Лекции по курсу математические основы теории систем
Подождите немного. Документ загружается.
- будет ли решение уравнения (1) для входной функции u(t) и заданного начального
состояния
00
)( xtx
устойчиво при соответствующем отклонении от начального состояния
0
x
?;
- для нулевой входной функции u(t)=0 устойчиво ли состояние равновесия?.
Рассмотрим систему при небольших отклонениях в начальном состоянии.
),,()()(
00
txttxt
u
, (1)
где
-мера некоторого отклонения одной траектории от другой.
В момент
0
t
отклонение имеет вид
),,()()(
00000
txttxt
u
Устойчивость решения может быть установлена по изменению
)(t
.
Если для малых
)(
0
t
, т.е. для малого сдвига в начальном состоянии
станет большой при
увеличении
t
, то решение называется неустойчивым, т.к.
)(tx
расходится с
u
. Если же
0)( t
с возрастанием
t
, то тогда решение можно назвать асимптотически устойчивым.
Механическая интерпретация
Из выражения (1) получаем
),()()(
0,00
txtttx
где
0
- переходная функция процесса.
Но x(t) есть решение уравнения такое, что
)),(),,,()((),,()(
000000
ttutxttftxtt
или
)),(),,,(()),(),,,()(()(
0000
ttutxtfttutxttft
(2)
т.к.
Поскольку входная переменная u и решение Ф известны, то правая часть выражения (2)
является только функцией
)(t
,
00
)(;)),(()(
tttht
.
11
)),(),,,((),,(
000000
ttutxtftxt
Заметим, что
0)( t
, есть состояние равновесия, поскольку
0),0( th
.
Таким образом, проблема определения устойчивости решения сведена к проблеме
устойчивости состояния равновесия, порожденного однородным дифференциальным
уравнением.
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
При исследовании состояния равновесия будем предполагать, что входная переменная
0)( tu
. Рассмотрим систему
)),((),0),(()( ttxfttxftx
.
Предположим, что эта система находится в состоянии равновесия в точке
k
x
,
тогда
0),( t
k
xf
.
Отклонение от этой точке можно найти через
)),(()),(()(;)()( tthtxftxtxt
kkkkk
0)(
0
t
положение равновесия в начале координат.
Мы показали, что устойчивость состояния равновесия также может быть исследована с
помощью некоторой однородной системы, имеющую состояние равновесия в начале
координат.
Рассмотрим систему первого порядка
)()( taxtx
,
для которой
0)( tx
является единственным состоянием равновесия.
Решение этого уравнения есть
).()(
0
)(
0
tet
tta
Если
0)(
0
t
, то и само решение равно 0.
Если
0)(
0
t
, то рассматривается 3 случая, в зависимости от коэффициента a .
1)
0)(,0 ta
-начальное состояние является асимптотически устойчивым состоянием
равновесия;
2)
)()(,0
0
tta
- начальное состояние устойчиво.
3)
)(,0 ta
- начальное состояние будет неустойчивым состоянием равновесия.
1.6. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Большинство реальных систем нелинейны, т.е. поведение системы описывается
уравнениями:
)2(),0(),(()(
)1()),(),(()(
ttutxgty
ttutxftx
Часто на практике нелинейные системы можно аппроксимировать линейной в некоторой
ограниченной области.
Предположим, что
)(
0
tx
для уравнения (1) известно. Заменим систему (1,2) подставив
начальные условия
)),(),(()(
)0(),),(),(()(
000
00000
ttutxgty
xxttutxftx
Предполагаем, что начальные состояния и входная переменная
u
изменены так, что новое
состояние и входная переменная
u
имеет следующий вид.
возмущение)(),()()(
возмущение-)(),()()(
01
01
tttutu
tttxtx
Выход
)()()(
01
ttyty
найдем в результате решения возмущенных уравнений.
12
)),()(),()(()(
)),()(),()(()()(
000
000
tttuttxgty
tttuttxfttx
Разложим правую часть в ряд Тейлора.
),()()(),),(()()(
22
,,000
0000
Ot
u
f
t
x
f
tutxfttx
uxux
(5)
),()()(),),(()()(
22
,,000
0000
Ot
u
g
t
x
g
tutxgtty
uxux
(6)
),(
22
O
-остаточный член погрешности второго порядка малости.
Вычитая исходное решение из разложений, получаем следующие линеаризованные
уравнения:
)()()(
0000
,,
t
u
f
t
x
f
t
uxux
)()()(
0000
,,
t
u
g
t
x
g
t
uxux
.
Частные производные обозначим как коэффициенты зависящие от времени
.)(,)(,)(,)(
00000000
,,,, uxuxuxux
u
g
td
x
g
tc
u
f
tb
x
u
ta
Эти выражения можно переписать в виде
).()()()()(
)()()()()(
ttdttct
ttbttat
Пример 1.
54)(
2
xxtx
Получим линеаризованные уравнения в точках равновесия
5,1
21
xx
.
42
x
x
f
. В точке
.6,6,1
1
x
fx
В точке
.6,6,5
2
x
fx
Пример 2.
)();()(
00
2
xtxtxtx
Решение этого уравнения
.
))((1
)(
)(
00
0
tttx
tx
tx
Продифференцируем правую часть исходного уравнения по x , получим
(t)x 2
0
x
x
f
.
Выполним линеаризацию уравнения для произвольного начального значения
)(
0
tx
.
Получаем линеаризованную систему в виде нестационарного уравнения
.
))((1
)(2
)( ткоэффициенгде),(
))((1
)(2
)(
00
0
00
0
tttx
tx
tat
tttx
tx
t
Решение линеаризованной системы имеет вид:
2
00
0
)))((1(
)(
)(
tttx
t
t
.
1.7. ТИПОВЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
13
Внешние возмущающие воздействия могут иметь различный характер:
мгновенного действия виде импульса и постоянного действия.
1. Воздействие в виде ступенчатого мгновенного изменения входных координат.
f(t)=1(t) – единичная функция Хевисайда ,
при t = - 0 , f(t)=0,
при t = +0 , f(t) =1.
2. Мгновенный единичный импульс первого рода определяется дельта – функцией (t).
При t=0 (t) =, при t = (t) стремится к 0.
Одним из примеров аппроксимации (t)- функции есть
)1(
1
)(
2
t
t
.
По условию воздействия импульс должен быть единичным
поэтому
1)(
dtt
, т.е. площадь под кривой = 1
Если продифференцировать во времени
1)(
dtt
, то
)(1
)(1
)( t
dt
td
t
,
следовательно (t)- функция представляет собой производную во времени единичного
ступенчатого воздействия.
(t)- функция при интегрировании обладает следующими фильтрующими свойствами:
)()()(
при0
,)0()()(,0при)(
1
0при0
)()(
fdtttf
vt
fdtttfvttf
v
t
ttf
.
Интегрируемое произведение произвольной функции
)(tf
и (t)- функции отфильтровывает
из всех значений
)(tf
только то, которое соответствует моменту приложение мгновенного
единичного импульса.
Линейное возмущение
Гармоническое возмущение
14
2. СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2.1.ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К СИСТЕМАМ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пример линейной стационарной системы.
2
2
21001
2
2
)()(
)()()(
)()(
dt
tud
dt
tdu
tututya
dt
tdy
a
dt
tyd
(1)
сигнал входной)( сигнал, выходной)( tuty
.
Другое описание этой же системы второго порядка дается парой связанных
дифференциальных уравнений первого порядка
),()()()()(
)()()()(
)()()()()(
2211
22221212
12121111
tdutxtctxcty
tubtxatxatx
tubtxtatxatx
(2)
где связь между коэффициентами этих уравнений определяется следующими
соотношениями
daadcbcbbc
adaadacabcabcabbca
aaaaaaaa
222112222111
2112112211222112122212210
21122211022111
);((
)(
),(
2.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Применяя дифференциальный оператор
dt
d
D
уравнение можно представить в более
компактном виде
)()()()(
012
2
201
2
tuDDtyaDaD
(3)
Решается уравнение (1) в 3 этапа:
1) находим общее решение
n
y
однородного уравнения;
2) находим частное решение
p
y
;
3) полное решение есть сумма этих двух решений
np
yy
.
Рассматриваем однородное уравнение
0)()(
01
2
tyaDaD
(4)
будем искать решение в форме
st
n
ey
(5)
где
consts
действительная или комплексная величина. При подстановке (5) в (4) получаем
0)(
01
2
st
easas
(6)
Это выражение является решением однородного уравнения, если s удовлетворяет
характеристическому уравнению
.])
2
[(
2
,])
2
[(
2
корнями с;0
2/1
0
2
11
2
2/1
0
2
11
101
2
a
aa
sa
aa
sasas
При s
1
s
2
решение однородного уравнения имеет вид
15
U
условия. начальные через
иесяопределяющ величины, постоянные, где ,)(
2121
21
ccececty
tsts
n
решением. общим быть может не
поэтому и постоянной ойпроизвольн одной от зависит где ,)(;. При
1
21
kketyss
ts
n
Тогда ищем решение в виде
ts
n
etty
1
)()(
и подставляя его в исходное уравнение
;0)]()()()2()([
1
011
2
111
ts
etasastast
(7)
Откуда следует, что
0)( t
.
Если выбрать
s для решение тоь,зависимост линейнуюкак)(
2121
stkkt
tecec
21
s
2
s
1
tt
n
y
. (8)
Частное решение исходного уравнения (1) ищем методом вариации
21
c , c
в форме
tsts
p
etet
ttttty
21
)(;)( где
(9) )()()()()(
21
2211
(11) 0)()()()(
(10) ))()()()(())()()()(()(
2211
22112211
tttt
ttttttttty
p
(13)
)()()()())()()(())()()((
(12) )()()()()()()()()(
210
22112202122110111
22112211
uuu
tttttatattatat
ttttttttty
p
исходя из (11), (13) получаем систему
duuu
ss
e
t
duuu
ss
e
t
uuu
uuu
t
t
s
t
t
s
)]()()([)(
)]()()([)(
;
)()(
)()(
210
21
2
210
21
1
210
1
1
1
2121
210
1
2
1
2111
0
2
0
1
Полное решение уравнения.
t
t
tsts
t
t
tstststs
duuuteetccty
ss
duuuee
ss
ececty
ss
0
11
0
2121
)]()()()[()()(
;)2
)]()()()[(
1
)(
;)1
210
)(
2`1
21
210
)()(
12
2`1
21
Пример
1
212
21
456
xy
xxx
xx
.456;;яобозначениВведем
11221
xxxyxyx
Заменой переменных получим уравнение второго порядка:
.)]()[(
1
)(
.3,2;065
.465
0
)(3)(2
12
3
2
2
`1
21
2
t
t
tttt
duee
ss
ececty
ssss
yyy
2.3. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
16
Двумерным пространственным состоянием или фазовой плоскостью называется
плоскость, в которой две переменные состояния рассматриваются в прямоугольной системе
координат
)(),(
21
txtx
- эти переменные состояния образуют вектор
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
.
График изменения
)(
x
образует траекторию движения. Необходимо указать направление
движения траектории.
Состояние равновесия называется такое состояние
k
x
, в котором система остается при
условии, что
;0u
Состояние равновесия можно определить (если оно существует) из
соотношений
0),0,,(
,0),0,,(
212
211
txxf
txxf
kk
kk
при любом t.
Состояния равновесия иногда называются критическими, основными или нулевыми
точками.
Траектории системы не могут пересекаться друг с другом в пространстве, что вытекает и
единственности решения дифференциального уравнения.
Ни одна траектория не проходит через состояние равновесия хотя и могут сколь угодно
близко приближаться к особым точкам (при
t
) .
Типы точек
1 Регулярная точка есть любая точка, через которую может проходить траектория, точка
равновесия не является регулярной.
2.Точка равновесия изолирована, если в ее малой окрестности содержатся только регулярные
точки.
Рассмотрим систему
.42
2
212
211
xxx
xxx
Для определения состояния равновесия решим следующую систему уравнений
042
02
21
21
xx
xx
.
Получаем зависимость между переменными состояния
12
2
1
xx
.
любая точка которой есть состояние равновесия. Эти точки не является изолированными.
Заметим, что для линейной стационарной системы
2221212
2121111
xaxax
xaxax
начальное состояние оказывается состоянием равновесия и изолированным, если
детерминант матрицы коэффициентов
0
21122211
aaaa
, тогда
0,0
21
xx
есть
состояние равновесия.
Для нелинейной системы второго порядка состояние равновесия
k
x
называется простым,
если соответствующая матрица Якоби не равна 0.
17
0*
1
2
2
1
2
2
1
1
kkkk
xxxx
x
f
x
f
x
f
x
f
В противном случае состояние не будет простым. Если точка равновесия является простой,
то она изолирована. Обратное утверждение не обязательно верно ( за исключением случая
линейных стационарных систем) .
Рассмотрим решение уравнения состояния для линейной системи второго порядка:
0
01
yayay
.
Эту систему можно представить двумя уравнениями первого порядка,
обозначим
yxyx
21
;
,
тогда
21102
21
xaxax
xx
Характеристическое уравнение
0
01
2
asas
и решение будет следующим:
2121
2121
при
при
21
21
sstececy
ssececy
tsts
tsts
Решение уравнения записывается в виде
2112211
212211
2
2121
2121
1
при )(
при
)(
при
при
)(
21
21
21
21
sstescecsc
ssescesc
tx
sstecec
ssecec
tx
tsts
tsts
tsts
tsts
2.4. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
В цепи электродвижущая сила Е включается в контур при
0
tt
, состоящий из
последовательного соединенной катушки, индуктивности, резистора. Требуется найти
величину тока
I
, как функцию времени, если в момент времени
;0;0 It
заряд
конденсатора
0c
.
Физический смысл. Энергия электрического поля
заряженного конденсатора превращается в энергию
магнитного поля ферромагнетика, которая определяется
магнитным потоком , охватывающим витки катушки
индуктивности.
По закону Киргофа ЭДС в цепи равна сумме падений
напряжений на индуктивном
L
u
, активном
сопротивлении
R
u
и емкости
c
u
т.е.
Euuu
cpL
Эти падения связаны с величиной тока I соотношениями
;
dt
dI
Lu
L
t
CR
dttI
c
uRIu
0
)(
1
;
отсюда
;)(
1
0
dttI
c
RI
dt
dI
LE
t
Дифференцируя по t получаем
I
Cdt
dI
R
dt
Id
L
dt
dE 1
2
2
.
Приведем к каноническому виду, введя обозначения
cLL
R 1
,2
:
18
с
R
L
E
Ldt
dE
I
dt
dI
dt
Id 1
*2
2
2
2
Если Е=const , получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Предположим, что Е=const и
0R
(отсутствует сопротивление).
Характеристическое уравнение
, корни имеет 0
2,1
22
iss
тогда решение этого уравнения есть
.)(
21
titi
ececty
Используя формулы Эйлера, общее решение можно записать в виде
tctcy
sincos
21
.
Если обозначить
A
c
A
c
Acc
21
2
2
2
1
cos;sin;
, то
)sin(
tAy
А - амплитуда,
- частота колебаний, период T=2
/
..
В двумерном варианте :
.sincos)(;sincos)(
122211
tctctxtctctx
Движение системы колебательно. Простое состояние равновесия называется центром.
Отметим, что траектория не входит и не достигает этого состояния равновесия. Система
устойчива, но не асимптотически.
При
0;;02;0);0(0
2222
2,1
22
sssER
R
-не очень большая величина, корни комплексно сопряженные и общее решение
)sin()sincos(
1
22
2
22
1
tt
Aeccey
,
где
22
1
.
В этом случае свободные колебания представляют собой затухающие колебания с
амплитудой
t
Ae
, монотонно убивающей с ростом
t
, и стремящимся к 0. Состояние
19
Y
t
X
2
X
1
равновесия известно под названием устойчивого фокуса и является асимптотически
устойчивым.
Случай
0;0;0
22
ER
. Корни характеристического уравнения действительны
различны и отрицательны
)(
2
)(
1
2222
tt
ececy
.
Движение имеет непериодический характер
0y
при
t
. Траектория входит в
изолированную точку равновесия при
t
это точка равновесия является асимптотически
устойчивой и называется устойчивым узлом.
Для
0;0 ER
в зависимости от величины
R
рассматриваем два случая
а) неустойчивый узел
б) неустойчивый фокус
20