Луцко А.Н., Марцулевич Н.А. и др. Механика
Подождите немного. Документ загружается.
221
пример, в виде зубчатой трапециидальной рейкой со стандартным
шагом Р между зубьями рейки. Боковые режущие кромки рейки
скошены под углом
= 20 (стандартный угол профиля).
На рис. 86 приведена схема эвольвентного зацепления двух
прямозубых зубчатых колес. Общая нормаль к профилям
N – N
является линией зацепления, по которой перемещается точка
контакта К. Угол
W
– угол зацепления. На шестерне 1 колесе 2
радиусами отмечено по пять окружностей: делительная (
r), основная
(r
b
), окружность вершин зубьев (r
a
), окружность впадин (r
f
) и начальная
окружность (
r
w
).
Зубья колеса (шестерни) ограничиваются со стороны тела
колеса
окружностью впадин радиуса r
f
, а с внешней стороны
окружностью вершин радиуса r
a
. Соответствующие этим окружностям
цилиндрические поверхности называются
поверхностями впадин и
выступов. Делительная окружность делит зуб колеса (шестерни) на
головку высотой
h
a
и ножку зуба высотой h
f
.
Дуга АВ по делительной окружности равна шагу Р режущего
инструмента
. Таким образом, длину делительной окружности
можно выразить как через шаг Р и число зубьев, так и через диаметр
делительной окружности
d
Рисунок 86
O
2
r
2
= r
w2
c
O
1
T
T
α
w
α
w
r
f1
r
a1
r
b1
c
α
w
r
a2
r
f2
r
b2
M
2
N
N
a
w
P
K
M
1
A
ω
2
ω
1
B
2
1
r
1
= r
w1
h
a
h
f
222
= Р z = π d , (8.80)
откуда можно получить выражение для диаметра делительной
окружности и модуля
m зубчатого колеса
,mzz
P
d
(8.81)
.
P
m
(8.82)
Модуль – это отношение шага по делительной окружности к
числу
π. Модуль измеряется в линейных единицах (миллиметрах) и
является на делительной окружности стандартной величиной (ГОСТ
9563 – 60). Значения наиболее употребительных модулей согласно
этому ГОСТу приведены ниже в таблице.
Таблица. Ряд наиболее употребительных модулей по
ГОСТ 9563–60
1-
й
ряд *
1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20
2-й
ряд
1,7 2,2 2,7 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18 22
* Первый ряд следует предпочитать второму
Различают мелкомодульные (
m 1 мм), среднемодульные (1 m
10 мм) и крупномодульные (m > 10 мм) зубчатые передачи.
Модуль колеса на делительной окружности
– важнейший параметр,
через который определяются все геометрические размеры колеса и
передачи.
Из данных приведенных в следующей таблице вытекает, что
высота головки зуба (
h
a
= m) меньше высоты ножки зуба (h
f
= 1,25m).
Это связано с тем, что в зацеплении (рис. 86) предусмотрен
стандартный радиальный зазор с, который необходим для
размещения смазки, компенсации неточности изготовления и монтажа
передачи, и для компенсации тепловых деформаций.
Начальными называются окружности, по которым зубчатые
колеса перекатываются без скольжения. Начальные окружности (рис.
86) пересекают линию центров О
1
О
2
в точке Р. Точка Р – полюс
зацепления
, он делит межосевое расстояние a
W
в отношении
пропорциональном передаточному отношению
U
1-2
=
1
/
2
= z
2
/ z
1
= d
w2
/ d
w1
= d
2
/ d
1
. (8.83)
223
Для получения больших передаточных отношений в закрытых
передачах широко применяются многоступенчатые передачи в виде
рядов зубчатых колёс.
На рис. 87 представлена схема трёхступенчатой понижающей
передачи (редуктора) передачи (
вх
>
вых
). Входной вал 1 называется
быстроходным, а
выходной вал 4 – тихоходным. Валы 2 и 3 называют-
ся промежуточными. Первые два зубчатых колеса (число зубьев z
1
и
z
2
) составляют быстроходную ступень; следующие два колеса (число
зубьев
z
3
и z
4
) – промежуточную ступень; последние два колеса
(число зубьев
z
5
и z
6
) – тихоходную ступень редуктора.
Общее передаточное отношение
i
ред
(передаточное число u
ред
)
редуктора равно
ред
2
1
вых
вх
ред
ui
. (8.84)
Передаточные отношения и передаточные числа ступеней
вычисляются по формулам
1
2
2
1
z
z
ui
бб
;
3
4
п
3
2
п
z
z
ui
;
5
6
т
4
3
т
z
z
ui
. (8.85)
При перемножении левых и правых частей уравнений (8.85) получим,
что
Таблица 8.8
– Основные параметры колес и передачи
Параметры шестерни зубчатого колеса
Высота головки зуба h
a
= m
Высота ножки зуба h
f
= 1,25 m
Радиальный зазор с = 0,25 m
Диаметр
делительной
окружности
d
1
= mz
1
d
2
= mz
2
Диаметр основной
окружности
d
b1
= d
1
cos * d
b2
= d
2
cos *
Диаметр окружности
вершин зубьев
d
a
1
= d
1
+ 2h
a
= m ( z
1
+ 2 )
d
a
2
= d
2
+ 2h
a
= m ( z
2
+ 2 )
Диаметр окружности
впадин зубьев
d
f
1
= d
1
–2h
f
= m ( z
1
– 2 ,5 )
d
f
2
= d
2
–2h
f
= m ( z
2
–2 ,5 )
Делительное
межосевое
расстояние
a = 0,5 (d
1
+ d
2
)
* = 20 – стандартный угол профиля.
224
531
642
Тпб
432
321
n
пб
zzz
zzz
uuuiii
. (8.86)
Поскольку в (8.82) угловые скорости
2
и
3
сокращаются, то с учетом
(8.80) получим выражение для
общего передаточного числа
редуктора, которое равно произведению передаточных отношений
(чисел) отдельных ступеней
n
1i
i
редред
uui
. (8.87)
Передаточные отношения
быстроходной (
i
б
), проме-
жуточной (i
п
) и тихоходной (i
т
)
ступени зависят от общего
передаточного числа редукто
-
ра (i
ред
) и подбираются по
условию минимума габаритов
и массы (см. приложение).
Из закона передачи
момента (8.48) с учетом КПД
цилиндрической передачи
(
цп
) и пары подшипников (
пп
) следует, что моменты на втором,
третьем и четвертом (тихоходном) валах соответственно равны
ппцпб12
uTT
,
ппцпп23
uTT
,
ппцпт34
uTT
. (8.88)
Знание величины крутящего момента
позволяет выполнить предварительный
расчет вала
– определить из условия
прочности на кручение (8.16) диаметр вала.
Наибольшую нагрузку зуб колеса испы
-
тывает в начальный момент зацепления,
когда точка К контакта двух зубьев находит
-
ся на вершине зуба (рис. 88), угол
W
20
÷ 25 – угол давления, несколько больше
угла зацепления
W
. В прямозубой переда-
че в точке контакта зубьев действует сила
F
n
, направленная вдоль линии зацепления.
Силу
F
n
раскладывают на окружную F
t
и
радиальную F
r
составляющие (рис. 88). Ок-
ружная составляющая силы может быть
определена исходя из величины переда
-
ваемой мощности N и угловой скорости
z
1
z
2
z
5
z
6
z
3
z
4
4
3
2
1
1
=
вх
2
3
4
=
вых
Рисунок 87
S
K
N
N
W
F
t
F
n
F
r
c
и
F
B
C
H
Рисунок 88
225
колеса или по величине крутящего момента Т на соответствующем
валу
,
d
N2
d
T2
F
t
(8.89)
где d – диаметр делительной окружности.
Из силовой схемы (рис. 88 ) следует, что
F
r
= F
t
tg
W
, (8.90)
F
n
= F
t
/ cos
W
. (8.91)
Радиальная сила F
r
вызывает сжатие зуба в сечении ВС, а момент М
от действия окружной силы
F
t
– изгиб. Напряжений сжатия и изгиба,
возникающие в крайних волокнах сечения вычисляются по
следующим формулам
bS
tgF
A
F
Wt
r
с
, (8.92)
2
y
z
t
z
и
bS
F6
W
F
W
M
, (8.93)
где b – ширина зуба (ширина венца колеса); S – толщина основания
ножки зуба; М
– изгибающий момент; W
z
– осевой момент инерции
корневого сечения. Расчет зуба на изгиб проводят по величине
суммарных напряжений на растянутой стороне зуба в точке В
F
=
и
-
с
[], (8.94)
где [] – допускаемые напряжения.
Суммарные напряжения
F
на растянутой стороне зуба (рис. 88)
меньше, чем на сжатой, в точке С. Однако поверхностные слои мате
-
риала хуже сопротивляются растяжению чем сжатию, поэтому точка В
считается опасной
– в ней наиболее вероятно появление трещины.
Поскольку контакт двух зубьев представляет собой высшую
кинематическую пару (контакт происходит по линии), то расчет
зубчатой передачи ведут по контактным напряжениям
Н
на
контактную прочность и контактную выносливость по зависимостям,
полученным на основании формулы Герца
-Беляева (8.63).
Цепной передачей называется передача зацеплением с помо-
щью цепи. Передачи этого типа (рис. 89) предназначены для передачи
вращательного движения между параллельными осями на большие
расстояния с преобразованием параметров движения. В отличие от
ременных передач, цепные передачи обеспечивают постоянство
среднего передаточного отношения. Передаточное отношение в тихо
-
ходных механических передачах (окружная скорость V 2 м/с) может
226
достигать i = 15, а в быстроходных (V 25 м/с) передаточное
отношение
– i 3. Передаваемая мощность до 100 кВт, межосевое
расстояние а (рис. 89) до 6
÷ 8 м. КПД ( = 0,96 ÷ 0,98). Нагрузка на
валы меньше чем в ременной передаче. Основные недостатки цепной
передачи: шум из-за неравномерности движения цепи, вытягивание
цепи, которое необходимо компенсировать натяжными устройствами.
Цепь 3 выполняет функцию гибкой связи между ведущим 1 и ве
-
домым 2 звеньями, которые называются звездочками (рис. 89). Звёз-
дочки по своей конструкции подобны зубчатым колёсам. Зубья звез-
дочек стандартизованы. В передачах применяют обычно роликовые
цепи (рис. 90). Роликовая цепь состоит из чередующихся шарнирно
соединенных между собою внутренних
1 и внешних 2 звеньев. Внутренние
пластины звеньев на
-прессовываются
на втулки 3, а наружные пластины на
-
прессовываются на ось 4. На втулке 3
располагаются свободно вращающие
-
ся ролики 5. Концы осей 4 после
сборки звена расклёпываются.
Основным геометрическим па
-
раметром цепей является шаг t – рас-
стояние между осями двух смежных
роликов. С увеличением шага цепи
уменьшается её быстроходность и не
-
сущая способность. В тихоходных передачах применяют цепи типа ПР
(приводные роликовые) с шагом
t > 25,4 мм. В зависимости от отно-
шения шага цепи t к диаметру ролика D различают цепи лёгкой (ПРЛ),
нормальной (ПР) серий и длиннозвенные цепи (ПРД). Многорядные
z
2
a
z
1
2
1
Рисунок 89
1
2
3
2
4 3
5
1
Рисунок 90
t
D
227
цепи (с числом рядов 2 и 3) используются при больших нагрузках и
скоростях цепи.
Звенья цепи располагаясь на звездочке образуют многоугольник
(рис. ), что при постоянной угловой скорости
1
ведущей звёздочки
приводит90 к неравномерному движению цепи. Среднее
передаточное отношение
i =
1
/
2
= z
2
/ z
1
, (8.95)
где z
1
и z
2
– число зубьев звездочек 1 и 2.
Анализа работоспособности цепных передач показывает, что
износ шарниров звеньев является основной причиной выхода из стоя
цепей. Он приводит к увеличению шага цепи (вытяжке цепи),
неправильному зацеплению и сползанию цепи со звездочки.
8.12. Параметры и расчет упругих элементов
Упругими элементами называют детали, основным рабочим
свойством которых является способность изменять свои размеры и
форму под действием нагрузки и восстанавливать их после снятия
нагрузки. Одной из главных функций упругих элементов является
преобразование нагрузок в механические перемещения.
По виду заготовки упругие элементы подразделяются на три
группы:
стержневые (рис. а – ж), изготавливаемые из проволоки или
ленты,
оболочки (рис. 91, з – л), получаемые из листа или трубок,
массивы – изготавливаемые из массивов резины и полимеров.
По геометрической форме упругие элементы подразделяются на
плоские (рис. 91, а, и), изогнутые (рис. 91, б, л), винтовые (рис. 91, г, д,
е), спиральные (рис. 91, ж), гофрированные (мембраны и сильфоны
(рис. 91, и).
По виду воспринимаемой нагрузки различают пружины
растяжения (рис. 91, д), сжатия (рис. 91, г), кручения (рис. 91, в, е, ж) и
изгиба (рис. 91, а).
По назначению всё многообразие упругих элементов
подразделяется на несколько групп:
силоизмерительные, служащие для измерения
сосредоточенных сил и моментов (плоские (рис. 91, а, б, в),
спиральные (рис. 91, ж), винтовые
пружины (рис. 91, г, д, е);
манометрические, использующиеся в манометрах для
преобразования давления в перемещение (мембраны (рис. 91, и),
сильфоны (рис. 91, к), трубчатые пружины (рис. 91, л);
термоизмерительные, применяемые для измерения
температуры (биметаллические пластины (рис. 91, б), мембраны (рис.
91, и), сильфоны (рис. 91, к) и трубчатые пружины (рис. 91, л);
228
силовые, используемые в качестве источников механической
энергии (спиральные (рис. 91, ж), винтовые (рис. 91, г, д, е),
сильфоны);
кинематические, обеспечивающие перемещение одной детали
относительно другой в заданном направлении (плоские пружины (рис.
а), сильфоны (рис. 91, к);
y
F
b
h
H
h
d
D
0
D
Р
А
А
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
к)
л)
Рисунок 91
Р
А
А
и)
229
компенсаторные, устраняющие зазоры между деталями
механизмов (плоские (рис. 91, а, в), винтовые (рис. 91, г, д, е),
тарельчатые пружины (рис. 91, з);
разделительные, служащие для разделения двух сред с
разными физическими свойствами (мембраны (рис. 91, и), сильфоны
(рис. 91, к);
насосные, использующиеся в насосах и дозаторах (мембраны
(рис. 91, и), сильфоны (рис. 91, к);
амортизаторы, поглощающие энергию колебаний, вибраций,
ударов (плоские, спиральные, винтовые пружины, торсионные валы
(рис. 91, в), резинометаллические упругие элементы).
Материалы упругих элементов должны обладать достаточной
пластичностью на стадии изготовления упругого элемента, и
приобретать стабильные упругие свойства после завершения
процесса изготовления. Материалы упругих элементов могут
приобретать необходимые упругие свойства в результате
механической обработки заготовки (штамповка, обжатие), в
результате термической обработки (закалка, отпуск), а пластмассы и
резина
– в результате полимеризации и вулканизации. Наиболее
широко для изготовления упругих элементов используются
высокоуглеродистые стали (65,70) хромованадиевая сталь (50ХФА),
сплавы (36НХТЮ), бронзы (БрБ2), латуни (Л80) и др.
Основными параметрами упругого элемента являются
упругая
характеристика, жесткость и чувствительность
.
Под воздействием нагрузок приложенных к упругому элементу
определенная часть элемента (например, конец пружины) получает
линейное или угловое перемещение. Линейные перемещения точки
упругого элемента принято называть
прогибом или ходом.
Зависимость между нагрузкой F и
перемещением
y называется упругой
характеристикой
. Упругая
характеристика (рис. 92) может быть
линейной (а), затухающей (б) или
возрастающей (в). Предел отношения
приращения перемещения
y к
приращению нагрузки F называют
чувствительностью
(податливостью) упругого элемента
F
y
lim
0F
. (8.96)
Величина обратная чувствительности называется жесткостью
упругого элемента
y
0
F
а
б
в
Рисунок 92
230
y
F
lim
1
C
0y
. (8.97)
Если упругий элемент имеет линейную упругую характеристику, то его
чувствительность
и жесткость С – постоянные величины
= y / F, (8.98)
C = F / y, (8.99)
где F – сила, вызвавшая перемещение y.
Расчет пружин. Плоские пружины во многих устройствах
представляют собой консольно закрепленные балки (рис. 91, а). В
этом случае проектный или проверочный расчет производят по
максимальным нормальным напряжениям с использованием условия
прочности при изгибе
].[
6
bh
F
W
М
2
z
(8.100)
где W
z
–осевой момент сопротивления поперечного сечения плоской
пружины.
Прогиб плоской пружины рассчитывают по следующей
зависимости
12
bh
E3
F
EI3
F
y
3
3
z
3
, (8.101),
где Е – модуль продольной упругости материала пружины; I
z
– момент
инерции поперечного сечения пружины.
Выражения (8.99
– 8.101) позволяют получить формулу для
расчета жесткости плоской консольно закреплённой пружины
3
z
EI3
C
. (8.102)
Наиболее широкое распространение в самых разных устройст-
вах получили винтовые пружины растяжения-сжатия (рис. 91, г, д). По
конструкции пружины сжатия (рис. 91, г) отличаются от пружин растя
-
жения (рис. 91, д): витки в пружинах сжатия навиваются с зазором, что