Лотов В.А., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

чения не устанавливаются обычно достаточно жестко. Очевидно, что при

нескольких критериях этот же вопрос становится существенно сложнее. Ко-

гда аналитик сам переводит все критерии, кроме одного, в ограничения, он

совершает действие, которое с точки зрения руководителя, ответственного

за решение проблемы, ничем не оправдано.

В ряде случаев используют отношение двух указанных выше критери-

ев. Однако не следует механически использовать отношение стоимости к

результативности, поскольку оно может быть одним и тем же при разных

абсолютных значениях числителя и знаменателя.

Разумный подход к синтезу стоимости и результативности приводит к

построению так называемой эффективной (неулучшаемой) границы для этих

критериев, которая представляет собой такие возможные точки в коорди-

натах стоимости и результативности, для которых отсутствуют достижимые

возможные точки, лучшие их по одному критерию и не худшие по другому

(точки A, B, C, D, E на рис. 2.2). Сравним две точки на эффективной гра-

нице. Вариант А менее дорогой, чем вариант В, но и дает худший результат.

Вариант C более эффективный, чем вариант B, но и более дорогой. Сравни-

вая варианты, находящиеся на эффективной границе, ЛПР останавливается

на одном из них и делает свой окончательный выбор.

Рис. 2.2.

Слабоструктуризованные проблемы

Подходы исследования операций и многокритериального принятия ре-

шений существенно различаются, так как они направлены на решение прин-

ципиально разных проблем принятия решений, существующих в окружаю-

щем нас реальном мире. Эти принципиальные различия стремились под-

черкнуть авторы различных классификаций проблем принятия решений. Так,

в известной классификации, предложенной в основополагающей статье ла-

уреата

Нобелевской премии Г. Саймона и его коллеги А. Ньюэлла

, выделяются

так называемые хорошо и слабоструктуризованные проблемы.

Хорошо структуризованные (количественно сформулированные) про-

блемы — это те проблемы, в которых существенные зависимости выяснены

настолько хорошо, что могут быть выражены в числах или символах, по-

лучающих в конце концов численные оценки. Слабоструктуризованные

(смешанные) проблемы — это те проблемы, которые также содержат каче-

ственные элементы, причем качественные, малоизвестные и неопределен-

ные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Важно подчеркнуть, что в типичных задачах исследования операций объ-

ективно существует реальность, допускающая строгое количественное опи-

сание и определяющая существование единственного критерия качества.

Изучение реальной ситуации может требовать большого труда и времени.

Необходимая информация может быть дорогостоящей (например, требуют-

ся специальные исследования, чтобы определить значения ряда парамет-

ров). Однако при наличии средств и хорошей квалификации аналитиков име-

ются все возможности найти адекватное количественное описание пробле-

мы, количественные связи между переменными и критерий качества. Таким

образом, можно сказать, что типичные проблемы исследования операций

являются хорошо структуризованными.

Существуют, однако, проблемы, в которых известен только перечень ос-

новных параметров, но количественные связи между ними установить нель-

зя (нет необходимой информации). Иногда ясно лишь, что изменение па-

раметра в определенных пределах сказывается на решении. В таких случа-

ях структура, понимаемая как совокупность связей между параметрами, не

определена, и проблема называется неструктуризованной. Типичными не-

структуризованными проблемами являются проблема выбора профессии,

проблема выбора места работы, политические решения и многие другие про-

блемы выбора.

В многокритериальных задачах часть информации, необходимой для пол-

ного и однозначного определения требований к решению, принципиально

отсутствует. Исследователь часто может определить основные переменные,

установить связи между ними, т.е. построить модель, адекватно отражаю-

H.Simon, A.Newell Heuristic problem solving: the next advance in operations research //

Operations Research, 1958, v.6.

щую ситуацию. Но предпочтительные сочетания критериев не могут быть

определены на основе объективной информации, имеющейся в распоряже-

нии исследователя. Такие проблемы являются слабоструктуризованными,

так как здесь недостаток объективной информации принципиально неустра-

ним на момент принятия решения. Появление многокритериальности при-

вело к существенному изменению характера решаемой задачи и роли ЛПР.

Основой для выработки решения стали субъективные предпочтения ЛПР.

Они во многом определяют результат решения. Из наблюдателя и заказчика

ЛПР превратился в главного участника процесса принятия решения. Реше-

ние теперь является субъективным, хотя в процессе решения используются

объективные модели.

Задачи многокритериальной оптимизации

Отметим, что, несмотря на сказанное, многокритериальные задачи вы-

бора решения относят к задачам исследования операций в том случае, когда

критерии независимы и задано направление улучшения значений критери-

ев. Такие задачи принято называть задачами многокритериальной оптими-

зации. При этом в качестве решения такой задачи берется не субъективное

решение ЛПР, а вся эффективная граница (и соответствующие решения).

В этом случае субъективность исчезает, и мы опять возвращаемся к схеме

исследования операций. Поэтому многокритериальную оптимизацию также

относят к исследованию операций.

Теория многокритериальной оптимизации — это математическая дис-

циплина, базирующаяся на аксиомах выбора решения и изучающая след-

ствия этих аксиом. Она является развитием теории обычной, однокритери-

альной, оптимизации. Теория многокритериальной оптимизации служит ос-

новой при разработке методов поддержки принятия решений в том случае,

когда выбор решения осуществляется по нескольким критериям, однако не

заменяет сами методы выбора решений. Это относится и к методам много-

критериальной оптимизации, и к методам выбора из малого числа альтерна-

тив.

В отличие от теории, именно в практике применения многокритериаль-

ных методов велика роль ЛПР. В реальной жизни в число лиц, участвующих

в процессе принятия решений, входят люди, имеющие различные функции

и возможности влиять на решение. Среди таких лиц обычно имеются люди,

несущие ответственность за качество выбранного решения, но не имеющие

времени, чтобы достаточно детально разобраться с ситуацией. Участие тех

или иных лиц зависит от конкретной области, в которой используются ре-

шения. Например, при решении экологических проблем к решению пробле-

мы, в принципе, должны привлекаться все, кого затрагивает это решение.

Список таких лиц составить очень трудно, а зачастую и невозможно. Таким

образом, число лиц, участвующих в принятии решения, может быть неопре-

деленным. В подобных случаях понятие ЛПР является полезной абстрак-

цией, которая используется при построении и анализе методов поддержки

принятия решений.

Принятие решений человеком

Важным аспектом проблемы участия человека в выборе наиболее пред-

почтительного решения является то, что для правильного конструирования

методов поддержки принятия решений необходимо иметь хотя бы прибли-

зительное представление о том, как человек принимает решения. Современ-

ное понимание человеческого поведения далеко продвинулось с начала XX

века, когда наибольшее распространение имела простая психологическая

концепция человека, основанная на схеме “стимул-реакция”. Согласно этой

концепции, человек непосредственно реагирует на различные внешние воз-

действия (стимулы). Такое представление, однако, очень быстро показало

свою ограниченность, поэтому были предложены более сложные теории,

базирующиеся, в частности, на утверждении о том, что человек принимает

решения на основе имеющейся у него целостной картины мира.

К сожалению, эти представления пока являются недостаточно конструк-

тивными для их непосредственного применения в методах поддержки при-

нятия решений, поэтому при разработке этих методов часто (но далеко не

всегда!) используется более удобная концепция функции полезности (цен-

ности), в рамках которой человек решает задачу максимизации некоторой

функции, и нужно просто помочь ему найти решение этой задачи. При ре-

ализации такой концепции достаточно построить математическую модель

ситуации и используемую функцию полезности, а также сформулировать

ограничения на возможные решения. Многиепсихологи критикуют этот под-

ход как упрощенный, утверждая, что человек не всегда способен осознать и,

тем более, достаточно логично выразить свои предпочтения. Эксперимен-

тальные исследования подтверждают эту точку зрения. В связи с этим спе-

циалисты по принятию решений в последнее время все чаще обращаются к

более сложным моделям человека, разработанным психологами. В частно-

сти, используется понятие концептуальной, или ментальной, модели окру-

жающего мира, используемой человеком при прогнозировании последствий

своих действий.

Один из подходов к построению ментальной модели основывается на

представлении о восприятии внешней среды человеком

. Принято считать,

что восприятие состоит из следующих этапов:

• восприятие внешней среды в ощущениях,

• преобразование ощущений в образы,

• создание логических представлений о мире.

С таким представлением о восприятии связана модель сознания челове-

ка, в которой выделяются уровень логического мышления, уровень образ-

ного мышления и подсознательный уровень (рис. 2.3). Экспериментально

подтверждено, что все три уровня участвуют в принятии решений, причем

влияние их может быть несогласованным. В таком случае реакция человека

на вопросы может отклоняться от ожидаемых логичных ответов.

Рис. 2.3.

Приведем простой пример ответов на серию вопросов о том, какая из

нескольких альтернатив лучше. Оказывается, что даже в случае двух кри-

териев достаточно легко добиться нелогичных и противоречивых ответов.

Пусть, например, имеются два критерия: один более существенный с точ-

ки зрения некоторого человека, а другой менее. Человеку сначала предла-

гается сравнить вариант A и вариант B, причем вариант A отличается от

варианта B тем, что в нем существенный критерий незначительно хуже по

отношению к А, а несущественный значительно лучше. В такой ситуации

Ломов Б.Ф. Методологические и теоретические проблемы психологии. Москва: Наука,

1984.

человек выбирает B. Далее предлагается сравнивать аналогичным образом

полученные варианты C, D, ..., E (ряд должен быть достаточно длинным).

Затем человеку опять предлагают вариант A (о котором к этому времени он

уже забыл), для которого существенный критерий после суммирования всех

уступок уже значительно отличается от значения существенного критерия в

варианте E. Обычно человек выбирает вариант A. Таким образом, он демон-

стрирует непоследовательность своих предпочтений.

Описанный выше пример является одним из самых простых примеров,

показывающих, что человек может быть не в состоянии строить логичные

ответы даже в относительно простых ситуациях. Возникает вопрос о том, где

пределы возможностей человека в переработке информации в более слож-

ных ситуациях. Психологические исследования показали, что объем инфор-

мации, который человек способен одновременно держать в так называемой

быстрой памяти, составляет около 7 единиц. Так, если называть отдельные

буквы, то человек запоминает в среднем 7 букв, если слова — 7 слов, ес-

ли фразы — 7 фраз и т.д. Поэтому при принятии решений человек может

оперировать лишь с небольшим числом альтернатив, и то только в том слу-

чае, если он воспринимает их как целое (например, если альтернатива —

это автомобиль, а не столбец с техническими параметрами). Особенности

человеческого сознания должны учитываться при конструировании систем

поддержки принятия решений.

Необходимо также отметить склонность многих людей к упрощению за-

дачи: вместо нескольких критериев они могут рассмотреть один или два, яв-

ляющихся, согласно их точке зрения, наиболее важными, забыв об осталь-

ных критериях. Часто встречающимся способом поведения является произ-

вольный выбор одного из возможных решений и дальнейшее стремление до-

казать, что выбранное решение является наилучшим. Многокритериальные

методы должны помочь человеку избежать поверхностных решений и дать

возможность всесторонне изучить всю совокупность возможных решений.

Лекция 3. Математическая формулировка задачи принятия

решений при нескольких критериях. Оптимальность по

Парето и Слейтеру

Задача принятия решений при нескольких критериях выбора решения

(или, по-другому, критериях оценки качества решения) является развити-

ем задачи принятия решений при единственном критерии выбора, поэтому

естественно ее математическую формулировку считать развитием формули-

ровки задачи принятия решений при единственном критерии. По этой при-

чине начнем формулировку задач принятия решений со случая единствен-

ного критерия.

3.1. Математическая формулировка задачи принятия решений

при единственном критерии

Рассмотрим некоторую удобную с математической точки зрения первич-

ную совокупность, содержащую в себе те решения, которые можно исполь-

зовать при поиске наиболее предпочтительного. Такую первичную совокуп-

ность принято называть пространством решений. Отметим, что некото-

рые из элементов пространства решений (задаваемого неоднозначно) могут

являться не реализуемыми по тем иди иным причинам. Например, наборы

товаров, покупаемых потребителем, удобно считать векторами многомер-

ного линейного пространства. Очевидно, что потребитель может приобре-

сти далеко не всякий набор товаров — какие-то наборы не удовлетворя-

ют его бюджетным ограничениям, а отрицательные покупки вообще не име-

ют смысла в случае потребителя. Кроме того, некоторые товары могут быть

недоступными определенным потребителям.

Обозначим пространство решений через W . Те решения, которые могут

быть использованы при поиске наиболее предпочтительного решения, обра-

зуют подмножество X пространства решений W . Такое множество X ⊆ W

называется множеством допустимых решений. Множество X задается

либо перечислением допустимых решений (это возможно только в случае

их конечного числа), либо некоторым набором ограничений, позволяющим

выделить бесконечную совокупность допустимых решений.

Пусть задана числовая функция f, значения которой описывают уровень

предпочтительности решений. В этом случае естественно считать, что це-

лью является увеличение значения функции f, которую принято называть

критерием оптимизации. Подчеркнем, что функция f представляет со-

бой единственный критерий выбора решения, а выбор решения трактуется

как поиск некоторого элемента из X, доставляющего максимум f. Таким об-

разом, мы приходим к задаче однокритериальной (скалярной) оптимизации

f(x) → max, x ∈ X. (3.1)

Описанная модель является самой простой с точки зрения формализа-

ции задачи выбора решения (о методах поиска решения такой задачи см.

в [3], [14]). В общем случае и значение критерия, и множество допустимых

решений могут зависеть от случайных факторов либо действий каких-либо

других лиц, либо от изменения общей обстановки, в которой производится

выбор решения [4]. В рамках данного курса мы не будем рассматривать эти

вопросы и будем полагать, что множество X и критерий f заданы.

Определение 3.1. Элемент x

∗

∈ X называется решением скалярной

задачи оптимизации (3.1), если f(x

∗

) > f (x) для всех x ∈ X.

Отметим, что при некоторых простых предположениях в задаче скаляр-

ной оптимизации такое решение существует (например, достаточно потре-

бовать непрерывность функции f и компактность X). Если решение не един-

ственно, т.е. несколько решений совпадают по значению критерия f, то мож-

но выбрать любое из них. Численные методы обычно находят какое-то одно

решение задачи оптимизации, которое и предлагается использовать.

Итак, если выбор решения лицом, принимающим решение (в исследова-

нии операций его также называют оперирующей стороной), можно описать

как стремление к увеличению (или уменьшению) некоторой заданной функ-

ции (единственного критерия выбора решения), то проблема выбора наи-

лучшего способа действия сводится к задаче скалярной оптимизации, т.е. к

математической задаче поиска допустимого решения, доставляющего кри-

терию максимальное (минимальное) значение. Если же критериев оценки

решения несколько, то приходим к задаче принятия решений при несколь-

ких критериях.

3.2. Математическая формулировка задачи принятия решений

при нескольких критериях

Пусть набор из m критериев выбора решения представляет собой сово-

купность функций (ϕ

, ϕ

, ..., ϕ

), заданных на пространстве W (или, мо-

жет быть, его некоторой части, включающей, однако, множество допусти-

мых решений X).

Отдельный критерий часто называют частным критерием выбора, а

множества его возможных значений — шкалой критерия. Прежде всего

отметим, что, в отличие от скалярного случая, критерии не обязательно при-

нимают числовые значения. Например, в рассмотренной в лекции 1 зада-

че покупки автомобиля, наряду с количественными критериями типа цены,

мощности, потребления бензина на 100 км и т.д., рассматриваются и каче-

ственные шкалы, например, цвета автомобиля (упорядоченные по предпо-

чтительности), уровень комфорта и просто красота (красивый, приемлемый

и некрасивый автомобили).

В задачах принятия решений при нескольких критериях имеет смысл,

наряду с пространством решений W , рассматривать критериальное

пространство W

, включающее в себя прямое произведение шкал кри-

териев.

Таким образом, совокупность критериальных функций задает некоторое

отображение ϕ = (ϕ

, ϕ

, ..., ϕ

), действующее из W в W

Отметим, что и в задаче скалярной оптимизации также можно рассмот-

реть критериальное пространство, но поскольку функция f является чис-

ловой, это пространство является числовой прямой R

, на которой поня-

тие предпочтения сводится к простому понятию “больше”. В связи с особой

простотой этого пространства специального внимания ему не уделяют.

В задачах выбора решения при нескольких критериях дело обстоит зна-

чительно сложнее. Однако и относительно нескольких (включая и нечисло-

вые) критериев можно сделать предположения, близкие по смыслу к ска-

лярному случаю. Наиболее важное из них состоит в том, что задача выбора

является критериальной.

Критериальные задачи

Определение 3.2. Совокупность критериев называется полной, ес-

ли она описывает все существенные интересы и предпочтения ЛПР.

В этом случае задача принятия решения при нескольких критериях

называется критериальной.

В случае критериальной задачи качество решения полностью описыва-

ется соответствующими ему значениями критериев. Предположение о том,

что задача выбора является критериальной, требуется для того, чтобы ис-

следование в терминах критериального пространства имело смысл, а вы-

бор точки в критериальном пространстве можно было бы связать с соот-

ветствующим решением. Благодаря этому, в критериальной задаче предпо-

чтения ЛПР, выраженные в терминах элементов критериального простран-

ства, можно представить отношениями предпочтения между их прообразами

в пространстве решений.

Надо отдавать себе отчет, что понятие критериальной задачи выбора ре-

шения является абстракцией, поскольку в реальности конкретное решение

содержит значительно больше информации, чем соответствующая точка в

пространстве критериев, так что выбор критериальной точки может быть

только началом процесса поиска наиболее подходящего решения среди тех

решений, которые связаны с этой критериальной точкой. Все же эта аб-

стракция очень удобна и полезна, поскольку достаточно рассмотреть задачу

выбора наиболее предпочтительных точек y = ϕ(x) критериального про-

странства W

, “забыв” временно о самих решениях x ∈ W . Обычно такая

задача оказывается значительно проще, поскольку решение может харак-

теризоваться тысячами параметров, а число критериев, с которыми эффек-

тивно может работать человек, не должно, как уже говорилось, слишком

превышать семи.

Конечно, такой выбор может осуществляться не среди всевозможных

точек y пространства W

, а лишь среди тех, которые могут быть реализова-

ны с помощью допустимых решений x, т.е. x ∈ X. Поэтому в критериальных

задачах выбора решений важнейшую роль играет множество тех критери-

альных точек, которые могут быть получены с использованием решений x

из множества X.

Определение 3.3. Множество Y = ϕ(X) = {y|y = ϕ(x), x ∈ X} назы-

вают множеством достижимых значений критериев.

В критериальных задачах выбор на множестве Y можно использовать

вместо выбора на множестве X.

Независимость критериев по предпочтению

Важным условием, облегчающим анализ критериальных задач выбора,

является независимость критериев по предпочтению. Смысл его состоит в

том, что желательные (для ЛПР) изменения значений каждого из частных

критериев (при неизменных значениях остальных критериев) не должны за-

висеть от конкретных значений остальных критериев. В реальности это не

всегда так: после определения набора критериев может оказаться, что же-

лательное изменение значения некоторого частного критерия зависит от зна-

чений остальных критериев. В лекции 1 мы уже привели пример с выбором

автомобиля. Рассмотрим еще один пример взаимной зависимости критериев

по предпочтению.

Пример. Визуальное восприятие жилой комнаты зависит от соотноше-

ния ее геометрических параметров — ширины, длины и высоты. При каж-