этом случае эквивалентная ёмкость батареи

= .

При замкнутом ключе батарею можно представить в виде двух последо-

вательно соединенных участков, в каждом из которых конденсаторы C

C3 соединены параллельно. В этом случае ёмкость батареи CC 2

= .

Ответ: при замыкании ключа ёмкость увеличилась в

33,1

===

раза.

3.7. Количество теплоты, выделяемое нагревателем за промежуток

времени

τ ,

τ=

За вычетом тепловых потерь на плавление льда пойдет количество теп-

лоты

τ−=−= )1()1(

kQQ

С другой стороны, для того чтобы расплавить массу льда m требуется

количество теплоты

mQ λ=

Приравнивая

QQ = , получаем ответ:

()

3,5

≈

−

ktU

Ом.

Решения задач

3.8. При решении задачи главное – это установить, по какой траек-

тории движется центр стержня (точка С). Для

этого следует сделать аккуратный чертеж (см.

рис. 72) и убедиться из равенства прямоугольных

треугольников (например, COx

∆ и BCx

∆ ), что

расстояние ОС – постоянная величина, равная

половине длины стержня. Следовательно, траек-

тория, по которой движется центр стержня, пред-

ставляет собой дугу окружности радиусом

R =

с центром в точке O. Путь, проходимый точкой C в рассматриваемом

движении стержня, равен четверти длины этой окружности. Ответ:

8,0

≈

S м.

3.9. Если бы в той части цепи, где включен резистор

R , не было

диода, то количество теплоты, выделившейся на этом резисторе за вре-

мя

τ , было бы равно

2 R

=∆=

′

При включенном в цепь диоде ток через резистор отличен от нуля толь-

ко в течение половины каждого периода. Поэтому на резисторе выделя-

ется вдвое меньшее количество теплоты:

′

Аналогично, количество теплоты, выделившееся на резисторе

R , рав-

но

4 R

Общее количество теплоты, выделившееся на обоих резисторах,

Рис. 72

Факультеты химический, биоинженерии и биоинформатики

()

=τ

=+=

QQQ

Дж.

Заметим, что полярность включения диодов не играет роли.

3.10. Построение изображения B

′′

стержня AB приведено на

рис. 73. Для построения использованы два лу-

ча. Луч 1 проходит без преломления через оп-

тический центр линзы. Луч 2 направлен вдоль

стержня и после преломления в линзе пересе-

кает ее правую фокальную плоскость в точке

D. Отметим, что луч 2 выбран не случайно.

Подобные лучи испускают

все точки стержня,

поэтому изображение стержня располагается

на прямой, имеющей такой же наклон к главной оптической оси линзы,

что и луч 2 после преломления в линзе. Из рисунка видно, что

′

=βtg

Кроме того, из подобия

AOC

′

∆ и CED∆ следует, что

OCED

⋅

′

Поскольку по условию

°=∠ 45AOC , справедливы равенства:

dOC

ED = , FdEC −= . Решая записанную систему уравнений, находим

Fd −

=βtg

. Ответ: °≈=

−

=β 4,632arctgarctg

ВАРИАНТ 4

4.3. Приведенная на рис. 14 зависимость координаты материальной

точки от времени описывается выражением

txx

= cos

max

Рис. 73

Решения задач

где

max

x – амплитуда,

=ω

– круговая частота, T – период колеба-

ний. Проекция скорости точки на ось Ox равна производной от коорди-

наты по времени:

ωω−== sin

max

v .

Отсюда находим максимальную величину скорости:

=ω=

maxmaxmax

v .

Значения

max

=x см и 8=T с определяются из графика. Ответ:

57,1

max

≈v см/с.

4.4. Задача решается очень просто, если знать особенности использо-

вания собирающей линзы в качестве лупы. Для того чтобы получить уве-

личенное мнимое изображение предмета, его располагают вблизи фокаль-

ной плоскости линзы между линзой и фокусом. Записывая формулу линзы,

имеем:

fxFF

111

−

Это равенство легко преобразуется в квадратное уравнение относительно

фокусного расстояния линзы

=−− xfxFF ,

корни которого имеют вид:

xfxxF +±=

2,1

Для собирающей линзы следует выбрать положительный корень. Фокусное

расстояние линзы равно 5=F см, а её оптическая сила 20

D дптр.

Факультеты химический, биоинженерии и биоинформатики

4.5. Обозначим через

угол, который образует крыша с горизонта-

лью. В отсутствии трения тела скользят вдоль крыши (наклонной плос-

кости) с ускорением

α= singa . Длина наклонной плоскости

cos

Из законов кинематики прямолинейного равноускоренного движения

следует, что расстояние

S скользящее тело проходит за время

αα

2sin

sincos

Время скольжения минимально при максимальном значении

α2sin ,

которое достигается при

°=α 45 . Ответ: 5,2== LH м.

4.6. При равновесии поршня равнодействующая всех сил, дейст-

вующих на него, равна нулю. Снизу вверх на поршень действует сила

давления воздуха, находящегося в цилиндре,

pSF =

, где p – давление

воздуха,

– площадь поршня. Сверху на поршень действует

сила атмосферного давления

SpF

= , где

p – атмосферное давление.

Вниз также направлена сила тяжести

MgF =

, действующая на пор-

шень, и сила давления стержня

F . Последняя вычисляется по правилу

моментов и равна

mgF 2

= . Учитывая направления сил, условие рав-

новесия поршня запишется в виде:

pSmgMgSp =++ 2

Отсюда находим искомую величину

()

104

⋅≈

=−=∆

gmM

ppp

Н.

4.7. Рассмотрим электрическую схему, описанную в условии (см.

рис. 74). В процессе разрядки конденсатора после замыкания ключа K

через резисторы протекает ток, сила которого меняется во времени, по-

степенно убывая. Однако в любой момент времени через резисторы те-

Решения задач

чет одинаковый ток. Согласно закону Джоуля–Ленца мощности, выде-

ляющиеся в резисторах, равны, соответственно

RIN = ,

RIN = . Их отношение

не зависит от времени. Поэтому такое же отношение

справедливо и для количеств теплоты, выделившихся в конденсаторах

за время разрядки конденсатора:

При этом полное количество выделившейся теплоты равно энергии,

запасенной в конденсаторе:

QQ =+

Из этих соотношений находим ответ:

105

−

⋅=

Дж.

4.8. Обозначим через

V начальный объём газа. Очевидно, что в ис-

ходном состоянии пружина не деформирована. Пусть в нагретом со-

стоянии газ занимает объем

V . При этом пружина удлинилась на вели-

чину

−

. Теперь со стороны пружины на поршень действует

сила упругости, величина которой равна

kxkF

−

Главное – понимать, что в любом равновесном состоянии векторная

сумма всех сил, действующих на поршень, равна нулю, т.е.

pSSpF =+

Рис. 74

Факультеты химический, биоинженерии и биоинформатики

Здесь p – давление газа в объеме V . Из последнего соотношения нахо-

дим ответ:

()

pp −+= .

Отсюда видно, что давление газа увеличивается

при расширении по линейному закону (см.

рис. 75), причем при объеме

V давление равно

p . Наклон прямой зависит от отношения величин

S .

4.9. Условие плавания льда массой m имеет вид:

Vgmg

= .

Здесь

V – объем погруженной в воду части льда, равный объему вы-

тесненной льдом воды,

– плотность воды. Высота подъема уровня

воды

h определяется из условия ShV = , где

– площадь осно-

вания цилиндрического сосуда. Из этих соотношений получаем ответ:

8,4

≈

πρ

h см.

Заметим, что этот ответ справедлив для любого тела массой m , не обя-

зательно льда. Важно лишь, чтобы погруженное в воду тело оставалось

на плаву.

4.10. Так как при замыкании ключа ток по нему не течет, разность

потенциалов между точками, которые соединяются ключом K, равна

нулю. Отсюда вытекает, что

и 4

Ом.

Следовательно, ключ K из схемы можно удалить. После этого легко

найти полное сопротивление цепи, подключенной к источнику тока,

Рис. 75

Решения задач

пользуясь правилами последовательного и параллельного соединений

резисторов:

)()(

))((

4321

+++

RRRR

Ом.

Сила тока через источник определяется по закону Ома. Ответ:

5,1==

А.

БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Работа, совершаемая против электрического поля при перемеще-

нии в нём заряда

q , определяется формулой

∆⋅= qA ,

где

∆

– разность потенциалов между точками, соответствующими

конечному и начальному положениям заряда. Для однородного поля

EL=

∆ ,

где

– модуль напряженности электрического поля, L – перемещение

заряда вдоль силовой линии поля. Решая записанные уравнения, полу-

чаем ответ:

105,2 ⋅==

E В/м.

4. Искомая зависимость давления газа от его объема (pV-диаграмма

процесса) представлена на рис. 76. Отметим, что

участки 1 – 2 и 4 – 5 являются гиперболами, описы-

вающими изотермические зависимости, 2 – 3 и 3 – 4

– прямыми, параллельными осям координат и

соответствующие изобарному и изохорному про-

цессам. Следует обратить внимание на то, что

точки 1, 3 и 4

находятся на одной вертикальной

прямой (объём, занимаемый идеальным газом в этих состояниях одина-

Рис. 76

Биологический факультет

ков). В состояниях 2 и 5 давление газа одно и то же (штриховая линия

1 – 5 параллельна оси абсцисс).

5. Если длительность соударения является пренебрежимо малой, то

сумма проекций всех сил, действующих на систему «шарик + брусок»,

вдоль направления движения тел равна нулю. Поэтому импульс систе-

мы сохраняется:

umm

=v . Отсюда легко определить начальную ско-

рость шарика:

По закону сохранения энергии начальная кинетическая энергия шарика

равна сумме кинетической энергии бруска (шарик по условию задачи

остановился и, следовательно, не обладает кинетической энергией) и

количества теплоты Q, выделившейся при ударе:

umm

Таким образом, искомое количество теплоты

может быть определено

как разность кинетических энергий системы до и после удара. Ответ:

122

103

)(

−

⋅=

−

ummm

Q Дж.

6. Используя кинематический закон равноускоренного движения,

перемещения мотоциклиста

S на двух равных отрезках пути можно

записать в виде:

S =

tS +⋅∆= v

где

t и

t – времена прохождения мотоциклистом этих отрезков, а

v∆

– скорость, которую имел мотоциклист перед прохождением второго

отрезка. Здесь мы учли, что мотоциклист начал прохождение первого

отрезка из состояния покоя. Изменения скорости мотоциклиста при

прохождении им рассматриваемых отрезков пути можно записать как

Решения задач

111

ta=∆v ,

222

ta=∆v .

Выразив отсюда

t ,

t и подставив их в формулы для перемещения мо-

тоциклиста, получим соотношение:

aaa

vvvv ∆

∆∆

∆

Отсюда легко определить искомое отношение ускорений:

8,0

221

∆+∆⋅∆

∆

vvv

7. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид:

hс

где

h – постоянная Планка, λ – длина волны света,

– работа выхода,

– кинетическая энергия электрона, выбиваемого из металла. Из

этого уравнения следует, что максимальная длина волны

λ , при кото-

рой ещё наблюдается фотоэффект (красная граница фотоэффекта), оп-

ределяется равенством:

Если металлическому шарику сообщить заряд

q , то квант света должен

передать электрону энергию, необходимую не только для совершения

работы выхода, но и преодоления кулоновского притяжения электрона к

заряженному шарику. Из закона сохранения энергии электрона, выбито-

го с поверхности шарика, следует, что