Лекции по курсу математические основы теории систем
Подождите немного. Документ загружается.
n
n
y
dt
dy
|
Каждой клетке жордановой матрицы J соответствует подсистема дифференциальных
уравнений. Первая подсистема системы (1) содержит е
1
уравнений, в которые входят только
первые е
1
неизвестных и не входят неизвестные из других подсистем. И вообще, в любую из
подсистем системы (1) не входят неизвестные y
i
; из других подсистем, поэтому каждую
подсистему можно решать независимо от других.
Чтобы решить первую подсистему, сделаем замену переменных
11
1
zey
t
22
1
zey
t
(2)
. . . . . .
1
1
1
e
t
e
zey
тогда получим первую подсистему в виде
2
1
z
dt
dz
,
3
2
z
dt
dz
, . . .
1
1
1
e
e
z
dt
dz
,
0
1
dt
dz
e
(3)
Подсистема (3) легко решается, если начинать решение с последнего уравнения.
Действительно, интегрируя с конца, получим
11
ee
cz
,
tccz
eee
111
11
,
)!1(
...
1
1
211
1
1
e
t
ctccz
e
e
.
Переходя по формулам (2) к переменным у
i
получим решение первой подсистемы в виде
t
e
e
e
e
t
ctccy
1
1
1
)!1(
...
1
1
211
,
t
e
e
e
e
t
ctccy
1
1
1
)!2(
...
1
2
322
,
. . . . . . . . . . . . . .
t
ee
ecy
1
11
.
При интегрировании появились произвольные постоянные
1
,...,,
21 e
ccc
, число которых
равно е
1
. Решение остальных подсистем записывается аналогично. Напишем решение для
последней подсистемы:
t
n
e
nenenen
e
e
t
cccy
)!1(
...
1
211
,
t
n
e
nenenen
e
e
t
cccy
)!2(
...
2
322
,
. . . . . . . . . . . . . .
t
n
ecy
,
где
1
en
c
, … ,
n
c
- произвольные константы.
31
4.4.Фундаментальная матрица однородной системы.
Фундаментальная матрица линейной однородной системы уравнений с постоянными
коэффициентами имеет вид
)(
0
)(
ttA
etx
Выявим структуру экспоненциальной матрицы
)(
0
ttA
e
.
Пусть матрица А приведена к жордановой форме, т. е. имеет вид
A
A
A
A
0
...
0
2
1
,
где клетка А
i
, соответствующая характеристическому числу
i
i
i
i
i
A
.
0
0
...000
......
...10
...01
,
есть квадратная матрица размера e
i
e
i
. Рассмотрим частный случай, когда t
0
=0. Тогда
At
etx )(
является фундаментальной матрицей решений системы (1), причем Х(0)=Е.
Нетрудно показать, что
k
k
k
k
A
A
A
A
0
...
0
2
1
,
Действительно, последнее равенство непосредственно следует из правила умножения
матриц. Тогда можно написать:
0
2
1
0
2
1
!
0
...
0
!
0
...
0
k
k
k
k
k
k
k
At
k
t
A
A
A
k
t
A
A
A
e
32
.
...
!
0
...
!
0
!
2
1
0
0
2
0
1
tA
tA
tA
k
kk
k
kk
k
kk
e
e
e
k
tA
k
tA
k
tA
Таким образом, если матрица А имеет жорданову форму, то
t
t
i
e
t
i
e
t
tt
tA
tA
tA
tA
At
i
i
i
i
i
i
ii
i
e
e
e
t
e
e
t
e
tee
e
e
e
e
e
)!2(
)!1(
...
00
...0
...
и
0
...
0
2
1
2
1
.
5. УСТОЙЧИВОСТЬ.
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ.
Решение
)(t
i
для всех i =1,n называется устойчивым по Ляпунову при t , если
для любого действительного
0
существует действительное число
0),(
0
t
, зависящее
от
0
,t
, что любое решение
nitx
i
,1),(
, для которого при
0
tt
выполняется
неравенство
)()(
00
tt
ii
, удовлетворяет неравенству
)()( tt
ii
при
tt
0
для всех i=1,n .
Геометрически это означает, что все решения , которые при
0
tt
начинаются в –
окрестности точки (
0
x
) , никогда не покинут - трубку решения.
Состояние равновесия 0 свободной системы называется устойчивым, если для
любого действительного
0
, существует действительное число
0),(
0
t
, такое что при
норме
0
выполняется неравенство
),,(
00
tt
.
Другими словами, если состояние равновесия устойчиво, то решение можно выбрать как
угодно малым по норме при соответствующем выборе начального условия
0
.
Более сильным является требование достижения в пределе положения равновесия.
Асимптотическая устойчивость
33
Состояние равновесия 0 свободной системы называется асимптотически устойчивым, если
1) оно является устойчивым,
2) каждое движение, начинающееся достаточно близко от Š0 стремится к 0 при
t
.
5.2. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Рассмотрим свободную систему
0);()()(
0
xtxtAtx
начало координат
0x
является
состоянием равновесия, причем это состояние единственное, если
0
при 0))(det( tttA
.
Общее решение уравнения имеет вид
),( где ,),()(
000
ttttt
- переходная матрица
состояния системы.
Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости в начале координат
стационарной свободной системы является требование: действительные части всех
собственных значений матрицы А должны быть отрицательны.
Теорема. Состояние равновесия
l
x
системы
))(( txfx
асимптотически устойчиво, если
состояние равновесия
0x
соответствующей свободной линейной стационарной системы
l
X
tx
tfx
AtAt
)(
)(
где ),()(
, асимптотически устойчиво.
Существует также аналогичная теорема о неустойчивости.
Теорема. Состояние равновесия
l
x
системы
))(( txfx
неустойчиво, если состояние
равновесия
0x
соответствующей свободной линейной стационарной системы
l
X
tx
tfx
AtAt
)(
)(
где ),()(
, неустойчиво.
Пример 1. Рассмотрим свободную систему
n
xkxxxxx
2212
,
21
, 0 является точкой равновесия.
Линеаризованная система имеет вид
k1
10
. Получим характеристическое уравнение
01
1
1
2
k
k
.
Собственные числа матрицы А есть
1
22
2
2,1
kk
.
Если k>0 , то начало координат является асимптотически устойчивым положением
равновесия для исходной системы, так как оно асимптотически устойчиво для
линеаризованной системы. Если k<0 , то исходная система неустойчива.
Пример 2.
Уравнение колебаний незатухающего простого маятника
0sin k
.
Перейдя к системе уравнений первого порядка, получим уравнения
состояния
),sin()(
,)(
12
21
xktx
xtx
где k – постоянная, зависящая от длины маятника ( k=g/l ).
Для этой системы начало координат является состоянием равновесия и соответствующая
линейная система имеет вид
34
mg
0
10
k
.
Так как собственные числа
ki
2,1
являются чисто мнимыми, первый метод
Ляпунова не дает информацию об устойчивости состояния системы ( отметим, что начало
координат является устойчивым, но не асимптотически устойчивым).
Теперь предположим, что имеется затухание колебаний вследствие трения. Тогда уравнение
2-го порядка имеет вид
0sin kc
,
с- коэффициент затухания.
При
121
xи xx
исходное уравнение представляется в виде системы уравнений
.sin
212
21
cxxkx
xx
Начало координат является состоянием равновесия.
В результате линеаризации получаем
.
10
ck
Так как действительные части собственных чисел
kc
c
2
2,1
)2/(
2
отрицательны, то начало координат является асимптотически устойчивым положением
равновесия, а следовательно, и исследуемая нелинейная система имеет асимптотически
устойчивое положение равновесия в начале координат.
ЛІТЕРАТУРА
1. Иванов В.А. Математические основы теории регулирования. Учебное пособие для втузов.
М., Высшая школа, 1971.
2. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем, изд - во «Мир», 1974.
3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования
систем управления. М., Высшая школа, 1988.
4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, изд-во «Наука», М„ 1971.
35
5. Бахвалов Н. С. Численные методы (Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные
уравнения), изд-во «Наука», М., 1973.
6. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем, изд-
во «Советское радио», М., 1973.
7 Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости, изд-во «Наука». М.,
1967.
8 Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение, изд-во МГУ, 1957.
9. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем, изд-во «Мир»,
М., 1971.
10. Канторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических полях, изд. 3-е,
изд-во «Наука», М., 1964.
11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа,
изд. 3-е, изд-во «Наука», М., 1972.
12. Ройтенберг Я. Я. Автоматическое управление, изд-во «Наука», М., 1971.
Учебное издание
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
36
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»
для специальности «Системы управления и автоматики»
Составитель В.Н. Ткаченко, проф.
37