Лекции по математическому моделированию
Подождите немного. Документ загружается.
Тема I.
Тема II.
Тема III.
Математическое моделирование
Математическое моделирование
Киев 2003 г.
Міносвіти України
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут»
Факультет електроенерготехніки і автоматики
Кафедра електричних станцій
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 2
ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В КУРС 3
ТЕМА II.СХЕМА «ЭКСПЕРИМЕНТ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЕ» 4
ТЕМА III.МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ 6
ТЕМА IV. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ В
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ.СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ УКРАИНЫ. 10
ТЕМА V.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ 17
ТЕМА VI.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА 20
ТЕМА VII.ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. 23
ТЕМА VIII.АЛГОРИТМ СКАНИРОВАНИЯ 24
ТЕМА IX.ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ РАЗБИЕНИЯ НА БЛОКИ. 27
ФОРМУЛЫ ФРОБЕНИУСА. 29
ТЕМА X.МЕТОД ОКАЙМЛЕНИЯ. 31
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 3
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 4
Лекция 1
Тема I.
Тема I.
Введение в курс
Введение в курс
Модель заменитель оригинала, позволяющий изучать либо фиксировать
отдельные свойства оригинала.
Цель курса - на базе знаний в области математики и вычислительной техники -
подготовиться к восприятию дальнейших специальных дисциплин, которые
базируются не на знании математики вообще, а на знании прикладной математики.
Этапы моделирования:
1. постановка задачи определение свойств оригиналов, подлежащих
исследованию;
2. констатация факта, что оригинал затруднительно, либо невозможно
исследовать в натуре;
3. выбор модели , достаточно хорошо отражающей наиболее существенные
свойства оригинала;
4. исследование модели в соответствии с поставленной задачей;
5. перенос результатов исследований на оригинал;
6. проверка полученного результата.
Классификация моделей.
2. Логические модели- функционируют по законам логики в сознании человека:
1.1.образные (иконические)
1.2.знаковые (символические)
1.3.образнознаковые
3. Материальные модели- развиваются вне сознания человека по объективным
законам природы:
1.4. функциональные
1.5. геометрические
1.6. функциональногеометрические
4. По отношению модели к оригиналу:
1.7.условные модели
1.8.аналогичные
1.9.математические – среди них выделим подобные модели, в которых
переменные модели пропорциональны переменным оригиналам:
а) аналоговые (непрерывные)
б) цифровые (дискретные)
в) аналогоцифровые (комбинирование или гибридные)
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 5
Тема II.
Тема II.
Схема «Эксперимент
Схема «Эксперимент
Модель
Модель
Управление»
Управление»
Схема «ЭМУ»
отображает диалектический процесс от познания объекта до оптимального
управления им.
Рисунок 1 .Схема «Эксперимент Модель Управление»
Объект - объект материального мира, подлежащий исследованию.
Наука – это компоненты научного исследования: планирование
эксперимента, обработка данных эксперимента, моделирование, управление.
Четыре контура научного исследования:
I. экспериментальное исследование
II. создание и развитие модели
III. автоматическое либо автоматизированное управление объектом
IV. развитие задач управления
Схема «ЭМУ» выделяет различные аспекты научного исследования и
связывает их с соответствующими разделами математики.
Алгоритм научного исследования
1. Постановка задачи (проблемы)
2. Предварительный анализ информации, условий и методов решения задач
3. Выдвижение гипотез, новых научных и технических решений
4. Планирование эксперимента (в математике существует специальный раздел
«Теория планирования эксперимента»)
5. Проведение эксперимента
Киев 2003 г.
Объект
1 3
Обработка
данных
эксперимента
Моделирование
Управление
Планирование
эксперимента
Опыт
Наука
2
4
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 6
6. Обработка данных эксперимента (в математике существуют специальные
разделы: «Математическая статистика», «Регрессионный и
корреляционный анализ», «Теория вероятности»)
7. Проверка исходной гипотезы, коррекция, развитие модели
8. Моделирование («Вычислительная математика», «Прикладная
математика», «Математическое моделирование», «Математические
задачи», «Элементы теории графов»)
9. Окончательная формулировка новых фактов, законов на основе гипотезы
10.Управление («Теория оптимизации», «Теория автоматического
управления»)
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 7
Лекция 2
Тема III.
Тема III.
Моделирование в электроэнергетике
Моделирование в электроэнергетике
Электроэнергетическая система (ЭЭС) это совокупность всего
оборудования и устройств, котрые производят, преобразуют, передают,
распределяют и потребляют электроэнергию.
1. Уникальность моделирования электроэнергетической системы.
1.1. Единство и одновременность производства и потребления
электроэнергии.
1.2. Невозможность складирования.
1.3. Большая размерность решаемых задач в сочетании с быстротой
протекания электромагнитных процессов.
1.4. Затруднительность использования прямых математических методов
решения сложных задач моделирования.
2. При составлении математической модели выделяют объекты, определяющие
режим ЭЭС:
2.1.Силовые элементы
2.2.Элементы управления
Совокупность силовых элементов и элементов управления в графическом
изображении формируют схему замещения электрической сети.
3. С хема замещения - совокупность графических элементов, описывающих ЭЭС,
соединенных в одну или несколько взаимосвязанных электрических схем и
включающих силовые элементы и элементы управления. Есть два вида схем
замещения:
3.1. схема первичной коммутации
3.2. расчетная схема
4. Виды режимов:
4.1.Нормальный установившийся режим
4.2.Послеаварийный установившийся режим
4.3.Переходный процесс
Установившийся режим характеризуется длительным постоянством во
времени (минуты – часы) величин, его описывающих. При описании
установившегося режима ЭЭС используютя и решаются системы линейных и
нелинейных уравнений большой размерности в комплексном пространстве,
которые строятся на основе схем замещения элементов электрической сети.
Переходный процесс описывается дифференциальными уравнениями,
поскольку моделируемые характеристики зависят от времени.
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 8
Система линейных уравнений (СЛУ) в общем случае имеет следующий вид:
n
i
n
i
nnnjnn
inijii
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...
...
...
......
..................
......
..................
......
......
2
1
2
1
21
21
222221
111211
, или
BXA
(1)
где, А – квадратная матрица размерности N*N;
B – вектор свободных членов размерности N;
X – вектор неизвестных размерности N.
Из линейной алгебры известно, что для решения СЛУ необходимо
порядка (N
3
/3) арифметических
операций «+», «», «», «». Оценим, сколько
времени и памяти гипотетической ПЭВМ с тактовой частотой Н=1000МHz
необходимо затратить, чтобы решить (1), если ее размерность N=1000, а элементы
матрицы – комплексные.
Для хранения матрицы А понадобится:
S=1000*1000*8байт ~= 8 Мбайт
оперативной памяти.
С учетом того, что операции «+», «» длятся ~20 тактов, операции
«», «» длятся ~1000 тактов, имеем.
Длительность одного такта (Т), в микросекундах:
Т = 1/Н =1/( 1000*10
6
Hz )=0.001 мкс
Одна операция «+» или «»
О
+-
= 20*0.001=0.02мкс
Одна операция «*» или «/»
О
*/
= 1000*0.001=1.0 мкс
Если число всех операций «+», «», «», «» одинаково и учитывая, что каждая
комплексная операция проводится над двумя составляющими числа
(вещественной и мнимой), получаем общее временя решения СЛУ:
Т
2* (N
3
/3)* (1/4)*( 0.02 + 0.02 + 1.0 + 1.0) = 0.34*10
3
с ~=6 минут
Т.е. для решения СЛУ большой размерности на мощной ПЭВМ не хватит
ресурсов и необходимы подходы математического моделирования.
Система нелинейных уравнений (СНУ) возникает при формировании
уравнений расчета установившегося режима, которые для сети переменного тока
произвольной конфигурации имеют вид:
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 9
n
i
n
i
nnnjnn
inijii
nj
nj
n
i
S
S
S
S
U
U
U
U
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
U
U
U
U
...
...
...
...
......
..................
......
..................
......
......
...0...00
..................
0......00
..................
0...0...0
0...0...0
2
1
2
1
21
21
222221
111211
2
1
, (2) или
или
SUYU
где
ij
y
элемент матрицы узловых проводимостей;
ii
UU
,
соответственно прямой и сопряженный комплексы
напряжений;
i
S
комплексная величина мощности.
Очевидно, что в общем виде СНУ (2) решить нельзя, необходимо
воспользоваться методами математического моделирования, в частности
методом Ньютона.
Лекция 3
5. Связь моделирования в электроэнергетике и математики.
Разделы математики, требующие первоочередного освоения:
5.1.Методы решения сложных алгебраических уравнений при матричном их
представлении:
5.2.Методы линейной алгебры
5.3.Методы нелинейной алгебры
5.4.Анализ дифференциальных уравнений
5.5.Элементы теории вероятности
Взаимосвязь моделирования и математики показана на рис.2
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 10
1
Матрицы.
Элементы
теории графов
2
Элементы
теории
вероятности
3
Анализ
дифференциальных
уравнений
Расчеты установившихся режимов,
распределение мощностей, токов, напряжений
Расчеты переходных процессов
Анализ работы регулирующих устройств
При
детерминиро-
ванных
условиях
При
вероятностных
условиях,
неполной и
стохастической
информации
Рисунок 2. Математические модели электроэнергетики
Киев 2003 г.