Лысак О.Н. (сост.) Кинематика точки и простейшие движения твёрдого тела

Подождите немного. Документ загружается.

)см/с(77,12)26,0(5



a ,

22222

см/с18,96)77,12()33,95( 

aaa .

Полученные значения модулей векторов ускорений и их про-

екций на оси координат для моментов

отложим соответствен-

но в точках М

и М

траектории (рис. 9).

Определение ускорения точки М в естественной системе

координат

Для этого воспользуемся формулами (1.11); (1.14); (1.15).

Так как точка М движется в плоскости (

xOy

), то проекции

равны нулю. Тогда

aVaV

yyxx







aaa

 .

Подставляя найденные выше значения для

yxyx

;

для

момента времени ,c

t найдём

















см/с83,46

67,49

89,3421,2279,69)43,44(



















a .

Знак плюс показывает, что точка движется ускоренно, следователь-

но, вектор



направлен по вектору





















2222

см/с42,6283,4603,78 



aaa

Для момента времени c

t (для точки М

)





















см/с77,33

43,34

77,1234,3033,9526,16



















a ,

06,90)77,33()18,96(



a (см/с

Отложив на траектории нормальное

и касательное



ус-

корения в точках М

и М

, произведя их векторное сложение, по-

строив прямоугольники (





), получим значения векторов уско-

рений

. Как видно из рис. 9, эти векторы по модулю и по напра-

Линейный масштаб m 1: 4

Масштаб скоростей m

1 см ÷ 10 см/с

Масштаб ускорений m

1 см ÷ 10 см/с

Рис. 9

Траектория движения точки М.

Векторы скоростей и ускорений точки М

в моменты t

и t

влению совпадают с векторами ускорений, полученными при коор-

динатном способе задания движений точки.

Нахождение радиусов кривизны траектории в точках М

Из формулы (1.16)

 . Подставив значения

найдём радиус кривизны для моментов

Для

 

;см52,39

42,62

67,49



для

 

.см16,13

06,90

43,34

1313



На чертеже (рис. 9) отложим от точек М

и М

по главным

нормалям в сторону вогнутости траектории значения



и от-

метим точки О

и О

– центры кривизны траектории в этих точках.

Для наглядности из этих точек проведём окружности с радиу-

сами



. Эти окружности будут иметь одинаковую кривизну с

кривизной траектории, соответственно, в точках М

и М

1.4.2. Задача 2

Колесо радиуса



, имеющее реборду радиуса



, катится без скольжения по прямолинейному рельсу

(рис.10) с постоянной скоростью

м/с



. В начальный момент

времени



с точка М находилась в наинизшем положении М

тогда центр колеса О

находился на оси Oy и угол





Требуется определить уравнения движения точки М, лежащей

на ободе реборды, её скорость, ускорение полное, нормальное и ка-

сательное в различные заданные моменты времени

1484

;

Необходимо также построить графически в масштабе траек-

торию точки М; найти и нанести на чертёж радиусы кривизны тра-

ектории точки М для моментов времени

1484

;

Вид А

Рис. 10

Составление уравнений движения точки М

Для нахождений уравнений движения (





tfx







tfy



) необходимо механизм (в данном случае колесо) сдви-

нуть из начального положения, изобразить на чертеже. За начало

координат примем точку соприкосновения колеса малого радиуса

Точка М при этом будет занимать наинизшее положение – М

(рис.10). Установим зависимость координат

точки М от по-

ложения центра колеса О

и угла поворота



(рис. 10).

На чертеже видно, что в этот момент

   

.cos

,sin

rRKOLOKLOEy

RtVLMOKMEx

















Так как колесо катится без проскальзывания, то перемещение

колеса (отрезок ОК) будет равен длине дуги ДК радиуса

OК

ДК



Но

ОК



– путь, пройденный центром колеса

при равномерном движении, а длина дуги







ДК

; т.е.





отсюда

 

.радиан002

1,0



(1.19)

Подставляя значение

200





в выражение для

, получим

уравнения движения точки М:





 

.м200cos4,01,0

;м200sin4,020

ttx







(1.20)

Построение траектории точки М графическим способом

Способ 1. Как видно из (1.19), за время c

100

200







T ко-

лесо повернётся на угол



, следовательно, точка опишет полный

виток траектории. Разобьём этот промежуток на 24 части с шагом

2400



t . Будем подставлять последовательные моменты време-

ни в уравнения движения (1.20). Полученные координаты последо-

вательно откладываем на осях Ox и Oy; соединяя полученные точки

плавной кривой, получим траекторию точки М, описанную за один

оборот колеса. Заметим, что общий вид траектории не зависит от

скорости движения колеса.

Способ 2. Он состоит в последовательном графическом по-

строении (в масштабе) на чертеже механизма (колеса) через равные

промежутки времени. В каждом из положений колеса на чертеже

наносится точка М.

Сделаем разбивку времени на равные промежутки времени



. Примем этот промежуток времени c

2400



t . После чего оп-

ределим моменты времени

;

3210



для которых будем нахо-

дить последовательные положения точки М (М

, М

, . . . ), кото-

рые нанесём на чертеже.

1200

2400

12010















 ttttttt

и далее .c

1200

;;c

300

;;c

600

800

14843















 tttt 

Для сокращения изложения, в качестве примера, определим

положения точки М лишь в двух положениях: при



(точка М

)

и при



(точка М

При c

600



 tt

 

м1047,0

600

2020





 tS ,

 





.60рад

600

200200









 t

Построение: переместим колесо по оси

на расстояние





1047



(рис. 11), начертим колесо на чертеже, далее отло-

жим угол

60 от начального положения, найдём точку M

нанесём её на чертеже.

Точно так же для точки М

в момент :c

1200



 tt

 

м366,0

1200

2020





 tS ,

m 1:5

Рис. 11.

Построение траектории точки М

Рис. 12.

Влияние соотношения радиусов колёс на траекторию

движения точки М обода большого колеса

 





.210рад

1200

200200





 t

Отложим по оси

путь

, пройденный колесом за с

1200



 tt –

366



отложив угол

210

, найдём положение точки М

Точки М

, М

, . . . ,М

, . . . , в порядке последователь-

ности нанесённые на чертёж и соединённые плавной линией, обра-

зуют траекторию движения точки М катящегося колеса. Напомина-

ем – качение происходит без проскальзывания.

Для наглядности на рис. 12 приведены траектории движения

точек для колёс с различным соотношением радиусов колёс. Траек-

тории рассчитаны и нанесены на чертёж с учётом масштаба.

Определение скорости точки М для моментов времени

1484

Проекции скорости точки М на оси координат находим по

первым производным от уравнений движения:





 

.м/с200sin80

200cos4,01,0

;м/с200cos8020

200sin4,020

ttd













Точка М

 





444

60рад

600

200200;c

600











 tt ,

Тогда,

 

;м/с20

cos8020 





;)м/с(28,69

sin80 









.м/с11,7228,69)20(

2222



VVV

Точка М

 





888

120рад

200;c

300







 tt ,

Тогда,

 

;м/с60

cos8020 





;)м/с(28,69

sin80 









м/с65,9128,6960

2222



VVV .

Точка М

 





141414

210рад

200;c

1200







 tt ,

 

;м/с28,8928,6920

cos8020 





;)м/с(40

sin80 









м/с83,97)40(28,89

2222



VVV .

Полученные значения проекций скоростей с учётом их знаков

откладываем в масштабе в точках М

, М

; затем в этих точках

(рис. 13) строим параллелограммы и получаем векторы скоростей в

этих точках:

4 8 14

На рисунке видно, что векторы скоростей

направлены по касательным к траекториям в точках М

, М

и М

что подтверждает правильность расчётов.

Примечание. Траектория на рис. 13 взята с рис. 11. Для того

чтобы не затемнять чертёж, окружности радиуса R не показаны, но

показано колесо радиуса

в четырёх положениях.

Определение ускорения точки М для моментов времени

1484

Проекции ускорения точки М на оси координат находим по

первым производным от проекций скорости на соответствующие

оси координат:









 

.м/с200cos160

200sin80

,м/с200sin160

200cos8020









Точка М

. .60,002

444

 t





 

,м/с805,016060cos160

,м/с56,138866,016060sin160









22222

м/с1608056,138 

ааа .

Точка М

. .120,002

888

 t