Леоненко Н.Н., Иванов А.В. Статистический анализ случайных полей
Подождите немного. Документ загружается.
)1.
ни
.лноиьнко
/1
Р
L
Г)
t-
А
.В
.
И
ВАНОВ
Статистический
анализ
u
случаиных
5
полеи
7
15
23
27
3D
35
38
47
54
57
64
! 66
73
Б
п:
Л
I
о)
Т
r:
к л
KHiB
Cbl:oro
У-Т
79
. 82
1 85
96
IQ2
К
ИЕВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
П
Р
И
КИЕ
ВСК
О
М
i
JOb
ГО
СУ
ДАР
С
ТВЕННОМ
УНИВ
ЕРСИТЕТ
Е
И
З
Д
А
Т
Е
Л
Ь
С
К
О
Г
О
ОБЪЕДИ
НЕНИЯ
сВ
И
Щ
А
Ш
К
ОЛА-
\986
~
]7
3
:>
'J!.K 519.21
€татиетиче
скн/%
анааяе
случайны
х
ПOlле/!.
Н
.
Н
.
Л
t
е
Н
е
н
к
о,
А
.
В
.
И
в
а
н
Q!
В
.
-
Киев
:
В
и
ш
а
ш
кола
.
И
зд-
во
п
ри
K1felВ
.
у
н
-те
,
1986. 21
б
с
.
В
мон
ографии
рассм
атриваются
ста
гг
нсгические
пр
об
ле
мы
,
с
р
е
д
и
к
от
оры
х
-
О!
це
н и
ва
н
и е
к
оэффици
е
.нтов
линейн
ой
и н
е
ли
н
ейной
р
егрессии
с л
у
ч
а
й н
ы
х
полей
.
З
н
а ч
и т
е
л
ь н
о
е
в
н
имани
е
уд
еляет
ся
непараtl'l
етрич
еск
ом
у
оцени
в
ан
ию
к
ор
р е
л
я
ци
о
н
н
о
й
ф
у
н
к
ц
ии
о
д
но
род
но
го
и
од
но
р
о
д
н
о
г
о
изотропного
случай
н
ы
х
полей
.
И
с
с
л
е
д
у
ю
т
с
я
п
о
дх
оды
к
по
строе
н
ию
до
верительн
ы
х
и
н т
ер
в
алов
дл
я н
еl'iз
ве
с
тн
ой
к
о
р р
е
л я
ц
и
о
н н
о й
фун
кции
.
Изу
ч
а
ютс
я
пр об
л
емы
п
ере
с
еч
ения
для
однород
ных
и
зотропных
с
л
у
ч
а й
н
ы
х
полей
п
р
и
с и
л
ь н
о
й
11
слаб
о й
зависим
ос
т и
.
Ре
зульта
ты
и
с
с
л
е
д
о в
а
н и
й
н а
й
д
у
т
шир
ок ое
прнме
н
е
нне
п
ри
ре
шен
ии
п
р
и
х л
адных
за
дач
авт
ом
ат
ич
е
ск
ого
у
п р
а
в
л
е
н
и
я
,
о
пт
им
н
за
ц
и и
,
тео
р
и
п
ше
роховв
т ос
т
ей
п о
вер хн
остей,
статистичес
к
ой
рад
и
о
фн
з
и
к
и
,
ге
офи
зик
и
,
а
с
'ГР
ОН
ОМИИ
,
голо
графии
.
Д
л
я
на
учных
р!lб
о
тн
ик
ов
,
преподавателе
й,
о т
уд
е н
то
в
.
Би
6
.
1
и
огр.
:
192
н а
зв
,
Р
е
и
е п з е
и
т
:
А
.
В.
С
к
о
р
ох
о
д
,
акал
,
АН
УССР
(Инст
иту
т
ма
т
ем
ати
к
н
А Н
уСС
Р
)
Р
е
Д
RКЦ
ИЯ
е
с
т
е с
тв
е н
но
й
лит
ературы
З
а
в
.
ред
а
кц
п
е
п
Б
.
Н
.
Фляшников
М
ОН
ОГРАФИ
Я
11
и
~
о
л
а
й
11
ик
о л
аевич
Ле
оиенко
,
А
л
ел
с
а н
др
В
л
адимир
ови
ч
Иваиов
СТ
АТИ
СТИЧ
ЕС
КИЙ
А
II
А
Л
ИЗ
СЛ
УЧАйНЫХ
Р
е
дактор
Л
.
В
.
Ли
сиц
к
а
я
П
с р
е
п
.
е
т х
у
д
о
ж
н
и
к
а
Б
.
А.
П
р о к
о
п
е
н к
о
х
у
д()ж
~
с
т в е Н Н
hl
Й
р
едакто
р
Т.
О
.
1I1ур
Т
е
х
н н
,
е
С Кl
I
Й
р е
л
а
кг
о
р
Т.
М
.
П
u
х
о
т
а
ПОЛЕй
К
орр
ек
т
оря
А
.
В
.
Дро
жжина,
Т
.
А.
Лн
к
а
ши
н
а
I!нф
орм
.
бл
а н к
.
'11
,
1
0
З
,
2
( .'1,1110
11
II
н
б
о
r
28.01.86.
П
о
д
п
.
R
п е
ч
а
г
ь О
l
.Об
.
М
.
I)ф
03065.
Ф
о
р
м
о
т
81x l08j32
Б
у
м
а
г
.
тип
ог
р
. .\'. 1.
Л
ь
т
.
гар
и
.
Вы
с
.
пе
чат
ь
,
'
·
с
.
,
.
пс
ч
.•
а
, 1.3-1.
Ус
л
.
кр
.
-
ОТТ
.
11.34.
У
ч
.
-
нз
д
.
л
.
13.19.
Тир
аж
2ио
о
Эl<
з
.
Из;J.
.
N,
223
2
-
к
.
Зак
. •
\~
6'110.
Ц
в н
а
2
р
.
30
к
.
И
зд
а
т
е
ль
с
тв
о
П)\l
К
и
е
в с
ко
м
го
с у
л
вр
сгв
вн
но
м
уни
верситете
,
:52001,
К
и
е в-
Г
,
К
р
ешатик
,
10
Ки
ев
с
кая
кни
жная
г и п
о
г
р
а
фи
я
и
а
у
чн
о
Jl
к
н
и
г
и
.
252004,
К
и
е
В
'
4
,
Реп
ин
а,
4
1702060000-105
л
-
---
-
139·8 '
~
И
з
да
т
е
л
ь
с
к
о
е
о
ё
ъ
е
д
в
в
е
н и
е
\0\224(04)-86
«
В
иша
школа
»,
1986
ОГЛАВЛ
ЕНИЕ
5
Предис
ловие
Г'
л
ав
а
1.
Элементы
те
ории
сл
учайны
х
пол
ей
1
_1
_
Н
е
к о т
о
р
ы
е
п о
н я
ти
я и
о
бо
з н
а
че
н ~ я
• 7
1.2.
Однород
ные
и
и
з
о
т
р
оп
н
ы
е
слу
ч
айны
е п
оля
15
1.3.
О
спектраль
ных
с
в о
й
с т в
а
х
стар
ш
их
м
о
м
е
н т
о
в
случайных
п
ол
е
й
.
,.
. 23
1.4_
Н
ек о
т о
р
ы
е
с
в
о
й с т
в
а
ра
в
н
о
м
ерн
о
г
о
распр
ед
е
л
ения
27
1.5.
Дисперс
ии
ин
т
ег
р
а
л
о
в
о т сл
у
ч а
й н
ых
п
о
л
е й
••
30
1.6.
Услов
ия
слаб
ой
з
в
в и
с
и
м
о
с
т
и
случай
ных
полей
• 35
'1.7.
Ц
ент
р
а
л
ь н
а
я
п
р
едельн
ая
т
е
о
р
ем
а
• 38
1.8.
/I
'
\о
ме
нтн
ые
н
е
р а
в
е
н
ст
в
а
• • • 47
1.9.
П
ринци
п
и н
вар
иант
н
ости
5-t
Г
л
ав
а
2.
Преде
льные
теоремы
для
ф
ун
кци
он
а л
ан о т
г
а
у
с с
ов
ских
п
олей
2.1
Дисперс
ии
интеграл
о
в
о
т
л
ок
а
л
ьны
х
гаусс
овских
ф
у
нк
ци
о
н а
л
о
в
. ' . . . . . . 57
2.2
У
словия
р
едук
ц
и
и
для
случ
айных
пол
ей
с с
и
л
ь
но
й
з
а
в
ис
имостью
. , • . . , 64
2.3
Централ
ь
ная
п
р е
д
е
л
ь
н а
я
теоре
ма
для
.
н
ел
и
н
ейн
ы
х
п
ре
о
б
р
а
з
ов
а
и
и
й
г
аУ
ССОВ
С
I\
О
Г(\
п
ол
я
. • . . 66
А
п п р
о к
с
и
м
а
ц
и
я
рас
п
р
е
д
е
.I
СIf
ИЯ
гео
ме
т р
ичес
ких
функ
ц
и о
п
а
л
о
в о
т
г а
у
с с
о
в
с
ки
х
п
о
л
е
й
73
2.4
Ус
лов
ия
редук
ц
и и вз
ве
ше
нны
х
фу
нк
ц
ион
алов
. . . 79
2.5
Усло
в
ия
реду
кц
ии
ФУ
НК Ц
'f
оналов,
з
а в
н с
я
ш
и
х
от
п
а
р
а
м
е
т
2.6
ра
82
У
с
л
о
в
и
я
редукци
и
мер
п
р
е
в
ы
ш
е
н
и я
п
о
движн
ог
о
уров
ня
85
2.7.
У
с
ло вия реду
кции
хар
акт
ерист
ик
п р е в
ы
ш
е
ни
я
ради
2.8.
альн
ой
пове
р х
но
ст
и
96
2.9
Кра
тные
ст
охасти
ческие
инт
егралы
. . . . 102
Ус
л
о
в и
я
притяжен
ия
к
п
о
л у у
с
то
й
ч
и
в
ы
м
пр
оцессам
функ-
-
ционалов
о
т
однор
одных
и з
отр
оп
ных
г
аусс
ов ск
нх
п
о л
е
й
10Ь
2.10.
Г
лава
3.
Оценив
ание
математическоrо
ожидания
3.1.
Ас
имптотическ
ие
св
ойст
ва
о
ц
е
нок
н
аим
ен
ьш
и
х
квадрато
в
коэфр
и
ц
иеит
ов
лин
ейной
р
е
г
р
е
с с
ии
. ' .
••
117
3
3.2. COCTOHTeJl
bll
OCTb o
ue
ux
n
HallM
eHb
lllllX
K
BaAP
J TOD n
pu
lIeJl
I1·
He fiH o A na paMeTp H3
aU
ll
H .
126
3.3. A ClI
MnT
O
TH'l
eCKOe p
aanoxc
eane Oue HKI1
H
aH
~le
H
blllll
X
xaaa pa-
TOB .
134
3.4. A
ClIMn
TO
Tllll
eCKa H HOpM aJl bHOCTb II CXOA
li
MOCTb MOMeHTOB
ouea xu HaH MeHb
lll
llX
K
BaApaTO
B •
14
3
14
6
3.5. COCTOHTeJl bH OCTb oueuxn Ha
hM
eH blJJHX MOAYJl eA
3.6.
ACHMnT
OTll'l
eCKaH
HopMaJlbH
OCTb one n xn
Haw
.leH I,I
Ull
X MOA
Y'
..I.I.:M
15 1
r
AlUl
a 4. Oueaa sauue xoppe
nau
aouaoa ljJ
yHKI.lHH
4.1. Onpere
..
icuae oueaox
••
• 163
4.2. COCT05, reJl bHOCTb 165
4.3.
ACllMnT
OTll'l
eCKa H
HOpMaJlbH
OCTb
173
4.4. A
CllMnT
OTll'l
eCKa H H
OpM
aJl bH O
cTb
.
C.
ry
Y'
la
H onnopornroro 1I30 -
TponH
or
o nOJlH 184
4.5.
Oue
HHB<lHlI e no
MHor
W,i
He3a
BllC
lI MbiM pea.ma
auaaa
187
4.6.
.uoB
e
pl
lT
e.
ijbHbl
e
nnr
epn a.ru 193
Cnacox JlI1Te
paTy
p bl •
••
• 200
n
pll
M
e'
l
altHH
209
n peJl,MeTH
blii
y
xaaar
e
m,
213
•
nP
E.n.HCJ10BI1 E
Flpeanaraeaan
lJlIT
aTeJIIO K
EHra
nocsauiena OC
HOBllbl
M 33-
,nalJaM CTaTHCTHKH CJlYlJaHHblX
nOJleJ"1.
Cpasy cn
eny
er OTMeT
HTb,
'ITO KH
Hr,
B
J<O
TOp bIX peWalOTC
51
TaKHe
sanas», no CHX n
op
He
6b
IJlO . Booouie,
reopns
C
JlY
lJaHHbIX noneii MaJl O
ocse
ute
na
B MO-
Horp
aepHlJeCKOH
nn
repar
ype,
MHe
H3Be
CTllbI
JlHlIlb
,UBe
KHJif
H:
M.
Yl
. 5I,UpeHKO «C
ne
KTp aJlbH3
51
Te
OpH51
CJlYlJa
J"l
Hbl x
none
J1
»
(l 980)
11
R. J .
Adler
«T he G eo m et
ry
of
R an
do
m
Field
s» (1981).
Vi'
3TO
lI
eCMOTp51
na
TO, 4TO TeOpH51 CJlY4aJ"lHhlx
no
n e
ii
HaXOA
IlT
a
ce
HOBbie
npH
JlO)J{e
IlH
H,
TaKHe
K
aK
TeOpH51
Ty
p6 y JIeHTHOC
TII
,
MeTeOpOJIOrH
51
, CTaT
Il
C
TH4
eC
Ka51
pa
naoqi
a
sa
x a , TeOp H5I
ui
ep
ox
o-
r aTOCTIl nos
ep
x u
ocrea
, p aCI103l1aBaHl1e 06 pa
30
B
11
H,UeIlTHepHKa-
UI151
napaa er pos CJIO)J{HbIX C
I1C
TeM. Kpoae r
oro
,
11
13
_CaMI1X san a-
sax
TeOp111l Bep05lTHOcTei1 eCTeCTBeHHO n 0
51B
.TI
5IIOTC
51
CJlY4
aHHble
ep
yH
KUI
Hl
MHOf HX nepenea nu x. T. e.
CJJ
Y4all
ll
ble nOJI5I.
Cnen
ntp
uica
CJJ
YllaH Hb
lX
noneii n p051BJIHeTCH
npn
pa
CCMOT-
peIII111 CJIY4aHHbIX
epyllKU
lI
ii
, CBOl
lc
TBa KOT
OpbI
X COrJIaCOBaHbl C
a
nreo
pa
aue
cx
os
CTp
yK
Ty pOH
npO
CTp aHCTBa , TOlJHO Ta K, Ka
J<
cneu
nrp»
xa CJlY43HHo r o npouecca
(¢
YH KUIl51 O
AIIO
H nep eM
eHIIO
I\
r paxr yexrof KaK Bp eM5I) -
13
C
OrJl
3COBa
Hlf
ll
CO crpyxry pof
11
0'
p51,U
Ka (Ta K B03HJ.lKaIOT TeOpHI1
Map
THH
ra
JIOB,
~l
a
p
K O B
C
K
l l
X
npo
lleCC OB) .
Hss ec
ruo
, 4TO B
peur
en n u san au CTaTHCTHKH
cy
ui
ecr ae
nn
y to
POJIb
nrp
aio
r npenensaue reopeasi. B
san
axa
x CTaT
J.l
CTHKH ·cn
y-
4 a HHbI X npoueccon 06bl4HO
np
e
nnonaraer
ca , 4TO
Ha6JI
IO,U3e
TC51
npouecc (K aK
np
aBHJI O,
O,U
Ha p e
aJIH3
aU
I1
51
) a a p aCW
Hp
51
KillJ,eM
C51
,UO
6eCKOHeQHOCTH
Bpe
MeHHOM HHTepBaJI e.
Do
3TOMy Ha6JI Ki,ne-
IlI1Ki
: 1) CTP0
51
TC5I oueu KI1 napaxerpoa, 2)
nposep
mO
TC51
01 n o-
resu
0
pa
c
np
enen e
nn
a n pou ecca
IlJIH
0 BH,Ue OCHOBHblX x
apax
-
Tep l1CT
Il
K
11
T.
n.
AH
aJI
orH
4HbJll
noa x on HCnOJIb30BaH H B HaCT0
51
w.eH
xnur
e
npu
113Y4elll
iH
O,UIlOpO,UH hI X naorp o
nnux
CJIY
4ai'
lH
blx nOJIeH. Ilpen-
no r
arae
rcs,
4TO nOJIe Ha6
Jl1
o,Uae
TC51
aa
paCW
llp
51KillJ,eHC51
06
JIac
-
Til
11
no
Ha6
JIKi,UeH
I151M
p e
ui
arorcs
3a,na4
11
I) H 2) ,nJI5I non en . B
xa
-
5
ч
е
с
т
в
е и
нструме
нт
а
з
д
ес
ь
н
у
жн
ы
пр
е
д
е
льные
тео
рем
ы
для
фу
н
к
ци он ал
о
в
(в
ч
а
с
тн
о
ст
и,
адд
ит
ив
н
ых
)
о
т
выб
ор
очных
функц
ий
п
о л
е
й
.
Отмет
им,
ч
т
о
п
р
е
д
е
льны
е
тео
ре
м
ы
для
функ
ц
ио на
лов
от
с
лу
ч
айн
ых
по
лей
п р е
д
с
т
авл
я
ют
и
с
амос
тоя
те
л
ьн
ый
инте
рес
.
В
кн
иге
много
в
нима
ния
уде
лено
изу
че
н
ию
п
ре
д
ельн
ых
р
а с
пр
е
д
е
л
е
н
и й
для
раз
личных
ко
н
к
ре т
н
ы
х
фу
нк
и
ио
н
а
ло
в
гео
м
етрического
характе
ра от
гауссо
вс
ких
с
л у
ч а
й
н
ых
п
ол
е й
с
с
и
л
ь
ны
м
и
с
лабым
у
быв
ани
ем
к
орреляций
.
Впервы
е
в
м
о
н
о
гр
аф
ич
е
ск
ой
л и те
ра
т у
ре
и
с
сл
е
д
уют
ся
т
а
кие
важные
с
т
оч
ки
зре
н и
я
прил
о
ж
ений
фу
нк
ц ио
н
а
л
ы
,
ка
к
м
е
р
ы
пр
евышени
я г
а
уссовс
ким
п
о
л
ем
п
о
с
т
о
янн
о
г
о
и п о
дв
и
жн
ог
о
у
р
о
вня
и
р
а
ди
а
ль
н
ой
по
ве
р
х
ности
,
о
бъ
емы
,
огра
н и
че н н
ы
е
ре ал
и
за
ц
и
я
м
и
гауссовск их по
лей
на
д
н
ек
о
т
оры
м
и
м
нож
е
с
т
вам
и
.
П
ол
уч
ен
ны
е
результа
ты
мож
н о
п
ри
м
е
ня
ть,
на
п
рим
е
р
,
при
ис
сл
ед
о
в
а
ни
и
шероховатост
и
п
о
в
ер
х н
о
ст
е
й.
Соде
ржате
л
ь
ные
резу
л
ьтат
ы
п
олуч
ены
в
т
е
ории
о це
н
и
в
а
н
ия
п
е
рвы
х
двух
момен
то
в с
лу
чай
ных
п
о
ле
й
с
н
епр
еры
в
н
ым
п
ар
а
м
етр
ом
:
мате
мат
и
ческого
о
жида
н
и я и
к
орр
ел
я
ци
онн
о
й
ф
у
нк ц
и и
.
И
з
уч
ены
о
цен
к
и
наи
ме
н
ьш
и х
кв
адратов
и
н
аим
ень
ш
и
х
м
од
ул
е й
мн
ог
ом
ерн
о
г
о п
араметра
лин
ейной
инелин
е
йн
о
й
р
е г
р
е с
с
и
и
.
Эт
и о
ц
е
н к
и
н
е в
се гд
а
о
п т
и
м
а
л
ь
н
ы
,
н
о
их
ва
жн
о
е
дост
о
и н
ст
в
о
с
то
чк
и
зре
н
ия
п
рил
о
жений
сост
оит
в
то
м,
чт
о
о н
и
о п
редел
яются
к
ак
т
оч ки
экс
трем
ум
а
простых
инт
егр
аль
ны
х
фу
н
кцио
налов
от
реа
л
иза
ц
и
и
наблю
д аем
ого
п
о л
я
.
П
о ми
м
о
з
а
д
а
ч
п
ар
ам
е
трич
ес
к
ог
о о
ц
е
н
и
ва
н
и
я,
рас
с
матрив
а
е т
с я
за
д
а ч а
н
е п
а
р
а
м
е
т р
и
ч е с
к
о
г
о
оце
н
ива
ни
я
ко
р
ре
л
я
цио
н
ной
ф
у н
к
ц
и
и
од
но
род
ного
(
и
л
и
од
но
род
ного
и и
з
отр
опн
ог
о)
с
лу
ча
йно
го
по
л
я
с
н
ул
ев
ы
м
математи
чес
ким
о
ж
ид
а
н
и
е
м.
И
зуч
а
ют
ся
с
це
н
1\ 11
типа
ко
рре
лег
раммы
.
Н
а
й
дены
ус
л
о в
и
я
,
при
к
от
орых
ме
р
ы
,
соо
тветствую
щие
оцен
кам
,
с
ла
бо
с
хо
д
я
т
с я
к
н
е
к
от
о
рым
га
у
сс
овск
им
мерам.
Это
п
о
з
в
ол
я
ет
реш
ать
важн
ую
зад
а
чу
п
о
с
т
рое
н
и
я
ас
и
м
п
тот
и
ч
ес к и х
д
ов
ерительны
х
интервал
о
в
д
ля
ис
и
з
вест
но
й
ко
р
ре
ля
ц
ио
н
но
й
фу
нк
ц ии
.
Отм
етим,
чт
о
в
о
м
но
ги
х р
е
ал
ьн
ы
х
з а
д
а ч а
х
н е в
о
зм
о
ж
н
о
п
ол
учить
реали
заци
ю
сл
у
ч
а
й
н
ог о
гюля
ил
и
даже
и
з
м
ер
ить
мг
но
в
е
н н о
е з
н
ач
ени
е
с
лу
ч
а
й
н
ог о
п
ол
я
.
О
дн
а
к
о
и
змере
н
ие ко
р
рело
г
р
ам
м
ы
сл уч
а
йн
ог
о
п
ол
я
возмож
но
с
по
мощ
ью
физ
и че
ск
их
п
риб
ор
ов.
К
а
к
с
пециа
листы
п
о
тео
р
и и
с
лу
ч
а
йн
ых
п
ол
ей,
т
ак
и
на
у
ч
н
ы
е
р
а
б
отни
к
и
с
меж
н
ых
с
пе
ц
иа
л
ь
нос
т
е
й
,
исп ол
ь
з
у
ющи
е
эт
у
те
ори
ю
в
своей
р
а
б о
те
,
нес
омненн
о
най дут
мн
ог о н ов
ого
и п о
лез
но
го
в э т
о
й к
ни
ге
.
Академик
АН
УССР
А.
В.
СКОРОХОД
г
ЛАВА
1
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
СJlУЧАйНЫХ
ПОЛЕй
1.1
.
НЕКОТОРЫЕ
ПоНЯТИЯ
И
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Прив
е
д
ем
н
е о
бх
оди
м
ы
е
П
ОНЯ
1'
ия
и
у
т
вержде
н
ия
,
игра
ющие
в
ажн
ую
р
оль
в
эт
ой
к
ни
г е.
1.
Мн
ож
еств
а.
Веще
ст
венн
о
е
е
вкл
идо
во
пр о
с
тр ан
с
тв
о
р
аз
"
м
ерн
о
с
ти
n
~
1
о
боз
н
а ч
и
м
Р
",
П
у
с
ть
(
х
,
У
)
= 2;
Xi
Yi
-
с
н
а
(
=-::
l
л
ярн
ое
пр ои
звед
сние
вект
ор
ов
х
=
(Х
I'
...
,
Х
n
)
,
у=
(Уl'
.., ,
у
n)Е
E R".
Т
ог
да
Ixl =
V
(х,х
)-длина
ве
к
то
ра
х
,
PXy=tx-
У
I
ра с
с
т
ояние
в
R"
м
еж
ду
х
и
у.
С
и
мво
ло
м
dx =
dX
1
..
.
ах
;
о
боз
н
а ч
и
м
эл
емент
л
ебег
ов ой
ме
ры
в
к :
Об
озна
ч
и
м
R+
={xE
Е
R
n:
х
!
~
О
,
i = 1, ...
,п}
-
н
е
отриц
а
тел
ьный
о
кт
а
н т
R",
Z
n,
п
~ 1-
цел
очисленную
р
еш
е
тк
у
к
:
П
у
сть
П
(
о,
Ь)
=
{х
Е
R" j
а!
~
х
,
< b
t
,
i = 1, ... ,
п}-п
арал
л
елепип
е
д
в
Р
",
Анал
огичн
о о
п
реде
л
яе
м
П
(а
,
Ь
)
,
П
[
а,
Ь
)
и
R
n
п
иш
е
м
П
(
О,
Ь]
=
П
(Ь).
Шар
и
сфе
ра
в
р
ади
у
с
а
r
с
ц
ент
р о
м
в
н
ача
ле
к о
ордин
а
т
-
это
мн
ож
е
с
т
в
а
v
(г)
=
{х
Е
к:
:I
xl<
<
г}
и
s
(г)
=
{х Е
R
n
: I
х
I=
г}
.
Есл
и
это
н
е
о
б
х
о
дим
о
,
пише
м
5,,
-1
(г),
ук
азыв
ая
ра
зм
ерн
ости
сф
еры.
В
е:
n
~
2
п
омим
о
д
е
ка
рто
во
й
,
б
у
д
ем
п
о
ль
з
о
в
ать
с я с
ф
е
рич
е
с
к
ой
с
и
с
те
мой
к
о
ор
дин
ат
(г,
и
),
r
~
О
,
и
=
(!р,
!Pl' ...
... ,{pn_2)E
S
n- , {I),
O~
!p<
2n
,
O~rpj<n,
j = 1, ...
,n-2,
св
яза
н
но
й
с
д
е
к
а
р
тово
й
соот
ноше
н
иями
х
\
= r
siп
!Р
"-2'"
s in !p\
s
i
п
rp
,
Х
2
= r si n
!Рn
-
2
'
"
s
i
П
!Р
l
с
о
в
е,
" .
... ,
Х
,,_I
= r
sin
!Рn
-2
сов
<Р "
-
З'
х
"
= r cos
!Рn-
2'
(1.1.1)
Эл
ем
ент
м
еры
Лебега
на
сфере
5,,
-1
(r)
о боз на
ч и
м
I
dm
(
Х)
=
г
n
-
sin
n
-
2
rp,,-2
о,
,
sin
!P
l
drp
l ...
d!P"
_ 2
d!P.
(1.1.2)
Обозн
ачим
1!'11
меру
Л
ебега
и
зм
ерим
ог
о
мн
ожеств
а
~
c.R",
7
Н
ап
р
имер
,
I
и
(
1)
I =
2л
n r
2
/[nГ
(nl2)] -
об
ъ
е
м
е
дин
и
ч
ног
о
ш
а
ра
'
в
Р":
П
ол
аг
ая
,
чт
о
эт
о
не
п
рив
е
д
е
т
к
не
д
о
р а
з
умен
и
я
м
в
те
к
с
те
,
о
бозн
ачим
I
s(I)I=/
S
n_I(I)I=2
л
n
r
2
Г
Г
(
n
I
2
)
п л
о
щ
адь
по.
верхно
с
ти
с
ф
еры
Sn-I (
1)
.
R
n
В
да
л
ь
н
ей
ше
м
предпол
аг
а
ем,
чт
о
в
выдеяен
а
час
т
и
ч
но
у
по
р
яд
о
че
н н
а
я с
и с
т
е
ма ог
р
а н и
че н
н
ых
и
и
з
м
е
р
им
ы
х
м
н
о
жеств
т =
{д}
с
не
к
от
орым
о тн
о
ше
н
ие
м
п
оря
д
к
а
({
~»
.
С
ч и
та
е
м,
что
т
на
пра
вл
е
но
вв
ер
х
,
т
е
.
для
л
ю
бых
д\
'
д
з
Е
1m
су
щес
твует
Д
Е 9Л
т
а
к
ое
,
ч
т
о
д\
~
д
,
Д
2
~
Д
(д-
в
ер
х н я
я
грань
д
1
и
д
2
)
·
П
у
с
ть а
Е
Р
"
-
неи
у
л
е
в о й ве
кт
о р и
П
т
=
П
10,
а
)
+
+
т
®
а
-
сд
в
и
г
П
(
О
,
а
)
н
а
век
то
р
т
®
а
=
(m]
а
\,
'"
,flI
1I
О
,,
)
,
m EZ
n
.
Се
ме
йс
тво
мн
о
же
ств
{П
т
}
,
т
EZ
n
обр
а
зу
ет
разб
и
е
н
и е
Р"
,
Для
мн
ож
е
ств
Д
с:
Р
"
о
п р
ед
ели
м
N;t
(
д
)
к
ак
ч ис
л
о
та
к и
х
П
m
•
для
котор
ых
П
m
ntl=l= (2),
а
N;;
(д)
к
а
к
число
та
к их
П
m
,
чт
о
П
m
С
д.
Буд
е
м
г
ов
орить,
чт
о
м
н
о
ж
е с
тва
д
Е
эп
с
т
р
е
м
я
т
с
я
к
бесконечн
о сти
п о
В
ан
Х
ов
у
(
п
и
ше
м
tl
:l"
OO),
если
Д.~
Я
любо
го
а
=1=
О
при
р
асширении
мн
ож
е
ств
д
I
iш
N;;(
!J.)
=
00,
li
ш
N;;
х
х
(tl) /N;t
(д)=
1.
П
о
следн
ее
соо
т
но
ш
е
н
ие,
н
а
пр
и
м
е
р
,
п
о
н
н
м
а
ется
с
л
ед
ующ
и
м
образо
м
:
дл
я
любо
г
о
е
>
О
с
у
щ
ес
т в
у
е
т т а
к
о е
Д
(е)
Е
m,
чт
о
для
в
сех
6
,?д
(
е
)
IN;; (
tl
)JNd
(д)
- ] 1<
е.
Рас
стояни
е
м
е
жду
м
н
о
ж
е
с
т в
а
м
и
61
и
д
2
из
о
преп
е
ляе
тс
я
п
о
R
n
формул
е
,(61'д
2
)
=
inf{l
x-
y l,
xE6
j
,
Y
EД
~
}
П
о л
ожим
д
л
я
мн
о
ж
ес
т ва
дс
R"
р
(
х
,
6) = inf
{I
х
-
У
1,
у
Е
М
.
д
е
=
{
х
~
R
n
:
:
р
(
Х,
6) <
е
}
,
д-
е
=
R
n
,,
(R
n
"'
.tl
)
~.
д
[
е
]
=
Д
~
"'
Д
-E'
1;>
0.
Т
ог.
д
а
т
р
е
б о
ван
и
е
д
~
.
00
э
к
вив
а
ле
нт но
с
ледую
щ
е
м
у:
l
i
ш
I
д
I
=
:х>
И
l
iш
16 (f.] 1/)
61
= 0
ДЛЯ
люб
о
г
о
е
>
О
.
Т
а
к,
д
л
я
си
ст
е
м
ы
па.
ра
л
л
еле
п
и
педов
m =
{П
(Ь)}
П
(Ь
)
y~
00
,
ес
л
и
min {b
t
,
i = 1, .. '
...
,n}
--+
00
;
для
си
сте
мы
ш
ар
ов
~
JЛ
= {v
(г
)
}
с
тр
е
м
л
е
н
и
е
к
бес
ко
не
чн
о
с
т
и
по
В
а
н
Х
оn у
о
з
на
ч
ае
т
,
ч
то
r
~
00.
Н
а з
о
в
е
м
д иам
е
т
ром
мн
ож
ест
ва
д
с R"
ве
Л
И
Ч
И
Н
У
d (
j.
) =
=s
u
p
{/x-у
/,х
,
уЕ
i\
}
Б
удем
г
ов
ор ит
ь,
ч
т
о
мн
о
ж
е
с
т
ва
~
с
тр
емя
тс я к б
е
ско
н
е
ч
но
с
т
и п
о
Фиш
е
р
у
(6
~
00)
,
ес
л
и
:
l)
lirn I
д
1=
00
; 2) sup
{I
д
[ad
(6)]
1/1
tl
)IJ,
д
Е
т}=
о (а
)
п
р
и
а
t
О
.
Т
а
к
ка
к
]
Д
[
ad
(д)1
>:
iv (ad
(д»
)
1,
т о
и
з
сх
о
д
и
м
о
с
т
и
~
!;..
00
сле
д
у
ет,
что
с
уществ
ует
п ос
то
янн
ая
k>
О
,
не
зав
ися
щ
а я
о
т
1 n
д,
т
акая
,
чт
о
d
(
6
)~
k I
д
/
В
ча
ст
н
ости,
если
О
Е
6,
то
1
tl = v (k /6 1
1
/
n
) .
П
осл
едн
ее
в
ключен
и
е
яв
л
я
ет
с
я
о
г
ра
нич
ен
и
ем
на
с
те
пе
н
ь
в
ы
тян
ут
о
сти
мн
оже
с
т
в
6
В
д
а
л
ь
н
е
й
ш
е
м
,
ра
ссма
тривая
сх
оди
мос
ть
п
с
Фишеру
,
с
ч
и та
е
м
,
ч
то
О Е
А
Тр
ебовани
е
д
~
_
ос
бо
л
ее
ограничител
ь
н
о
,
ч
ем
тре
бо
вание
8
д
~·
.
oo
.
Н
апример
,
при
s -+
00
и
Ь
= (s, S2,
...
, sn)
П
(Ь
)
v
~.
cx>
.
, F
одна
к
о
П
(Ь)
-;4
00
Прll
n>:
2.
Б
уде
м
пи
с
а
т
ь
д
-+
00,
если
с
пособ
стр
е
м
л
ения
д
к
б
ес
к
он
ечн
о
сти
не
кон
кр
е
т
и
зо ва
н
,
п
ри
э
то
м
п
редп
ол
а
г
ае
м
,
чт
о
Itll-+oo
.
П
ус ть
fj,
с
Rn
-
огра
н
и
ченное
и
з
м
ери
м
о
е
множ
ес
т
во,
со
де
ржа
щее
на
чало
к
о о
р
дин
ат
.
Обо
знач
им
fj,
(л)
о
браз
fj,
пр
и
пре
обр
а
з
о
в а
н
и
и
го
мо
т
е
т
и
и
с
це н
т р
о
м
в
т
о
ч к
е
О Е
fj,
и
коэф
ф
и
ц
ие
н
то
м
л
>
О
.
З
а
м
етим,
чт
о
16
(1
,) 1 =
л
IJ 1
д
1·
R
IJ
З
амы
к
а
ни
е
мн
оже
ств
а
I
tl
l
в б
уд
ем
о
боз
нача
ть
t.,0
2.
С
лу
ча
й
ные
в е
личины
.
П
у ст
ь
(Q, g,
Р)
-
по л
ное
вероят
но
ст
но
е
пр
о
ст
р
ан ств
о.
Сл
уч
ай
ны
й
э
л
ем
ент
со зн
а
че
н
и
е
:'>
!
в
из
меримом
пр
о
стр ан
ств
е
(
Е
,
58)
-
э
то
о
тоб
раж
е
н
и е ~
:
Q --+
Е
та
кое,
чт
о
{UI:~(UI)
ЕА}Е~
д
ЛЯ
л
ю
б
ог о
A
E~
·
Опред
е
ленная
на
а-алгебре
~
м
е
р
а
P
s
(А)
=
Р
{
~E
А}
н
а
зы
вается
р
а
спределени
ем
~.
Е
сли
Е
-
м
етр
ич
е
ск
ое
пр
о
стран
ст
в
о,
т о
в
к
а ч е
с
т
в
е
58
рассматр
ив
а
ет
ся
а-
алгебр
а
58
(Е
)
б о р
ел
ен
ски
х
множ
е
ств
Е
.
Ес
л
и
.
Е
=
Р
",
т
о
боре
ле
в
ску
ю
а
-алг
еб
ру
обоз
н
а
ч
и
м
~
"'
=58(R"').
С
л у
ч
а
й н
ы
й
э
л
е
м
е
н
т
со
э
на
ч е
н
ие
м
в
(R
/II
,
\8"'
)
н
а
зыв
а
е т
с
я
слу
чай
ной
ве
личиной
,
ко
г
д
а
m= 1,
и
с
л
учай
ным
в
е
к
т
о
р
о
м
,
когда
т
>:
2.
и
в
том
и
др
уг
о
м
с
лу
ча
ях сок
ра
ще
нно
пи
ш
е
м
«
с
.
В.»
ДЛ
Я
задания
P
s
(:1)
с
.
в
.
~
=
(
~)'
'" ,
~m
)
Е
R
"'
,
д
о
с
т а
т
о
ч
н
о
зад
а
ть
функцию
рас
пр
е
д
еле
ния
(ф
.
р
.)
F
(х
)
= F
s
(
х р
... ' .\
/11)=
=
P{
~
;
<
Х
;
,
! = 1, ... ,
т
}
.
Р
а
сп
р
е
д
е
л
е
ни
е
P
~
(
А
)
при
н
а
Д
J
l
еж
и
т
а
б
солю
тно
непрерыв
но
му
тип
у
,
е
сли
P
s
(А
)
= r
р
(
х)
dx,
JA
А
Е
\8
т
Ф
у
н к
ци
я
р
(X)
=P
s
(
х
)
,
...
,Х
т
)
,
Х
Е
R
'"
н
а
зы
в
а
е
т с я п
л
от
н о
ст
ь
ю
р
а
сп
р
е
д
е
л
е
н
и я
с
.
в
.
S.
О
чев
идно
,
JR,m
Р
(
х
)
dx = 1
и
п
очти
дл
я
всех
х Е
R
m
P
s
(
Х
l,
. ..
,
Х
m
)
;;:'
О
,
p~
(x
j
, .
..
,
Х
m
)
=
=
(д
m
/
дх
(
.,.
дх
т
)
F
s
(х
1
• .
..
, xnJ
Пу
сть
g :R
m
-+
R' -
бо
р
е
л
е
века
я
фун
к
ци
я
.
М
а
т
е
м
а
тич
ес
к о
е
о
жи
д
а
ни
е
фу
нк
ц
и
и
g
(
~
)
о
т
С
.
в
.
~
Е
R
m
вычи
сл
я
ется
к
а
к
и
н
тег
рал
Ле
б
е
г
а
по
ме
ре
Р
Mg
(~
)
= r g
(~(
ы
))
Р
(
du:»
или
как
j Q
т-
кр
ат
ны
й
и
н
т
е г
р
а
л
Л
е
бе
г
а-э-
Сг
н л
ь
т
ь е
с а
Mg
Ю
= r g
(х)
х
J Rm
Х
dF
s
(
х)
п р
и
у
с
л
о вии,
что
э
то
т
и
нт
е
гр
а
л
су
ще
с
твуе
т
.
В
с
лу.
ч
а
е,
к
о
г
д
а
с.
в
.
~
им
еет п
лот
н
о
с
т
ь
М
g
(~
)
= JR
mg
(
х) p~
(х)
dx.
ДЛ
Я
С
.
в
.
~
= (SI' ... ,
~
т
)
Е
R
m
п
ол
а
г
ае
м
по оп
р
е
д
е
лению
Ms
=
=
(M
~)
,
.. ,
M
~
т)
СIIМВ
ОЛЫ
со
у
(~,
11)
=
M
~11
-
M
~M11
11
D
~=
=
M
~
2
-
(М
;)
2
использу
е
м
д
ля
обозна
че
Н
II
Я
к о
вар
и
ац ии
с.
в
.
~ И
11
и
ДИС
lJtOРС
И И
с
.
в.
S.
М
ат
р
иц
а
В
=
(
с
оу
(~i
'
~j
)
= 1
т
l ,f •...,
9
н
а
з
ы
в
а
е
т
с
я
ко
рреляцио
н
но
й
матрицей
с
.
в.
~
=
(
~l
'
...
jт
)
'
Д
Л
Я С
.
в
.
~ С
M~2
<
00
сп
ра ве
д
ливо
нерав
енст
в
о
П
.
Л.
Ч
е
б
ыше
ва
!
д
ля
л
ю
б
о
г
о
е>
О
Р
(1
~
- Ms I>
е
}::::;;;;
Ds/e
z
Х
а
ра
к
те
р
и
с
т
и
ч
е
с
к
о
й
фу
н к
ц
ией
(х
.
ф
.
)
С.
в.
~
Е
R
Q
,
q ~ 1
на
з
ыв
ае
тся
фу
н
к
ци
я
J
'O
и)
= М
е
'(Ц)
= Se'It,X)dF
'E
(
х)
R'I
С
.
в
.
~
Е
Rl
н
а
зы
в
а
ется
га
усс
о
в
ской,
если
ее
х.
ф.
им
е
ет
вид
f
~
(
t
)
=
Мехр
{Щ
}
= exp{it
a-
t
2
(1
2J
2},
аЕЮ,
(1
2)
0.
В
нев
ырож
де
н
ном
с
л
у
чае
«(12 >
О
)
у
гау
сс
о
в о
к о
й
с
.
в.
~
с
у
щ
е
с
т
в
у е
т
пло
т
ност
ь
cp
a.o
, (u) = exp{- (u - a)2/2
(1
2
}1[
V 2n
(1
j,
U
ЕЮ
,
( 1.1.3)
прич
е
м
а
=
M~
,
(12 =
D
~.
Е
с
ли а
=
О
,
то
M~
2
/
=
(2j
-1)11
(12},
2
Н
\
Ms =
О
,
I = 1, 2, ..
..
С
.
в
.
S
Е
R
Q
,
с
> 1
н
а
зы
в а
ет
ся
г
а
усс
овск
им,
е
сл
и
е
го
х.
ф
.
и
м
е е
т
ви
д
{~
(t) =
е
х
р
{i (t ,
а
)
- 1/2 (Bt, ()}, t
Е
R
Q
,
гд
е
а
Е
R
Q
,
В
=
(bU
)'./=I....Q -
нео
т
р и
ц
ател
ь
но
-
о
п р е
д
е
ле
н
ная
с
и
ммет
р
и
ч
н
а я
м
а
т
р и
ц
а
.
Ес
л
и
det 8 >
О
,
т
о
С.
в
.
S
о
б ла
д
а е
т
пл
от
н
о
сты
о
(
(
'
а
.
В
(
и)
=
(2
лГ
Q
/
2
(det
m-
1
/
2
е
Х
р
{ -
-}
оз:'
(и
-
а
),
u -
а
>}
,
(1.1.4)
пр
и ч
е
м
а
,
= Ms
i
,
i = 1, ... ,
а:
b
ij
=
СОУ
(Si'
~j
),
i, j = 1,
."
, q-
эле
м
енты
ко
р
реля
ц
ио
н
н
о
й
м
а
триц
ы
с
.
в.
S.
В
да
л
ь
ней
шем
г
аус
R
Q
с
о
в
с
к
ие
с
.
в
.
1;
Е
,
а:»
1
обо
знач
аю
т
ся
N q
(а,
В
),
а
их
ф
.
р
.
ф~
.)
в
(
х
)
,
х Е
R
Q
;
гауссо
вские
с
.
в
.
S
Е
Ю
N
(
а
,
(12)
,
а и
х ф.
р
.
Ф
а
.
а
•
(
х),
х
Е
Ю
.
ист
е
ма
с
.
В
.
1;а
Е
Rl ,
а
Е
'Л'
г
де
'л
-
нек
от
ор
о
е
мн
о
ж
е с
тв
о
ин
д
е к
с
о
в
,
н
а
зыв
а
е
т
с я
г
а
у
с с
о
в с
к
ой,
ес
л
и
для
л
ю
б о
г
о
цело
го
{> I
и
л
ю
б
ы
х
a
l
, . .. ,
а/
Е
'л
с
В.
(
~
a
"
"
"
~ a
, )
явля
ет
с
я
г
ау
с
с
о
в с
к
и
м (люб
ая
л
ине
й
на
я
комб
и
нация
kls
a
,
+ '"+kls
a
"
k
i
Е
Rl,
i = 1,
,!
я
вл
яется
г
а
у
с с
ов
ок
ой
с.
в
.
)
.
П
ос
л
е
д
о
в а
т
ел
ь
н
ос
т
ь с
.
в.
Sт
'
т
= 1, 2,
с
х о
д
ит
с я
п
о
в
е
р
оя
т
р
Н О
С
Ти
К
С
.
в.
S(
Sm
-..S).
ес
л
и
дл
я
лю
бого
е>
О
Р
(1
Sm- S1>
>
е
)
->-
()
при
т
-:»
00
.
П
о
с
л
ед
ов
а
т
е
льно
сть
с.
в
.
Sт'
т
= 1, 2,...
сход
и
тс
я п
очти
н
а
в
е
рн
о
е
(п
.н.)
к
С
.
В
.
S,
ес
л
и
P{ Sm
~:S
}
=
= 1.
Для
п.
н
.
с
х
о
д
и
м
о
с
т
и
п о
сл
ед
овательн
ост
и с
.
в
.
S
т
К
С
.
В
.
_,
д
ос т
а
то
ч
н о
,
чтоб
ы
дл
я
любого
е>
О
схо
дил
с
я
ря
д
""
~
Р
{I
~m
-
~
1>
е}
.
Анал
ог
ичн
о
опред
еляются
с
ход
и
мос
т и
'11
=1
п о
в
ер о
ятн
о
с
ти
и
п
.
н
.
д
л
я
се
мейс
т
в
с
.
В
. ,
ин
д
е
к си
р
ов
анны
х
направ
ле
нными
м
ножес
твам
и
.
EB
С.
в
.
Sl' "
''
S
т
н
а
зы
в
а
ют
с
я
н
е
з
ави
симы
м
и
,
е
с
л
и
Р
{
~l
Е
l
,
...
, smEB
m
}
=P{
sIE8]j
",P
{sт
E
B
т
}
д
л
я
любы
х
8
iE
Е
)5 1, i = 1, ... ,
т
.
П
о
с
л
е
д
о
в
а
т
ельн
о
с
т
ь
С
.
в.
Si' i=
1,
2, ...
н
а
з
ы
в
а е
т
с
я
пос
ле
довате
л
ьно
с
т
ью
н е
э
а
в и с
и
м
ы
х с
.
В
.,
если
ДЛ
Я
л
юбо
го
ц
ел
ог
о
т>
I
с
.
В
.
Sl' ... , S
lIl
н е
з
а в
и
сн
м
ы
.
Симво
ло
м
Х
(А) о
б
о
зн
ач
а
ет ся
и
н
ди
к
а
т
ор
соб
ыт
ия
А
Е
\3
-,
т
.
е
.
X(A) =XUJ(A ) = { I,
co
~A,
О
,
со
Е
А
3.
С
лу
ча
й н
ые
п
оля
.
П
у
сть
Т
с
R
"
-н
е
к
от
о ро
е
мн
ож
е
с
тв
о.
Слу
ч а
йн
ы
м
по
ле
м
н
а
зы
в
а
ет
с я
т
ак
а я
фу
н
кц
и
я
S
(
со
,
х
)
: Q
х
Т
-+
-+
«:
ч
т о
S
(оэ
,
х
)
при
каждом
х
Е
Т
яв
л
я
етс
я
с.
в
.
Слу
ча
й
ное
по
ле
обо
значае
м
т
ак
ж
е
S
(
Х),
х
Е
Т
.
Е
с
л
и
п
= ],
то];
(
Х
)
-
слу
ч
айный
пр
оц
е
с
с
.
Пр
и
n > 1
и
m= I S
(х
)
-
скаля
р
но
е с
лу
ч а
й
ное
по
ле
,
п
ри
т>
1-
век
тор ное
с
л
у
ча
й н
о
е
поле
.
В
ч а
стн
о
с
ти,
если
~
(
х)
,
х
Е
Т
-
г
а
у
с с
ов
е
к
а я
сис
тема
с
.
в.,
т о
(
с
к
ал
ярн
о
е)
по
л
е
S
(
х),
х
Е
Т
н
а
з
ыв
а е
т
ся
г
ау
с с
ов
с
х
и
м
.
Ко
неч
н
о
м
е р
н
ы
м
и
р
аспр
е
д
ел
ени
ям
и с
лу
ча й
но
го
п
оля
S
(
х),
х
Е
Т
н
а
з
ы
в
а е
тс
я
с
ов
о к
упн
о
с
т
ь р
а
спр
е
д
ел
ен
ий
Р
{S(x(l
»)
Е
8 /,
i = 1, ... ,
г
}
,
г
д
е
В
,
Е
)5т
,
i = 1, ... ,
г,
г
= 1, 2' ... .
Пиш
е
м
1;
(
х
) ';;"
ч
(
х),
х Е
Т
,
е
сл
и
к
он
еч
н о
м
ерны
е
р
а
сп
ре
д
е
л
ени
я
с
л
у
ч а
й
н
ы
х п
о
л
е
й
S
(х
),
х
Е
Т
и
'I'J
(х
)
,
х
Е
Т
со
в
падают
(
~
(
x)
11
'I'J
(х
)
ст
охас ти
ческ
и э
к
в
ива
ле
нт
н
ы
)
.
При
ф
и к с
ированн
о
м
со
фу
н
к
ци
я
~
(х
),
х
Е
Т
н
а
зыв
а
е
т
с
я
р е
а
ли
эацией
слу
ча
й
но
го
п
ол
я,
и
ли
в
ыбо
ро
ч
но
й
функ
ц
ией
.
R
n
Слу
чай
но
е
п
ол
е
S
(
Х),
х
Е
Т
с:::
с
ко
н
е ч
н
ым
и
момен
т
а
ми
2
-го
по
рядк
а
н
а
зыв
а
ет
ся
неп
р
еры
вным
в с
ред
н е
м
к
в
адр
а
ги
ч е с
к
ом
в
т
оч
ке
x
u
(с.
к
.
непр
еры
вным),
ес
л
и
М
I
~
(x)
-s
(
х
о)
12-+ 0
п р
и
Р
-+
О
.
Е
с
ли
так
ое
со
о
тн
ош
ени
е
вып
олня
ет
ся
д
ля
лю
бой
ХХО
т
оч
ки
х
о
Е
Т, т о
поле
S
(
х),
х
Е
Т
н
а
зыв
а е
т
ся
с.
к
.
н
епр
е
рыв
ны
м
н
а
Т
.
ДЛЯ
С
.
к.
н
епр
ерывн
ос
т
и
п
ол
я
S
(
х)
,
х
Е
Т
с
М
;;
2
(
х)
<
<
00
н
е
о
б
х
о
д
има
и
дост
ато
ч н
а
не
пре
р
ы
в
ност
ь
фу
нк
ц
ии
СОУ
(S
(х
)
,
S
(у))
н
а
д
иа
г
о
н а
л
и
{(х,
у)
Е
Т
х
Т:
х
=
у}
.
Оч
е
ви
дн
о,
с.
к
.
н
епр
еры
вн
о
е
П О
.
1е
S
(
х)
,
х
Е
Т
яв л
я
етс
я
с
тохаст
и
че
ски
н
е
пр
ерыв
ным
,
т
.
е.
для
люб
ог
о
хо
Е
Т
Р
{I
~
(х)
- S
(хо)
1>
е
}
-+
О
при
р
Н
о
-+
О
д
л
я
любо
го
е>
О.
П
у
с
ть
Т
Е
)5".
С
л
учайн
о
е
П
ОЛ
Е
~
(
со
,
х)
: Q
х Т
-+
R
fn
н
а
зы
вае
тс
я
из
м
е
р
и
м
ы м
,
е
сли д
ля
люб
ог
о
А
Е
)Вт
{(
со,
х
)
: S
(ю,
х)
Е
Е
А}
Е
iY
х
)в
(Т)
.
Если
s
(х)
,
х
Е
т
сто
хаот
и
чески
н
епр
ерывн
о
d
н
а
Т,
т о
с
ущ
ествует
измерим
о
е
с
л
у
ча
й
ное
п
о
л
е ~
\
х)
=
~
(х),
х
Е
Т
.
11
10
Теоремой
Ф
убини-
Тонелли
будем
пользоваться
в
текс те
без
дополнительных
ссыло
к
на
нее
.
Т
е
ор
е
м
а
1.1.1 [3
21
.
Пусть
s
(со,
х
)
: Q
х
R"
-+
R
1
-
и
зме
р
и
мо
е с
л
у
ч
а
й
н
о
е
по
ле
.
С
п р
ав
е
дл
и в
ы
следующие
у
т
в
е
р
жд
е
н
ия
.
1
Выборочные
ф
у
н
к
ц
и и
~
(х)
п
.
н
являютс
я
~1I
-и
змери
м
ы
м
и
фу
нкциями
ОТ
х
Е
R
n
2.
Если
Ms
(х)
существует
при
всех
х
Е
Р
"
,
то
т
(
х)
=
х
Е
R
II
=
Ms
(х)
является
18"
,измеримой
фу
нкцие
й
о
т
3.
Если
~
Е
1811,
т
о
поле
S
(
х
)
тог
да
и
т
о
л
ь
к о
тогда
инте
гри
руемо
на
Q
х
~,
когд
а
п
о
край
ней
мере
один
и з
по
в
т
о
р
н
ых
интегралов
)
{М
1
~
(х)
I} dx
или
М
{) Is
(х)
I dx \
конечен,
6 6
причем
в
этом
с
л у
ча
е
двойной
интегр
ал
.\ Ms
(х)
dx
со
вп
адает
6
с
п
овт
орными
) {Ms
(х)}
dx
и
М
{) s
(
х)
dx} .
(). 6
Пусть
е
с
Р
ч,
c:m
=
{
М
-
некоторая
система
о
г
ра н
и
ч
е
н
-
R
n
ных
и
змеримых
п
о
л
м
н о
ж
е с
тв
•
gt>
(х
,
8) :
c:m
х
R"
х
e-+R
1
-
семейство
18
11
Х
)8
(G)-измеримы
'\
п
р
и
ка
жд
ом
~
Е
c:m
фун
кций
.
Если
при
всех
8
Е
G
фу
н
кция
g6 ( • ,8)
интегр
иру ема
н
а
х
Е
R
II
~
Е
ст,
а и
зм
еримое
ска
лярное
п
о
л
е
S
(х)
,
обладает
х
Е
R
II
свойств
ом
sup
{
М Is
(х)
1,
}
<
00,
то по теор
ем
е
1
.1
.1
и
нт
егралы
86 (8) = .\
g6
(
х,
8) s
(
х)
dx
( 1. 1.5)
6
п.
н
.
к
он
ечны
д
л
я
любого
Ь.
Е
9Л
.
Та
к
же
можно
о
п
р е
д
е
л
и
т
ь
х
Е
R
II
и
нтегралы
вид
а
(1. 1.5)
для
ск
аляр
ного
п
о л
я
S
(
х)
,
11
R
II
векто
р
-
ф
ункции
g6
(х
,
8) :
9Л
Х Х
G
-+
Р
",
т>
1.
Т
е
оре
м
а
1. 1. 1
о
с
т
а
е
т
с
я
спр
а в
е
длив
ой
для
вектор
ных
слу
ч
а
й
н
ых
полей
.
Ее
форм
у
лиро
вк
а
н
е и
з
м
ен
и
т
с я
,
если
в
м
е с
т
о
меры
Лебе
г а
на
(').
Е
\811
р
ассматр
иват
ь,
н
апр
и
м
е р
,
меру
Лебега
т
(х
)
н
а
п
о
в е р
х
н
ос
т
и
с
ф
е
р
ы
811_1
(
г
)
.
П
ол
е
S
(ш,
х
)
: Q
х
Т
-+
RJ
н
а
з
ыв
а е
т с
я
се
парабельным
О ТНО·
с и
т
ель
н
о
множ
еств
а
1
с
Т
,
ес
л
и
1
счет но
и
п
л
о т
н
о
в
Т
и
су
щ
еств
у
с т
т
ак
о
е
мн
ожест
в
о
N
Е
tl,
Р
(N) = 1,
ЧТО
д
л
я
v
(
г)
с
R
II
л
юб
ого
ш
а
р
а
{о
: sup S
(х)
= sup S
(х
)
}
с
N,
'ЕJn
u(
г)
<ЕТПu(г)
[
ю
: inf s
(х)
= i
nf
s
(
х)}
с
N.
<ЕJn
u
(г)
х
ЕТПu
(
г
)
12
дл
я
всяког
о
слу
чайног
о
поля
S
(х),
х
Е
Т
с
уще
ств
ует
_ d
с
еп
араб
е
льно
е
п
оле
~
(
х)
=
~
(
х)
,
х
Е
т
в
дальней
шем
рассматриваем
т
олько
и
зм
еримые
сепара
'б
ел
ь
ны
е
п
о
л
я
.
4.
С
ла ба
я
с
х о
д
и
м
о
с
т
ь
р
аспре
дел
ений
.
П
усть
Е
-
м
етри
ч ес
к
о
е
пространс
т
во,
С
(Е)
-
пространств
о
всех
ограни
ч
енных
непрерыв
н
ы
х
фу
нкц
ий
на
Е
с
н
ормой
11f \1
",
= sup{!f
(х)
1.
х Е
Е
}
.
С
е
ме
й
ст
в
о
(
с
ет
ь
[14] )
в
ер
о
я
т
н
о
с
т
н
ы
х
мер {Р
,
\
,
~
Е
9
Л}
на
(
Е
,
)8
(Е))
сл
або
схо
дится
п р
и
(').
-+
00
к
вероятностной
м
ере
Р
на
(Е
,
\8
(Е))
:
Р
().
=>
Р
,
есл
и
для
любой
ф
ун
кции
f
Е
С
(Е
)
lim
)!
(х)
dP,\
(
х)
= ) f
(
х)
dP
(х)
.
t>
~
oo
Е
('
в
д
аль
ней
шем
рассматриваются
равномерны
е п
о
8
Е
е
п р е
д
е
л
ь
ны
е
тео
ре
мы
для
инте
гралов
(1.1.5).
В
с
вяз
и
с
этим
дадим
т
акое
оп
реде
ле
ние
.
семе
йст
во р
аспр
е
д
ел
ени
й
Р
6
.~
В
Е
=
Р"
,
n> 1
слаб
о
~
сходи
тся
1<
рас
преде
лен
ию
Р
е
(
Pt>.
e
-+
р
н
)
ра
в
номерно
в
е
п
ри
(').
-+
00
,
есл
и
ДЛ
Я
л
юбой!
Е
С
(R
II
)
lim r
!(х
)
d
Pt..
.fj
(
х
)
= r ! (x) dPfj(x)
t>~
oo
j J
R'I R"
ра
вном
е
р
н
о п
о
8
Ее.
в
этом
определ
е
н
и и
P
t>.
e'
Р
й
м
о
гут
б
ыть
м
а
т
ричн
о
з
н
ач
н
ы
ми
м
ерам
и
(
см
.
г
л
.
3).
,Сфор
му
л
и
руе
м
з
д
ес
ь
дв
а
и
сп
о
л
ь
з
у
е
м
ы
х в
да
ль
ней
ше
м
пуе
д
ложения
,
доказа
тел
ьст
во
котор
ых
м
о
ж
н о
на
йт
и
в к
ниг
е
154/ .
Те
орема
1.1.2.
П
у
с
ть
р
а с
п
р
е
д
е
л
ени
я
P,j.e'
Р
е'
6Ее
обла
д
ают
сво
йств
а
м
и:
1)
s
u
p
{
P~
.8
(x
:lxl>A),
6Ее
}
-+о
,
А-+оо,
2) f
t>
,e(t) =)
/U
'X
)dPt>,9(X)-+ ) ei(/,X)dP
fj(x)=ffj
(t)
ра
в
но
RII
~
м
е
рн
о
п
о
е Е
е
при
~
-+
00
.
'1)
Т
ог
д
а
Р
6
•
п
ри
~
-+
00
р
а
вномерно
в
е
.
е-+Р
е
Теорема
1.1
.3.
П
у
с
ть
Sr' r = ],2, ... -
н е
з
ави
симы
е
О
.
в
.
г
е
ф.
р.
[
г
,о
(х
)
,
з
авися
щ
и
м
и
от
8
Е
е
,
и
В
1
г
.
е
=
~
D
e
~l
'
Есл
и
.
i~
1
13
1)
зц
р
sup
М
н
I t
j
1
2
Н
<
ее
l1Л
Я
ве
кот
ор
о
г
о
б>
О
;
fl
f
fЭ i
~
'.2
....
г
~)
B;:J- 6/2
~
М
8
I
~
}
12
+6
--+
О
,
r
-+
00
равн
ом
ерн
о
в
е,
те
;= 1
при
r
-+
00
[~l
(
~j
-
M
e
~j
)
]!В
,.
е
":
N
(О,
1)
р
авн
омер
н о
в
е
.
Т
е
орем
а
1.1.3
пр
е
д
с
тавл
яет
с
об
о
й
равномерный
вари
ант
тео
р
е
м
ы
Ля
п у
но
в
а.
С
е
м
е
йс т
в
о
в
ер
оя тн
о
стны
х
мер
{Р
6,
Д
Е
9Л}
на
метри
ч е
ск
ом
пространстве
(Е,
)в
(
Е
))
на
з
ы
в
ае
тся
сл
а
бо
ком
п
а
к т
ным
.
е
сли
н
з в
ся
к
ой
п
о
с
л
е
д
ов
а
т
е
ль
н
о сти
ме
р
из
э
то
го
с
е
м
е
йс т
ва
мож
но
в
ыд
е
л
и
т
ь
с
л
а
б о
сходящ
уюс
я
п о
д
п
о
сл
е
довательн
о
сть.
R
n
П
у
с
т
ь
1( =
-
к о
м
пакт.
Ра
с
см
отрим
п
.
н
.
непр
е
ры
вн
ое
скаляр
но
е п
ол
е
~
((О)
,
Х)
,
Х
Е
К,
т
.
е.
поле,
п
очти
все
в
ы
бо
ро
ч
ны
е
фу
нкц
ии
кото
рого
н е
пр
ер
ывны
на
К.
Р
а
спр
е
д
ел
ени
е
Р
е
(А
)
=
Р
{s
((О)
,
.)
Е
А
},
А
Е
~
(
С
(к))
на
зывает
ся
м
ер
ой,
п
ор
о
ж
денн
ой
(
инд
уцир
у
ем
о
й
)
с
л у
ч
а
й н
ы
м
полем
S
(х),
х
Е
К
в
С
(к)
и
л
и р
а
сп
р
е
д
ел
ени
е
м
с
лу
чай
ного
по
ля
(
п
одр
обнее
см.
[32.
г
л
.
51)·
П
у
ст
ь
s
(
х
)
,
~ 6
(
х),
Х
Е
1(,
д
Е
9л
-
с
е
м
е
й
с
тв о
п.
н
.
н епре
рывн
ы
х с
лу
ча
й н
ых
пол
ей
,
а
Р,
Р
6 -
вероятн
о
стны
е
меры
в
С
(К),
и
ндуци
руе
м
ы
е
п
о
ля
ми
;
(
х),
;6
(
х)
со
отв
ет
ств
енн
о.
С
и
м
в
о
л о
м
Д
обо
зна
ч
им
со
вокупнос
т
ь
бу
лев
ых
в
ект
о
р
ов
v = ("1' ...
'''
n)'
И
п у
с
т
ь
1"
I = "1 +
...
+ "
n'
Для
пр
ои
зв
ол
ь
н
о
й
фу
нкци
и
f, R
n
-+
Rt
о
п
р
еде л
им
п
р и
р
а
ще
ни
я
по
П
[
х
,
у
]
б
}
n
)
[у,
х
]
= ~
(-
1)1
\1
1f
(
у
-"
~
(
у
-
х))
.
(1.1.6)
"Е
д
Те
ор
ема
1
.1.4
[132
,1
3
3,74].
П
у
сть
конечн
о
м
ерны
е
р
а
с
п
реде
л
е
ни
я
слу
ча
й н
ых
п
ол
е
й
~6
(
х),
Х
Е
1( =
П
(Ь),
д
Е
9л
с
х
о
д
я
т
с
я
к
ко
не
чно
м
е
р
н
ы
м
р
а
с
пр
е
д
е
л
е
н
и
ям
п
о
л
я
~
(
х),
х
Е
К
п
р
и
д
-+
00
,
пр
ич
ем
в
ыпо
л
н
е
н
ы
ус
л
о
в
ию
1)
д
л
я
всех
О
~
y~
l )
<
у
}
2)
~
Ь/,
i = 1,
...
,
п
су
щес
т
вуе
т
k
1
>
О
т
а
к
а
я
,
что
м
1
8
~
n
~
[
у
(
2
I,
y(l)]
,
Р
~
k
1
\
П
[y
<l
J,
у(
2)
]
1
1H
,
г
д
е
р
>О
,
q>O
;
'2)
н
ай
д
у
т ся
такие
г
}
О)
,
i = 1, ..,
,n,
что
для
вс
ех
О
~
y\l)
~
~
у\2)
~
b
t
,
i = 1, ... ,
п
су
щес
т
в
уе
т
k
2
>
О
такая,
что
1\1
I
~
6 (zIO), ... ,
у
\
2
),
... ,
Z<
"O
») -
SA
(г\О)
,
'" ,
И
1
)
,
г
~~
»
)
[
Р
~
0 0
',
--- k I (2) (1)
/'
+Q . 1
~
2
У
,.
-
У
i , ! = , ... ,
п,
где
р
>О,
ч>О.
Тогд
а
Pt:,
=>
Р
при
Д
-
00
в
С
(
П
(Ь
) )
.
З
а
ме
т
им,
что
Си
мв
ола
ми
k, k/, k,/ (n,
а
,
д
),
Тс
/
и
Т
.
п.
об
о
знач
а
ют
ся
п
ол
ожительны
е
кон
ст
ан
ты,
з
н
а
ч
е
н
и
я
кото
р
ы
х,
ка
к
пр
авил
о,
н
ес
ущественны
.
В
ско
б
ках
ука
зы
вае
тс
я
,
ес
л
и
это
не
обх
о
дим
о,
о
т
каких
парам
етр
ов
з а в и
с
я
т
э
т и
ко
н
ста
нт
ы
.
Н
у
м
ер
ация
т
аких
констант
со
х
ра
н
яетс
я
ли
ш
ь
в
пр
ед
ел ах
од
но
го
п
ун
кт
а
.
С
и
м
во
л
а
м
и
с
,
С/
(n,
а
)
и
т
.
п
.
обо
зн
а
чаю
тся
к
о
н
с
т
а
н т
ы
,
значения
ко
то
р
ых
с
ущ
е
ств
ен
ны
дл
я
из
ложе
н
и
я
.
Н
уме
ра
ци
я
таких
конст
ант
сох
ран
яется
в
пр
е
д
е
л
а
х
каждо
й
г
л
а в
ы
.
У
сл
о
вия
обо
зн
ач
аются
рим
скими
цифр
а
ми
1,
11
,
111
и
т
.
п.
Их
д
е
йс
т
в и е
(
бе
з
дополни
т
е
л
ьны
х
огово
рок
)
сох
ра
н
я
е
тс
я
на
п
ро
т
я
ж
е
н и и
каж
д
о
й
г
лав
ы
.
1.2.
ОДНОРОДНЫЕ
И
ИЗОТРОПНЫЕ
С
Л
У Ч
А
И
Н
Ы
Е
ПОЛЯ
Прив
е
дем
основные
пол
ож
ения
с
п
е
кт
р
а
л
ь
н о
й
теор
ии
о
д
н
ородны
х
и
зотр
опных
с
л у
ча
й
н
ы
х
п
ол
ей
.
Вр
ащениями
ев к
л
и
д
ово
го п
р
ос
т р
а
н
с
т
в а
Rn
на
зы
в
а
ют
ся
л
и
не
й
н
ые
пре
образ
ования
g
эт
ог
о
пр
о
с
тр
ан ств
а,
н
е
ме
няю
щ
и
е
его
о
р и е
н
тац
и и
и
о
с
т
а
вл
я
ю
щ
ие
н еи
з
м
е
нны
м
и
р
а
с с
тояния
т о
ч
ек
о т
нач ала
коор
динат:
Igx I = I
х
1.
Вр
ащ
ения
R"
о б
ра
зу
ют
г
ру
п
пу
SO (n).
Движения
ми
Rn
н
а
зыв
а
ют
с я
н
есдно
род
ные
л
и
ней
ные
п
р
е
об
р
азо
ва
н
и
я
,
с
о
х
р
а
н
я
ю
щ
ие
р а
сс
т
оян
ия
между
т
оч
к
а
м
и
это го
п
ро
ст
р а
нс
т ва
и
его
о
р
ие
нта
ци
ю
.
И
зв
е
стн
о
,
ч
т
о
любое
дв
и
жени
е
в
R"
м
ож
н
о
з
а
п
ис
а
ть
в в
ид
е
х
-+
gx +
т
,
g
Е
$0 (n),
а
т
Е
R"
м
ожно
р
а
с
сматривать
к
ак
эле
ме
н
т гру
п п
ы
Т
=
{'t}
с
дви
го
в
Х
-
х
+
т
В
Р",
Движ
ения
е
вк
лидо
вого
пр
о
стр ан
ств
а
о б
ра
зу
ю
т
гр
упп
у
М
(n).
R
m
С
лу
ча й
ное пол
е
~!
Q
х
Р"
_
на
зы
вае
тся
о
д
н о р о
д
н
ы
м
в
узком см
ыс
л
е,
е
с
л
и
вс
е
е
г
о
к
он ечн
ом
ер
ны
е р
а
спре
д
ел
е
ния
ин
ва
р
иа
н т
н
ы
отно
сите
льн
о
г
ру
п
п
ы
сдв
игов
Т
в
Р
",
т
.
е
.
d
;
(
х)
= ;
(
х
+
т),
т Е
R
n
.
Слу
ча
й
но
е
п
оле
;:
Q
х
R"
--+
Rl
с
М
;
2.
(
х)
-<
00
н
а
зы
в
а
ет
ся
од
но
род
н
ы
м
в
лироком
с
м
ыс
ле
,
есл
и е
г
о
м
а
тем
а
тич
е
с
к
ое
о
жи
да
н ие
т
(
х)
=
M~
(х)
и
к
орр
еляц
и
о
нн
ая
ф
ункци
я
(
к
.
ф.)
В
(
х,
у)
=
м
[~(XI
-
т
(х)]
[~
(у)
-
т
(
у
)
]
ин
в
ариан
тны
от
но
с
и
тельн
о
гр
уппы
сдвигов
т Б
[{
',
т.
е
.
т
(
х)
=
т
(
х
+
Т)
,
B(
x, y)
=B(
x+.,y+'t)
для
любы
х
Х
,у,
1i
ER".
Э
то
о
з
н
а
чает
,
ч
т о
M~
(.:t)
= k =
сопвт,
а
к.
ф.
В
(х
,
у
)
=
в
(х
-
у
)
15
14
з а в и
с
и
т
т
ол
ьк
о
о
т
раз
нос
т
и
х
-
у
.
Бе
з
огр
анич
ения
о б
щ
н о
с
т
и,
как
п
рав
и
ло
,
по
лага
ем
k =
О.
Ес
ли
у
од
н
о
род
н
о
го
в
уз
к
о
м
смы
сле
поля
~
:
Q
х
Rn_
Rl
сущес
твуе
т
в
т о
р
о
й
мо
м
е
нт
.
то
о
но
о
дно
р
о
д
н
о
и в
широко
м
см
ысле
.
д
л
я
гауссовс
к
их
одном
ерны
х
сл
у
чайны
х
п
ол
ей
п
о
н
яти
я
од
нород
ност
и
в
уз
ко
м
и
широком
см
ыс
л
е
э
кв
и
ва
л
ен
т
ны
.
Есл
и
н
е
о
го
во
р е
но
осо
бо
.
в
д
альн
ейшем
под
од
но
род
нос
т
ыо
п
они
м
а
ет
с
я
од
но
ро
д
нос
ть
в
шир
оком
смысле.
К
.
ф
.
В
(
х
-
у
)
од
но
род
но
г
о
с
л
учайного
пол
я
явля
ется
н
е
о
т
ри
ц
ат
е
ль
н
о-
оп
р е
д
еле
н
ным
ядр
о
м
н
а
Р
"
х Р
",
т. е.
д
л
я
,
любых
T~
1.
x
(j)
ER
n
• zJ EC
1
•
[>
1
....
,г
~
B(
X(i
)_
X(J
»)
x
1./= 1
х
Z
iZj
~
О
.
Ес
л
и
функ
ция
В
(
х)
непреры
вна
в
то
ч
ке
х
=
О,
то
по
л
е
~
(
х)
С
.
к
.
не
п
ре
р
ывно
в
каж
д
ой
то
ч
ке
х
Е
Р
",
и
н
а
о б
ор
о т
.
И
з
тео
ре
м
ы
Бох
не
ра-
Хи
н
чи н
а
с
л
е
дуе
т
.
чт
о
д
л
я
того
чтобы
ф
ункция
В
(
х)
,
х
Е
R
n
была
к
.
ф.
С
.
к
.
н
епрерывног
о
од
но
род
ного
с
л
у
ч
а
й н о
г
о
поля
~
(
х),
х
Е
R
n
,
необходим
о
и
дос
та
то
ч
но
,
ч
т о
бы
н
а
(R
n
,
QЗ n
)
су
щ
ес
тво
в а
л
а
к
онечная
м
ера
F
(.)
т
ак
а
я.
ч
т
о
В(
х
-
у)
=
~
i{
л
.Х
-
fJ)
F
(
d
Л)=.\
соs
(л,
х-у)
F(d"л.},
(1.2.1)
~
Rn
пр
и
чем
F (R
n
)
=
В
(
О)
< 00.
П
р
е
д
с
та
вл ен
и
е
(/ .2.1)
н
а
зыв
а
ет
ся
спектральным
р
а
зл
ож
е
н
ие
м
к
.
ф
..
а
F(.
) -
с
пе
к т р
а
л
ь
но
й
мерой
поля
~(
x),
xE R'!.
п
Ф
ун
к
ци
я
F
(л)
= F
(П
(- 00.
л))
,
П
(-
00,
л)=
Х
(-00,
1
"))
на·
j= l
з
ы
в
а
е
т
с я с
пе к т
р
а
ль но
й
функцией
поля.
Для
нее
F(oo, ... ,00
)=
=
в
(О),
F
(-
00, ... , - 00) =
О
.
С
пе
к
т
р
а
л
ь
на
я
м
ер
а
F (.)
доп
ускает
ле
беговск
о
е
ра
зл
о
же
ние
на
а
бс
олютн
о
н
епрерывн
ую,
дискр
е
т
ну
ю
и
с
инг
у
л яр
н
у
ю
ко
мп
он
е
нты.
Е
сли
по
сл
едни
е
д
в
е
комп
оненты
о
тс
утс
т в у
ю
т
,
то
с
пектра
л
ь
н
ая
ме
р
а
а
бсо
л
ют
н
о
непрерывна:
F
(А
)
=
=
~
f
(
л
)
dл,
~
Е
QЗ
n
.
R
n
Ин
т
егриру
ем
ая
на
ф
у
н к
ц
и я
f
(л)
,
л Е
R
n
на
зыва
ет
ся
о
д
но
р
о
д
но
й
сп
ектральн
ой
пл
отн
остью
второг
о
п
оря
дк
а
или
пр
о
с
т
о
с
пе к
т
р
а
л
ь
но
й
пл
от
н
о
сть
ю
однородног
о
случ
айн
ог
о
п
оля.
Е
с
л
и
с
пек
т р
а
л
ь
ная
п
л
о
тн
о
сть
с
уще
ствует,
т
о
с
пек
т ра
л
ь
н
ое
ра зл
ожен
и
е
(1
.2.1)
м
о
ж
но
за п
исать
в в
и
де
В(х)
=
~
/
Р·
·
Х)
f
(
'Л)d
Л
.
(1
.2.2)
R"
З
д
е
с
ь и
да
л
ее
ч
ерез
L
p
(Т)
,
Т
= R"
о б
о
з
н
а ч а
ю
т
с
я
простра
нст
ва
из
ме
р
им
ых
ф
ункций
(:
т
__
R
1
т
а
ки
х
,
ч
т
о
11
f
II
p
=
=
[~
If
(х)
I
f]dx
Jl/
f]
< 00, 1
~
р
< 00.
Ес
л
и
В
(
х
)
Е
ь
,
(R
n
).
то
о
чев
ид
но
.
f
(л)
су
щ
е
с
тв
у
е
т
.
П
о
тео
р
еме
К
арун
ена
[32,
с.
293- 294]
п
редставление
(1
.2.
1)
вле
че
т
с
п
ект
раль
ное
р
а
з
л
о
ж
е
ни
е
само
го
пол
я
~
(
х
),
х
Е
Е
", Т.
е
.
су
щ
ествуе
т
та
к
а
я
комплексн
озна чн
ая о
р т
о
г
о
н
а
л
ь
н
ая
слу
чай
на
я
м
ера
Z
(А),
~
Е
QЗ
n,
ЧТ О
д
л
я
каждо
го
х
Е
R
n
(
Р
-
п.
н
.
)
~
(x
)
=
~
еiO.'
Х
)
Z
(
d
'Л.
)
,
(1
.2.3)
R"
г
д
е
М
IZ
(~)
12
= F
(~),
а
с
то
хас
ти
чес
к и й
ин
т
е
г
р
а
л
(1.2.3)
п
о
н
и
м
а
е
т
с
я
к
ак
интеграл
п о
с
л
у
ча
йно
й
м
ер
е
Z (.)
с
о
ст
ру
к
ту
р н о
й
ф
у
н
к
ц
и
ей
F (.) [32,
с
.
280-
292J.
О
т
м
е
т
и
м
сле
д
у
ю
щ
и е
свойс
тва
с
л
уча
й
но
й
м
е
р
ы
Z (.):
1)
M
Z(~
)
=
O;
2)
Z(~)=Z(
-~)
,
г
д
е
-~
={Л
l
-л
Е ~};
3)
MZ
(~l
)
Z
(~2)
=
F(~l
П~
2
)'
~1'
~
2
E
QЗ
n;
4) Z
(Q
~j
) =
,
=
~
Z
(
~
j)
п
.
н
.
д
ля
л
ю
бых
н
е
п е р
е
с
ек
а
ю
щ
и
х
с
я
~
j
Е
QЗn
,
j= 1
i = 1, ...
,Г.
С
лучай
ное
поле
~:
Q
х
Р
"
__
Rl
наз
ывае
тся
и
з
отр
опн
ым
в
ш
и р о к
ом
с
м
ыс
л
е
,
если
M~
2
(
х)
< 00
и
е
го
м
ат
ем
ат
иче
с
к
ое
ож
ида
н ие
т
(х)
и
к.
ф
.
В
(
х
.
у)
ин
в
ари
анты
от
носите
ль
но
г
р
у п
пы
SO (n),
т
.
е.
т
(х
)
=
т
(gx) ,
В
(х
,
у
)
=
в
(gx, gy)
д ля
лю
бых
х
,
У
Е
Р",
g
Е
SO
(п).
Су
щес
т в
у
ю
т
и
з
отр
опны
е п
оля,
кото
рые
н
е
являются
од
но
родным
и.
Та
к
им
свойс
твом
,
н
а
пр
и
м
е р
,
о б
ла
да
е
т
м
ногопара
м
етриче
ск
ое
б р
оу
н
о
вс
кое
движ
ени
е
П
.
Л
е
ви,
т
.
е
.
г
ау
с
с
ов
ск ое
с
лу
ча
й
ное
п
оле
V(x),xE R
n
с
M
V(x
)=
O,
M
V(
x)V (y)
={
/
xl
+
+I
у
I- I
х
-
у
'}/2,
х,
У
Е
Р
",
Е
сл
и
~
1Q
х
Р"
--
Rl -
одно
род
ное
и
и
з
отр опн
ое
с
лу
ча
й
но
е п
ол
е.
т
о
M
~
(
х
)
= k = const
(
сч
и т
а
ем
k =
О),
а к.
ф
.
В
(
х
-
у)
=
в
(1
х
-
у
1)
з
а
в
и
с
и т
то
л
ь
ко
о
т
е
в
к
л
и
д
о
в
о
г
о
ра
с
ст
ояния
Рху
= I
х
-
у
I
МЕ:Ж
ДУ
то
ч
к а
ми
х
и
у.
Это
будет
т
ог
д
а
и
т о
л
ь
к о
т
огд
а,
когд
а
F
(
~
)
= F
(g~)
для
л
юбых
g
Е
SO (n),
~
Е
QЗ
n.
2
-6
·1 10
6
17