Лекции по математическому моделированию
Подождите немного. Документ загружается.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 21
10.Сумма и произведение любых двух треугольных матриц
одинакового наименования есть треугольная матрица того же наименования
11.Степень матрицы
А
А
Р
1
=А
Р
, где Р>1
Свойства
А
p
А
q
=A
p
+
q
(A
p
)
q
=A
p
q
Тема VI.
Тема VI.
Определители и их свойства
Определители и их свойства
2. Перестановка совокупность чисел
1
,
2
,…,
n
, из совокупности 1, 2, 3, …, n,
среди которых нет равных.
2. Нормальная перестановка это совокупность чисел 1, 2, 3, …, n.
Пример: нормальная перестановка III порядка 1, 2, 3 (n=3)
3. В множестве N возможно n! перестановок.
Пример
n!=1
2
3=6;
(1, 2, 3),(1, 3, 2), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3), (2, 3, 1)
4. Инверсия
Числа
i
и
j
в перестановке
1,
2, …,
n образуют инверсию, которая
обозначается
, когда
i
>
j
, и i<j.
Для того, чтобы посчитать общее количество инверсий в перестановке
необходимо для каждого числа в перестановке
i
(i=1,n-1) найти числа
меньше, т.е.
i
>
j
, (j=i+1, n), стоящие правее.
5. Перестановка четная и нечетная
Перестановка четная если ее числа составляют четное количество
инверсий. Соответственно для нечетной перестановки ее числа составляют
нечетное количество инверсий.
Пример:
(1, 2, 3),
=0 -четная
(1, 3, 2),
=1 - нечетная (2<3)
(3, 1, 2),
=2 –четная (1<3, 2<3)
6. Определитель квадратной матрицы
Определителем квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма,
состоящая из n! членов:
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 22
aaa
aaa
aaa
aaa
nn
A
n
nnnn
n
n
,
...
2,21,1
...
...
...
...
)det(
!
1
21
22221
11211
)1(
каждый из которых определяется произведением n элементов матрицы,
стоящих в разных строках и столбцах. Член суммы берется со знаком «+», если
индексы номеров столбцов
1
,
2
, …,
n
образуют четную перестановку (четное
число инверсий) и со знаком «
» в противоположном случае.
Примечание:
закон формирования определителя основан на нахождении всех перестановок
для множества номеров столбцов. При этом номера строк образуют нормальную
перестановку.
Пример:
n=3, n!=6
(1, 2, 3),
=0 -четная
(3, 1, 2),
=2 –четная (1<3, 2<3)
(1, 3, 2),
=1 - нечетная (2<3)
(3, 2, 1),
=3 –нечетная (2<3, 1<3,1<2)
(2, 1, 3),
=1 –нечетная (1<2)
(2, 3, 1)
=2 –четная (1<2, 1<3)
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aaa
A
312312
33
31
32
32
21
22
23
21
12
13
11
13
332211
)det(
для нахождения определителя произвольной матрицы необходимо написать
подпрограмму генератора перестановок.
7. Свойства определителя.
7.1.Определитель равен «0», если все элементы столбца (строки) равны «0», или
когда столбец (строка) есть линейная комбинация других его строк
(столбцов.
7.2.При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
7.3.Если какойлибо столбец (строку) умножить на скаляр
, определитель
умножается на
.
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 23
7.4.Если всех элементы матрицы умножить на скаляр , то
det(
A)=
n
det(A).
7.5.Значение определителя не изменится, если к какомулибо столбцу (строке)
добавить линейную комбинацию любых других строк (столбцов).
7.6.Определители прямой и транспонированной матрицы равны между собой
detA=detA
T
.
7.7.Определитель произведения двух матриц равен произведению
определителей
det(A
B)=detA
detB.
7.8.Определитель нижней (верхней) треугольной матрицы равен произведению
диагональных элементов.
7.9.Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных
элементов.
7.10. Для вычисления определителя можно использовать свойства
треугольной матрицы, разбив матрицу на треугольные сомножители
методом триангуляции:
A=LU
где
nnnn
lll
ll
l
L
...
............
0...
0...0
21
2221
11
;
1...00
............
...10
...1
2
111
n
n
u
uu
U
тогда
det(A)=det(L)
det(U)=l
11
l
22
...
l
nn
7.11. если для квадратной матрицы А
det(A)=0,
то матрица называется вырожденной и СЛУ решений не имеет;
Если det(A)
0, то матрица называется плохо обусловленной, при решении
электроэнергетических задач значение определителя матрицы Якоби
соответствует величине запаса системы (электроэнергетической) по статической
устойчивости:
PU
U
P
PUYU
Лекция 7
Тема VII.
Тема VII.
Обратная матрица.
Обратная матрица.
1. Обратная матрица
Обратная матрица (А
1
) по отношению к исходной А (квадратной) матрице
матрица, для которой справедливы соотношения:
А
1
А=Е или А
А
1
=Е (1)
На свойстве (1) базируется самая простая подпрограмма нахождения
обратной матрицы
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 24
EX
А
EX
А
E
XА
a
nn
a
n
a
n
a
n
aa
a
n
aa
nn
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
1...00
...
0...10
0...01
...
...
...
...
...
21
...
2
...
2221
1
...
1211
22
1
1
21
22221
11211
х
1
,х
2
, …, х
n
столбцы искомой обратной матрицы
Е
1
, Е
2
, …, Е
n
соответствующие столбцы единичной матрицы
т.е. необходимо n раз решить СЛУ относительно столбцов матрицы Е.
2. Свойства обратной матрицы.
2.1. (А
В
)
1
=В
1
А
1
2.2.(А
1
)
Т
=(А
Т
)
1
2.3.(А
1
)
1
=А
2.4.det(A
1
)=1
det(A)
2.5.Для диагональной матрицы
d
d
d
D
d
d
d
D
n
n
1
...
1
1
...
2
1
1
2
1
(2)
2.6.если исходная матрица является треугольной, то обратная есть
треугольная того же вида.
2.7.Коррекция обратной матрицы при внесении в исходную матрицу некоторых
возмущений (изменилось небольшое число элементов исходной матрицы,
надо скорректировать обратную, не прибегая к новому обращению).
Лекция 8
Тема VIII.
Тема VIII.
Алгоритм сканирования
Алгоритм сканирования
Если задана матрица А, и для нее известна обратная матрица А
1
,
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 25
и если в исходную матрицу А внесены некоторые возмущения V, то
обратную матрицу можно скорректировать, а не вычислять снова:
А
А
1
(А+V)
(A+V)
1
Возмущение (V) матрица вида:
если:
yyy
x
x
x
V
n
n
...
...
21
2
1
, (3)
внешнее (векторное) произведение
то (A+V)
-1
=A
1
A
1
V
A
1
, (4)
где
=1/(1+
) (5)
x
x
x
А
yyy
n
n
...
...
2
1
1
21
(6)
в выражениях (4) (6) выполняется пересчет на базе уже известной матрицы
А
1
.
Допустим в исходную матрицу А внесено возмущение (изменение) для а
ij
элемента:
а
н
ij
=а
ij
+v
ij
, н- новое значение
Надо скорректировать А
-1
, т.е. найти А
н
1
.
С учетом (3) возмущение можно представить в виде :
Y
X
ij
ijij
nnn
ij
n
v
vv
aa
a
aa
VA
j
i
0...1...0
0
...
1
...
0
0...
1
...
0
0
...
...
0
0...0
......
0...0
...
......
...
)(
1
111
i
j
i
j
A
v
v
v
A
ij
ij
ij
0
...
1
...
0
0...
1
...0
0
...
1
...
0
0...
1
...0
1
1
:имеем вынести, можно его скаляр,поскольку
; :имеем (4) выражения из
его обозначи м
матрицы столбец ый-i как и ное, что н е это выражени е Рассмотрим
,
)(
1
)(
0
...
1
...
0
11
A
AA
ыйi
столбец
i
)8(
)
1
()
1
(
1
)
1
()
1
(
0...1...0
0
...
1
...
0
1
)7(
1
)(0...
1
...0
:
1
0...1...0
1
11
1
1
11
1
1
)(
)(
AA
AA
A
A
A
V
A
ji
ji
ij
аяj
строка
i
аяj
строка
аяj
строка
ыйi
столбец
jiij
ij
аяj
строка
ij
ыйi
столбец
ij
ij
av
v
AVA
v
v
a
av
Av
AА
имеем (7) учетом с ноокончатель
иепроизведен Рассмотрим
матрицы. обратной элемент ующийсоответствгде
д ля выражение ноеокончатель тогда
, имеем аналогии по
,
Алгоритм коррекции матрицы при изменении элемента a
ij
(метод сканирования):
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 26
1. Найти векторное произведение iго столбца на jую строку. Матрицы
А
-1
:
аяj
строка
ыйi
столбец
AA
2. Реализовать выражение (8).
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 27
Лекция 9
Тема IX.
Тема IX.
Обращение матрицы методом разбиения на блоки.
Обращение матрицы методом разбиения на блоки.
Формулы Фробениуса.
1. Первая формула Фробениуса
Разобъем исходную матрицу S на блоки
DC
BA
qp
q
p
S
Соответственно искомая обратная матрица S
-1
будет иметь вид
из соотношения S
S
1
=E, где Е – единичная матрица, имеем
Е
Е
qp
NM
LK
qp
DC
BA
qp
q
p
SS
0
0
1
(1)
Представим (1) в виде системы матричных уравнений:
AK+BM=E
p
(2)
AL+BN=0 (3)
CK+DM=0 (4)
CL+DN=E
q
(5)
Из (2) и (3) уравнения найдем матрицы K и L, домножиd эти уравнения на
матрицу А
1
слева
А
1
А
К+В
М=Е
А
1
А
L+B
M=0
K+A
1
BM=A
1
L+A
1
BN=0
K=A
1
-A
1
BM (6)
L= - A
1
BN (7)
Подставим (6) и (7) соответственно в (4) и (5):
СA
1
-СA
1
BM + DM = 0 или (D-СA
1
B)M = - СA
1
-C A
1
BN + DN = E
q
(D-СA
1
B)N = E
q
Обозначив W=(D-СA
1
B), имеем:
3. WM= - СA
1
4. WN= Eq
Откуда находим M, N и подставляем в (6) и (7)
5. M= - W
-1
СA
1
(8)
6. N= W
-1
(9)
результатом подстановки будут (10) и (11):
K=A
1
+A
1
BW
1
CA
1
(10)
L=
A
1
BW
1
(11)
Подставляя (8),(9),(10),(11) в выражение для S
-1
, окончательно получаем
обратную матрицу S
1
выраженную через блоки исходной матрицы S:
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 28
W
CA
W
BW
A
CABW
AA
S
1
1
1
1
1
11
11
1
(12)
первая формула Фробениуса.
Где W=(D
C
A
1
B)
Можно в общем виде показать справедливость этого выражения для чего
исходную матрица S можно умножить на S
-1
.
2. Вторая формула Фробениуса.
Найдем из (4) и (5) M и N:
M=
D
1
CK (13)
N=D
1
D
1
CL (14)
Подставим выражения (13), (14) в (2), (3):
(A - BD
-1
C)K=E
(A - BD
-1
C L= - BD
-1
Обозначив V=(A - BD
-1
C), (15)
имеем:
K=V
-1
(16)
L= - V
-1
BD
-1
(17)
Подставим (16), (17) в выражения (13), (14), имеем:
M = -D
-1
V
-1
(18)
N = D
-1
+ D
-1
CV
-1
BD
-1
(19)
Выражения (15)
(19) определяют вторую формулу Фробениуса или в
матричном виде:
111111
111
1
BDCVDDCVD
BDVV
S
(20)
вторая формула Фробениуса
где V=(A
BD
1
C)
Выводы:
1. Для реализации первой формулы Фробениуса (12) для матрицы S,
имеющей размерность p+q, достаточно обратить матрицу А размерности p,
матрицу D размерности q, и выполнить ряд умножений матриц (понижаем
размерность решаемой задачи).
2. Первая формула Фробениуса (12) используется в том случае, когда в
исходной матрице известен блок А
1
либо можно достаточно просто найти
А
1
. Соответственно, вторая формула Фробениуса (20) используется, когда
известен блок D
1
либо легко образуется матрица D.
3. На базе (12) и (20) формул Фробениуса базируется несколько важных
частных случаев. Каждый частный случай представляет отдельный метод.
Лекция 10
3.
3.
Формулы Фробениуса для симметричной матрицы.
Формулы Фробениуса для симметричной матрицы.
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 29
Задана исходная матрица S:
DC
BA
qp
q
p
S
если S симметричная матрица, то S= S
T
из условия симметричной матрицы, имеем:
А=A
T
(21)
B=C
T
; B
T
=C (22)
D=D
T
(23)
В первой формуле (12) Фробениуса рассмотрим выражение:
А
1
ВW
1
CA
1
Вместо C с учетом (22) подставим B
T
, получим
A
1
BW
1
B
T
A
1
(24)
С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и с учетом (1),
имеем после транспонирования:
(А
1
В)
Т
=В
Т
(А
1
)
Т
=В
Т
А
1
обозначим А
1
В=Н (25)
тогда В
Т
А
1
=Н
Т
(26)
С учетом (25) и (26) выражение (12) будет иметь вид:
W
H
W
HWHHW
A
T
T
S
11
11
1
1
С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и симметричности
матрицы W, имеем:
W
-1
H
T
= (HW
-1
)
T
И окончательно первая формула Фробениуса для симметричной матрицы
имеет вид:
WW
Н
HWHHW
A
T
T
S
11
11
1
1
)(
(27)
где W = (D – H
T
B)
Аналогичным образом может модифицировать вторую формулу Фробениуса
(20) . Вводим матрицу G=BD
1
, тогда D
1
C=G
T
.
Окончательно имеем вторую формулу Фробениуса для симметричной
матрицы:
G
VG
DG
V
G
VV
S
T
T
1
1
1
11
1
)(
(28)
где V = (A-GC)
Лекция 11
4. Следствие 1. Блочная нижняя треугольная матрица
Очень часто имеем матрицу вида:
Киев 2003 г.
Курс «Математическое моделирование». Часть 1. 33 стр. Автор А.Г.Снежко 30
D
CAD
A
S
B
DC
A
S
1
0
0;
0
11
1
1
имеем тогда
(29)
Для обращения блочной нижней треугольной матрицы нет необходимости в
обращении всей матрицы, достаточно обратить ее диагональные блоки. Например:
5098
0172
0043
0021
Докажем справедливость выражения (29):
E
E
D
DC
A
C
D
D
A
C
D
A
A
C
DA
A
DA
C
D
A
DC
A
S
S
0
0
1
0)
1
(
1
00)(0
0
0
11
111
111
1
1
5. Следствие 2. Блочная верхняя треугольная матрица
D
BDA
A
S
C
D
BA
S
1
0;
0
11
1
1
имеем тогда
(30)
6. Следствие 3. Блочно-диагональная матрица
D
A
S
CB
D
BA
S
1
0
0
;0;0;
0
1
1
имеем тогда
(31)
Лекция 12
Тема X.
Тема X.
Метод окаймления.
Метод окаймления.
Метод базируется на первой формуле Фробениуса и позволяет решить две
проблемы:
1. коррекция обратной матрицы, при добавлении в исходную новой
строки и столбца;
2. обращение матрицы.
Рассмотрим первую формулу Фробениуса (12), в случае разбиение матрицы
на следующие блоки, т.е, когда известна обратная матрица матрица А
-1
Киев 2003 г.