Леоненко Н.Н., Иванов А.В. Статистический анализ случайных полей
Подождите немного. Документ загружается.
Зам
ечани
е
1.6.1.
Пу
сть
у
одн
о
родн
ого
с
л
у
ч а
й
но
г
о
п
оля
s:
1.1
х
Р"
~
R
1
с
у
щес
т
ву
е т
мом
ент
порядка
2 + 5, 8 >
О
(или
Is(
0)1
~
k
з
п
.
н.),
прич
ем
пр
и
г
-+
00
к
оэффициент
п е
рсм
еш
и
вани
я
а
(г)
~
k",-
n
-e,
е5>
2n
(или
а.
(г)
~
k
5
t
-
п
-
е
о,
~
;
O
>
О
).
При
э
т
их
предп
ол
ожения
х
к.
ф.
В
(х),
х Е
R
n
в с
и
л
у
л
е
м м
ы
1.6 .2
(или
л
еммы
1.6. 1)
д
оп
ус
к
а
е
т
оценку
I
в
(
х)!
~
k
e
(l
-+-
- n- h,
-
t-
I
х
I
)
,
т
.
е
.
fI
в
(
х)1
dx <
оо
.
(1 .6.9)
Rn
След
о
в
ат
ельн
о,
су
щ
е
с
т ву
е
т
н
епрерывная
и
ограниченная
с
п
е
к т
Л
Е
R
n
и з
отр
опно,
т
о
(1 .6 .9)
экв
ивал
ентно
со
отношению
ральн
а
я
плотн
о
сть
t
(л.),
'
•
Если
поле
s
(х)
к
тому
же
00
j' z
n-
1I
в
(z)1
dz <
00
.
(1.6 . 1
О
)
о
Как
с
л
ед
уе
т
из
(1 .2.18),
ф
у
н
кц
и я
р(П-
2
)
/ 2
В
(р)
-
пр
еобра
з
ов
а
н
и
е
Га
и
н
е
л
я
п
орядк
а
(n - 2)/2
функции
g (v)
(2
n)
П
/2
,,(п
-
2)
/ 2
0
П
о
э
т
о
м
у
g (v) =
(2n)
-
П
/
2
00
f
J
(п
_
2
)
/
2(VР)(vр)
(
2-П
)
/
2р
П-lВ(р)
а'р
.
(1.6.1 1)
о
Т
аким
о
б
ра
з
о
м
,
и
з
(1 .6. 10)
выт
екает
суще
ствование
и
з
отроп
н
ой
с
п
е
к
т р
а
л
ь
но
й
п
л
о
тнос
ти
g(v),
"Е
Rl,
а
из
(1
.6.1
1)-
непрерывн
о
сть
и
о
г
ра
н
и ч
е
н
нос
т
ь
этой
функции
.
1.7.
Ц
ЕН
ТР
А
ЛЬ
Н
А
Я
П
Р Е
Д
Е
Л
ЬН
АЯ
ТЕО
РЕ
МА
Сф
ормулируем
у
слов
ия
асимптоти
ческой
норм
альн
о
сти
взв
е
ш
е
нн
ы
х и н т
е
гр
а
ло
в
от
с
л
у ч
а
й
н
ы
х
полей,
выраженные
в
т
ер
мин
а
х о
г
ра
н и
че
н
ий
на
м
оменты
поля,
коэффици
ент
п
ер
е
мешивания
,
а
т
акже
на
ве
с
ов
ую
ф
ункцию.
R
n
Пу
сть
9л
-
с
исте
ма
и
змери
мы
х
м
н
о
ж
е
с
т
в
в
,
ge;.
(
Х,
8) :
,9Л
Х
R
n
х е
~
Ю
-
се
ме
йс
т в
о
и
зм
ери
мых
ф
ункций.
s:
1.1
х
х
R
n
~
R
1
-
с
лу
ча
й
ное
п
ол
е
с
Ms
(х)
=
О.
Ра
с
смотрим
и н
тегралы
-, (8) = f
е
,
(
х,
8)
1;
(х)
dx .
(1.7 .1)
6
Будем
г
оворить, чт
о
для
56 (8),
е
Е
в,
д
Е
9л
выполнена
р
а
в
н
о
м
е
р
н
а я
цен
тр
ал ьн
ая
преде
льная
теорема
(р
.
ц
.
п.
т.)
при
l\ -+ 00,
е с
л
и
су
щес
т
вуе
т
функция
а
2
(8)
:
е
-+
(
О,
00)
так
ая
,
чт
о
равн
омерно
в
е
а
р
{S6 (8) <
а
}
~
Ф
О.cJ'
<
О
)
(а)
=
(V
231a
(
8
)
Г
1
)
e
-
I
'
/12
а
Ч8
»
d
t
о
-
00
(1.7.2)
Если
з
а
в
и
с
и
мо
с
т и
от
8
Е
е
нет,
пиш
ем
ц
.
п
.
т.
Введем
с
л
е
д
у
ю
щ
и е
условия.
1
1.
Существует
О>
О т
ак
о
е,
чт
о
М
1
1;
(x)I
2
+6
~
k
1
< CXJ
д л
я
в
се
х
х
Е
н:
111
.
II;(x)
l~k2<00
по
н
.
д
л
я
в
с
ех
xE R".
(8)
=а
2(8»
lУ.
Р
авномерно
п
о
8Ее
с
уще
с
тв
у ет
limM
s
~
0
.
':'
-+
00
У
.
При
д
-+
00,
д
Е
9л
с
ущ
е
ству
ет
k
з
>
О
та
к
ая,
что
sup sup I
е;
(
х
,
8) I
~
k
з
г
vm.
8
Е
е
хЕ
':'
Предп
оложим
сначала,
что
9л
-
с
ов
о
купн
о
сть
п
ар
аллел
е
пи
педов
.
Пу
сть
а
О
=
(a~,
... ,
a
~)
Е
R
n
-
фиксир
ов
анный
вект
ор
с
иен
ул
евыми
компонентами,
П
~
=
П
[О,
а
О
)
+
т
®
а
О
,
т
Е
Zn
o
Пр
едп
оложим
,
что
9л
-
это
с и с
т
е
м
а
п
ар
алл
ел
епип
ед
ов,
сос
та
в
n
ленных
и
з
П
~
,
I
п
[О,
а
О
)
I =
I1
а
~
.
Р
а
с
см
отрим
п
ар
аллел
е
пипе
д
j=
1
П
= Х [aj , b
j
)
Е
9Л
.
Зап
ись
П-+
00
б
у
дет
о
з
на
ча т
ь
min {/
j
,
i = 1'
j=
.
1
...
n
}-+
00
,
где
lj = bj
-Qj
'
У
l
.
Справедливо
П
,
п
р
ич
е
м
«,
(
г,
d)
~
k
4
(1
+
d)
лг
-
п
-
е,
г
д
е
е>
2n
/о,
л
<
о
(еО
-
2n)
/
{2nО
(1 +8)}.
YII.
Выполне
но
11I
и
а*
(г)
~
k
nt
-
п
-
е
,
г
де
е>
О
.
Т
еор
ем
а
1.
7.1
.
Если
выполн
ены
у
словия
1
У
.
У,
У1,
т о
п
р и
П
_ 00
д
л
я
sп
(8)
с
п
р
а
в
ед
л
и в
о
(1.702).
..
До
ка
зател
ьство
о
с
нован
о
на
м
ет
о
де
с
е
к ц
и
онир
ов
ания
[ 12] ,
пр
и
сп
ос
обленном
к
мн
о
г
омерн
ому
с
л
у
ч
а
ю
.
П
у
с
т
ь
v = I
П
1,
т
=
и
'У
/
П
,
,[О
=
v'V
'/n,
О
<
у
'
<
у
< 8/[2
(1
-+-
+
О)
]
.
П
о л о
жи
м
'j=
['[ /a O]
а
О,
т
'
.
=
1
-с
'
/
а
О
]
а
0
,
i
E'
=
{
О
,
1,
о
.. , n}.
I I I I
1
Отре
зки
't
j
на
зовем
«
б о
л
ь
ш
и
м
и
»
,
а
't
'. -
«
м
а
л
ы
м
и
».
Е
с
л
и
J =
I
= {j
E!
:lj
< Tj}
=I=
{25
,
то
для
i EJ
вв
ед
ем
T}
=lj
'
а
для
i
Е
'
''''-.J
= J
введем
н
ов
ые
«
бо
л
ь
ш
и
е»
о
т
рез
к
и
;}
=[~
/a
~
]
a~
?3'j
.
гд
е
~
=
(и-
'У
П
/j)-1 /
1
1I
.
Е
сли
l'
=
{
Н
]
:
lj <
~
j}
=1=
{25
,
то
,и
38
39
п
овт
ор
и
м
о
п
иса
н
ную
пр
о
це
дур
у
для
J UJ'
и
т
.
д
.
В
д
альн
ей
ш
ем
Т]
и
Т]
не
ра
злич
а
ем
.
При
l
j>
3Tj ,
н
ач
и
н
ая
с
т
о
ч к
и
aj.
разо
б
ье
м
ка
ж
д
о
е
ре
бр
о
[a
i
,
b
j
)
п а
р
а
л
л
е
л
еп
ипе
д
а
П
[
а,
Ь
)
н
а
н
е
пе
рес ек
аюш
и
е
ся
о
т
р
е
з
к
и
:
0 1 0
О О
О
[aj,
Ь
]
)
=
I1
j
,
U
I1
j , U
I1
j
,
U..· U
I1
j 5
,..
г
д
е
длины
11
;" .
",
t'1
I
i 5
J-
О
- 1 \
р
ав
ны
'с
]
(l1
j 5
.
им
е
ет
д
л
и
н у
Т
]
~
т
э).
а
длины
L
\i,
' "
''
l1i" _ 1
J}
р
авны
"
~.
О
т
р
е
зк
и
11
°
н
а
зо
ве
м
«д
л
и
н
н
ы
м
и
»
.
а
ti
1
_
«к
о р
отк
им
и
»
Ч
ер
е з
точк
и
де
л
е
н
и я
ка
ж
д
о
го
ре
бр
а
пр
ов
е
д
е
м
гиперпл
о
с
ко
с
т
и
,
п
ер
пен
дик
у
л
я
рные
да
нн
ому
ре
б
р у
.
Т
о
г
д
а
в
е с
ь
пар
ал
л
е
л
еиипе
д
П
разоб
ь е
тс
я
на
н
е
б о л
ее
чем
2
n
тип
о
в п
а
р
а
л
л
е
л
еп
и
п
е
д
о
в
(
тип
о
п
р
е
д
е
ля
е
т
ся
з
на
н
и
е
м
т
о
г
о
,
п о
как
им
о
с
ям
б
е
р
у
тся
«
к о
ро
т
к
ие
»
о
тр
езк
и
,
а
п о
как
и
м
-
«
дли
н
н
ы
е
»
)
.
Каж
ды
й
из
д
из
ъ
ю
н к
т
и
вн
ых
п
араллелепип
е
дов
име
ет ви
д
ti
r:
,
Х
...
Х
11
е
"
,
г
д
е
8j
р
а
в н
ы
О
и
ли
'-....--
n'n
n-
!
1,
а
г
]
Е
{Г,
... , 5j},
е
с
л
и
е)
=
О
и
г
]
Е
{l,
... ,
5j
-
Г
]
,
е
с
ли
е
)
= 1.
В
ре
з
ульт
ате
в е
сь
ин
тегр
ал
sп
(8)
в
О
.
7. 1)
разоб
ь
етс
я
н
а
с
у
м
му
m
5
т
,
m
5
sп(8)
=
~ ~
~(П
:)
= ~
~(П
;)
+
~
~
~(П;)
= 5
J
+ 52
.(1
.7.3)
S
г
=1
г
=)
s> 1
г
=)
l
г
де
~
(П
:)
= f
gп
(
х,
8)
~ (х
)
dx,
т
8
=
т
,
(П)::::
v
-
'I'
-
ч и
с
л
о п
а
S
n
r
р
аллелепипе
д
ов
п
:
5-Г
О т
и п
а
,
с
о
д
е
рж
ащи
х
ся
в
П.
в
д
а
л
ь
н
е
й
ше
м
п
ок
аж
ем
,
чт
о
52
-+
О
п
о
в
е
ро
ят
нос
т
и
при
П
-+
00
р
авн
о
мерно
п о
8
Е
в
,
т
.
е.
о
с
н
о
в
н о
й
вкл
а
д
в
распр
е
д
е
л
ени
е
sп
(8)
б у
дет
вн
о
сить
сумм
а
5),
со
с
т
о
я
ща
я
и з
паралл
ел
епипе
дов
П~,
у
к
от
оры
х
в се
ребра
«
д
л
и
н
н
ы
е»
З
а
м
е
т
и
м
,
чт
о
при
5 = 1
объ
ем
и
1
= I
П~
1::::
и'I',
а
при
з
;»
'\''1'5
П
5
> 1
об
ъ
е
м
и
8
= I r I = v
, (
'
д
е
'\'8 < 1, I
~
г
:::;;
т
8
,
т
ак
ч
т о
п
ри
V
~
00
и
8
=
О
(и
1
)
ДЛ
Я
вс
е
х
5 > 1
JЧеТрИI
<
а
('*
(
х
,
у)
=
= 1
х
-
у
10
=
шах
(I
Х]
-
У
)
1,
j = 1, ' " , n}
э
к
в
и в
а
ле
н т
на
евк
лип
овой
I
х
-
у
1.
П
у
сть
р
*
(l1
p
(12) = inf
{р
*
(
х,
у
)
.
х
Е
111
'
У
Е
Е
11
2
} ·
Пар
алл
елепипе
д
П
;
с
о
д
е
р
ж
и
т
N:::::
и
э
п
ар
ал
л
е
лепипе
д
ов
П~
.
Выбер
е
м
в
л
ем
м
е
1.6.2
р
= q = 2+
О
(О
И
З
у с
л
о
в и я
11)
.
В
силу
у
сл
ов
и
я
V
I
с
о v
(
~
(
П
;
)
,
~
(
ll
т
l
:::;;
r r sup suPlg., (x, tJ)lsuPlg
(Е.
8)/
х
J J
6 Е
8
к
Е
П
цЕп
ГI
~
п
'
х
\ cov
(
~
(
х)
,
~
(
у))
I dxdy
:::;;
k
ov
,
V
p
;;-
l
а
~ f(2
+
б
)
(р*
(П
;,
п
{
),
d)
:::;;
:::;;
!<
6
V
'Y
S
+
'1'
Г
1
(1
+
d
)Щ
(
2-j-
i>'
/
[
р
*
(П
:,
пмn
+
е
)
ь
i<Z
Н).
(1
.7.4)
П
у
с
ть
J8
(г,
')
-г-з-
множ
е с
т в
о
инде
к
с
ов
t,
дл
я
к
о
т
о
ры
х
х о т
я
б
ы
од
но
реб
р
о
т
у
д
а
л
е
н о о
т
од
н
о
име
нног
о
ребр
а
П
;
н
а
1,
т
.
е
.
от
дел
ено
от
о
д
н о и
м
е
н н
ог
о
р
е
бра
П
;
р
ав
н о
(l-
1)
от
р
е
з
к
а
м
и
ТаК
О
Г
О
ж
е
тип
а
(при
l = 1
их
ра
з
д
е
ля
е
т
отр
е
з
о
к
д
ру
г
ог
о
1'11-
п
а)
,
а
о ст
а
льн
ые
ре
б р
а
у
дал
е
н
ы
в
т
а
к
о
м
ж
е
с
м
ыс
ле
не
б
оле
е
ч
е
м
на
' - 1.
Пуст
ь
С
:
t
=
С
О
\
I
(~
(
П
~
)
,\;
(ll
~))
.
И
з
(1.7.4)
и
н
ер
ав
е
н
ств
а
d = d
(П
)
:::;;
k
7
v
п
ол
у
чи
м
m
s
m
s
s
I
I~
с
;
I
:::;;
~ ~ ~ J
С
;
/
1
:::;;
k
sv-
m
~
v
l
-
'
li
n
-
]v
~
'I''I'
s
v
)
·
М
~
+
С
)
Х
Г
*l
г
=
1
1=
1 IEJs(r,l ) 1= 1
00
х
{
(lт,
)
(
n
+
Е
)
С
/
(
2
+
0
>г
l
:::;;
k v"
~
гМ
~
о
9
(1.7.5)
1
=1
п
ри
v
-,.
00,
п
о
ск о
л
ь
к
у
в
с
и
лу
VI
fl = (n +
1::
) 0/(2 +
о)
- (n - 1) > 1, v = 'v
(2У
8
- 1) +
+
М
/
(2
+
о)
-
'\"
(n
-+-
е
)
0
/1
п
(2 +
О)]
<
О
.
(1
.7.6)
1
т
,
I
Для
s> I
г~
С
;Г
:::;;
k
10
v
S
v
-'У
-+
О
при
V
-+
00.
С
л
е
д
о
в
а
т
е
л
ь
р
н
о,
в
(1
.7.3) 52 --+
О рав н
о
ме
р
н о
п
о
8
Е
в
и
н
а
а
си
мп
т
отич
е
с
кое
ра
спр
е
д
е
л
ение
влияни
я
не
о
к аз
ы
вае
т
,
т
.
е
.
при
П
->-
00
т
,
в е
личины
sn (8)
распр
е
д
е
л
е
ны
та
к
ж
е
,
к
ак
51=
~
~
(П~)
.
' = 1
Прим
е
ня
я
инд
у
кцию
п
о
т]
в
д
ол
ь
ка
ж
до
й
и з
п
ос ей
ко
о
рд
и
н
а
т
,
и
з
л
е
м
мы
1.6.1
ле
г
к
о
выв
ест
и
н
ер
а
в
ен
с
тв
о
11\11
е
х
р
{it
г~
~
(П~
)}
-
.
~
1\1
ехр
{it
\;
(П~)}
I
~
~
16n
(т)
- 1)«,
(
То'
d)
~
k
l1v
V
,
(1
.7.7)
гд
е
\' = 1 +
л.
-
'\'
-
,\,'
(n + 8)/n <
О,
(I· 7,8)
а
't~
=шiП{Т
i,j
=
l,
... , n}.
Обо
ЗН
аЧИМ
т
акже
т
о
=
ппп
{Tj,
JE
R
(Гl)}
,
где
R
(п)
-это
40
41
м
н
ожество
н
о
м
е р
о
в
т
ех ос
е
й
[,
котор
ы
е
р
азб ивал
и
сь
н
а
ч
ере
ду
ю щ
и
е
с
я
от
рез
ки
(см
.
выш
е
о
пределе
н
ие
т])
.
В
си
л у
(1.7.7)
и
(1.7.8)
при
V
-+
00
с
лаг
ае
мы
е
в
51
м
ожн
о
р
а
с
с
м
ат
р
ив
а
т ь
к
а
к
н е
зависим
ые
с
.
В
.,
з
ав
и
ся
щ
ие
о
т
п
ар
а
м
е
т
р
а
8
Е
8
и
им
еющи
е
так
и
е
же
р
а с
п р
ед
ел
е
ни
я
,
к
а к
сл
а
га
емы
е
в
с
у м
ме
Si. П
р
о
в
е
р и
м
,
ч
т о
д
л
я
них
в
ы
по
лнены
условия
те
о
р
е
м
ы
1.1.3.
В
с и
л
у
IУ
д
ЛЯ
в
се
х
8
Е
е
lim Ms;' (8) = lim MS; =
а2
(
8
)
> 0, (1.7.9)
п
->
оо
п
->
оо
п
о
с
к
о
л
ь
к
у
,
и с
п
ол
ь
зу
я
(1.7.4),
нетр
у
дн
о
по
к
а з
атъ
,
чт
о
v- 1 I
~
со
у
(
~
(
П
;)
,
~
(П
f
)
)
1
-+
О
пр
и
v
--
00
, s
=1=
р
.
г
, !
Д
о
к
а
з а
т
е
л
ь
с
тв о
послед
н
его
соо
т
ношен
и
я
а
налоги
чно
дока
з а
тел
ь
с
тв
у
(1.7.5),
г
д
е
ра
с
с
м
отр
е
н
слу
ч
а
й
s =
р
.
Единс
т
в
ен
н
о
е
от
л
и ч
и
е
с
ос
т
о
и
т
в
т ом,
чт
о
может
в
с
т р
е
тит
ься
с
л
уч
ай
1 =
О
(п
ар
е
л
лел епи
пе
лы
р
а
зных
ти
п
ов
п р
и
м ы
к
а
ю
т
дру
г
к
д р
у
г
у
)
.
К
о
в а
р
и
а
ц
и
я
этих
ч
л
е
н
о
в
оц
енива
е т
с
я
св
ер х у
в е
л
и
ч
и
н
о
й
k
12
~
I
Vs
Upu
-
V
,
котора
я
стре
ми
т
с я
к н
у
лю
п
ри
v
~
00
.
В
си л
у
V
ине
р
ав
е
нства
i\
'iи
н
ковск
ого
М
[ 1
g
п(
х,
е
Н
(
Х
)
d х
j
2
+
б
::;:;;
k
1
2
{
S
U
Р
sup
I
g
п
(x, e) I}2
+O
х
JI
В
Ее
х
Е
П
П
Г
Х
М
{~
~
s
(
х
)
dx}2
+O::;:;;
k
14
/
п
~
1
2+
·6/1
П
1(2
+0)
/2
::;:;;
k
15
V
V
I
V =
"1'(2
+ 6) - (2 + 6)/2.
Р
ав
н
о
м
е р
н
о
по
е Е
е
т
,
~
м
I
~;
1
2
Н
~
о
"
,
(1
.7.1
О
)
(
=1
где
п
р и
,\,
< 6/ [2 (1 + 6)]
fJ-= 1 -
"1'
+
"1'
(2 + 6) - (2 + 6)/2 < 0. (1.7.11)
И
з
(1.7.9),
(1
.7. 10),
(1
.7.11)
выт
е к
а е
т,
что
д
ля
с
ла
г
аем
ых
с
у
м м
ы
Si
в
ып
о
лн
е
н
о у
с
л о
в и е
2)
теор
е
мы
1.1.3.
П
о
э
т
о
м
у
и
з
тео
р
е
м
ы
1.1.2,
у
с
л
о
в и е
1)
к от
ор
ой
я
вл
я
ет
ся
сл
едстви
ем
усл
о
вия
I
У
и
н
е
р
а
в
е
н
с
т
в а
Ч
е
б
ы
ш
е
в
а,
выт
е
ка
е
т ас
и
м
п
т
о
т и
чес
ка
я
нор
м
а
л
ь
н
ос
ть
Sn
(е)
. •
Теорема
1.7.2.
П
ри
ус л ови
ях
IVI VI VII
и
П
-+
00
д
л
я
s
п
(
8
)
с
пра
в
е
д
ли
в о
(1.7.2).
Доказ
ате
льст
во
тео
рем
ы
1.7.2
а
на
ло
ги
ч
но
до
каза
тельс
т
ву
т
ео
р е
м
ы
1.7.1
с
ис
пользо
ва
н
ие
м
лемм
ы
1.6. 1
вм
есто
л
е
ммы
1.6,2.
За
ме
ча
н
и
е
1.7
.1.
К
а
к в
идно
и
з
до
каза
тель
с
т
в
а
теоре
мы
1.7.1,
м
ож
но
тре
б
о
в
ат
ь
л
иш
ь
I
11
1
-+
00
(п
ри
этом
н е
обяза
т
е
л
ьн
о
все р
е
бра
д
ол
жны
расти)
.
За
ме
ча
н
ие
1.7. 2.
В
т
е
о
р
е
м
е
1.7. I
в
место ус
ло
в
и
я
VI
мож
но
00
п
о
т
ре
б
о
ва
т
ь
с
л
едую
щее
:
в
ып
ол
н
е
н
о
11
,
~
, n
-
l
a
~
j(2+
6)
(г,
d
o
)
<
( =1
<
00
,
г
д
е
d
о
-
д
и
ам
ет
р
П(а
О
)
,
и
су
щес
твуе
т
r (d)
--+
oo,
r (d) =
о
(d l/n)
п
р
и
d --+
00
т
а
к
о
е
,
ч
т
о
а
*
(г
,
d) =
о
(d- (2+6)/
2)
.
В
т
е
о
р е
ме
1.7.2
вмест
о
VII
м о
жн
о
т
ребоват
ь
с
леду
ю
щее:
00
вы
п
олн
е
н о
Ill,
~
r ,,- I
o:.
*
(г,
d
o
) < 00
и
н
а
й
д
е
т
с
я
г
(d) __
00,
( = 1
r (d) =
о
(d
l
/
n
)
п р и
d __
00
такое
,
ч
т
о
а
*
(
г,
d) =
о
(d-
(2+6)
/2
).
За
меча
н
ие
1.7.3.
Е
сли
ис
пользоват
ь
коэфф
и
ц
и
е
нт
а
*
(г)
=
=
.
а
*
(
г,
00 ) ,
вв
еде
нны
й в
п
.
1.6,
т
о
для
од
но
ро
д
н
ого
с
лу
ча
й
н ог о
п
о л
я
ус
ло
в и
е
VI
в
тео
реме
1.7.1
(и
л
и
VII
в т
е
о
р
е
ме
1.7.2)
о
б
е
с
п
ечи
в
а
ет
аб
солю
т
ну
ю
и
нт
егриру
е
м
о
с
т
ь
н
а
Rn
к
.
ф
.
(
с
м.
заме
ча
ние
1.6.1).
Р
ас
см
о
трим
теп
е
р ь в
ка чес
т в
е
9J1
всевоз
м
о
ж
н
ы
е
ко
не
ч
ные
о
б
ъ
е
ди
н
е
ни
я
п
ар
а
л
л
е
л
е
п и п
в
д
о
в
П
~.
П
у с
т
ь
~
Е
9Л
,
I
~
1--
00
F
П
р
е
д
п
о
л
о
ж
и
м,
ч
т
о
~
-+
00
.
VIII .
Вып
ол
не
н о
II,
при
ч
е
м
(Х,
*
(г
,
d)
::;:;;
k
16
(1
-+-
d)
Л
<:
:':
г
д
е
е
>
2n
/о
,
л
<6(
еО
-
2n)
/{20(l
+ 6)}.
F
Теор
ема
1.7.3.
При
усл
ов
ия х
IV,
У
,
VII I
и
~
~
00
д
ля
s"
(
О
)
с
правед
л
и
в
о
(1
.7.2).
•
П
у с
т
ь
т=1
~
,
у
/n,
т'
= I
~
I'I '
/n,
0<
'\"
<
у
<
б/[
2
(l + 6»).
В
в
е
д
е
м
т
],
,~тaK
ж
е,
как при до
каза
тельстве
т
ео
р
е
м
ы
1.7.1.
В
о о
бщ
е
,
ес
л
и
~
= U
5
A
t
,
гд
е
А
;
n
А
]
=
е5
пр
и
i
=l=i
,
то
i = l
с
ущ
е
ст
в у
е
т
i
так о
е
,
ч
т
о
I
~
П
А
;
I
~
I
~
I/s.
З
на
ч
и
т
,
множе
ств
о
6.
мож
но
ра
з
б
ит
ь
г
и
пе
р п
л
о
с
к о
с
т
я
м
и
,
как
пр
и
до
каз
а
т
е
льс
тве
т
е
ор
е
мы
1.7
.1
,
н
а
с
ис
те
му
пар
алл
ел
е
пил
е
л
о в та
к
и
м
о
б
раз
ом,
ч
т
о
бы
ч
ас
ть
1-\
0
с
1-\
,
п
опа
в
ш
ая
в
р
а
з
деляю
щ
ие
ка н
а
л
ы
ш
ир
ины
(
Р
(д
)
::::
т
' ,
и
м
ела
об
ъ
ем
I
ь;
I
::;:;;
::;:;;
k
17
'f
'
'f-
l
l
~l
,
а
~
""&
O
сос
тоял
а н
е
б
о
лее
ч
е
м
и
з
[
d
(
~
)
/
T
]
F
~
k
1
81
1/
п
а
р
а
л л
е
л
е
п
и
п
е
до
в
.
П
ри
~ ~
~
00
d
(~)
~
I ".
о т
с
юда м
о
ж
н
о
вы
вести
н
у
ж
н
о
е
утве
р
жде
н
ие
,
е
сл
и
с
д
е
л ат
ь
соо
т
ветствую
щ
и
е
и
з
м
е
н
ения
в
ф
о
р
м
у
л
а
х
(1
.7.6),
(1
.7.8)
и
( 1.7.11)
и в о
с
42
43
польз
оваться
за
к л
ю
ч и
т е
л
ь
но
й
частью
доказательства
т
е
оремы
1.7. 1
.•
З
а
м
еча
ни
е
1.7.4.
Е
сли ИСП
О
ль
з
о
в
ать
ко
эффициент
«,
(г).
т
о
усл
о
в и е
\' III
в
т
е
ореме
1.7.3
з а
ме
н
и
т
с
я
н
а
так
о
е
:
выпо
л
н
ен о
lI,
причем
С(
*
(г)
~
kj.y
-n
- e,
10
8 > 2n.
У.
Н.
.
П
у
с
ть
теперь
Д
-
;.
00,
а
ве
л
н
ч
и
н
ы
Lj,
Lj,
То,
Т
О
вв
ед
е
н
ы
та
к
и
м
же
об
р
аз
о м
,
как
п
р
и
доказа
те
л
ьс т в
е
те
ор
ем
1.7.1 11
1.7 .3.
Предпол
ож
и
м
,
что
п
о
-
п р
е
ж
н
е
м
у
<;1)1
сост
оит
1
1
З
вс
ево
з
мо
жных
ко
н
е ч
н
ы
х
об
ъ
е
д
и
н
е
н
и
й
П
?m
пол
ученны
х
сд
в и
г
о
м
фи
к
с
и
ро
в
а
н н
о
г
о
паралл
е
л
еп
и
п е
д
а
П
[
О,
а
О
)
.
Ле
м м
а
] .7. ] 1221.
I
v
\
н
о
ж
е
с
т в
о
Д
м
о
жно
ра
збить на
ч
а
с
ти
о
б
ъе
мо
м
'ф
(
1.1
) ::::
!I.1
I
V
(
п
о
с
то
я
н
н
ы
е
при
с
и
м
в
о
л
е
::::
н
е
з
а
в
и
с
я
т о
т
д),
кот
о
р
ы
е
прина
д
лежат
<;1)1
11
о т
с т
о
я
т
о
д
н
а
от
д
ру
г
о
й
по
к
ра
й
н
е
й
м
ер
е
н
а
р
а
сст
ояние
'"C
~
,
11
ч
ас
т ь
до
,
п
опав
ш
у
ю
в
раз
д
еля
ю
щ
и
е
кан
алы
11
та
к
у
ю
,
что
I
д
о
l
=
о
(Iд
l)
при
д
--...
00. ('
.
В
ве
д
ем
ещ
е
так
о
е
у
слови
е
.
ТХ.
Вып
о
лн
ен о
П
,
при
че
м
О
(
г)
~
k
2
J
-
п
-
е
,
108
> 2n.
Т
е
о р
ема
]. 7.4.
Е
сл
и
вып
о
лн
ен
ы
ус
л
о
в
и я
IY,
У,
IX
11
У
.
Н
1.1
-
~
00,
то
д
л
я
56
(0)
с
п
ра
в
е
дл
и
во
(I.7
.2).
...
Рассм от
ри
м
р
а
з
би
ение
R
n
п
ар
ал
л
е
лепипе
д
а
ми
П
m
=
П[О,
а)
+
т
®
а,
т
Е
Zn,
г
де а
Е
R
n
-
в
е
кт
ор
с
н
е
ну
л
е в
ы
м
и
коор
д
и
ната
м
и
.
Пу
ст
ь
д
;;
и
s;;
состоя
т
и
з
тех
П
m
•
для
к
о
т
о
р
ы
х
п
,
n
д
-=1=
(25
и
п
;
с
д
со
о
тветс
т
ве
н
но.
Т
о
г
да
Д
\
1.1;;
С
Д
;;
'"
У
.Н
.
"'
д
;;-
и
,
если
Д
-;.
00,
т о
I
д
t",
д;;-I
/I
д
1--...
О
(1.7. 12)
дл
я л
ю
бо
го
а
Е
R
n
.
П
о л
ожим
5"
(О)
= i g6
(
х,
О)
S
(
х
)
dx + i
g",
(
х
,
О
)
s
(
х)
dx =
5з
+
50!
'
"';
р
6
".6
;;-
В
си
л
у
\1,
[
Х
и
(1. 7.12)
5
4
~
r
O
равн
ом
ерно
п
о О Е
6.
Р
а
з
бив
интегр
а
л
п
о
д
;;
на
ин
те
гра
лы
п
о
м
но
жес
т в
а
м
,
у
к
а
з а
н
н
ы
м
в
л
е
м
м
е
1.7. 1,
и
ис
по
ль
зова
в
заключитель
ну
ю
ч
а
сть
до
к
аза
т
ел
ь
ств
а
теоремы
1.7 1,
п
о
лучим
тр
еб
у
ем
о
е
утверж
дени
е
. •
Р
ассмо
трим
теп ерь
век тор-
ст
олб
ец
5
",
(e)=
[5~
)
(О)
,
.. .
,
5
~
!(
8
)
] ' ,
к
о
м
п о
не
н
т
ы
к
от ор
ог
о
опре де
л
яю
т
с
я
ф
ор
м
у л
о
й
(1.7
.1
),
гд
е
gt>
(х,
8) =
[
g
~
)
(х
,
8), .. ,
g
~)
(
х,
О
)
]'
-
в
ект
ор
-ст
о
л бец
ф
у
н к
ц
и
й,
у д
о
в
л
е
т
в
о
ряю
щ
и
х
таким
о
г
рани
чен
ИЯМ
.
Х
При
д
~
ос
с
у
ш
е
с
т
вуел
фун
кцв
я
(52
(О),
пр
ини
м
аю
щ
а
я
эначе
н
и
я
вс
м
н о
жес
тв
е
п
о
л
о
жит
е
льн
о
-
опре
деленны
х
ма
т
44
р в
и
Г
Х
"
такая,
ч
т о
равномерно
по
8
Е
е
l i
т
[
М
5
,-,
(
О)
5~
(8) - (52
(8)
) =
О.
'-'
-.
<»
XI.
дЛЯ
любого
i E{ I, '"
,г}
функция
g~
)(x,
О)
удо
вле
т
воряет
у
с
л
о
в и
ю
V
с
к
он
ст
ант
ой
k
~
i
)
>
О
(в
о
зможно
зав
и
сящ
ей
от
i) .
/l10
ЖН
О
ПОЛУЧИТЬ
с
л
е
ду
ю
щее
у
т
в
е
рж
де
н
ие.
Т
е
о р
ем
а
1.7.5.
Если
выполнены
усл
ов
ия
IX - XI,
то пр
и
У
.Н
.
Д
--...
00
с
п
ра
ве
д
л
и
ва
мн
ог
омерн
ая
р.
ц.
11
.
Т
.
,
т
.
е
.
равно
м ерно
в
е
с
л
у
ч а
й
н
ы
й
вектор
5",
(О)
и
м
е
е
т
асимпт
отнчески
мног
о
м
ер
н
о
е
н
ормальное
распре
дел ение
Nr
(О.
(52
(О))
С
н
ул
евым
в
ект
о
ром
с
ре
д
н
и х и
ков
ариаци
оиной
матриц
е
й
(52
(О
).
Т
е
о р
ем
а
1.7.6.
П
усть
s
(
х)
= [s(l)
(х),
'" , s (f )
(
х)
)'
с
.
к
.
н
е
п
р
е
р
ы
в
н о
е
однородное
в
шир
ок
ом
с
м
ыс
ле
сл
учайное
п
о
л
е
о
Ms
(х)
=
О,
у
д
о
в
л
е
т
в
о
р
яю
щ
е
е у
с
л
о
в
и
ю:
n
Х
Н
.
М
Is
(О)
12+6< 00.
а
(г)
~
k
2 j
r-
-
e
для
н
екоторых
8>
0,
В
>
2n
/
б.
-Т
о
г
да су
щ
е
с
т
ву
е
т н
епрерыв
ная
в
н
уле
11
огра
н
и ч е
н н
а
я
с
пе
ктр
а
л
ь
н
а
я
п
ло
т
н
о
с
т ь
f
(л,)
= (f iJ
(
Л,
\
.
i
=
I
.....
г
'
"л
Е
Р"
,
Е
с
л
и
,
У.Н
.
кр
оме
т
ог
о
,
f
(О)
--
невырож
денная
м
атриц
а
,
то
при
Д
--... 00
для
в
ект
ора
5,-,
= j S
(х)
dx
с
п
ра
в
е
д
л
и в
а а
симпт
отическая
ф
ор
<J.
м
ула
M5",5~
=
(2Л)П
1
д
If
(О)
(1
+
0(
1)).
(1
.7. 13)
I
д
г
l
/2
п р
и ч е
м
в
е
к
тор
5
(д)
имеет
асимпт
от
ичес
ки
мно
г
о
м
е
р
н
о
е
н
о
р
м
а
л
ь
н
о
е
расп
ре
д
ел
ение
N
r
(О,
(2л)
П
f
(
О)).
Т
е
о р
е
м
а
1.7.6
до
казывает
ся
мет
о
д
ом
с
ек
ц
ио
н
и
р о
в
а н и я с
и
с
п
о
л
ь
з
о
в
а
н
и
е
м
замечания
1.6.1 ,
а
так
ж
е
т
ео
р е
м
ы
П
л
а
н
ш
е р
е
ля пр"
выв
оде
(1.7.1 3).
У
,Н
'Зам
ечани
е
1.7.5.
В
т
ео
рема
х;
.7.5
и
1.7.6
усл
о
в
и
е
д
-+
00
( "
м
ожн
о
за
м
е
н
и
т
ь
н
а
Д
--... 00.
в
э
том
случ
а
е
[
Х
и
Х
II
можно
заменит
ь
на
у
ш.
а
для
пара
л
л
е
л
е
п
и
п
едов
и
на
VI.
У
.Н
.
З
аме
ча
н
ие
1.7
.
б,
П
р и
r = 1,
д
--...
00
в
у
с
л
о
в и я
х
те
оре
м
ы
1.7. 6 af (n) =
(2л)П
f
(
О)
> 0 1
имее
т
мест
о
сходим
о
сть
'3)
р
а
спре
дел
е
н
ий:
8,
Г
И
5,-, --... N
(О
,
(O"
~
(n)).
Е
сл и a~
(n) =
О
,
по
1/2
р
след
н
е е
соо
т
но ш
е
н
и е р
авн
о
с
иль
но т
ак
ому!
I
д
1- S
<J.
~
О
.
Эт
о
в
ы
т
е
к
а
е т
и
з
( 1.7.13)
11
н
е р
аве
нствз
Чебыш
ева
.
45
Т
е
ор
е
м
а
1.7.7.
П
у
ст
ь~(
х)-
с.
к
.
не
прерывн
ое
од
но
р
од
ное
из
о
т
р
опн
ое
слу
чай
ное
п
о
ле
с
M
~
(х)
=
О
,
у
д
о
в
л
е
т
в
о р я
ю
щ
е е
У
СЛ
О
В
И
Ю
XII.
Т
о
г
д
а
с
ущес
тв
у ет
н
е
п р
е
р
ыв
на
я
ограни
че
н
н а я
из
отр
оп
н
ая
с
п
е
кт
р а
ль
н
ая
п
л
отн
о
сть
g
(р.),
~
l
Е
R
~
.
Есл
и
g
(
О)
=1=
О
,
т
о
пр
и
, ->-
00
~
«: " ? \
~
(
х)
dx
->-
N
(
О
,
a
~
(n)),
a
~
(n) =
(2n)П
\ s (1) Ig
(O)
in .
,
'
и
П
р
и
'1
+
Г
2
-
~
00
('1
< (2)
~
(
,~
-
г
п
\
г
'
/
2
f
~
(
х)
dx --+ N
(
О
,
a
~
(n)) .
'.
"' Ixl
<
г
У
т
ве р
ж
д
е
н ие
те
оремы
с
л
е
ду
е
т
и з
теоре
мы
1.7.4,
если
п
/
2
взять
6 = v(r)
(или
6 =
v(r
2)
"'.v(r
1
)) ,
g6(х,
8
)
=г
-
(или
l
(г
~
-
'7
г
/
2
)
и
и
сп
оль
з
овать
лемму
1.5.4
при
а
=
п
- 1
и
за
м
ечание
1.6.1.
Зам
еча
н и
е
1.7.7.
Постоя
н н
ую
a
~(
n) в
теореме
1.7.7
мо
ж
н
о
з а
мен
и
т
ь
на
С
1
(n)
~1
и
з
лемм
ы
1.5.1.
С
фо
р
му
л
и
р
у
е
м
е
щ
е
ц
.
[J.
т.
для
сфер,
дока
зательств
о
к
от
о
рой
м
ож
ет
быть
пр
ов
е
д
ен
о
мет
одом
с е
к
ци
о н
и
р
о
в
а
н
и я п
о
схе
ме
Ю
.
А.
Р
о
з
ан ов
а
[1 10],
е
сли
разб ивать
сф
ер у
на
«
б
о л
ь
ш
и
е
и
«
м
а
л
е
н ь к
и
е
»
с
фе
р
и
чес
к и
е
слои
г
и
п е р
п
л о
с
к
о
с
т
я
м
и
,
перп
ен
ДИК
У
ЛЯРНЫМИ
д
иа м
е
тр
у
с
ф
е
р
ы
.
П
р
и
это
м
и
нтегр
алы
п
о
сфе
р
ич
е с
к и
м
сл
оям
б
удут
а
дд
и
т и
в
н
ы
м
и
функ
ц
иями
м
ноже
с
т в
а
6
с
RI.
Т
е
орем
а
1.7.8.
Пу
сть
n>
2
и
выпол
нен
ы
усл
овия
т
ео
ре
м
ы
1.7.7.
Е
сли
~2
=1=
О
(см
.
(1.5.9)),
т о
при
г
->-
00
'I)
,-
(n
-J
)!2 f
~
(
х)
dm
(х)
- N
(О,
a
~
(n)),
a
~
(n) =
~2C4
(n),
С
4
(n)
s(r )
д
а е
т
с
я
фО
Р~
1
УЛО
Й
(1.5.8).
З
а
м
е ч
а
н
и
е
1.7.8.
П
р
и
фо
р
м
ули
р о
в
к
е
т
е
о р
е
м
ы
1.7.8
коэф
фици
е
нт
п
ер
е
м еш
н
вания
а
(
г)
м
ожно
о
п р
ед
е
л
я т
ь
к
ак
в
п
.
6,
НО
вер
хн
ю
ю
г
р
ань
сл
еду
е
т
брать л
ишь
п
о
множест
вам
6i
и
62'
лежащ
им
на
п
оверхн
о
с
тях
сфер
.
е
п
о
мощью
тео
р
е
м
1.7. 1
-1
.7.4
м
ожн
о п
олу
ч
ать
ц.
п
.
т
.
п р
и
н
е
с
тан
д
а
р
т
н
ы
х
н
о
рмир
овках
(
о
тли
ч
ных
о
т
н
орм
ир
овк
и
А
6
=
1I
V
I
LSТ
)
.
ПО
эт
ом
у
пов
оду
с
м
.
д
алее
п,
3.1.
46
1.8.
МОМЕНТНЫЕ
Н
ЕР
АВ
ЕН
С
ТВ
Д
П
р
и
и
з
у
чении
аппрокс
им
а
ц
ии
р
аспр
е
д
ел
ений
интегр
алов
о
т
с
лу
ча
й н
ы
х
полей
норм
а
льным
за
к
он
ом
важн
у
ю
р
о
ль
игра
ю
т
о
це
н
к
и
мо м
е
н
т
о
в
эти
х
инт
егр
алов
.
Л
емм
а
1.8.1.
П
у
ст
ь
sI Q
х
Р
"
->- Rl -
с
лу
чай
н
о
е
п
о
л
е с
M~
(
х)
=
О
,
удовл
етворяю
щее
сле
д
ующим
у
сл
ов
иям
:
1)
для
некото
рого
ц
е
л
о
г
о
т
> 1
и н е к
о
т
о
р
ог
о
б
>
О
М
I
~
(
х)
1
2tП
+!>
~
k(') <
00
,
х
Е
R" ;
2)
вы
п
олнено
условие
п
ерсмешив
ани
я с
К
О
Э
фф
и
ц
и е
н
т
о
м
а
(,),
00
п
р
и
ч
ем
а
т
= f
pnm-lаМ
2tn+6)
(
р)
dp <
00;
о
3)
5В
П
Э
6 ->-
00
т
ак
,
чт
о
6
s;
v (/PJ 1
8.
11
/"), k (2) >
О
.
Т
о
г
д
а
су
щ
е с т
в
у
е
т
п
о
с
т о
я
н
н
а
я
О
~
с
<
00
,
не
зав
и с
я
ш
ая
о
т
6,
такая,
что
~t
(т
)
= 16
г
т
м
I
~
~
(х)
а х
1
2
т
::;;;
С
.
(1.
t>
.1)
...
Дока
за
тельс
т
во
разоб
ь
ем
н
а
н
е
ск
ольк
о
ч а
стей
.
1.
В
о
б
оз н
а ч е
н
и
я
х
п.
1.3
2т
J.l
(т)
~
I
8.
Г
"
f
1т
2
(х(\)
,
... ,
х
(
2т»
)
I
П
dx(i).
6
2
т
i=1
Г
!
у сть Р
и
=
I
х
.(i )
-
х
U) I
, 1,
. .
J =
1
, ... ,
2
т
.
Г1
МIIО
6
р
едс
тав
им
2
т
С
R
2nm
В
ж
е
ств о
виде
о
бъе
д
и
не
ния
(C
~т
)
1
мн
оже
ств
(це
п
о
ч
ек)
,
о б
л
а
д
а
ю
щ
и
х
т
ем
свой
с
тв
ом
,
чт
о
в
кажд
ом
из н
и
х
в
с е
ра
с
ст
ояния
Ри
ра
с
п о
ложены
в
п
орядк
е
н еу
бывания
.
Выберем
к ак
ое
-л
ибо
и
з
э т
и
х
мн
ож
е
ст
в
л
'
и
р
а
з
обь
е
м
о т
ве
ча
ю
щ
у
ю
ему
цеп
очку
н
ераве
нс
тв
,
с
в
яз
ывающ
их
Р
и,
н
а
дв
е ч а
с
т
и
.
В
лев
ую
ча с
т
ь
л
;
о т
н
есем
п ерв
ы
е
т
расс
то
я н
и й
(JlJ,
в
п р
ав
ую
.\ ; -
о
с
т
а
в
ш
иес
я
C
~
т
-
т
=
2
т
(т
- 1)
р
асс
то
я
ний.
В
озм
о
жн ы
два
слу
ч а
я
:
а
)
в
л;
ка
ко
й
-
либ
о
и
н
д
ек
с
н
з
мн
оже
с
тва
'
2
т
=
=
{1
, ...
,
2
т}
в
с
тре чае
т
с
я
2т
- 1
ра
з;
б
)
в
л
;
ни
о
дин
и
з
ин
д
ек
с
ов
1
2
т
не
вс
тре
ч
ает
ся
2т
- 1
ра
з.
2.
Р
а
ссм
о
трим
вар
иа
нт
а
)
.
П
у
с
т
ь
1
~
k
::;;;
т
- j -
ч и
с
л
о
ин
д
ек
с
ов
,
в
ст
ре
ч
а
ю
щ
и
х с
я в
л
;
2
т
- 1
р аз
,
а
N
k
с
1
2
т
-
сов
о
купно
сть
э
т
и
х
и
н
дексов
.
Н
а
й
д
ем
в
л;
вели
чину
r;
},
у
кото
р
ой
последн
и
й
индек
с
и
з
N
k
п
оявляет
ся
п
е
р в
ы
й
раз,
есл
и
передв
игатьс
я
по
А;
сл
ев
а
на
право
.
Не
огр
ани
чив
ая
об
щ
нос
ти
п ре
дп
ол
ожим,
что
1
Е
н,
ИР;
}
=
Р
1
2
'
Об
о
значи
м
л;
(N
k
)
ч
а
с т
~
47
л;
о
т
е
е
на
ч
ал
а
до
Pl
2
в
клю
чи
тел
ь
но
.
Ра
зделим
переменвые
(I)
} { (2)
2т
}
П
1 6 2
н
а
д
в
а
м
н
ож
е
ств
а
{
х
и
х,
... ,
х
.
о
л
ем
м
е
.
..
I
m~
m
(x(l)
, ... ,
х(
2
т
»)
I
:::;;;
k(
3)
a.
6
/(2m
+6
) (\
x(l)
-
х
(2
)
1),
след овательно
,
2
т
-
~
'
(т,
л
')
= I
д
г
m
j
I
т
2
m
(
х
(1)
, .•. ,
х
)2т)
)
I
П
d
х
(/)
~
;= \
\ ~
т
n
.
\
•
2т
:::;;;
1,(3) 1Ll
г
т
)
a.
M
2
m
-:-~)
(1
х(\)
-
х(2)
\)
П
dx(i),
t: ;=1
д
"
=
д
2
т
n(1\; .
\;
(N
/,))
.
(1
.8.2)
З.
П
ре
дп
оложим
,
ч
т о
2
Е
N
1
<, k > 2.
Р
а
с с
м
о т р
и
м
гр
аф
Г
/
,
верш
и
н
ы
к
от
о
р
ог
о
с
у
т
ь
перс
мен
ные
х
<il
,
i
Е
1
2
т
"N
h
,
а
ре
бра
,
с
ое
д
и н
яю
ш
и
е
в
е
рш
и
н
ы
х(
;
)
и
х
т
,
соотве
тс
тв
уют
в е
л
ич
и
н
ам
Р
u,
в
х о
д
ящ
и
м
в
Л
;.
Т
аки
м
о б
р а
з
о
м
,
Г
/
-
г
раф
с
2
т
- k
верши
н
а
м
и
,
сред
и к о
т
о
гы
х
нет
из
ол
ированных
,
н
т
р е
б
ра
м
и
.
В
о
об
ще
г
ов
оря,
Г
1
с
ост
оит
и
з
неск
о
ль
ких
н
е
с
в
я
з
н
ы
х
КО~1П
о
не
нт
г
) 1)
...
, •
г)
т,
) .
В
каждой
и
з
эт
их
компо
не
нт
выберем
Т
(
\
)
Т
(
III
,
)
О
м
ак
с
и~
!а
л
ь
н о
е
д
е рево,
П
олу
чим
лес
1 ,
...
, 1 .
с
тавим
в
л
;
л
и
ш
ь
величины
Ри
,
в
ходящие
в п
олу
ченный
лес.
Выделим
в
T
~
'
)
к
ак
у
ю
-
л
и
б
о
в
ер
ши
ну
х(l,
,)
.
Пусть
х
(l
,,1
с
оедине
н
а в
T
~
\
)
О
х
(1
,
,
) ,
."
,X
(h
sJ
.
Вып
олн
ю
!
з
аме
н
у
перс
ме
нных
X(R,) = t (h,),
х
(1
1
,
)
_
х
(l
· ,
)
= t (K,),
..
. , X(i,s! _
х
(А,
)
= t (hs!.
Если
какая-либо
и
з
x
Ol
'
ве
р
ш
и н
),
,
х
(l
'
5
)
(напри
мер,
X(h
s
»)
соедине
на
в
Т
)
1)
с
вер
шин
а
м
и
.\
)'
,), ,
г>.
т
о
запише
м
г»
_
х
(п
5
)
=
/,,
), ... ,
х(
'и)
- X (/1
5)
=
е
».
Т
а
к
и
м
же
обр
а з
ом
пр
ойдем
в
с
е
дере
в
о
T\I)
:
Т
(
2
)
т
(
т
,
)
А
на
Л
ОГИ
Ч
ll
ые
з
амены
переменных
п
р
о
в е
д
е
м
в
1 ,
..
. , 1 •
О
Н
1
С Т
И
М
,
ч
т о
число
не
зависи
мых
э
а
мен
переменных
вида
х
О
,
,
)
= t(l,,)
равно
ч
и
слу
т,
несвяэных
ком
понент
граф
а
Г
/
.
4.
Р
ассм
о т
р и
м
л
;
(N
h
)
и
о
твечающий
этой
ч
а
сти
ц
е п о ч
к
и
г
р
а
ф
Г
"
в
е
р
ш
и
н
ы
к
ото
ро
г
о
-
вс
е
перемен
ные
,
вх
одящие
в
л
;
(N,J,
а
р е б
ра
е
с
ть
т
е
Pu'
к
от
орые
п
ри н
а
д
л
е
ж
а
т
л;
(N
k
)·
Да
л ь
нейш
у
ю
з
а
м
е
н
у
пере
менных
в
(1
.8. 2)
у
доб
н
о
о
писывать
на
я з
ы
к
е
о п
е
раций
,
в
ы
по
л
н я
ем
ых
н
а
д
графом Г
Г'
Е
сли
Р
u
реб
ро
Г
,
;
п
ри
че
м
i, j q N
h
,
т
о
Р
и
из
Г
,
у
д
а
л
я
ем
.
По
сле
у
д
а
л
е
н
и
я
вс
е х
т
а
ких
р
еб
е
р
из Г,
по л
у
ч
а
ем
н
о
в
ы
й
граф
1ГГ'
Г
. r (l) r (S)
о
Р
а з
а
б
ь
е
м 1
г
на
н
есв
яэ
н
ые
ко
м
п
о
н
е
н
т
ы
1 , , . • • ' 1 ,
ин
аидем
r
в
ка
ж
д
о й
из
них
м
а
к
с
и
м
а
л
ь
н о
е
дерево
.
Полу
ч
и
м
лес
(l)
у
(
5)
П
'
(1)
1 ' ,
..
. ' 1
,.
редп
о
л
ожим,
ч
т
о
вися
чая
вершина
х
и,
с
л
е
до
ва
тсл
ь
но
,
в
е
р
ш
и
н
а
х
(
2
)
входя
т
В
l
T
~
l
).
С
д
е
л
а
е
м
за
ме
н
у
п
е
ре
48
менных:
X(l ) = t (l ),
х( 2
)
-
х(l)
= / (2).
В
у
дем
с
двиг
ать
ся
по
1
T
~
I
I
.
в
ыполн
я
я
зам
ены:
е
с
л
и
х(2)
с
о
е
д
и
н
е
н
а с
х
(
{)
,
i
Е
N
Ро .
то
п о
л
а
г
а
е
м
хи
)
-
х
(2)
=
t(i
)
и
д
виг аемся
по
дереву
д
альше
,
провод
я
линейные
замен
ы
,
ес
л
и
н
а
пути
встр
е
ч
ают
ся
вер
шины
х<Л,
j
Е
N
h
·
Ч
е
р е
з
некот
ор
ое
ч
и
с
л
о
шаг
ов
мы
прийдем
либо
в
вися
чую
в
е
р
шину
1T~!)
с
и
н
д
е
к
со
м
из
N
h
,
либо
в
вер
шину
хи)
,
j
f1
N
h
·
П
о
сл
еднее,
в
ч
а
с
т
н
о
с
т
и,
м
ожет
С
Л У
Ч
ИТ
Ь
С
Я
уже
на
I-M
ш
а
ге
п
ри
движ
е
нии
и
з
х(2)
.
Если
мы
попадем
в
x
(j),
j
f1
N
,
h
то
уд
ал
яем
ребро
,
соединя
ющее
x (l)
с
пре
ды
дущей
вершиной
.
х
и)
Если
по
сле
это
го ок
а
зыв
а
ет
ся
и
з
олиро
в
ани
ой
вершиной,
уд
ал
я
ем
и
ее.
Е
с
л
и
х({)
ок
а
зывает
ся
н
е и
э
олиров
анн
ой,
то
н
а
хо
ди
м
д
е
р
е
в
о
T
~
q
)
j x
(j
), q
Е
{I, '" , m
1
}
и в
озобновляем
движе
ни
е
и
з
х
т
Е
T
~
q
)
по
фрагменту
д
е
р
е
в
а
l
T
~l
)
уж
е
о п и
са
н
н
ым
I
с п
ос
о
бо
м
до
прихода
в
вершины
x (l ), i
f1
N
h
•
З
а
т
е
м
в
се
п о
в
то
ря
ет
с
я
с
ы
з
н
о
в
а
,
п
о
ка не
бу
дет
пр
ой
дено
в
се
д
е
р
е в
о
1
T
~l
)
.
J
о
т
(
2
)
T (S)
г
а
и
д
е
м
среди
д
е
р
е
вье
в
1 , , .
..
'1'
те
,
К
От
о
рые
содер
жа
т
хотя
.
бы
одну
верш
и н у
х
(l
) ,
i
f1
N
h
.
П
у
с
т
ь э
т
о
де
ревья
1
T
~
i
, ) ,
... '
IT
;
lv
).
При
кле
им
и
х
вершинами
х(!)
к
соотве
т
ст
вую
щим
д
е
р
е в ь
я
м
T\l), ... ,
т
\
m
,
).
Затем
б у
д
ем
д
в
и
г
а
т
ь
с
я
п о
де
ре
T
(i ,)
т
(I,
,
)
а
",(
1)
вья
м
1 , ,
...
, 1 ,
Т
К
же
,
к
ак
п
о
д
ер
еву
1J
;,
т
.
е.
прои
з
в
одить
линейные
замены
переменны
х
х(
/
)
,
j
Е
N /i'
у
д
а
л
я т
ь
н
ен
у
ж
ные
ребра
и
вершины
,
при
кл
еивать
фр
агменты
д
е
р
е
в ье
в
T
(i ,) T (l v) T
(I
)
,.,(
tn,
)
В
1 ' •
...
, 1 ,
К
дере
вьям
1 '
...
' J i .
ажно
о
т
м
е
т и
т
ь
,
что
T
(I ,) T (lv) T(I)
за
м
е
на
переменн
ых
в
дере
вьях
1 , , .
..
, 1 , ' 1 '
дает
лишь
од
н у
независимую
п
ер
с
м
е н
н
у
ю
t(I
).
Рас
смотрим
оставшиеся
(
е
сли
т
ак
ов
ы
е
и
м
е
ю
тся)
деревья
ле
са
1Г,
2)
,
.
..
,
1T
~
S
)
.
Они
содер
жа
т
лишь
верши
н
ы
с
инде
ксами
и
з
N/t.
З
амена
переменных
в
них
приведе
т к
п
о я
в
л
е
н
и
ю
не
эави
симых
переменных,
число
кот
орых
равно
ко ли
честву
т
2
>
О
деревьев
так
ого
типа
.
5.
Замены
переменных
п.
3, 4,
я к
о
би
а
н
ы
которых
не
п
р е
восх
одят
по
м
одулю
ко
н
ста
нты,
по
зв
оляют
оценить
инте
г
р
ал
(1.8.2).
П
у
с
ть
q =
2т
- m
1
- m
2
- 2,
д
-
t =
{у:
у
=
=
х
- t,
х
Е
д
},
д
-
Ll = U
(д-t)
,
A
q
= {(
/(i
j)' j = 1'... ' q) ,
t Eli
! I
t(i
,) I
:::;;;
...
:::;;;
I t (i
q
)
I
:::;;;
It (2) '}.
Т
ог
д
а
инте
грал
(1.8.2)
н
е
п р
е
во
сх
од
ит
q
k(
3)
I
Д
гт+т,
+
т
,
S
П
di(t/ Sdt(l) J
а
М
(
2
т
+
6
)
(1
рl
1)
dt<
2)
:::;;;
A
q
j- I·
А
LI_ t(!)
4 - 6- 110
49
~
k(з)
n
-q
(
q
l
г
lls
(
I)IQI
Ll
гm+m
l
+m,
~
dt
(l )
х
А
Х
~
I, (2) I
Qn
ci /(2m+ 6) (\ t(2)
1)
dt
(2). (1.8.3)
",,_
,'
1)
n
В
с
илу
услов
и
я
3) Ll- Ll
с=
v (
3k
(2) I
t:J.1
1
/
).
Пере
х
одя
в
(1.8.3)
к
п
о
л
я
рны
м коо
рди
ната
м
(1. 1.1),
п
олуч
аем
~
dt ,l ) I I t (2) I
Qn
a,6/ (2m+ 6)
(1
t (2) 1)
dt
(2)
~
"" ""_1(1 )
3
1«
2)\
""
11/
11
< IS (1)
11
LlI 5
pQn+
n
-
Iа,
6/
(
2
m
+
6
)
(Р)
dp
~
о
m1
m
~
IS (1) I(3k(2))
m-
m
1
- m,- 1 \ Ll l
m
- - ,
а,m
'
(1
.8.4)
где
а
m
-
и
з
условия
2).
Оц
ен
к и
(1
.8.2) - (1.8.4)
п
о к
а
эыв
ают,
ч
т
о
инте
грал
f-l
(m,
Л
*)
в
(1
.8.2)
о
г
ра
н
и
че н
р
авн
о
мерн
о п о
Ll.
6.
Выводы
п.
5
ко
р
рек
т
н
ы
п р и
ус
ло
в и и
т
- m
1
- m
2
- 1>
О
.
(1
.8.5)
П
о
к а
ж
е
м
,
ч
т о
(1.8.5)
с
п
ра
вед
ливо
.
Д
ля
э
того
н
айде
м
ш
а
х
m
1
T
(I)
~~
И
тп
ах
m
2
•
М
а
к
си
ма
л
ь
н ое
чи
с
л
о
де
ре
в ь
е
в
ле
с
а
1
г
, ••• •
l'
; •
соде
р
жа
щ
их
то
л
ько
в
е
ршины
x(l)
, i
Е
N"
"'
{1, 2},
е
сть
м
ак
си
ма
ль
ное
чи
с
ло
пар
о
с
оч
ет
аний, со
д
е
р
ж
а
щ
и
х
не
б
олее
k - 2
ве
рш
и
н
.
П
о
эт
ом
у
m
2
~
[(k - 2)/2 ]
Опре
де
лим
ш
а х
m
1
•
П
у
ст
ь
неко
то
р
ы
й
гр
а
ф
Г
соде
рж
и
т
R
вершин
и
r
р
еб
ер
.
2
г>
Р
:
В
ыяс
ним,
ка
кое
макс
има
л
ь
но
е
чи
с
л
о
н
е
св
я
зны
х
ко
м
п
о
н
ен
т
может
и
м
е
ть
Г
,
ес
л
и
у
нег
о
нет
изол
иро
ва н
н
ых
в
ер
ш
ин.
Оч
е
видн
о,
с
л
е
д
у
е
т
о
п
ре
д
е
л
и
т
ь
м
а
ксима
ль
но
е
чи
с
л
о
Р
"
п
ар
е
с
оч
ет
аний
в
Г
.
Т
огд
а
м
а
к
с
и
м
а
л
ь
н
о
е
ч
и
сл
о н
е
св
язных
к
о
мп
он
ент
ес
ть
р"
+ 1.
В
е
лич
ин
у
р
*
н а
йде
м
из
сл
едую
щ
их
сооб
раже
н
ий
.
Есл
и
г
р
аф
Г
име
ет
р"
п
ар
ос
очет
аний,
т
о
в
ос
т
а в
ш
ем
ся
п
о
дгр
а
фе Г
все го
R -
2р*
ве
ршин
и
r -
р*
р
е
б
ер
.
К
о
л
ич
е
ст
в
о
р
е
б
ер
в
Г
не
долж
но
п
рев
ы
ш
ать
ко
л
и
ч
ес
тва
р
еб
ер
п
олн
о
г
о
г
рафа
с
R -
2р
*
в
ершин
ами,
т
.
е.
,.-
р.
~
C
~
_
2
p.,
(1
.8.6)
С
дру
г
ой
с
т
ор
оны,
ув
ел
и
че
н
ие
р
*
н а
ед
ин
и
ц
у
при
в
ед
ет
к
то
м у
,
ч
т о в г р
а
ф
е
Г
ч
и
сл
о р
е
бер
буд
е
т
превос
хо
дитъ
ко
л и
ч
ес
т
в
о
реб
ер
п
ол
н о
го
гр
аф
а
с
R - 2
(
р*
+ 1)
вершин
ам
и,
т.
е.
,. -
р
.
+ 1 >
C
~-
2(P.+O'
(1.8.7)
Р
е
ш
е
ни
е
с
истем
ы
не
ра
ве
нс
тв
(1.8
.6)
и
(1.8. 7)
относитель
но
р
для
г
р
а
ф
а
Г
/,
у
ко
т
орог
о
R =
2т
- k 11 r =
т
,
п
р
ив
о
д
и
т К
о
ц
е
н
к
е
т
1
~
т
- [(k + 1 + (k + 1
)1
/2)/2].
П
о
эт
о
м
у
1 +
т,
+
+
Пl
z
~
1 +((
Ik
+ 1 +(k + 1)
1/2
)/2 + 1) + (k - 2)/2 = m -
- ((k +
1)1
/2- 1)/2
~
m-
(
з1
/2
- 1)/2
~
т
- 0.35,
о
т
к
у
да
с
л
е
ду
е
т
(1
.8.5).
7.
В
ернемся
к
началу
п.
3
и
п р е
дп
ол
ожим,
чт
о
2 fl N",
k>
1.
Проследим.
как
и
зм
ени
т с
я
о
ц
е
н к
а
инт
е
гр
ал
а
(1
.8.2).
Чи
с
ло
не
ээви
с
и
мых
п
ер
с
м
е
нн
ы
х
п
р
и
за
мене
в
Г
с е
й ч
а
с
!
ра
в
н
о
171
1-
1,
так
к ак
о
д
н
о
де
рево
и
з
с
о
в
о к
у
п
н
о
с
т
и
п:
...
,
т
)
m
1
) ,
содержащее
х(
2
)
,
не
да
е
т
не
в
ев
ис
имой
п е
ре
м
е
н
н
ой
.
С
ДРУ
ГОЙ
ст
о
р
оны,
т
2
~
l(k - 1)/2] .
П
о
э
т
о
м
у
МОЖНО
полу
чи
ть
оценки
,
а
н
а
ло
г
и
ч
н
ы
е
(1.8.3)
и
(1. 8.4),
есл
и
спра
ве
дливо
нер
авенс
тво
Тn
1
+m
2
~
т,
а
нал
о
г
и
чное
(1.8.5).
Н
о
сей
ч
ас
т
1
+
т
2
<
т
- (k +
1)
1
/
2
/
2
~m-
V2/2~m
-
O
,
7
.
8.
Вернемся
к
ко
нцу
п.
1
11
р а
с
с
м
о
т
ри
м
ва
риант
б
)
.
Каж
д
ый
и
з
2
т
ин
де
кс
ов
вс
тр
ечае
тс
я в
л;
ро
в
но
2т
- 2
р
а
з
а
.
П
о
с
к
о
л
ьк у
в
л;
ра
сс
т
ояни
я
Рl
1
в
ст
речаю
тся
2
т
- 2
р
а за
,
су
щ
е
с
т
вуе
т
ин
д
е
к
с
j
т
ак
ой,
ч
то
Р
l
}
н
е
вхо
д
и
т
в
л;
.
Н
е
о
гра
ни
чи
ва
я
о
бщн
ос
ти
,
п
р
е
дп
ол
о
ж
им,
что
j = 2
и
Рll
о
= min {Pli'
i
E/
2
m
"'-{
2}}
~miП{
Р
2
i'
i
E/
2m
"'-{l }}.
Т
ог
д
а
мож
но
р
а
з
д
ели
т
ь
п
ер
с
м
енны
е
н
а
два
мн
о
же
с
т
ва
(x (l),
х(
2)
}
и
{
х(
31,
... ,
х(
2m)
}
.
С
но
ва
пр
им
енив
ле
мм
у
1.6.2,
п
ол
учи
м
~
~
I
1\1
[
~
s
(
Х
(
О)
- Ms
(x(l)
) ;
(
х
(
2
»)
1\1
}]
s(x(I))
~
I
~
k (4)a,
M
2m+ 6) ([
х(l
)
-
x(l
o)I).
(1
.8.8)
И
з
(1.8.8)
сл
е
д
у
е
т
р
(т,
л
")
~
k (4) I
t:J.
г
-
S
а
6
/
(
2
m
+
6
)
(1X(I) - X(i
o
) /)
Х
",,
2m
n
л
•
2
т
Х
Пdх
(l)
+
~t(l)fL
(m
-1.Х\
(1.8.9)
[= 1
г
д
е
ц
еп
очк
а
i:·
получае
т
ся
из
ц
еп
очки
л'
уда
лением
в с
ех
р
а с
с
тояний
РН
и
P
2
j '
Оценим
пе
р
в
ы
й
инт
ег
рал
в
пр
ав о
й
ч
а
сти
(1.8.9).
За
м
е
т
и
м
,
что
гр
аф
Г
/
в
р
а
с
сматри
ва
ем
ом
с
л
у
чае
Л
В
л
я
ет ся
с
о
в
е
р
ш
е
н
н
ы м
п
ар
о
с
о
ч
ет
ани
ем,
прич
ем
верш
и
н
ы
х
(1
)
11
х(
2)
вхо
дя
т
В
о
гно
па
р
ос
о
чет а
ние
.
4·
51
50
••
П
о
л
о
жим
х
(!
)
= / (1), X(l ,) _
х(1)
=
/(1,',
x (Z) _
x(l)
= t (2).
Уд
а
л
им
и
з
Г
па
р
о
с
оч
е
та н и
е
,
содерж
ащ
е
е
вер
ши
ну
х
и
,).
В
остав
1
ш
и
х с
я
т
- 2
п
а
р
о
с
о ч е
т
ан
и
ях
выпол
ни
м
m - 2
н
ез
ав
и си
м
ые
зам
е
н
ы
п
ерем
енн
ы
х
.
Об
о
зна
чив
A
m
_
z
= {!/(2) I
:::;;;
1/(/')
I
:::;;;
..,
..
.
:::;;;
I
/
ит-
2
1
~
I
/
и
о)
I},
получ
им
2
т
a {)j(2
m+
l\) (\
х(1)
_
X(i,J
\)
П
dx(i)
:::;;;
6
г
т
, .
~
,=
1
6
2
m
n
л
·
т
-
2
~
16
г\
~
d/(
2)
П
d
/(/;I
fd/(I)
~
а6/(
2m+б)
(\ 1(1,) \)
dl
(I ,) :::;;;
;
=1
6 6.
_1(
11
А
nt
_
2
:::;;;
Is(l )
г'
[(
т
- 1
)1
n
m
-1г!
161-1
~
d/(I
) f I
t(i
, ) I(m- I)n
Х
6 (1)
6 - /
Х
а
О
/(2
т
+6
)
(\ / (1,)
1)
d/(I,)
:::;;;
Is (1) Int[(m - 1)1
n
m-1г
l
а-
т
,
г
де
а
m
о
пределяется
в
у
слов
и и
2).
Оценка
вто
ро
го
слагаем
о
го
в
пр
а в
ой
ч
а
ст
и
(1.8.9) ,
так
к
ак
f.L
(1
)<00
,
с
вод
и т
с
я
к о
ц
е н к
е
и
н тег
ра л
а
fl
(
т
- 1,
Л
*),
к
о
т
о
ры
й
ма
жори
руе
т
ся
а
нал
оги
чно
fl
(т,
Л
*).
Д
л
я
доказател
ь
с
т в а
неравенс
тва
(1.8.1)
следует
,
т
а
к и
м
о
б
р
а
з
о
м
,
о
с
у
щ
е
ст
в и
ть
н е
б
олее
т
- 2
ша
гов
.
•
Л
емм
а
1.8.2.
П
у
с
т
ь
~
(
х)
,
х
Е
Rn
-
од
н
о
р
о
д
н
о
е
случа
йное
+
Ь
п
о
л
е с
нул
евым
с
ре
д
ним
,
М
I
~
(
О)
1
2
m
< 00
для
не
к о
т о
р
о
г
о
ц
е
,
10 Г
О
т
~
1
и
н
екото
рого
б>
О
.
Е
с
л
и
вы
полнены
у
слов
ия
2), 3)
леммы
1.8.1,
то
име
ет
место
(1.8.1).
Лемма
1.8.3.
Пу
ст
ь
1;
(х
)
,
х
Е
R
n
-
сл уч
а
й
н
ое п о
л
е
о
М1;
(
х
)
=
О
,
и
д
ля
каждо
го
х Е
R
n
11;
(х)
I
~
Il (5)
П
.
н
.
;
00
~
p
пт
-
1
a.
(
р
)
dp <
00
для
некото
ро
го
m
~
1.
Т
огд
а,
есл
и
в
ы
о
п
о
л
н е
н о ус
ло
вие
3)
л
еммы
1.8.1,
то сп
р а
ве
д
ливо
(1.8.1).
Лемма
1.8. 3
д
ок
а
зывается
а
н
ало
ги ч
но
лемме
1.8 .1
с
и
сп
о
ль
з
о в
а
н и
е
м
л
е
м м
ы
1.6. 1
вместо
леммы
1.6.2.
Следствие
1.8.1 .
П
у
ст
ь
выполнены
ус
ло
вия
леммы
1.8.1
и
д
л
я н
ек
от
о
р
о
й
л о к
а
л
ь н
о
интегр
и
ру
е
мо
й
с
к
в а
др
а
т
о
м
фу
к
·
ц
и
и
g
(х
)
,
х Е
Rn
IlIl l
l2
e
~~
иp
Ig
(
х
)
I;:=::
(~
Ig
(
х)
IZ
dx)
1/2
при
6 '-+ 00 . (1.8. 10)
Тог
д
а
(1.8. 11)
м
[J
g(X)
~(X
)dXTm:::;;;
k(б)
[
i
\g
(X)
12
dx( ,
г
д
е
к
о н
ста
н
т
а
0<
k
(
б
)
<
со
н
е
з
ав
и
сит
о
т
6.
52
Не
ра
ве
н
ст
в
о
(1.
8.11)
не
тр
у
дно
п ол
у
чи
т
ь
и бе
з
до
полни
т
е
л
ь
н
о
г
о т
р
е
б
о
ван
и
я
(1.8. 10)
п
р
и
и
н
ы
х
пре
д
пол
оже
ниях
о п о
л
е
~
(
х
),
х
Е
к:
2
m
Лемма
1.8.4.
Если
сл
у
ч
айное
поле
~
(
х
)
Е
з
f
)
,
т
> J
(
с
м
.
п.
1.3)
и
р.
r If
(
~
( 1
)
~
(Г»
12
d~
(2)
d~
(r - I)
tJr = Sup j r
'"
,
...
,'"
"'
..
. < 00,f'
1,.
(1) ER
n
f«(r
-Z)n
r = 2, .,.
,2
т
,
т
о
д
ля
люб
ой
лок
ально
интегрируемой
с
к
вад
ратом
функции
g
(х)
,
х
Е
R"
в
ыполняет
с я
( 1.8. 11).
~
П
о
фор
му
лам
(1.3.2)
моме
нт
2
т
~
т
М
[l g
(х)
1;
(
х
)
dx
ут
=
Im
JJ
g
(/)rn
2m
(Х(/
)
,
•• , ,
х(
2
m
»
)
,
C
~
dx(
IJ
6
п
р
е
д
с
т
а
ви
м
в
ви
д
е
с
у
м
м
ы
пр
оиз
ведений
и
нтегралов
о
т
вз
в
е
шенных
фу
нк ц
и
е
й
g
семи
инварианто
в
поля
~
(Х)
п
оря
д
к а
r =
= 2, ...,
2
т
.
И
сп
о
л
ь з
уя
(J
.3.7)
п р и
ф
и
к
с
и р
о
в
анн
о
м
2:::;;;
г
:::;;;
:::;;;
2т,
о
це
н
и
м
ин
тег
ра л
I
j п g
(
х
и
»
з,
(
х
(1
),
...
,
х
(
Г
»
ш(1)
о
dx(
r)
=
~
fr (
1.(\)
, .. . ,1.(
7))
х
АГ
1=1 R(
r-
l )n
х
[
.П
j
е
l
(
л. ( I ).
Х
(
i)g(
Х
(
/)d
Х
(i)]dЛ
(!
)
... d).,!'-
!):::;;;
1= 1 "
:::;;:
I i Ifr
(л(\),
.
о.
,
л.
(
г
))
121
~
.
е''
л.
(Г),,«г)
Х
I
R(r-l)n
6.
х
g
(х(Т»
dx(f)
1
2
dЛ.
(1)
'"
d
Л,
(
Г
-
JJI
I
/2
[l
,g
(
х
)
1
2
dx
/
Т
-О/2
о
(1.8. 12)
В ып
ол
н
и
в
в
инт
е
г
рале
правой
ч
а
с
ти
(1.8.12)
за
ме ну
п
е
рем
е н
• _
~
(I
)
_ _
~(
r-I)
_ _
~
(
Т
)
_
~(1
)
~
(
2
)
_
~(
2)
~
(r-I)
=~(r
-l
)
НЫ
Х ~
...
('у
- 1'tI -
11.
. ,
1'tI
-
А
.
, . • , {\,
1\.
С
у
чето
м
с
и
м
м
ет
ри
чности
с
пектральной
ПЛ
О
ТН
О
С
ТИ
[;
(
о
)
,
п
ол
уч
им
r S Ifr (
1..(1
),
,1.
(
7))
121S
",'1
л
(г)
...
~7)
I
Х
000
L
R
(
Г
-
I
)
П
>
х
g
(x(7})
dx
f)
(dЛ(\
)
...
d
л
l
l
-
"Г
'
=
53
~
I{,
(-
л
~
l
)
- ••• -
1>.
;-'>,
л,
~
J,
... ,
",
~l
»)
12
Х
R(, - I)n
'( ' (1)
(r)
х
I
~
е
'
Л
.
'
Х
I g
(х('»
)
а
х
'
"
12
dl>.~l
)
..,
d/.
"l:-I)I/2~
::;;;
~;
/2
[
.~
Ig
(
х)
12dx 1
1/
2. •
1.9.
ПРИНЦИП
ИНВАРИАНТНОСТИ
П
р
ив
е
д
е
м
усл
о
в
и
и
с
лабо
й с
х
о
ди
м
о
с
ти
м
е
р
,
п
о
р
ож
д
е
и
и
ых
и
н
те
г
р
а
л
а
м
и
от
с
л
у
ч
а
й
н
ы
х
п
о
л
е
й.
к
м
ер
е
.
п
о р о
ж
де
н н
о
й
п
ро
п
е
с
с
о
м
б
ро
у
но
вско
г
о
д
ви
жения
.
П
у
с
т
ь
С
[О.
\] -
пр
о
стр
ан
ст
в
о
н
епр
ерывны
х
н
а
отр
езк
е
[О
,
\]
ф
у
н
к
ц
и й о ра
вн
ом
е
рн
ой
то
поло
гией
,
S; Q
х
R
n
-+
R
1
-
слу
ча
й
н о
е п
о
л
е.
Ms
(
х
)
=
О
.
Т
(г)
=
~
s
(
х)
ах
.
Обо
з
н
а
ч
им
Р
,
« ' )
ве
р
о
я т
н
о
с
т
н
ы
е
мер
ы
в
С
[
О,
1],
п о
р о
ж
денны
е
элеме
н т
ам
и
Х
,
(/) =
г
-
П
12
Т
(t11nr). t
Е
[
О,
\
J.
\
\1'
ъ
-
веро
я
т
ност
ну
ю
м
е
р
у
в
С
[
О
.
1),
п
о
ро
ж
д
е
н
н
ую
пропессо
м
броу но вско
г
о
д
в и
же
н ия
т
ь
(г
)
,
t
Е
[
О
.
1j,
т
.
е
.
та
к
и
м
п
.
н
.
неп
рер
ы
вн
ы
м
г
а
у
с с
о
в с
хи
м
п
р
оц
е с
с
о
м,
ч т о
Мт
ъ
(t) =
О,
М
тъ
и
)
Wb (s) =
Ь
ппп
{t, s},
Ш
Ъ
=
О
п
.
н
.
Теорема
1.9.1 .
Е
с
ли
s
(
х
)
-
С
.
к
.
н
е
пр
еры
вн
о
е
од
но
род
ное
и
з
от
р
опн
о е
с
лу
чайное
п о
л
е.
пр
ич
ем
I s
(О
)
1<
00
п.
н
.
,
a..(r)
~
klf
-
P,
р>2
n,
(1.9.1)
т
о
су
щес
т
вуе
т
н
еп
р
е
р
ы
в
н
а
я о
г
р
а
ни
че
н
н
ая
,
и
з
отр оп н ая
с
пек
тр
а
ль
н
а
я
п
ло
тн
о
сть
g
(J.!),
!L
Е
R ~
.
Е
с
ли
g
(
О)
=1=
О
.
т
о
пр
и
г
-+
00
Р,
*
\f
l b
В
С
[0
.1],
г
де
Ь
=
(2
!1
У
g
(
О)
/n
.
Т
е
о р
ема
1.9.2.
Е
с
л
и в
т
е
о
р
е
м
е
1.
9.\
з
ам
енить
у сл
о
в
и
е
(1.9. 1)
усло
ви
ем
i
'v!
1;
(
О)
1
1
+
б
<
00
,
се
(г
)
~
ч
::
р
;» 2n (1 +
-1
/0). 8>
О
,
(1.9 .2)
т
о
п
р
и
г
-
00
Р;
~
\
'(1
ь
в
С
[
О,
Г]
.
Д
о
к
аз
а
т
ел
ь
с
т
в
а
тео
р
е
м
ы
\.9
.\
и
1.9.2
а
н
ало
г
и
ч н
ы
.
Лемма
1.9.1.
П
у
с
ть
вы
полне
н
ы
услов
ия
те
о р
е
м
ы
1.9.2,
п р
и
че
м
в
(1.9.2)
т
р
е
б
у
е
тс
я
ли
шь
,
чтоб
ы
р>
п
(\ + 2/6).
Тог
да
п
р
и
,
-+
00
к о
н
е
ч
н
о
м
е
р
н
ы
е
р
а
с
п р
ед
е
ле
н
и я
пр оц
ес с
о
в
X
r
и),
t
Е
10,
\]
с
ход
я
тс
я
к
к
о н
е
ч н
о
м
е
р
н
ы
м
ра
сп
р
е
д
е
л
е
н
и
я
м
п
р
о
ц
с
с
с
а
Ш
Ъ
и
)
,
t
Е [О
.
п
•
Су
щ
е
с
т
вов
а
н
и
е с
пе
к
т
р
а
л
ь
н
о
й
пл
о
т н
ос
т и
g (
J.!
)
сле
д
уе
т
и
з з
а
м
е
ч а
н
и
я
1.6. 1.
Пр
и
s > 1
р
а
с
с
м
отрим
т
оч
ки
0 = t
o
<
<t
l
<
·
,,<t
.
~
1.
П
у сть
л'
}
Е
Rl,
[ > 1,
,,.
, s,
s
~,
=
~
",
}Х,
и
}
)
=
~
а
}
(Х
,
(t)) -
Х
,
(t j
-l))'
j= 1
j=
1
г
де а
}
=
"'}
+
...
+
"'
S'
Оп
р
е
д
е
лим
т
}
=
т}
(г),
j = 1,...
,s
т
аким
об
разом
.
чт
о б
ы
I11} <
,
У
П
г
<
Пl
п
рич
е
м
,-
I
Пl}
(г
)
t t}
j
+
l,
п
ри
г
-+
00
.
П
о
л
ожи
м
Р}
=
Р
}
(г)
=
т}
-
J.!
(r )
п
ри
1
~
j < s
и
Р
.
=
т
••
г
де
J.!
(г)
т
а
к
ая
,
чт
о
J.!
(г)
-+
00
.
J.!
И
/Г
-+
О
пр
и
Г
-+
00
r (j) - n12
(Т
(р
) )) - n
l2t
(j)
1
П
у
ст
ь ~
,
=
а
/
} -
Т
(m
j
_
1
=
а
}г
~
, J
·
= , ..
..
s.
s
Т
ог
д
а
~
,
=
~
~~J)
-1-
Qr'
И
сп
о
л
ьз
уя
лем
м
у
1.5.6,
н
е
тр
удн
о
п
о
j=
1
Р
казать
.
чт
о
I
irn
DQr =
О
.
След
о
ва
тель
но
.
Q,
-+
о
п
ри
г
-+
00
и
,
-.""
н
а
асим
пто
т
и
чес
ко
е
п
ове
д
ени
е
~
r
вли
яния
н
е
оказы
вае
т.
Н
о
~
~!)
=
{
G
}
6
~
)
/
VD
6
~j
)}
{r-
nI2
VЩ9>
}
.
П
О
л
ем
м
е
1.5.6 lim {r -
n
12
/J/
D
6~
j)}
= V
t}
- t'_)'
На
основа
'--"
00 J
нии
т
е
ор
е
мы
1.7.7
в е
л
ичина
~y
)
и
м
е
ет
при
г
-+
00
аси
м
птот
и
ч
е
с
ки но
рмаль
ное р
а
спред
ел
ен
и
е
с
н у
л
ев
ы
м
сре
дн
им
и
ди
сп
е
р
с
ие
й
Ьа
;
и
}
- t
j
_
),
т
.
е.
I
м
ехр
(i't
~
~j)}
-+
ех
р
(-
'tba7
и)
- t
j
_
1
)/2}.
(1.9.3)
П
о
л
е
м м
е
1.6. \
J
м
1~
е
х
р
{i't~
~
J)}
-
j
~
м
е
хр
{i
't
~
~
J)}
I
~
16sa
(J.!)
(г)),
с
л
е
д
о
ва
т
е
л
ь
н
о
,
при
г
-+
00
,
к
а
к
и
в
те
о
рем
е
1.7. 1,
вел
и
ч и
н
ы
~~j)
мож
но
с
ч
и
т
а т
ь
н
е
з
ави
симыми.
Есл
и
[, ('t) =
М
ех
р
{i
't
~
,},
то
В
с
илу
(1.9 .3)
при
Г-+
00
Iim"
(Т)
= lim
М
е
хр
{i'l;
.±
~
~п
}
=
ехр
{-
"С
р
2 /
2}.
. j
=)
>
г
д
е
р2
=
Ь
~
ai
и}
- t
j
_
1
).
Н
О
[;
О)
е
ст
ь
х.
ф.
ве
кт
о р
а
j =1
(X
r(tl)
, ·..
,X
,(t
s))
,
а
ех
р
{-р
2
/2
}
-
х
.
ф
.
(ш
ъ
(t l
)
'
... . wb(t
s))
.
Т
а
к
и
м
о б
р
а
з
о
м
,
ут
ве
рж
д
е
н
и
е л
е
м
мы
в
ыт
екае
т
из
теоремы
н
е
п
р
е
р
ывн
о
сти
х
.
ф.
•
55
54
JIeMMa
1.9.2. EC JlH IB YCJlOBHH X T
eOpeME>!
1.9.1 T
pe60
Ba
Tb
JnHW b
p
;»
n (CM. (1.9.1)), TO 6y.n.eT HM
eTb
MeCTO CXO)l.HMOCTb
1<0He'lHO'
MepHblx
pacnpeneneunif npouecca
X,
(t), t E [0, 1) I<
1<0He
~'lH
O'
MepHbIM
pacnpenen
eanaa
npouecca Wb (t), t E
10,
I) npn r
-+
00.
JIeMMa
1.9.3. ECJIH.
BbIn
OJlHeHbI YCJlOBH
51
r
eop
ev
u 1.9.1 ( HJlH
1.9.2), TO ceMeik TBO
Me
p
Pro
cnaoo I<OMrraK THO B C 10, 1L
.£. CO
rJl
aCHO JleMMe 1.8.1 (HJlH
1.8.3)
npn m = 2 BbInOIJlHH-
eTCH HepaBeHCTBO
M (X (t) - X, (s))" < k
5
(t - s
)2
.nJlH Jlf(()
6bIX
r
t,s
E[G, 1).
}b
reopeasr 1.1.4 npn n = I crienyer yTBeplK
JJLe
HHe
o I<
OMnaKTH
OCTH
.•
YTB
ep
lK .n
eHH51
r eo
pea
1.9.1 H 1.9.2
BbITeKalOT
H3 JIeMM 1.
9.1-
1.9.3
Ii
reop
exu
1.1.4.
rJIABA 2
nPEJl.EJIbHbIE
TEOPEMbl
Jl.JHl <1>YHKUHOHAJlOB
OT rAYCCOBCKHX
nOJlEIIt
2.1.
!UICnEPCIHI
HHTErPAJ10B
OT
JIOKAJ1bHbIX
rAYCCOBCKHX
4lYHKUHOHAJ10B
B o BTOp On r
.n
ase OCHOBHOe BHHMaH He y.neJJ
51eTC51
npenens-
HWM TeOp eMaM AJIR
CJIy'la
H
Hwx
nOJle
n C Me.nJleHH WM y 6
wBa
HHeM
1<0p pen51UHH .
Op
H 3TOM
paC
C
MaT
pHB
aIOTC
51
Jl
HWb
H
en
HHellHbl e
npe0
6p
a30 BaH
H51
r
ay
c
coB
cl<HX nOJle
n.
Hccnen
yea
aCHMnTOTH
'Ie
CI<Oe noseneuue
AIlC
nepcnn IIH Te-
rpanoa OT HeJlH HeHHbIX
np
e06p
a30
BaHHH rayccoscxnx nonea.
DY
CTb cp(
U)
=
exp
{-
u
2
/2}r~
/
2n:
, u ERl - nJlOTlI OCTb pac-
npeneneuas
ra
Y
CCOBC
KOH CJI
y'l
aHHo i'l Be.rm
'l
HHbI C napaaerpasru
(0,1), (CM. (1.1.3)), L
2
(Rl , cp(
u)
du )
-r
HJl
b6e
pTOBo npocr paacr no
KJI(l CCOB 3KBHBaJleH THOCTH
H
3
~
l
e
pH
M
b
I
x
no
JI
e6e
ry
<P
YHKU
Hll
G j R l -,;-
-+
Rl, y AOBJleTBOp
51
lOlUHX nepaseacrny
~
0
2
(u) cp (u) du <
00.
R,
Y13secTHO, 'ITO nOJIHHOMbi
4e6bIW
eBa -
3pMH
Ta {Hm (U)}:'=')
CO crapumsr
I<03¢qlHUHeHT
OM,
paBHbl
M ea n
nn
ue
, o6
pa3
yIOT nO/I-
HyIO
opTOrO HaJIbHyIO cncrea y B
np
OCTpaH CTBe L
2
(RI,
rp
(u) du), T. e .
~
H
m
(u) H
q
(u) cp(u) du =
o
~ml
. (2.1.1)
R'
Yi
cn
OJIb3yR
npe
ncraan
enae
H
m
(u) = (
-l)
mex p {u
2
/2} (a"
u
2/2},
m =7du
rn
)
exp
{-
0, I, ..., MO)KHO n
OJIy'lH
Tb BbIp
a}l{
eHHH .nJIH
HeCKOJIbKHX
nepsux
nOJIHHOMOB: H 0 (u) = I,
HI
(u) = u, H2 (u) =
= U
2
- I, H
s
(u) = U
3
- 3u, H 4 (U) =
U
~
- 6u
2
+3 H T.
11
.
5y
.neM
npennonarars,
'IT
O:
I.
1;
: QXR
n
_
Rl_
H3Me
pHMOe, C. K. a
enp
ep
usaoe
r
ayc
cos
cx
oe
O
.n.H
opO
AHOe H30TpOnHOe CJI
y'l
"nH
Oe nOJIe C M
1;
(x
) = 0,
1\11;2
(x) =
= I H K.
cp
. B (Ix I) = M
1;
(0)
1;
(x)
-+
°
rrp
a Ix I
-+
00.
II. cI>YHI<IlHR G: Rl
-+
Rl TaK OBa, ({TO MG
(£
(O))
=
Co
<
00
,
MCZ
(1;
(0)) <
00
.
Ilpa YCJlOBHH II
CPYHI<[
~HIO
G(u) MO}l{H O pa 3
J10
lKHTb R O
li
n.
00
G(U) = ~ CqHq{u) /q!. c, = i
G(u)Hq(u)
cp~U)aU,
Q=O
~
Q = 0, I
•...
,
57