Липин А. (ред) Интенсификация тепловых и массообменных процессов в гетерогенных средах
Подождите немного. Документ загружается.
121
6. Cao, Z. Experimental Investigation and Modeling of the Dissolution of
Polymers and Filled Polymers / Z. Cao [et al] // Polymer Engineering and
Science.- 1998.- Vol. 38.- P. 90-100.
7. Peppas, N.A. Mathematical Modeling and Experimental Characterization of
Polymer Dissolution / N.A. Peppas, J. C. Wu // Macromolecules. – 1994. - Vol.
27, No. 20. – P.5626-5638.
8. Narasimshan, B. Disentanglement and Reptation During Dissolution of
Rubbery Polymers / B. Narasimshan, N. A. Peppas // Journal of Polymer
Science: Part B: Polymer Physics. – 1996. - Vol. 34. P. 947-961.
9. Мизеровский, Л.Н. Феноменологические и термодинамические
аспекты процессов плавления и образования кристаллов полимеров в
присутствии жидкостей / Л.Н. Мизеровский, K.B. Почивалов //
Химические волокна. - 2001. - №6.- с.54-58.
10. Flym, J.H. A collection of kinetic data for the diffusion of organic
compounds in polyolefins / J.H. Flym // Polymer.- 1982. - Vol.23, N8, P.1325 -
1344.
11. Липин, А.Г. Совмещенные процессы полимеризации и сушки гранул
форполимера в двухсекционном аппарате с псевдоожиженным слоем / А.Г.
Липин, С.В. Федосов, А.А. Шубин // Журнал прикл. химии. – 2001. Т.74.
№12.- с.2013-2018.
12. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К.
Флетчер.- М.: Мир, 1988.- 352 с.
122
ВЗАИМОСВЯЗАННЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛОТЫ И МАССЫ
ВЕЩЕСТВА В ПРОЦЕССАХ СУШКИ
С.В. Федосов
В общем случае сушка является сложным тепломассообменным
процессом [1, 2], и время достижения заданной конечной влажности
определяет в итоге качество готового продукта. В области влажного
состояния вещества, а также при анализе процессов сушки
мелкодисперсных материалов, обладающих высокоразвитой
поверхностью, кинетика удаления влаги может описываться основным
уравнением массоотдачи в газовой фазе. В области гигроскопического
состояния вещества кинетика сушки определяется, в основном,
закономерностями внутреннего переноса влаги и теплоты. Посредством
массопроводности влага из внутренних слоев материала продвигается к
внешней границе тела (к поверхности испарения). При конвективной
сушке высокотемпературным теплоносителем процесс может осложняться
термовлагопроводностью и внутренним испарением влаги. Как правило,
коэффициенты влагопроводности твердых тел меньше таковых
теплопроводности. Если различие этих коэффициентов велико
(
)
23
1010,
k
Lu
a
--
=£¸ то сушку можно считать изотермической.
Математическое описание этого процесса будет включать в себя
последовательные решения двух краевых задач: теплопроводности (нагрев
влажного тела) и массопроводности (перенос влаги в нагретом теле). В тех
случаях, когда коэффициенты влаго- и теплопроводности различаются
менее чем на два порядка, теплоперенос существенно влияет на
внутренний влагоперенос. Уменьшение влагосодержания наружных слоев
материала сопровождается более быстрым их прогревом, вследствие чего
возникает поток влаги в направлении, противоположном температурному
градиенту, т.е. от поверхности в объем высушиваемого материала.
Необходимость расчета динамики полей влагосодержаний и температур в
теле в процессе сушки обусловлена зачастую требованиями к качеству
получаемого готового продукта. Например, при сушке термолабильных
веществ (зерно, фибра, хлопок-сырец и др.) недопустим перегрев
поверхностных слоев материала, поскольку он может привести к потере
ценных компонентов (зерно), или деструкции и обгоранию материала
(фибра).
Вообще задача расчета полей влагосодержаний и температур в
высушиваемом материале требует решения системы дифференциальных
уравнений взаимосвязанного тепломассопереноса. В монографиях [3, 4]
показано, что у большинства материалов, температура которых в процессе
сушки не превышает 100°С, основная масса влаги переносится
123
посредством массопроводности, а влияние термодиффузии и внутренних
фазовых переходов менее существенно. В этих условиях краевая задача
взаимосвязанного тепловлагопереноса может быть представлена двумя
самостоятельными задачами тепло- и влагопроводности [2, 3]:
(
)
( )
2
,
,;
ur
kur
¶t
=Ñt
¶t
(1)
(
)
0
,0;
uru
=
(2)
(
)
0,
0;
u
r
¶t
=
¶
(3)
( )
(
)
,
,;
p
uR
uuRk
r
¶t
éù
b-t=
ëû
¶
(4)
(
)
( )
2
,
,;
tr
tr
¶t
=aÑt
¶t
(5)
(
)
0
,0;
trt
=
(6)
(
)
0,
0;
t
r
¶t
=
¶
(7)
( )
(
)
()
,
,.
c
tR
ttRq
r
¶t
a-t=l+t
éù
ëû
¶
(8)
Влияние влагопереноса на теплоперенос учитывается в граничном
условии (8) дополнительным слагаемым
(
)
q
t
характеризующим сток
теплоты с испаренной влагой. Решения системы уравнений (1)-(8),
полученные методом разделения переменных Фурье для тел канонической
формы, приведены в монографии [3]. Однако для интенсивных процессов,
протекающих при малом времени пребывания материалов в зоне тепловой
обработки, расчеты по ним связаны с трудностями вычислительного
характера вследствие необходимости учета большого числа членов
бесконечного ряда. Причем, чем меньше время сушки, тем большее число
членов ряда необходимо учитывать. Указанные трудности начинают
существенно сказываться при значениях числа Фурье меньше 0,1. Следует
отметить, что в интенсивных процессах сушки этот случай
(
)
0,1
m
Fo
<
имеет место практически всегда. Действительно, численные значения
коэффициента массопроводности для большинства материалов лежат в
пределах 10
-8
– 10
-12
м
2
/с. Если размер высушиваемого тела составляет 2R
= 10 мм, а время пребывания в зоне сушки ~100 с, то значение числа Фурье
будет:
( )
8
2
2
3
10100
4100,1
510
m
Fo
-
-
-
×
==×<
×
. (9)
На практике размеры частиц дисперсных, тонколистовых и тканевых
124
материалов, подвергаемых интенсивной сушке, значительно меньше
10 мм, поэтому в большинстве случаев условие
0,1
m
Fo
<
выполняется.
Коэффициент температуропроводности твердых материалов, как правило,
на 1-2 порядка выше коэффициента влагопроводности, поэтому в процессе
сушки условие
0,1
Fo
<
может быть выполнено, а может и не соблюдаться.
По этой причине решения краевой задачи (1)-(8) в дальнейшем будем
анализировать для двух случаев: 1)
0,1;
m
Fo
<
0,1;
Fo
<
2)
0,1;
m
Fo
<
1
,
0
>
Fo
.
Тепло- и влагоперенос в неограниченной пластине
Рассмотрим краевую задачу распределения влагосодержаний и
температур в неограниченной пластине толщиной 2R. В начальный момент
времени пластина имела во всех точках температуру (t
0
) влагосодержание
(u
0
). Сушка происходит в среде с постоянной t
с
. Задача симметричная, т.е.
потоки теплоты и влаги одинаковы с обеих поверхностей пластины. Для
рассматриваемого случая система уравнений (1)-(8) запишется в виде:
( ) ( )
2
2
,,
;0;0;
uxux
kxR
x
¶t¶t
=t><<
¶t
¶
(10)
(
)
0
,0;
uxu
=
(11)
(
)
0,
0;
u
x
¶t
=
¶
(12)
( )
(
)
,
,;
p
uR
uuRk
x
*
¶t
éù
b-t=
ëû
¶
(13)
( ) ( )
2
2
,,
;0;0;
txtx
axR
x
¶t¶t
=t><<
¶t
¶
(14)
(
)
0
,0;
txt
=
(15)
(
)
0,
0;
t
x
¶t
=
¶
(16)
( )
(
)
()
,
,.
c
tR
ttRq
r
¶t
a-t=l+t
éù
ëû
¶
(17)
Здесь
() ( )
0
,
p
quRur
**
éù
t=brt-
ëû
- тепловой поток с испаряемой
влагой.
Первый случай:
0,1;
m
Fo
<
0,1.
Fo
>
По аналогии с задачей теплопереноса решение краевой задачи (10)-
(13) в области малых значений чисел Фурье может быть представлено в
виде:
125
( )
(
)
( )
2
0
0
,
1
,exp1
2
mm
p
m
uxu
x
UrFoerfcBixBiFo
uu
Fo
t-
éù
==-+´
ëû
-
m
m
1
,
где .
2
mm
m
xx
erfcBiFox
R
Fo
æö
´+=
ç÷
ç÷
èø
m
(18)
В выражении (18) для краткости записи принято следующее
обозначение:
(
)
(
)
(
)
.
AzAzAz
=-++
m
Обратимся к решению краевой задачи теплопроводности (14)-(17), не
останавливаясь пока на определении явного вида функции
(
)
.
q
t
Применив
к уравнениям (14)-(17) преобразование Лапласа по временной переменной,
получим:
( )
0
,,
где ;
ts
txsAchpxBshpxp
sa
-=+=
(19)
(
)
0,
0;
ts
x
¶
=
¶
(20)
( )
(
)
(
)
,
,,
c
tRsqs
t
HtRs
sx
¶
éù
-=+
êú
¶l
ëû
где
.
H
a
=
l
(21)
Используя граничное условие (20), находим, что В=0. Для
определения константы А подставим решение (19) в граничное условие
(21):
( )
(
)
0
.
c
qs
H
ApshpRHApRtt
s
-+=--+
l
(22)
Отсюда следует, что:
(
)
( )
(
)
( )
0
.
c
ttHqs
A
HchpRpshpRHchpRpshpR
-
=-
+l+
(23)
Таким образом, решение краевой задачи (14)–(17) в области
изображений будет иметь вид:
( )
(
)
( )
(
)
( )
0
0
,.
c
ttHchpxqschpx
t
trs
s
sHchpRpshpRHchpRpshpR
-
-=-
+l+
(24)
Числители и знаменатели дробей, стоящих в правой части выражения
(24), являются обобщенными полиномами относительно s. Вследствие
этого решение (24) удовлетворяет условиям второй теоремы разложения.
Использовав правило линейности обратного преобразования Лапласа,
запишем:
126
( )
( )
( )
()
( )
()
()
11 0
0
1
,
.
c
Httchpx
t
txLL
s
sHchpRpshpR
s
qschpx
s
L
s
sHchpRpshpR
--
-
éù
-
æö
êú
t-=-
ç÷
êú
èø
+
ëû
éù
êú
j
l
-=
êú
y
+
êú
ëû
(25)
Обратное преобразование уравнения (25) без учета второго
слагаемого правой части имеет вид:
( ) ( ) ( )
( )
2
000
1
,cosexp.
ccnnn
n
txtttttAxFo
¥
=
t-=---m-m
å
(26)
К последнему слагаемому выражения (25) применим теорему
Дюамеля, согласно которой:
()
( )
() () () ()
2
11212
0
0.
ft
fttffsfsfs
t
¶t-
¶+t×®×
¶t
ò
(27)
Введем следующие обозначения:
()
(
)
()
( )
12
;.
qs
Hchpx
fsfs
H
sHchpRpshpR
==
l
+
(28)
Использовав (27) и (28), последнее слагаемое в (25) запишем в виде:
()
()
11
0
11
t
s
qschpx
q
chpx
H
LLdt
H
schpRshpRschpRpshpR
HH
t
--
t-
æö
éùéù
ç÷
êúêú
t
¶
l
ç÷
êúêú
=×+
l¶t
æöæö
ç÷
êúêú
++
ç÷ç÷
ç÷
êúêú
èøèø
ëûëû
èø
ò
()
1
0
.
1
q
chpx
L
H
schpRshpR
H
-
t=
éù
êú
t
êú
+
l
æö
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
(29)
Обратное преобразование выражения, стоящего в квадратной скобке
(29), аналогично (26) для случая
0
0,1
c
tt
==
и может быть представлено
как:
[]
( )
12
1
~1cosexp.
nnn
n
LAxFo
¥
-
=
=-m-m
å
(30)
Отсюда следует, что:
127
[]
1
0
1
~1cos.
nn
n
LAx
¥
-
t=
=
=-m
å
(31)
Продифференцировав (30) по временной переменной, получаем:
[]
1
2
2
22
1
~
cosexp
n
nnn
t
n
t
L
aa
Ax
RR
¥
-
t-
=
t-
¶
mt
éù
=m-m=
êú
¶t
ëû
å
2
22
222
1
cosexpexp.
n
nnnn
n
aaat
Ax
RRR
¥
=
mt
æöæö
=m-m-m
ç÷ç÷
èøèø
å
(32)
Дополнив решение (26) выражением (29) с учетом (31) и (32),
окончательно запишем:
( ) ( ) ( )
( )
()
2
000
1
,cosexp
ccnnn
n
q
txtttttAxFo
H
¥
=
t
t-=---m-m--
l
å
( )
()
( )
()
222
1
0
cosexpexp,
Fo
nnnnn
n
qtq
AxFoFodFo
HH
¥
**
=
éù
t
êú
-m-mmm-
êú
ll
êú
ëû
å
ò
(33)
где
22
;.
aat
FoFo
RR
*
t
==
Полученная зависимость может быть представлена в безразмерном
виде:
( )
( )
( ) ( )
{
( ) ( ) ( )
0
0
1
222
0
,
,1cos
1expexp,
nn
c
n
Fo
nnn
txt
TxFoqLuFoAxqLuFo
tt
qLuFoFodFoFo
¥
=
***
t-
==-+m-
-
ü
éù
ï
êú
-+mm-m
ý
êú
ï
êú
ëû
þ
å
ò
(34)
Проанализируем полученные решения.
В случае, если
Bi
®¥
(на поверхностях пластины происходит
интенсивный теплообмен с окружающей средой), температура
поверхности пластины мгновенно становится равной температуре
сушильного агента. В этих условиях характеристическое уравнение для
пластины примет вид:
0
n
ctg
m=
или
cos0.
n
m=
(35)
Отсюда следует, что
( )
21;1,2.
2
n
nn
p
m=-=
K
(36)
128
Уравнение (34) примет вид:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
{
( )
( ) ( )
1
1
2
22
2
0
21
4
,11cos
212
2121
1expexp.
44
n
n
Fo
n
nx
TxFoqLuFoqLuFo
n
nn
qLuFoFodFoFo
¥
+
=
***
-p
=-+--
-p
ü
éù
éù
éù
-p--p
ï
êú
êú
-+m
êú
ý
êú
êú
êú
ï
ëû
ëû
êú
ëû
þ
å
ò
(37)
Если при этом в процессе сушки интенсивность внешнего
массообмена невелика
(
)
,
m
BiBi
<<
то выражение (37) еще более
упрощается, так как величина
(
)
qLuFo
стремится к нулю:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
1
1
2121
4
,11cosexp.
2124
n
n
nxn
TxFoFo
n
¥
+
=
éù
-p-p
êú
=---
-p
êú
ëû
å
(38)
Это выражение полностью совпадает с решением А.В. Лыкова [5],
полученным для случая теплопроводности неограниченной пластины.
Физически оно означает, что при малой интенсивности массоотдачи с
поверхностей пластины в газовую среду испарение влаги практически не
влияет на внутренний перенос теплоты в пластине.
Для малых значений числа Био (что соответствует слабой
интенсивности теплообмена) характеристическое уравнение запишется в
виде:
.
nn
Bitg
=mm
(39)
Отсюда следует, что при
Bi
®¥
произведение
tg
mm
также стремится к
нулю. Этот результат возможен только при
0.
n
m®
Но в области малых
значений аргумента справедливо выражение
.
tg
m=m
С учетом этого
вместо характеристического уравнения (39) может быть использована
более простая зависимость:
2
.
Bi
=m
(40)
При выполнении условия (40) все члены ряда становятся
незначимыми по сравнению с первым. Для этого случая можно записать,
что
1
.
Bi
m= Величина А
1
определяется как:
11
1
1
1
1
1
111
00
1
1
sin
2
2sin
,
sin
cossin
1cos
limlim
A
m®m®
m
éù
êú
éù
m
m
==
êú
êú
m
m+mm
êú
ëû
+m
êú
m
ëû
(41)
129
так как в области малых значений аргументов
1
cos1
m®
, то и отношение
1
1
sin
m
m
также стремится к единице.
Выражение (34) принимает вид:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
}
0
,1cos1
expexp.
Fo
TxFoqLuFoBixqLuFoBiqLuFo
BiFodFoBiFo
*
**
ì
é
ï
ê
=-+-+´
í
ê
ï
ê
ë
î
ù
´-
ú
û
ò
(42)
В условиях, когда процесс удаления влаги протекает малоинтенсивно
(
)
0,
m
Bi
®
величина
(
)
qLuFo
также стремится к нулю, а выражение (34)
принимает вид классического решения задачи теплопроводности пластины
[5].
Второй случай:
0,1;
m
Fo
<
0,1
Fo
<
- и массообменный, и тепловой
критерии Фурье меньше 0,1.
В этом случае поле влагосодержания в пластине также будет
определяться выражением (18). Для получения решения тепловой задачи в
области малых чисел Фурье преобразуем выражение (24), используя
свойства гиперболических функций, к виду:
( )
(
)
( ) ( )
{
}
()
( ) ( )
{ }
0
0
,expexp
1
1
expexp.
1
1
c
tt
t
txspRxpRx
s
sp
H
qs
s
H
pRxpRx
sp
H
-
éùéù
-=--+-+-
ëûëû
æö
+
ç÷
èø
l
éùéù
--++-+
ëûëû
æö
+
ç÷
èø
(43)
Выражение (43) без второго слагаемого правой части идентично
рассмотренному А.В. Лыковым [5] решению задачи теплопроводности
пластины при малых значениях чисел Фурье.
Используя для второго слагаемого правой части теорему Дюамеля,
получаем:
130
(
)
( ) ( )
{ }
()
( ) ( )
{ }
1
0
1
expexp
1
1
1
expexp
1
1
t
qs
s
qt
H
LpRxpRx
sp
H
LpRxpRxdt
sp
H
t
-
-
t-
éù
êú
¶
l
éùéù
êú
--+-+=×´
ëûëû
a¶t
æö
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
æö
éù
ç÷
êú
éùéùç÷
êú
´--+-++
ëûëû
æö
ç÷
êú
+
ç÷
ç÷
êú
èø
ëû
èø
ò
(44)
()
( ) ( )
{ }
1
0
1
expexp.
1
1
q
LpRxpRx
sp
H
-
t=
éù
êú
t
éùéù
êú
+--+-+
ëûëû
a
æö
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
Осуществив теперь, как и ранее, переход от изображений функций к
оригиналам с помощью таблиц обратных преобразований, будем иметь:
( ) ( )
12
1
2
11
~exp1.
22
xx
LerfcBixBiFoerfcBiFo
FoFo
-
±
æö
éù
=-++
ç÷
ëû
èø
m
m
14243
144444444424444444443
(45)
Здесь, как и ранее, обозначено:
(
)
(
)
(
)
.
AzAzAz
=-++
m
Продифференцируем выражение (45) по t, учитывая, что:
22
2
;
aa
a
Fo
RR
R
¶¶¶
=×=×
t
¶t¶æö
¶
ç÷
èø
(46)
( ) ( )
2
00
.
Fo
FoFoFoFo
a
dtaFo
FoFo
R
**
t
*
--
¶¶
×=
¶¶
òò
KK (47)
При этом по правилу дифференцирования сложной функции запишем:
( )
1
2
2
3
2
2
2
3
2
exp
1
211
expexp,
24
2
mm
erfcmFo
FoFoFo
Fo
x
mmx
Fo
FoFo
Fo
-
-
æö
éù
¶¶
æö
ç÷
=--=
êú
ç÷
ç÷
¶¶
p
èø
ç÷
êú
ëû
èø
æö
éù
æö
ç÷
êú
=---=-
ç÷
ç÷
ç÷
p
êú
ç÷
p
èø
ëû
èø
m
m
(48)
где
1
.
2
x
m =
m
Аналогичным образом, дифференцируя интеграл ошибок во втором
слагаемом (45), получим: