Макаров В.А. (ред.) Задачи вступительных испытаний и олимпиад по физике в МГУ

Подождите немного. Документ загружается.

Физический факультет

минимальное значение угла

между осью и образующей конуса, при

котором кольцо не разорвется.

I.7. Две тонкие одинаковые доски верхними концами прикреплены

к неподвижной горизонтальной оси О. Масса каждой

доски равна m , а ее длина –

L . Раздвинув доски, меж-

ду ними поместили цилиндр массой

радиусом

так, чтобы точки касания цилиндра совпали с середи-

ной досок (см. рис. 38). После того, как цилиндр от-

пустили, он остался неподвижным. Найти коэффици-

ент трения между цилиндром и доской. Трением в оси

и деформациями тел пренебречь.

I.8. Период колебаний математического маятника на экваторе сфе-

рической планеты в

5,1=n раза больше, чем на ее полюсе. Найти пери-

од τ обращения планеты вокруг ее собственной оси, если плотность

вещества планеты

г/см

I.9. На гладком горизонтальном столе лежат три одинаковых груза

малых размеров массой

m каждый, соединенные тремя легкими одина-

ковыми пружинами жесткостью

k . При этом грузы располагаются в

вершинах правильного треугольника. Грузы смещают от положений

равновесия так, чтобы удлинения всех пружин были одинаковыми. По-

сле этого грузы одновременно отпускают. Определить период малых

колебаний. Считать, что оси пружин остаются прямолинейными.

I.10. На гладком горизонтальном столе лежат одина-

ковые грузы малых размеров, расположенные в верши

нах правильного

-угольника. Масса каждого груза рав-

на

. Грузы соединены между собой одинаковыми лег-

кими пружинами жесткостью

k . Грузы смещают от по-

ложений равновесия на одинаковые расстояния так, как

показано на рис. 39. После этого грузы одновременно

отпускают. Определить период малых колебаний. Счи-

тать, что оси пружин остаются прямолинейными.

Рис. 38

Рис. 39

Условия задач

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

II.1. В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем

находится идеальный газ. При температуре

C 27 °=t и давлении

1,0=p МПа объем газа 3=V л. Для изобарического нагревания этого

газа до некоторой температуры ему сообщили количество теплоты

350

,Q = кДж, а для изохорического нагревания до той же температуры

потребовалось бы количество теплоты

25,0

кДж. До какой темпе-

ратуры

нагревали газ? Считать, что нагрев в обоих случаях осущест-

влялся достаточно медленно.

II.2. В качестве рабочего вещества теплового двигателя используют

гелий. На рис. 40 показана pV–диаграмма рабочего цикла этого двигате-

ля. Найти КПД цикла.

Рис. 40 Рис. 41

II.3. На рис. 41 показана зависимость внутренней энергии

U иде-

ального газа, используемого в качестве рабочего вещества теплового

двигателя, от количества теплоты

Q , которое газ получил с момента 1

начала цикла

1321 −−− . Найти КПД этого цикла.

II.4. В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем

площадью

S массой m длительное время находятся жидкость и ее пар

при температуре Т. Атмосферное давление, действующее на поршень,

равно

p . Молярная масса жидкости равна

, а ее удельная теплота

парообразования в условиях опыта равна

. На какую высоту h∆ под-

Физический факультет

нимется поршень, если жидкости передать количество теплоты Q , не-

достаточное для ее полного испарения?

II.5. В сосуде содержатся идеальный газ и пар с относительной

влажностью

при абсолютной температуре

под давлением p . Дав-

ление насыщенных паров при этой температуре равно

p . Молярная

масса паров равна

µ , а газа –

µ . Определить отношение n плотности

газа

к плотности пара

III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

III.1. Четыре незаряженные одинаковые тонкие металлические пла-

стины, площадь каждой из которых равна

S , расположены в

воздухе на малом расстоянии

d параллельно друг другу (см.

рис 42). Внутренним пластинам сообщили равные по модулю,

но противоположные по знаку заряды. Затем внешние пласти-

ны соединили между собой резистором сопротивлением

. В

результате в этом резисторе выделилось количество теплоты

Q . Пренебрегая излучением, определить модуль q зарядов

внутренних пластин.

*III.2. В изображенной на рис. 43 схеме ключ K длительное время

находился в положении 1. Затем этот ключ

перевели в положение 2, а потом через дос-

таточно большой промежуток времени

вновь вернули в положение 1. Найти отно-

шение работы сторонних сил батарейки к

количеству теплоты, выделившейся на ре

зисторе

r , в результате этих переключений. Параметры элементов

схемы указаны на рисунке. Диод

считать идеальным. Индуктивно-

стью элементов схемы пренебречь.

III.3. Между двумя изолированными друг от друга параллельными

металлическими пластинами со скоростью u протекает проводящая

Рис. 42

Рис. 43

Условия задач

жидкость. Расстояние между пластинами h намного меньше размеров

пластин. Между пластинами создано однородное магнитное поле, век-

тор индукции которого В параллелен плоскости пластин и перпендику-

лярен

. К пластинам подключен конденсатор емкостью C . Найти

максимально возможный заряд этого конденсатора.

III.4. Заряженная частица влетает со скоростью v в полупростран-

ство, где существуют однородное электрическое поле с

напряженностью

E и однородное магнитное поле с ин-

дукцией

так, как показано на рис. 44. На какой угол

отклонится частица от первоначального направления по-

лета в момент ее вылета из этой области? Потерями энер-

гии частицы и действием на нее силы тяжести пренебречь.

III.5. Металлический стержень, один конец которого шарнирно за-

креплен в точке О, вращают с такой постоянной

угловой

скоростью

, что он образует с верти-

калью постоянный угол

. Другой конец

стержня касается проводящей полусферы (см.

рис. 45). Центр полусферы совпадает с точкой

О. Радиус полусферы равен

R . Вся система

находится в однородном вертикальном магнит-

ном поле, индукция которого равна В. К сфере

подключен резистор с достаточно большим сопротивлением

. Другой

конец резистора подключен к стержню в точке О. Найти мощность

N ,

выделяющуюся в резисторе.

III.6. К идеальной катушке, зашунтированной резистором сопро-

тивлением

, подключают на время τ источник с ЭДС

и малым

внутренним сопротивлением, а затем отключают его. При этом за время

подключения источника и после его отключения в резисторе выделяют-

ся одинаковые количества теплоты. Найти индуктивность катушки

Рис. 44

Рис. 45

Физический факультет

IV. ОПТИКА

IV.1. Тонкая собирающая линза помещена на границе раздела двух

однородных сред с разными показателями преломления. Показатель

преломления среды за линзой меньше, чем перед ней. Поэтому фокус-

ные расстояния линзы не равны, причем

ff > . Луч, падающий на

линзу под небольшим углом к главной оптической оси, проходит через

некоторую точку C на этой оси. Известно, что после прохождения лин-

зы этот луч распространяется в том же направлении. Найти расстояние

от точки C до линзы.

IV.2. Точечный источник

S и его изображение

в тонкой линзе с

фокусным расстоянием

находятся по одну сто-

рону от этой линзы. Расстояния от главной опти-

ческой оси

OO линзы до источника и до его изо-

бражения равны

(см. рис. 46). Найти рас-

стояние

a∆ между перпендикулярными главной

оптической оси плоскостями, в которых располо-

жены источник и его изображение.

IV.3. Точечный источник

S и его изображение

S в тонкой линзе

находятся по одну сторону от этой линзы. Рас-

стояния от главной оптической оси

OO линзы до

источника и до его изображения равны, соответ-

ственно,

h и

h (см. рис. 47). Расстояние между

перпендикулярными главной оптической оси

плоскостями, в которых расположены источник и

его изображение, равно

a∆ . Определить фокусное

расстояние

линзы.

Рис. 46

Рис. 47

Условия задач

ОЛИМПИАДА «ЛОМОНОСОВ – 2007»

В мае 2007 года в МГУ прошла олимпиада «Ломоносов – 2007». Подобные

олимпиады проводятся в МГУ уже третий год подряд по согласованию с депар-

таментами образования Москвы, Московской области, Советом ректоров вузов

г.Москвы и Министерством образования и науки РФ. Диплом олимпиады «Ло-

моносов-2007» приравнивается к диплому региональной олимпиады (3-й этап

Всероссийской олимпиады). Олимпиада по физике традиционно проводится в

форме устного испытания. В 2007 году участникам олимпиады предлагались

задания, включающие два теоретических вопроса и три задачи различного

уровня сложности. Ниже приведены задачи, предлагавшиеся участникам олим-

пиады «Ломоносов – 2007».

I. МЕХАНИКА

I.1. Два тонких жестких стержня длиной

L каждый вращаются в

плоскости рис. 48 вокруг неподвижных точек

O и

O . Расстояние между этими точками равно h . Най-

ти скорость движения точки С пересечения этих

стержней вдоль первого стержня в тот момент, когда

угол между стержнями равен α , угол

OCO равен

, а скорости свободных концов стержней равны

u и

u .

I.2. На горизонтальной крышке стола лежат, касаясь друг друга, куб

и цилиндр с одинаковыми массами (рис. 49). Коэф-

фициенты трения тел о поверхность стола и между

собой одинаковы и равны

. Диаметр цилиндра ра-

вен длине ребра куба. Ось цилиндра горизонтальна и

параллельна одной из граней куба. Известно, что

если к кубу приложить горизонтальную силу, линия действия которой

перпендикулярна его грани и проходит через центры масс куба и ци-

линдра, а модуль этой силы не меньше

f , то цилиндр будет двигаться,

не вращаясь. Найти массу куба.

Рис. 48

Рис. 49

Олимпиада «Ломоносов – 2007»

I.3. О наклонную грань покоящегося на гладкой горизонтальной

плоскости клина массой 1=M кг ударяется шарик

массой

20=m

г (см. рис. 50). Скорость шарика перед

ударом была направлена горизонтально и равна

=v м/c. После удара шарик отскочил вертикально

вверх, а клин стал двигаться поступательно. Найти

смещение клина после удара к тому моменту, когда

шарик вернется в ту же точку пространства, где он столкнулся с кли-

ном. Удар считать абсолютно упругим, сопротивлением воздуха пре-

небречь. Модуль ускорения свободного падения 10=g м/с

I.4. Развивая максимальную мощность двигателя, автобус движется

по горизонтальному участку шоссе с постоянной скоростью

v . Когда

автобус при неизменной мощности, развиваемой двигателем, въезжает

на подъем с углом наклона

α , его скорость падает до

v . С какой ско-

ростью

v автобус будет преодолевать подъем с углом наклона

α<α

при той же мощности, развиваемой двигателем? Проскальзывание ве-

дущих колес автобуса на всех участках шоссе отсутствует. Силу сопро-

тивления воздуха считать пропорциональной скорости автобуса.

I.5. Маленький шарик массой m закреплен на однородном стержне

массой

и длиной L на расстоянии l от его конца.

Стержень прислонен к вертикальной стене так, что

образует с горизонтальной поверхностью угол

располагается в вертикальной плоскости, перпендику-

лярной стене (см. рис. 51). При каком максимальном

значении

стержень может находиться в равновесии?

Коэффициент трения стержня о горизонтальную по-

верхность и стену равен

Рис. 50

Рис. 51

Условия задач

I.6. К вертикальной стене одним концом с помощью шарнира при-

креплен однородный тяжелый жесткий стер-

жень, на другом конце которого подвешен груз

(см. рис. 52). Стержень удерживают в горизон-

тальном положении легкой жесткой проволокой,

прикрепленной к нему на расстоянии

30=l см

от шарнира. Другой конец проволоки закреплен

на стене так, что проволока и стержень лежат в

одной вертикальной плоскости. На каком рас-

стоянии

h от шарнира проволока должна быть прикреплена к стене,

чтобы ее абсолютное удлинение было минимальным? Трением в шар-

нире пренебречь.

I.7. На гладкий горизонтально закрепленный стержень надет шарик

массой

. К шарику прикреплена легкая пружина, ось которой совпа-

дает с осью стержня, а другой конец пружины закреплен. После откло-

нения от положения равновесия шарик совершает гармонические коле-

бания с амплитудой

X . В момент прохождения шариком положения

равновесия на него садится муха массой m , имевшая скорость, направ-

ленную вертикально вниз. Найти амплитуду

X установившихся гар-

монических колебаний шарика с мухой.

I.8. К потолку покоящейся кабины лифта на пружине жесткостью

подвешена гиря массой

m . В некоторый момент времени лифт начинает

движение вверх с постоянным ускорением

a . Какой путь S пройдет

кабина лифта к тому моменту, когда длина пружины первый раз станет

максимальной?

I.9. На горизонтально закрепленный стержень надеты два шарика,

скрепленные между собой легкой пружиной. Если удерживать первый

шарик, а второй отпустить после небольшой деформации пружины, то

период его колебаний будет равен

T . Если же удерживать второй ша-

рик, а отпустить после небольшой деформации пружины первый, то

период его колебаний будет равен

T . Найти период колебаний шари-

Рис. 52

Олимпиада «Ломоносов – 2007»

ков, если их одновременно отпустить после небольшой деформации

пружины. Силами трения пренебречь.

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

II.1. В закрепленном вертикальном цилиндре площадью сечения S

под гладким тонким поршнем массой

находится идеальный газ.

Поршень находится в равновесии посередине цилиндра. В некоторый

момент поршень начинают медленно вытаскивать из цилиндра. Какое

значение примет прикладываемая к поршню сила в тот момент, когда

поршень достигнет верхнего края цилиндра? Температура газа остается

неизменной. Атмосферное давление

p .

II.2. На рис. 53 представлена зависимость дав-

ления p от объема V идеального газа. Найти из-

менение внутренней энергии этого газа, если при

изменении его давления от 40

=p кПа до

=p кПа газу было сообщено количество теп-

лоты

200=Q

Дж. В исходном состоянии объем

газа был равен 2

=V л.

II.3. В закрытом цилиндрическом сосуде под невесомым тонким

поршнем находится один моль идеального одноатомного

газа при температуре

300

=T К. В пространстве над порш-

нем создан вакуум. Поршень удерживается в равновесии

легкой пружиной, помещенной между поршнем и крышкой

цилиндра (см. рис. 54). Пружина не деформирована, если

поршень располагается у дна цилиндра. Какое количество

теплоты

нужно сообщить газу, чтобы его объем увели-

чился в

5,1=n раза? Универсальная газовая постоянная

3,8=R Дж/(моль·К). Теплоемкостью сосуда, потерями теплоты и трени-

ем пренебречь.

Рис. 53

Рис. 54

Условия задач

II.4. В цилиндре под поршнем находятся смесь воздуха с насыщен-

ным водяным паром и вода. Масса воды равна массе водяного пара. Ес-

ли изотермически уменьшить объем смеси в

2=k раза, то ее давление

увеличится в

5,1=n

раза. Во сколько раз изменится давление смеси,

если ее объем не уменьшать, а увеличивать при той же температуре до

тех пор, пока вся вода не испарится?

II.5. В закрытом с одного конца цилиндрическом сосуде находятся

два тонких поршня, способных переме-

щаться без трения и разделяющих про-

странство внутри сосуда на

два отсека (см.

рис. 55). В левом отсеке заключен водяной

пар при давлении

p , а в правом – воздух

при том же давлении, причем длины отсе-

ков одинаковы и равны

L . Правый пор-

шень медленно передвинули влево на расстояние

l . На какое расстоя-

ние

сместится при этом левый поршень? Температуру пара и воздуха

считать постоянной. Давление насыщенного водяного пара при этой

температуре равно

III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

III.1. Два одинаковых маленьких шарика, заряженных одноимен-

ными зарядами, удерживают на расстоянии

a друг от друга. В некото-

рый момент времени один из шариков отпускают без начальной скоро-

сти, после чего он начинает движение. Когда расстояние между шари-

ками становится равным

a2 , отпускают без начальной скорости второй

шарик. Определить, во сколько раз

n скорость первого шарика будет

превышать скорость второго шарика в момент, когда расстояние между

ними станет равным

a3 . Действием всех сил, кроме сил электростати-

ческого отталкивания, пренебречь.

III.2. Две достаточно удаленные друг от друга и от других предме-

тов одинаковые закрепленные металлические сферы имеют заряды

Рис. 55