Лысак О.Н. (сост.) Кинематика точки и простейшие движения твёрдого тела
Подождите немного. Документ загружается.
31
,м/с80)5,0(160120cos160
,м/с56,138866,0160120sin160
20
20
y
x
а
а
22222
8
м/с1608056,138
yx
aaa .
Точка М
14
. .210,200
0
141414
t
,м/с56,138210cos160
,м/с80210sin160
2
2
o
y
o
x
a
a
22222
14
м/с160)56,138()80(
yx
aaa .
Полученные значения проекций ускорения точки М отклады-
ваем в масштабе с учётом их знаков в точках М
4
, М
8
и М
14
. Затем,
построив параллелограммы, найдём векторы ускорений в этих точ-
ках:
.
;
;
1484
a
a
a
Характерно, что при равномерном движении, (качении) коле-
са, модули векторов ускорений равны:
2
1484
м/с160 ааа и
все они направлены к центру колеса: в точке М
4
− к центру О
4
; в
точке М
8
– к центру О
8
; в точке М
14
– к центру О
14
(рис. 13).
Определение ускорений нормального и касательного точ-
ки М
Для этого воспользуемся формулами (1.11), (1.14), (1.15). Из
(1.14)
V
aVaVaV
a
zzyyxx
,
zz
а
V
,
равны нулю, так как точка М движется в плоскости
xOy
.
Тогда
.
V
aVaV
a
yyxx
Из (1.15)
.
22
aaa
n
Расчёт произведём для трёх моментов времени
t
t
t
t
:
;
;
4 8 14
и
затем отобразим это на траектории в масштабе (рис. 13).
Здесь в методических указаниях приведён расчёт лишь для
одного момента
t
t
4
. Используя полученные выше расчёты для
a
V
a
a
V
V
yxyx
,
,
,
,
,
для момента
t
t
4
, по формулам (1.14) и (1.15),
найдём
a
и
n
a
.
При
t
t
4
,
м/с
20
x
V
,
м/с
28
,
69
y
V
,м/с56,138
2
x
a
32
,м/с80
2
y
a ,м/с160
2
а
м/с
11
,
72
V
.
Тогда
,м/с43,38
11,72
8028,6956,13820
2
a
222
22
м/с32,15543,38160
aaa
n
.
При
t
t
4
точка М
4
– ;м/с32,155;м/с43,38
22
n
аa
при
t
t
8
точка М
8
– ;м/с12,157;м/с24,30
22
n
аа
при
t
t
14
точка М
14
–
.м/с16,159;м/с35,16
22
n
аа
Поместив эти значения (вычертив) на чертеже (рис. 13), мы
можем наглядно представить характер движения точки М. Так, на-
пример, точка М в моменты
t
4
и
t
8
имеет положительные знаки каса-
тельного ускорения. Это говорит о том, что от начального положе-
ния М
0
до верхнего положения точка движется по траектории уско-
ренно. Далее знак касательного ускорения
а
меняется на обратный
− движение становится замедленным.
Нахождение радиусов кривизны траектории в точках М
4
,
М
8
, М
14
Из формулы (1.16)
n
a
V
2
Имея вычисленные значения
V
и
n
a
для точек М
4
, М
8
, М
14
, подсчитаем радиусы кривизны.
Точка М
4
,
t
t
4
,м/с32,155,м/с11,72
2
4
n
аV
.м48,33
32,155
11,72
22
4
n
a
V
Точка М
8
,
t
t
8
,м/с12,157,м/с65,91
2
8
n
аV
.)м(46,53
12,157
65,91
22
8
n
a
V
Точка М
14
,
t
t
14
,м/с16,159,м/с83,97
2
14
n
aV
)м(13,60
16,159
83,97
ρ
22
14
n
a
V
.
33
Линейный масштаб m 1 : 4
Масштаб скоростей m
V
1 см ÷ 20 см/с
Масштаб ускорений m
a
1 см ÷ 10 см/с
2
Рис. 13. К определению скоростей и ускорений точки М
для трёх положений колеса
34
Радиусы кривизны направлены по главной нормали в сторо-
ну вогнутости траектории.
В том же масштабе, в котором построена траектория, отло-
жим от точек М
4
, М
8
, М
14
по главным нормалям (или перпендику-
лярно векторам скоростей) значения
.
,
,
1484
Обозначим центры
кривизны С
4
, С
8
, С
14
.
Любопытно, что линии этих радиусов проходят через точки
соприкосновения колёс с рельсами, что впоследствии в разделе
плоско-параллельного движения твёрдого тела найдёт подтвержде-
ние.
1.4.3. Задача 3
Из орудия береговой артиллерии с высоты h = 30 м над уров-
нем моря произведён выстрел под углом α
о
= 30
о
к горизонту с на-
чальной скоростью
500
o
V
м/с. Определить, на каком расстоянии
от орудия снаряд попадёт в цель, находящуюся на уровне моря, ско-
рость снаряда в наивысшей точке траектории и в точке падения.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Составим уравнения движения точки (снаряда) М.
Движение точки М по криволинейной траектории можно разложить
α
о
h
o
V
S
М
x
y
Рис. 14
35
на два прямолинейных: равномерное движение вдоль оси x и рав-
нопеременное вдоль оси y с постоянным ускорением g.
,м/с)(325030cos500cos
0
tttVx
oоM
.м/с)(9,425030
2
sin
2
2
tt
gt
tVhy
ооM
Определим уравнение траектории y(x) точки М, для этого ис-
ключим параметр t из уравнений движения.
,
3
250
M
x
t
.
3250
9,4
3250
25030
2
MM
M
xx
y
24
1026,0577,030
MMM
xxy
– уравнение траектории
точки М, это уравнение параболы с вертикальной осью.
Определим время t
1
полёта и дальность S полёта снаряда.
В момент падения снаряда на землю координата y
М
равна нулю.
2
111
9,4250300)( ttty
M
.
Отсюда
с)(14,51
9,42
309,44250250
2
1
t .
Тогда
)м(32,2214414,5132503250)(
11
ttxS
M
.
Проекции вектора скорости снаряда на оси координат
3250
dt
dx
V
M
x
(м/с);
t
dt
dy
V
M
y
8,9250 (м/с).
В момент падения снаряда при t
1
=51,14 с
3250
x
V м/с,
17
,
251
14
,
51
8
,
9
250
y
V
м/с.
Модуль вектора скорости
59,500)17,251()3250()()(
2222
yx
VVV (м/с).
36
Определим высоту H подъёма снаряда.
В наивысшей точке траектории снаряда (в точке перегиба тра-
ектории)
0
y
V
, т.е.
2
8
,
9
250
0
t
. Отсюда
51
,25
8,9
250
2
t с.
Тогда
72,3218)51,25(9,451,2525030)(
2
2
tyH
M
м.
Скорость снаряда в наивысшей точке
32500)3250()()(
222
yx
VVV м/с.
2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
2.1. Поступательное движение твёрдого тела
Движение твёрдого тела, при котором любая прямая, взятая в
этом теле, перемещается параллельно самой себе, называется посту-
пательным.
Поступательное движение полностью отражено теоремой [1] :
при поступательном движении твёрдого тела все его точки описы-
вают одинаковые траектории (рис. 15) и в каждый момент имеют
одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
А
V
А
а
B
а
траектория
точки А
траектория
точки В
B
V
Рис. 15
37
Для доказательства соединим точки А и В твёрдого тела с не-
подвижным началом координат О. Обозначим радиусы-векторы
АВrr
BA
и
,
. Из рисунка видно, что АВrr
AB
. Так как прямая АВ
при движении твёрдого тела перемещается параллельно самой себе,
а расстояние между двумя точками А и В в твёрдом теле неизменно,
то вектор
АВ
при движении остаётся постоянным. .constАВ
Дифференцируя векторное равенство АВrr
AB
по
t
, получим
dt
АВd
dt
rd
dt
rd
AB
.
Или
d
r
dt
d
r
dt
B A
; но
d
r
dt
V
d
r
dt
V
B
B
A
A
; ; отсюда следует , что
V
V
B
A
. (2.1)
Так как точка В – любая точка твёрдого тела, то можно запи-
сать
A
E
D
B
VVV
V
.
Дифференцируя (2.1) по времени, получим
d
V
dt
d
V
dt
B A
; или
AB
а
а
. (2.2)
Таким образом, движение тела вполне определяется движени-
ем одной точки, и тогда изучение движения сводится к задаче кине-
матики точки, рассмотренной ранее.
2.2. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси
2.2.1. Общие формулы угловых и линейных
характеристик вращательного движения
При вращении твердого тела его положение в любой момент
времени будет определяться значением угла поворота (рис. 15) те-
ла вокруг неподвижной оси [1]. Этот угол является непрерывной и
однозначной функцией времени
)
(
t
f
. (2.3)
Это уравнение называется уравнением или законом враща-
тельного движения. Таким образом, твердое тело, вращающееся во-
круг неподвижной оси, обладает одной степенью свободы.
0
38
Производная от угла по времени называется угловой скоро-
стью тела (омега).
dt
d
. (2.4)
Угол измеряется в радианах, а угловая скорость в радианах
в секунду
1
с
с
1
с
рад
.
Производная от угловой скорости по времени называется уг-
ловым ускорением (эпсилон).
2
2
dt
d
dt
d
. (2.5)
Размерность углового ускорения
2
22
с
с
1
с
рад
.
Линейные скорости точек твердого тела, вращающегося во-
круг неподвижной оси, определяются по формуле:
R
V
; (2.6)
Рис. 16
39
где – угловая скорость, R – радиус окружности, описывае-
мой точкой при вращении тела. Вектор скорости точки
V
M
направ-
лен по касательной к окружности в сторону вращения тела (рис. 17).
При определении ускорения точки необходимо учитывать, что
точка совершает криволинейное движение, и её ускорение будет
складываться из двух: нормального и касательного, которые опреде-
ляются по формулам:
- нормальное Ra
n
2
; (2.7)
- касательное
R
a
. (2.8)
Вектор нормального ускорения
n
a
направлен по радиусу к оси
вращения; вектор касательного ускорения
a
по касательной к ок-
ружности или, что то же, перпендикулярно к нормальному. В случае
ускоренного вращения вектор
a
направлен по вектору скорости.
Полное ускорение точки М определяется как векторная сумма
нормального и касательного ускорений (рис. 16)
a
a
a
n
. (2.9)
a
a
n
a
М
V
Рис. 17
40
Модуль ускорения
42
22
Rааa
n
. (2.10)
При рассмотрении кинематики какого-либо механизма всегда
встаёт вопрос о передаче движения от одного звена механизма к
другому. Два звена механизма, передающие движение от одного к
другому, называются кинематической парой. Количество кинемати-
ческих пар в механизме различно в зависимости от сложности меха-
низма и его функционального предназначения.
К примеру, такими кинематическими парами могут быть: зуб-
чатая пара (рис. 18, а); зубчатое колесо – зубчатая рейка (рис. 18, б);
шкив – ремённая передача (рис. 18, в); шкив – трос с грузом
(рис. 18, г). В данном разделе мы подробнее рассмотрим кинемати-
ческие пары, в которых происходит передача вращательного движе-
ния во вращательное и вращательного в поступательное.
В основе работы механизма лежит то, что геометрические со-
отношения перемещений звеньев кинематических пар остаются по-
стоянными во всё время движения. Так как это обеспечивается кон-
струкцией механизма, то при постановке задания на решение задачи
это оговаривается в условиях задачи. К примеру, оговаривается, что
колесо находится в зубчатом зацеплении; нить или ремень, намо-
танные на шкив, не проскальзывают по нему; нить или трос нерас-
тяжимы и т.д. Поэтому, сделав оговорку, что колёса находятся в
зубчатом зацеплении, можно на рисунках зубья шестерни не изо-
бражать и ограничиться более простой схемой (рис. 19).
Рассмотрим зубчатую передачу. Ведущее колесо 1 радиуса
R
1
вращается так, что
t
f
11
и передаёт движение колесу 2 радиуса
R
2
. Для нахождения закона вращения колеса 2, повернём колесо на
угол
1
. Проследим за движением точки С. Точка С колеса 1 пере-
местится по дуге на расстояние
S
1
, а точка С колеса 2 переместится
по дуге
S
2
. Эти перемещения будут равны, так как колёса находятся
в зубчатом зацеплении.
Длины дуг
S
1
и
S
2
найдём по формулам
222111
;
R
S
R
S
.
Приравнивая
S
S
1
2
, получим
2211
R
R
. Отсюда
2
11
2
R
R
.