Липин А. (ред) Интенсификация тепловых и массообменных процессов в гетерогенных средах

131

( )

)

2

3

2

exp

2

exp

22

12

1

exp.

2

mmm

erfcBiFoBiFo

FoFoFo

FoFo

mmBi

FoFoFo

xBiFo

x

BiFo

Fo

æö

éù

¶¶

æöæö

+=--+=

ç÷

êú

ç÷ç÷

ç÷

¶¶

p

èøèø

ëû

èø

æö

=---+=

ç÷

p

èø

-

é

æ

ù

=-+

ê

ç

ú

û

è

ë

p

m

(49)

Тогда полностью производная от второго слагаемого в выражении

(45) запишется в виде:

( )

)

22

2

3

21

exp1

2

12

1

exp1exp.

2

x

BiBixBiFoerfcBiFo

Fo

xBiFo

x

BixBiFoBiFo

Fo

¶

æö

éù

=+++

ç÷

ëû

¶

èø

-

é

æ

ù

éù

++-+

ê

ç

ú

ëû

û

è

ë

p

m

(50)

При

0

t®

аргумент в интеграле ошибок стремится к бесконечности и

из выражения (45) следует, что:

()

1

0

~0.

L

-

t=

=

(51)

С учетом (46) производная по t от квадратной скобки в первом

слагаемом правой части выражения (44) будет иметь вид:

[]

( )

1

2

3

2

3

~

11

expexp1

4

2

12

1

2

FoFo

L

xx

BixBi

Fo

FoFo

xBiFoFo

x

FoFoBierfcBiFoFo

FoFo

*

-

*

-

*

**

*

éù

¶

êú

=-+´

é

ë

êú

¶

-

êú

p-

ëû

ì

ï

--

æö

ï

ù

ç÷

´-+-+´

í

ú

ç÷

û

ï

-

èø

p-

ï

î

mm

m

2

1

exp.

2

x

BiFoFo

FoFo

*

ü

éù

æö

ï

êú

ç÷

´-+-

ý

êú

ç÷

ï

-

èø

êú

ëû

þ

m

(52)

Добавляя к ранее упомянутому решению А.В. Лыкова выражение (44)

с учетом зависимостей (45)–(47) и (50)–(52), получаем:

132

( )

(

)

( )

)

( )

20

0

2

0

22

,

11

,exp1

22

11

expexp1

4

2

1

2

c

Fo

txt

xx

TxFoerfcBixBiFoerfc

tt

FoFo

xx

BiFoqLuFoBix

FoFo

x

BiFoFoBierfcBiFoFo

FoFo

*

**

*

t-

æ

éù

==-++

ç

ëû

-

è

æ

éù

ç

êú

+--+

é

ç

ë

êú

-

ç

p-

êú

ëû

è

ì

æö

ï

ù

ç÷

+-+-+

í

ú

ç÷

û

ï

-

èø

î

ò

mm

m

mm

m

( )

2

3

12

1

exp.

2

xBiFoFo

x

BiFoFodFo

FoFo

*

**

*

ü

ö

éù

ï

÷

--

æö

ï

êú

÷

ç÷+-+-

ý

êú

ç÷

÷

ï

-

èø

êú

p-

ëû

÷

ï

ø

þ

m

Здесь для краткости записи обозначено

(

)

() ( )

0

,

c

qLuFoqttt

*

=a- а

(

)

qt

-

как и прежде, поток влаги с поверхности частицы.

Для центра пластины и поверхности выражение (53) существенно

упрощается:

( )

(

)

( )

[

0

3

0

0,

11

0,22exp1

22

11

2expexp

4

2

c

Fo

tt

TFoerfcBiBiFoerfcBiFo

tt

FoFo

qLuFoBi

FoFo

*

t-

æö

==-++-

éù

ç÷

ëû

-

èø

æ

éù

ç

êú

ç

---+

êú

ç

-

êú

p-

ëû

ç

è

ò

( )

22

2

3

1

2

12

1

exp;

2

BiFoFoBierfcBiFoFo

FoFo

BiFoFo

BiFoFodFo

FoFo

**

*

**

*

ì

æö

ï

ù

ç÷

+-+-+

í

ú

ç÷

û

ï

-

èø

î

ü

ö

éù

ï

÷

--

æö

ï

êú

÷

ç÷

+-+-

ý

êú

ç÷

÷

ï

-

èø

êú

p-

ëû

÷

ï

ø

þ

(53)

(54)

133

( )

20

0

2

3

2

3

,

1,1exp

11

expexp2

1

11

exp

Fo

c

tRt

TFoBiFoerfcBiFoqLuFo

tt

BiBiFoFo

FoFo

BiFoFo

BierfcBiFoFo

FoFoFoFo

FoFo

*

**

*

t-

==--´

-

æ

ç

éù

ç

´--+-´

êú

ëû

ç

-

ëû

p-

ç

è

--

ìé

æöæ

ï

ê

ç÷ç

´+-+-+

í

ç÷ç

ê

ï

--

èøè

îë

p-

ò

( )

2

22

2

exp

exp.

BiFoFoBiFoFoBierfcBiFoFo

Bi

BiFoFodFo

FoFo

***

**

*

ü

ù

ï

ì

öæö

éù

+-----

ú

ýí

÷ç÷

êú

ëû

øèø

î

ú

ï

û

þ

ö

ü

÷

ï

éù

---

÷

ý

êú

ëû

÷

ï

p-

÷

þ

ø

При получении зависимостей (54) и (55), как и прежде, использовано

следующее свойство интеграла ошибок:

(

)

02,7

1,0.

limlim

xx

erfcxerfcx

®³

==

(56)

Получим теперь выражение для определения потока влаги с поверхности

пластины. Как было показано выше, эта величина может быть определена

по следующему уравнению:

() ( )

,.

p

quRur

**

éù

t=brt-

ëû

(57)

Выразим из (18) разность влагосодержаний

(

)

,,

p

uxu

t-

обозначив

величиной

(

)

,

AxFo

выражение, стоящее в правой части:

( )

(

)

(

)

0

00

,

,.

pp

uxuuu

uxu

AxFo

uuuu

éù

t-+-

t-

ëû

==

--

(58)

(55)

134

Отсюда следует, что:

(

)

(

)

(

)

0

,,1.

pp

uxuAxFouu

t-=--éù

ëû

(59)

Подставив полученный результат при х = R в (57), будем иметь:

()

( )

2

1

exp1

2

1

.

2

pcm

m

mm

m

xR

x

qruuerfcBix

Fo

x

BiFoerfcBiFo

Fo

**

=

ì

ï

t=br--+

é

í

ë

ï

î

ü

æö

ï

ù

++

ç÷

ý

ç÷

û

ï

èø

þ

m

(60)

Окончательно безразмерный поток влаги будет определяться

следующим образом:

( )

(

)

( )

(

)

( )

{ }

2

0

1exp1.

pc

mm

c

ruu

qLuFoLuFoBierfcBiLuFo

tt

**

br-

éù

=--

êú

ëû

a-

(61)

Некоторые результаты расчетов приведены на рис.1. В условиях

примера интенсивность тепломассоотдачи характеризуется равенством

значений чисел

Bi

и

,

m

Bi

значение числа Лыкова близко к 1, поэтому

профили температур и влагосодержания имеют идентичный вид (рис. 1

а,б).

С увеличением скорости внешней массоотдачи, которая

характеризуется возрастанием числа

m

Bi

, в пластине происходит более

интенсивное перераспределение влаги (рис. 2 а,б). Это, в свою очередь,

существенно влияет на теплоперенос. С увеличением

m

Bi

поле температур

в пластине изменяется менее интенсивно. Это свидетельствует о том, что с

изменением

m

Bi

происходит перераспределение количества теплоты, и все

большая ее часть идет на испарение влаги, а не на нагрев материала. При

m

Bi

®¥

скорость массоотдачи в газовую фазу настолько велика, что вся

теплота, поступающая от сушильного агента, затрачивается только на

испарение влаги. В этом случае температура пластины будет постоянна и

равна температуре адиабатического испарения влаги с ее поверхности.

135

а) б)

Рис.1. Изменение полей влагосодержаний (а) и температур (б)

по толщине пластины

5,0;0,8;:10,05;20,07;30,12

m

BiBiLuFo

===---

а) б)

Рис. 2. Влияние интенсивности внешней массоотдачи

на поля температур (а) и влагосодержаний (б)

5,0;0,12;0,5.:10,05;21,0;35,0

m

BiFoLuBi

===---

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

3

2

1

(

)

,

UxFo

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

3

2

1

(

)

,

UxFo

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

3

2

1

(

)

,

UxFo

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

3

2

1

(

)

,

TxFo

136

Рис. 3. Влияние числа

Lu

на поля влагосодержаний

5,0;1,0;0,1.:10,5;20,8;31,0

m

BiBiFoLu

===---

Из рис. 3. отчетливо видно, что влагопроводные характеристики

материала существенно влияют на характер процесса сушки. С

уменьшением числа Лыкова (а следовательно, с уменьшением

коэффициента массопроводности) влагосодержание более резко

изменяется в поверхностных слоях пластины.

Во внутренних слоях этот процесс протекает значительно медленнее.

Отсюда следует известный специалистам в области сушки вывод:

увеличение интенсивности внешнего массообмена при сушке материалов,

имеющих низкие значения коэффициента влагопроводности, не ведет к

интенсификации процесса сушки. В ряде случаев подобная

интенсификация может оказать даже негативное влияние. Так, при сушке

термолабильных веществ (некоторых видов пластмасс) интенсивное

удаление влаги из поверхностных слоев изделия может приводить к

резкому нагреву этих слоев и последующей деструкции материала.

Тепло- и влагоперенос в сфере

Рассмотрим динамику изменения температур в сферической частице,

радиусом R, которая имеет начальное влагосодержание u

0

и температуру t

0

.

В момент времени t = 0 частица помещается в движущуюся газовую среду

с температурой t

c

, и между газом и частицей происходит тепло- и

массообмен. При этом скорости процессов тепло- и массоотдачи с

поверхности сферы определяются законом Ньютона. Как и прежде, задачу

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

3

2

1

(

)

,

UxFo

137

будем считать симметричной, полагая, что потоки теплоты (к частице) и

влаги (с поверхности частицы в газовую среду) не изменяются по

поверхности сферы. Строго говоря, это допущение не всегда является

справедливым. В частности, обнаружено [3], что при сушке закрепленной

сферы в газовом потоке коэффициент теплоотдачи от газа к сфере

меняется в зависимости от угла атаки потока. Однако в реальном процессе

сушки дисперсных материалов, когда частицы материала непрерывно

взаимодействуют друг с другом и со стенкой аппарата, вокруг них не

образуется устойчивого пограничного слоя, как это имеет место в опыте с

закрепленным шаром. Поэтому для расчетов промышленных процессов

сушки допущение симметричности задачи является приемлемым. В этих

условиях краевая задача расчета полей влагосодержаний и температур в

сферической частице может быть записана в виде:

( ) ( ) ( )

2

,,,

2

;0,0;

ururur

krR

rr

r

éù

¶t¶t¶t

=+t><<

êú

¶t¶

¶

êú

ëû

(62)

(

)

0

,0;

uru

=

(63)

(

)

0,

0;

u

r

¶t

=

¶

(64)

( )

(

)

,

,;

p

uR

uuRk

r

*

¶t

éù

b-t=

ëû

¶

(65)

( ) ( ) ( )

2

,,,

2

;0,0;

trtrtr

arR

rr

r

éù

¶t¶t¶t

=+t><<

êú

¶t¶

¶

êú

ëû

(66)

(

)

0

,0;

trt

=

(67)

(

)

( )

0,

0;0,;

t

r

¶t

=t¹¥

¶

(68)

( )

(

)

()

,

,.

c

tR

ttRq

r

¶t

a-t=l+t

éù

ëû

¶

(69)

Как и ранее, будем рассматривать два случая в зависимости от

величины теплового критерия Фурье:

Первый случай:

0,1;

m

Fo

<

0,1.

Fo

>

По аналогии с краевой задачей теплопроводности для сферы решение

системы уравнений (62)–(65) запишется в виде:

( )

()

( )

( ) ( )( ) ( )

0

2

,

1

,

1

2

1

exp1111.

2

m

pm

m

mmmmm

m

uru

Bir

UrFoerfc

uurBi

Fo

r

BiFoBirerfcBiFo

Fo

ì

t-

±

ï

==±-

í

--

ï

î

ü

æö

±

ï

éù

--+-±+-

ç÷

ý

êú

ç÷

ëû

ï

èø

þ

(70)

138

В выражении (70), как и раньше, принято обозначение

(

)

(

)

(

)

(

)

.

AzAzAz

±=+--+

m (71)

Сток теплоты с поверхности сферы с испаряемой влагой определяется

следующим выражением:

()

( )

{

( )

}

2

0

1exp1

1

11.

m

pmm

m

mm

Bi

qruuFoBi

Bi

erfcBiFo

**

é

éù

t=br---´

ê

êú

ëû

-

ë

ù

éù

´--

ú

ëû

û

(72)

Применив к системе уравнений (66)–(69) преобразование Лапласа по

временной переменной, получим:

( )

0

,;

Achprshpr

t

trsB

srr

-=+ (73)

(

)

0,

0;

ts

r

¶

=

¶

(74)

( )

(

)

(

)

,

,.

c

tRsqs

t

HtRs

sr

¶

éù

-=+

êú

¶l

ëû

(75)

Определив с помощью граничных условий постоянные А и В в

уравнении (73), будем иметь:

( )

()

( )

2

0

2

0;

1

.

1

c

HRtt

AB

HRshpRpRchpRsr

qsHR

HRshpRRppchpRr

-

==-

éù

-+

ëû

-

éù

l-+

ëû

(76)

Подставив найденные значения констант в уравнение (73), запишем

частное решение задачи в области изображений:

( )

()

( )

2

0

2

,

1

.

1

c

HRttshpr

t

trs

s

rsHRshpRpRchpR

qsHRshpr

HRshpRpRchpRrs

ìü

-

ïï

-=-

íý

éù

-+

ïï

ëû

îþ

ìü

×

ïï

-

íý

éù

l-+

ïï

ëû

îþ

(77)

Обратное преобразование от первого слагаемого правой части (77)

имеет следующий вид:

( ) ( )

( )

1

12

00

1

sin

~exp.

n

ccnn

n

r

LttttAFo

r

¥

-

=

éù

m

=----m

êú

m

ëû

å

(78)

Здесь коэффициент

n

A

определяется по выражению

139

(

)

2sincos

,

sincos

nnn

n

nnn

A

m-mm

=

m-mm

(79)

n

m

- бесчисленное множество корней трансцендентного уравнения

.

1

n

tg

Bi

m

m=

-

(80)

Применив теорему Дюамеля, возвращение в область оригиналов для

второго слагаемого правой части (77) осуществим по следующему

выражению:

()

( )

()

( )

2

11

0

2

1

0

~

1

.

1

t

qt

HRshpr

LLdt

rsHRshpRpRchpR

q

HRshpr

L

rsHRshpRpRchpR

t

--

t-

-

t=

æö

éù

¶

ç÷

êú

=+

êú

ç÷

l¶t éù

êú

-+

ëû ç÷

ëû

èø

éù

t

êú

+

léù

êú

-+

ëû

ò

Выполнив возвращение в область оригиналов выражения, стоящего в

квадратных скобках, получим:

[]

( )

12

1

sin

~1exp.

n

nn

n

r

LAFo

r

¥

-

=

m

=--m

m

å

(82)

Продифференцировав (82) по t, будем иметь:

[]

( )

1

2

1

~

sin

exp.

nn

n

L

ra

AFo

r

R

¥

-

=

¶

mm

=-m

¶tm

å

(83)

Подставив (82) и (83) в выражение (81) при соответствующем

значении числа Фурье, получим:

()

( )

() () ()

( )

()

2

122

2

1

0

11

222

1

0

sin

~expexp

sinsin

1

sin

expexp.

nn

nnn

n

nn

Fo

n

nnnn

n

qt

ra

LAFoFodt

r

R

qqq

rr

AA

rr

qt

r

AFoFodFo

r

t

¥

-*

=

¥¥

==

¥

**

=

éù

mm

=-mm+

êú

am

ëû

éù

ttt

mm

êú

+-=-+

êú

amaam

ëû

m

+-mmm

ma

å

ò

åå

å

ò

(84)

Следовательно, с учетом (83) и (84) выражение (77) в области

оригиналов примем следующий вид:

(81)

140

( ) ( ) ( )

( )

() ()

( )

()

2

0

00

1

2

11

22

0

sin

,exp

sinsin

exp

exp.

n

ccnn

n

nn

nnn

nn

Fo

nn

tr

trsttttAFo

sr

qq

rr

AAFo

rr

qt

FodFo

¥

=

¥¥

==

**

m

-=----m-

m

tt

mm

-+--m´

aamm

´mm

a

å

åå

ò

(85)

Поделив (85) на разность температур

(

)

0

,

c

tt

-

получим

окончательное решение в безразмерных переменных:

( )

( ) ( )

( )

0

1

222

0

,

sin

,1

1expexp.

n

cn

n

Fo

nnn

trt

r

TrFoqLuFoA

ttr

qLuFoFodFoFoqLuFo

¥

=

***

t-

m

==--´

-m

ìü

éù

ïï

êú

´+mm-m-

íý

êú

ïï

êú

ëû

îþ

å

ò

(86)

При

1

r

=

из выражения (86) легко определяется значение

температуры на поверхности сферы. Получим выражение для определения

температуры в центре сферы. Предварительно заметим, что в области

малых значений аргументов для синуса характерно следующее

соотношение:

0

sin

1.

lim

x

®

=

(87)

С учетом этого, выражение (87) упрощается и принимает вид

( ) ( )

( )

}

2

1

0

22

0,11

expexp.

Fo

nn

n

nn

TFoqLuFoAqLuFo

FoFoFoqLuFo

¥

*

=

**

ì

é

ï

ê

=--+m´

í

ê

ï

ê

ë

î

ù

´ma-m-

û

å

ò

(88)

Проанализируем полученные решения аналогично тому, как это было

выполнено ранее.

При

Bi

®¥

теплоперенос между газовой фазой и поверхностью

сферы протекает настолько интенсивно, что на поверхности шара

мгновенно устанавливается температура, равная температуре сушильного

агента. Для этого случая характеристическое уравнение записывается как:

0

1

n

Bi

tg

Bi

®¥

m

æö

m==

ç÷

-

èø

(89)

Липин А. (ред) Интенсификация тепловых и массообменных процессов в гетерогенных средах

Подождите немного. Документ загружается.