Лекции по курсу математические основы теории систем
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра
Автоматики и Телекоммуникаций
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»
для специальности «Системы управления и автоматики»
Утверждено
на заседании кафедры
автоматики и телекоммуникаций
Протокол № 11 от 06.11.2003 г.
Утверждено
на заседании учебно - издательского
совета ДонНТУ
Протокол № от 2003г.
Донецк, ДонНТУ 2003
1
УДК 62.505
Конспект лекций по курсу «Математические основы теории систем» (для студентов
специальности 7.091401 Системы управления и автоматика)./Сост. В.Н. Ткаченко- Донецк:
ДонНТУ, 2003 – 39 c.
В конспекте лекций изложены основные понятия теории систем, типичные приемы
формализации процессов их функционирования, а также методы качественного и
количественного анализа систем.
Составитель В.Н. Ткаченко, проф.
Отв. за выпуск В.И. Бессараб, доц.
2
Оглавление
1.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА...........................................................
1.1. Основные понятия и
определения........................................................
1.2. Теоремы существования и единственности........................................
1.3. Общее решение линейного уравнения первого порядка ................
1.4. Представление уравнений состояния в виде блок-схем...................
1.5. Понятия теории устойчивости............................................................
1.6. Линеаризация нелинейных систем.......................................................
1.7. Типовые возмущающие воздействия..................................................
2. СИСТЕМЫ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.............
2.1.Приведение уравнений второго порядка к системам уравнений
первого порядка...........................................................................................
2.2. Решение уравнений второго порядка .................................................
2.3. Фазовая плоскость................................................................................
2.4. Задача о колебаниях электрической цепи...........................................
2.5. Решение уравнений состояния n-го порядка......................................
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ...........................................................
3.1. Линейные векторные пространства.....................................................
3.2. Собственные векторы и собственные значения..................................
3.3. Теорема Кели- Гамильтона...................................................................
3.4. Привидение матрицы к диагональному виду......................................
4.РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ n-ГО ПОРЯДКА .........................
4.1. Решение однородной линейной системы n-го порядка ....................
4.2. Решение неоднородной линейной системы .......................................
4.3. Понятие о канонической форме Жордана...........................................
4.4. Решение однородной линейной системы уравнений (общий
случай).........................................................................................................
4.5. Фундаментальная матрица однородной системы. ..........................
5. УСТОЙЧИВОСТЬ....................................................................................
5.1. Определения устойчивости систем......................................................
5.2. Первый метод Ляпунова........................................................................
ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................
стр.
4
4
6
8
9
10
12
14
15
15
16
17
19
23
24
24
25
27
28
30
30
31
31
32
34
35
35
36
39
3
U
1.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Динамика системы описывается ее математической моделью, например обыкновенными
дифференциальными уравнениями и/или алгебраическими соотношениями. Эти системы,
являются системами с сосредоточенными параметрами. Математическая модель отражает
зависимость между тремя множествами переменных: переменные входа, состояния и выхода.
Вход – внешние переменные, действующие на систему. Выход – представляет описание
непосредственно наблюдаемого (измеряемого) поведения системы.
Интерес представляют следующие проблемы:
- получение уравнения для переменных состояний данной системы;
- качественное и количественное ее исследование.
Многие системы могут быть описаны дифференциальными уравнениями первого порядка.
Такие системы называются системами первого порядка. Они важны не только сами по себе,
но и потому, что поведение более сложной системы можно оценить исходя из модели
первого порядка.
],),(),([)( ttutxftx
(1)
]),(),([)( ttutxgty
. (2)
Соотношения (1), (2) будем называть как стандартную форму уравнений состояния : (1) -
является дифференциальным уравнением состояния, (2) – уравнение типа вход – состояние
– выход.
Для любой динамической системы ее поведение в данный момент времени зависит от
переменных, действовавших в данный момент времени, а также от переменных,
действовавших в прошлом. Такая система обладает памятью, которая учитывает вклад
переменных, действовавших с некоторого момента до настоящего времени.
Состояние системы, определяемое как множество значений переменных состояния,
представляет мгновенное значение этой памяти.
4
Система называется детерминированной, если ее выход и состояние в любой момент
времени t можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент
tt
0
и по
известному входу из интервала
],[
0
tt
.
Система называется стохастической, если выход системы в момент времени t можно
определить только с определенной вероятностью или другими статистическими средствами
( например, законом распределения вероятности).
Выход объекта однозначно определяется вектором состояния или может совпадать с ним
полностью или в некоторых компонентах. В качестве входа и выхода системы принимают
измеряемые величины.
Вектор состояния должен быть минимальным с точки зрения полного определения
состояния системы. Такое представление системы называется каноническим.
Число взаимно независимых управляемых переменных определяет размерность системы
Рассмотрим три типа состояния, которые важны в практическом анализе систем: нулевое
состояние, установившееся состояние, состояние равновесия.
Нулевое – называется некоторое состояние , для которого g(,0,t)=0, для t
0
t <. т.е.
нулевое состояние обладает свойством:
]),(),([ ttutxgy
, если система находится в нулевом состоянии x(t
0
)= и u(t)=0 для всех t,
то тогда выходной сигнал системы также равен 0, т.е. y(t)=0, при t
0
t . Заметим, что
нулевое состояние не единственное.
Установившееся состояние, если оно существует, есть такое единственное состояние , в
которое система приходит при нулевом входном воздействии независимо от начального
состояния.
Состояние равновесия есть некоторое состояние , в котором система остается при нулевом
входном воздействии f(,0,t)=0, t
0
t <
h
t
Эти три типа иллюстрируются на примере бусинки скользящей по проволоке. При
скольжении бусинки вдоль проволоки возникает сила трения, препятствующая ее движению
и постоянная сила тяжести. Скорость бусинки пропорциональна компоненте
результирующей силы, действующей на бусинку вдоль проволоки
t
dt
ds
, где s расстояние от левого конца проволоки – является состоянием
системы, результирующая внешняя сила, действующая на бусинку, является входной
переменной. Скорость бусинки является выходной переменной.
В этом случае состояния равновесия и нулевые состояния совпадают.
Если же y = h – выходная величина есть высота h, с выбранным нулевым уровнем,
совпадающим с высотой одного из состояний равновесия, то другие состояния равновесия
не являлись бы нулевыми состояниями.
5
Из этого примера следует, что существование выделенных особых состояний зависит от
системы выбранных величин состояний и выходов.
1.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Теорема существования и единственности решения для одного уравнения. Рассмотрим
теорему, устанавливающую существование и единственность решения задачи Коши для
уравнения
х) f(t,x
. (1)
Будем говорить, что функция f (t, х) удовлетворяет условию Липшица по х в замкнутой
области G, если для всякой пары точек (t, x
1
), (t, x
2
) G справедливо неравенство
f (t, x
1
) - f(t,x
2
) L x
1
- x
2
(2)
где L=соnst —постоянная Липшица.
Заметим, что условие Липшица является более сильным, чем условие непрерывности
функции f (t, х) по х. Из непрерывности функции f (t, х) по х не следует выполнение условия
Липшица, однако, как показывает следующая теорема, если функция f (t, х) удовлетворяет
условию Липшица по х, то она непрерывна относительно х.
Теорема 1. Если функция f(t, х) непрерывна по t в области G и удовлетворяет в этой области
условию Липшица по переменной х, то она непрерывна по совокупности переменных t, х.
Перейдем к рассмотрению теоремы о существовании и единственности решения начальной
задачи Коши.
Теорема 2. Пусть функция f(t, х) задана на замкнутой области G, непрерывна в ней по t и
удовлетворяет условию Липшица по х. Тогда можно указать такой интервал на оси t,
содержащий точку t
0
, на котором существует и притом единственное решение х=(t)
уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию
(t
0
)=х
0
. (3)
Требование выполнения условия Липшица не обязательно для существования решения
уравнения (1). Существуют другие методы доказательства существования решения при
предположении лишь непрерывности функции f (t, х) . Но для единственности решения
требуется выполнение условий Липшица.
Пример. Покажем, что правая часть уравнения dх/dt = 2
x
, не удовлетворяет условию
Липшица в интервале (0, ).
Действительно, пусть f(t,х)=2
x
, тогда, если условие Липшица удовлетворяется, то должно
выполняться неравенство
f (t, x
1
)- f(t,x
2
) L x
1
- x
2
т. е. частное f (t, x
1
)- f(t,x
2
) /( x
1
- x
2
) L
и частная производная
x
x
xtf 1),(
должна быть ограниченной.
В рассматриваемом примере
x
f(t,x)
е.т.,
x
x
f(t,x) 1
при х —> 0. Следовательно,
условие Липшица не удовлетворяется, и поэтому уравнение не имеет единственного
решения, несмотря на непрерывность его правой части.
6
Если в области G функция f(t, х) имеет ограниченную частную производную по х, т.
е.
f /
x
N, где N — некоторое постоянное число, то во всей этой области выполняется
условие Липшица. В самом деле, оценим модуль f (t, x
1
)- f(t,x
2
)для любой пары точек
(t, x
1
), (t,x
2
) . По формуле Лагранжа имеем:
f (t, x
1
)- f(t,x
2
) =f
`
x
(t, x)( x
1
- x
2
) N x
1
- x
2
,
здесь x
1
x x
2.
Таким образом, условие Липшица выполняется и постоянная Липшица
L=N.
Но класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, шире, чем класс функций,
имеющих ограниченные частные производные по х. Например, в уравнении
xx
имеем:
f(t,x)=|x| . При х=0 частная производная
f /
x не существует. Но модуль
f (t, x
1
)- f(t,x
2
) = x
1
- x
2
x
1
- x
2
т. е. здесь условие Липшица выполняется и постоянная L=1.
Теорема существования и единственности решения для нормальной системы уравнений.
Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений
nixxtfx
nii
...,,1),,...,(
1
(9)
или в векторной форме
).,( xtf
dt
dx
(10)
Общим решением системы (9) в области G называется совокупность n функций x
i
=
i
(t,
c
1
, . . , с
n
) (i =1, 2,..., n), из которой путем выбора произвольных постоянных c
1
, . . , с
n
,
можно получить любое решение, принадлежащее области G.
Будем говорить, что функция f(t, x) удовлетворяет условию Липшица в области G по
переменным х
1
,..., x
n
, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары
точек
)x...,,x (t,
n 1
и
)x...,,x (t,
n 1
принадлежащих G, выполняется неравенство
n
i
ii
xxL
1
n 1n1
)x...,,x f(t,-) ...x ,xf(t,
(11)
Приведем без доказательства теорему существования и единственности решения задачи
Коши для нормальной системы уравнений.
Теорема 3. Пусть задана нормальная система уравнений (9), причем функции f
i
(t, х
1
,..., x
n
)
непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х
1
,..., x
n
в некоторой области G.
Тогда существует и притом единственное решение x
i
=
i
(t) (i =1, 2,..., n), системы (9),
удовлетворяющее начальным условиям
i
(t
0
)=х
i0
(i =1, 2,..., n), (12)
определенное на некотором отрезке , содержащем точку t
0
.
Сделаем к теореме два замечания:
1. Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке , содержащем
точку t
0
. Это решение может быть продолжено за пределы отрезка вплоть до границы
области G.
2. Если функция f
i
(t, х
1
,..., x
n
) имеет ограниченные частные производные по х, в выпуклой
области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.
7
(Область G называется выпуклой, если вместе с любой парой точек в этой области ей
принадлежит отрезок, соединяющий эти точки.)
1.3. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Получим общее решение линейного уравнения первого порядка в стандартной форме:
)()()()()( tutbtxtatx
(1)
Рассматриваем соответствующее однородное уравнение (с нулевым входным
воздействием)
)()(
)(
txta
dx
tdx
(2)
Разделяем переменные
dtta
tx
tdx
)(
)(
)(
(3)
Проинтегрировав его от до t , получаем
)()(expx(t)или)(
)(
)(
ln
xdada
x
tx
tt
(4)
Если начальное условие задается в момент времени t
0
, решение имеет вид
)()(expx(t)
0
0
txda
t
t
, (5)
где начальное условие есть некоторая константа
ctx )(
0
.
Для получения частного решения линейного неоднородного уравнения применим метод
вариации произвольной постоянной. Ищем решение уравнения (1) в том же виде (5), что и
решения соответствующего однородного уравнения только с придется рассматривать не
постоянной, а зависящей от t, и должна быть такой, что при подстановке решений
])(exp[)()(
dttatctx
и dx/dt в исходное уравнение (1) оно обращалось в тождество.
Пусть (t) определяет однородное решение уравнения (1) так, что
.00
)(),()()(
tttat
. (6)
Ищем частное решение в виде
)()(x(t) ttc
. (7)
Подставим выражения (7) в уравнение (1)
)()()()()()()()()(
)(
tutbttctattcttc
dt
tdx
Учитывая (6), получим
)()()()( tutbttc
или
)()()()(
1
tutbttc
(8)
Проинтегрируем выражение (8) и результат умножим на (t), получим
t
t
ttc
0
)du()b()((t))()(x(t)
1
.
(заметим, что
0)(
0
tc
).
8
Поскольку
)()(exp(t)
da
t
,
есть решение однородного уравнения, то частное решение можно записать в виде
dubda
tt
t
)()()(expx(t)
0
, (9)
Общее решение находится как сумма решения однородного уравнения и рассматриваемого
частного решения
)()(expx(t)
0
0
txda
t
t
+
dubda
tt
t
)()()(exp
0
. (10)
Пример
2
)1(2
t
etty
dt
dy
-линейное неоднородное уравнение.
Решаем сначала линейное однородное уравнение
;lnln;2;2
2
ctytdt
y
dy
ty
dt
dy
Получаем решение
Ищем частное решение данного уравнения в виде:
2
)(
t
excy
,
тогда
22
2)()(
tt
tetcetc
dt
dy
Подставляем y и dy/dt в исходное уравнение
2222
)1()(22)()(
tttt
etettctetcetc
После приведения подобных получаем
22
)1()(
tt
etetc
,
1)(
ttc
,
1
2
2
)1(
)( c
t
tc
где с
1
- произвольная константа.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
2
]
2
)1(
[
2
t
ec
t
y
1.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ В ВИДЕ БЛОК-СХЕМ
Стандартная форма приведения системы
)()()()()(
)()()()()(
tutdtxtcty
tutbtxtatx
Систему удобно описывать графически в виде блок-схем, для большинства систем
основными линейными блоками является сумматор, счетчик, интегратор.
Сумматор
)()()(
21
tututy
9
U
1
+
U
2
t
t
cey
Счетчик
)()( tkuty
Интегратор
t
t
dxtxx
0
)()(
0
Эти элементы линейны.
Уравнения системы первого порядка в стандартной форме с одним входом и одним
выходом могут быть представлены в виде блок схемы:
1.5. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим нелинейную нестационарную систему n-го порядка
0
)0(),),(),(()( xxttutxftx
. (1)
Если u 0, то система называется свободной.
Решение системы однозначно определяется начальным состоянием
0
x
и его можно
записать в виде
).,,(
00
txtФ
Подставляя решение в исходную систему, получим
.),;()),,,(()],,([
00000000
xtxtФиttxtФftxtФ
dt
d
Функция
),,(
00
txtФ
называется переходной функцией состояния системы.
Пусть задана свободная система
)),(()( ttxftx
. Состояние
t
x
называется состоянием
равновесия, если
0)( txf
e
или (что то же самое )
.,),,(
00
ttвсехприxtxtФ
ee
) .
Дифференциальное уравнение называется стационарным, если
))(),(()),(),(( tutxfttutxf
при любых
00
,, txt
. Стационарность означает, что правая
часть не зависит в явном виде от времени.
Свободную систему, описываемую стационарным дифференциальным уравнением, будем
называть автономной.
Рассмотрим следующие два вопроса:
10
U
K
x
S
X(t
0
)