Лысак О.Н. (сост.) Кинематика точки и простейшие движения твёрдого тела
Подождите немного. Документ загружается.
41
Рис. 18
C
V
Рис. 19
42
Таким образом при передаче движения от колеса 1 колесу 2 нам
удалось найти закон вращения
t
f
22
. Имея закон вращения,
можно найти угловую скорость и угловое ускорение колеса 2,
пользуясь формулами (2.4) и (2.5).
Кроме того, скорость точки С – точки соприкосновения колёс
dt
dS
V
С
.
Для точки С колеса 1
dt
dS
V
С
1
; для точки С колеса 2
dt
dS
V
С
2
. Так как
S
S
1
2
, то и
dS
dt
dS
dt
1 2
. Таким образом, скорость
точек соприкосновения колёс 1 и 2 будут одинаковы, не зависимо от
закона вращения колёс.
Равенство скоростей может быть использовано при решении
задач наряду с равенством дуговых перемещений
S
S
1
2
.
В качестве примера рассмотрим две задачи.
Задача 1
Механизм состоит из зубчатых колёс
321
,
,
R
r
r
и шкивов
R
R
1 2
,
, связанных ремённой передачей, зубчатой рейки СD и груза
Е, привязанного к концу нити, намотанной на шкив радиуса
3
r
(рис.20).
Численные значения радиусов равны:
;
см
2
;
см
4
11
r
R
см
6
;
см
24
;
см
8
;
см
12
3322
r
R
r
R
.
Рейка СD движется по закону
S
t
40
2
, где S – в см, t – в
секундах. Определить законы движения вращающихся колес, а
также в момент времени t
1
=2 с угловую скорость и угловое
ускорение колеса 2, скорость и ускорение груза Е и точки В,
лежащей на колесе 3.
Указания
Эта задача на исследование вращательного движения твердого
тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что
колеса находятся в зацеплении, а ремень по ободу шкивов R
1
и R
2
не
скользит.
43
Решение. Решение задачи следует начинать с ведущего звена,
т.е. с того звена, движение которого задано. В данной задаче это
звено CD – зубчатая рейка. Далее, последовательно будет
рассматриваться передача движения от одного звена к другому. Это
позволит последовательно находить уравнения движений всех
звеньев механизма.
Рассмотрим передачу движения в
кинематической паре: зубчатая рейка −
зубчатое колесо радиуса
r
1
.
При перемещении рейки вниз по
закону
S
t
40
2
приводится во
вращение колесо 1. Так как зацепление
рейки с колесом зубчатое, то взаимного
проскальзывания нет. Следовательно,
перемещение рейки S и дуговое
перемещение точки
М
М
М
0
1
можно
приравнять (рис. 21).
S
М
М
0
1
. Но
длина дуги
1110
r
М
М
, а
S
t
40
2
.
Следовательно
11
2
40 rt , отсюда
Рис. 21
E
V
Рис. 20
44
находим
1
.
2
2
1
2
1
20
2
4040
t
t
r
t
.
2
1
20t .
(2.11)
Это закон движения (вращения) зубчатого колеса
r
1
и шкива
R
1
(рис. 21).
Рассмотрим следующую кинематическую пару: шкив радиуса
R
1
и шкив радиуса
R
2
, которые соединены между собой ремнём
(ремённая передача).
Так как ремень не проскальзывает, то при повороте колеса 1
на угол
1
можно приравнять дуговые перемещения
S
и
S
1 2
(колёс 1
и 2) (рис. 22).
S
S
1
2
; но
111
R
S
, а
222
R
S
, тогда
2211
R
R
,
отсюда
1
1
2
11
2
3
1
12
4
R
R
; из (2.11) ,20
2
1
t тогда
2
2
22
12
3
20
;
3
20
20
3
1
3
1
ttt . (2.12)
Это закон вращения шкива 2, а также колеса радиуса
r
2
.
Рис. 22
45
Следующая кинематическая пара: зубчатые колёса с радиуса-
ми
r
2
и
R
3
.
Зубчатое колесо (рис. 23) радиуса
r
2
передаёт движение зубча-
тому колесу радиуса
R
3
. При отсутствии взаимного проскальзыва-
ния колёс 2 и 3 дуговые перемещения точек этих колёс
S
2
и
S
3
рав-
ны, но так как
,
,
333222
R
S
r
S
то
,
3322
R
r
отсюда
.
3
22
3
R
r
Подставив значения
r
2
,
R
3
и
2
из (2.12), получим
2
3
9
20
t –
(2.13)
уравнение вращения колеса радиуса
R
3
и спаренного с ним шкива радиуса
r
3
.
Следующая кинематическая па-
ра: шкив радиуса
r
3
и груз Е, соеди-
нённый со шкивом тросом (рис. 24).
Учитывая, что трос по шкиву не
проскальзывает, можно приравнять
Рис. 23
Рис. 24
46
дуговое перемещение
S
3
точки шкива и перемещение груза Е −
S
E
.
,
;
333333
r
S
S
r
S
E
подставляя
значения
3
и
r
3
, получим S t t
E
20
9
6
40
3
2 2
.
S t
E
40
3
2
.
(2.14)
Это уравнение прямолинейного движения груза Е.
Скорость точки Е –
V
dS
dt
t
E
E
80
3
.
При
c
2
t
)см/с(3,53
3
160
2
3
80
E
V .
Ускорение точки Е − .)см/с(66,26
3
80
2
dt
dV
а
E
Е
Определение скорости и ускорения точки В, находящейся на
ободе колеса
R
3
.
Найдём угловую скорость
3
и угловое ускорение
3
колеса
3. Используя формулы (2.4) и (2.5),
dt
d
3
3
; из (2.13) .
9
20
2
3
t
Тогда .)с(
9
40
;
9
40
2
3
3
3
3
dt
d
t
dt
d
При
c
2
t
1
3
с
9
80
9
240
.
n
B
a
B
a
B
a
В
V
33
,
Рис. 25
47
Из (2.6)
,
R
V
тогда для точки В (рис. 25)
;см/с33,213
3
640
24
9
80
33B
RV
;)см/с(3,189624
9
80
2
2
3
2
3
Ra
n
B
;)см/с(67,10624
9
40
2
33
Ra
B
)см/с(29,189967,1063,1896)()(
22222
B
n
BB
aaa .
Задача 2
Если в задачах на вращательное движение стоят вопросы
лишь на определение угловых скоростей, угловых ускорений, уско-
рений точек этих тел, то не всегда при этом есть необходимость на-
ходить законы вращения твёрдых тел. Можно, как было указано
выше, воспользоваться равенством линейных скоростей точек со-
прикосновения тел в передающей кинематической паре. В таких за-
дачах, как правило, задаётся угловая скорость какого-либо тела
(
)
(
t
f
) или линейная скорость какой-либо точки тела, а также
все необходимые размеры.
В качестве примера рассмотрим кинематику механизма, со-
стоящего из зубчатых колёс с радиусами
R
R
r
r
R
3 2 2 1 1
,
,
,
,
(рис. 26).
Задана угловая скорость колеса 2 −
2
4
2
t
и значения радиусов:
,
см
4
1
r
,
см
8
1
R
,
см
20
2
R
,
см
4
2
r
.
см
16
3
R
Найти :
AAE
V
а
а
,
,
,
,
,
,
1133
в момент
c
2
t
.
Так как по условию задачи задана угловая скорость
2
, нач-
нём рассмотрение передачи движения с колеса 2. Возьмём кинема-
тическую пару зубчатых колёс с радиусами
r
2
и
R
3
. Точка их сопри-
косновения имеет скорость
V
Д
, которая принадлежит этим двум ко-
лесам. Поэтому
.
;
3322
R
V
r
V
ДД
48
Приравнивая
3322
R
r
, получим
;5,01
16
4
24
3
22
3
tt
R
r
)с(5,0;5,01
2
3
33
dt
d
t .
При
c
2
t
)с(225,01
1
3
,
2
3
с5,0
.
Определим скорость и ускорение точки А колеса 3.
,
см/с
32
16
2
33
R
V
A
,см/с64162
22
3
2
3
Ra
n
A
,см/с8165,0
2
33
Rа
А
.см/с5,64864)()(
22222
A
n
АА
aаа
Рассмотрим кинематическую пару зубчатых колёс с радиуса-
ми
R
2
и
r
1
(рис. 25). Рассмотрим точку В. Для колеса 2
22
R
V
B
,
A
V
A
a
n
A
a
D
V
B
V
C
V
E
V
E
a
Рис. 26
49
для колеса 1
11
r
V
B
. Приравнивая правые части, запишем
1122
r
R
, отсюда
t
t
r
R
1020
4
2024
1
22
1
;
t
10
20
1
при ;с40;c2
1
1
t .с10
2
1
1
dt
d
Следующая кинематическая пара: шкив радиуса
R
1
и груз Е,
которые соединены нерастяжимой нитью, намотанной на шкив. Так
как зубчатое колесо радиуса
r
1
и шкив соединены на оси воедино, то
их угловые скорости будут одинаковы:
.
10
20
1
t
Тогда
.
80
160
8
10
20
11
t
t
R
V
C
Но
;
CE
V
V
поэтому
V
t
E
160
80
.
Так как движение груза Е прямолинейное, то ускорение груза
E будет определяться по формуле:
)см/с(80
80160
2
dt
td
dt
dV
а
E
E
.
Скорость
V
E
при
c
2
t
:
)
см/с
(
320
2
80
160
E
V
.
50
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что изучает кинематика?
2. Назовите две основные задачи кинематики.
3. Дайте определение скорости и ускорения точки.
4. Почему кинематику называют геометрией движения, чем она
отличается от геометрии?
5. Какие переменные в кинематике рассматриваются в качестве
независимых?
6. В чём относительность понятий движения и покоя?
7. Какие существуют способы задания движения точки и в чём
заключается каждый из них?
8. Что называется траекторией точки?
9. Как при координатном способе задания движения точки опре-
деляется её траектория?
10. Зависит ли вид траектории от выбора системы отсчёта?
11. Что значит определить (задать) движение точки?
12. В чём отличие графика движения от траектории точки?
13. Существует ли различие между перемещением точки и путём,
пройденным точкой. В каком случае эти понятия совпадают?
14. Чему равен и как направлен в пространстве вектор скорости?
15. Чему равны проекции скорости точки на неподвижные оси де-
картовой системы координат?
16. Как по проекциям скорости найти её модуль и направление?
17. Какое движение точки называется равномерным и какое рав-
нопеременным?
18. Почему в случае криволинейного движения точки даже при
постоянной скорости вектор полного ускорения этой точки отличен
от нуля?
19. Известно, что при равнопеременном движении точки касатель-
ное ускорение равно нулю. Имеет ли место обратное заключение?
20. При прямолинейном движении точки радиус кривизны траек-
тории равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.
Имеет ли место обратное заключение?
21. Чему равен и как направлен в пространстве вектор ускорения?