Лекции по курсу математические основы теории систем
Подождите немного. Документ загружается.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
решение общее )sin(;s
)sin(получаем0при;)( где );(2
1,2
2
2
2
2
2
2
tAyi
tBy
dt
yd
dt
dE
tftfy
dt
dy
dt
yd
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим два случая.
1.
-частота свободных (собственных) колебаний системы не совпадает с частотой
возмущающей силы, а также
i
-не является корнем характеристического уравнения.
Частное решение можно найти в виде простой гармоники
tbtay
r
sincos
. При этом
;sincos;cossin
22
tbtaytbtay
rr
Подставляя
rr
yy
,
в исходное уравнение, получим
;sin)(sin)(cos
;sin)sincos(sincos
2222
222
ttbta
ttbtatbta
;sinsincos
22
ttbta
Полученное выражение может быть тождеством, если
положить
22
и0
ba
. Тогда частное решение будет иметь вид
.sin
22
ty
r
Это частное решение определяет вынужденное колебание для случая несовпадения частот,
при этом амплитуда постоянна, но если
и
близки по значению, то может быть велика
даже при малой амплитуде возмущающей силы.
Общее решение исходного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и
частного решения:
.sin)sin(
22
ttAy
В результате имеем сложное колебательное движение, как результат собственных колебаний
и колебаний, обусловленных действиями возмущающей силы.
2. Пусть
- совпадает, т.е. частота собственных свободных колебаний системы
совпадает с частотой внешней силы. Так как число
ii
является корнем
характеристического уравнения
0
22
s
, то частное решение исходного уравнения будем
искать в виде
)sincos( tbtaty
r
.
Определяем
rr
yy
,
и, подставляя их в исходное уравнение, находим коэффициенты
.cos
2
т.е.,0,
2
tya
r
Общее решение уравнения имеет вид:
tttAy
cos
2
)sin(
.
Соотношение состоит из двух слагаемых, описывающих периодические колебания с
частотой
(свободные колебания) и колебание с той же частотой
и возрастающей с
ростом
t
амплитудой:
t
2
.
Явление неограниченного возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже малых
периодически возмущающих воздействий называется резонансом.
2.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ N-го ПОРЯДКА
21
Рассмотрим уравнение состояния стационарного управляемого объекта
, nn,n размеров матрицы постоянные-GA, где
(1) ),()()()(
r
tWtGutAxtx
u- вектор входных воздействий, W - вектор возмущающих воздействий. Задача состоит в
вычислении
)(tx
при
0
tt
.
Уравнению (1) соответствует однородное уравнение
)()( tAxtx
, решение которого равно
0
0
)(
ряд.степенойвразложение
!
);()(
0
k
kk
At
ttA
k
tA
etxetx
Введя обозначение
)(
0
)(
0
tte
ttA
решение можно представить в виде:
)()()(
00
txtttx
Пусть решение неоднородного уравнения (1) равно:
).()()(
10
tсtttx
(2)
Дифференцируя уравнение (2) по t, получим
).()()()(
10
tctttAxtx
(3)
Сравнивая (1) и (3) , имеем
.)]()([)()(
ьноследовател),()()()(
20
1
1
10
0
cdWGuttc
tWtGutctt
t
t
Решение уравнения
dWGutctttx
t
t
])()([)()()(
0
20
(4)
В уравнении (4) учтено, что
)(
0
tt
не зависит от переменной интегрирования и
);()()(
)(
)()(
0
1
0
00
teeettt
tA
tAttA
Вектор
2
c
вычисляется по начальным условиям
220
)0()( cctx
.
Окончательная форма решения уравнения
.)]()([)()()()(
0
00
dWGuttxttt
t
t
Отметим, что
At
et )(
- называется фундаментальной матрицей системы, для которой
верны свойства:
).()()()3
);()()()2
);()()1
0
1
0
00
1
tttt
tttt
tet
At
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ
3.1. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
22
Множество векторов
L
называется линейным векторным пространством, если для любых
двух векторов определена операция сложения и для любого вектора определены операции
умножения на число, при выполнении аксиом сложения векторов и умножения на скаляр.
Простейший пример векторного пространства – множество упорядоченных пар
действительных чисел
1
2121
,),,( Rx
. Геометрическим представлением такого
линейного векторного пространства является плоскость. Это пространство называется
двумерным Евклидовым пространством
112
RRR
.
МЕТРИКА
Расстояние
),(
между двумя векторами
,
задают с помощью метрики
,
удовлетворяющей следующим аксиомам:
иков. треугольнонеравенств ),(),(),(3.
ость;симметричн -),(),(.2
;, любых для0),(, когда тогда, толькои тогда,0),(.1
Пусть и векторы пространства
2
R
.
}.,max{),(
;)()(),(
;),(
:метрик примеры Введем
.;
2211
2
22
2
112
22111
2
1
2
1
Вычислим расстояние между векторами для каждой из приведенных выше метрик.
.7})3(4,21max{
;4.750))3(4()21(;83421;
3
2
;
4
1
22
21
В каждой из этих метрик можно определить единичную окружность как множество всех
точек расстояние которых от начала координат
1)0,(
.
Линейное векторное пространство
L
называется нормированным, если каждому вектору
Lx
можно поставить в соответствие неотрицательное число
x
, называемое нормой,
удовлетворяющее следующим свойствам:
1.
0x
тогда и только тогда, когда х=0,
2.
xx
,
3.
yxyx
.
В нормированном пространстве можно ввести метрику по формуле
),(
.
Норму вектора можно определить через метрику как расстояние между вектором и нулевым
вектором:
)0,(
.
23
Размерность. Линейное векторное пространство
L
называется конечномерным, а число n
называется размерностью пространства, если существует n-линейно независимых векторов
из
L
и любые
1n
векторов из
L
линейно зависимы.
Если пространство содержит сколь угодно большого количества линейно независимых
векторов, то оно называется бесконечно мерным пространством.
Базис- множество линейно независимых векторов
n
,...,,
21
называется базисом
линейного векторного пространства
L
, если любой вектор
x
представляется в виде:
nnn
aaaгдеaaax ...,;...
212211
- числа (определяются однозначно).
Преобразование
T
называется оператор, отображающий пространство
mn
EE
, то есть
преобразование сопоставляет каждому n-вектору
n
Ex
только один m-вектор
m
Ex
и
записывается в виде
Txy
.
Преобразование Т называется однозначным, если при любом
2121
; TxTxxx
Преобразование Т называется линейным если
)(
abab
xxTyy
, где
bbaa
TxyTxy ;
.
Линейному преобразованию Т можно сопоставить
nm
матрицу А, т.е.
),1(;или;
1
mixayAxy
n
j
jiji
.
3.2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Множество
n
EM
называется линейным подпространством, если
Mxx
ba
и для
любых
, любых и Mx, x
ba
. Подпространство
n
EM
называется инвариантным
подпространством относительно преобразования Т, если для любого
.T , MxMx
В
действительном пространстве
n
R
одномерное пространство- это прямая проходящая через
начало координат. Если
(где
const
)инвариантное подпространство линейного
подпространства Т, то в силу определения инвариантного подпространства дает нам
результат
λ(αξ),T(α )
где - число .
Используя матричное представление преобразования получим
)),(),(
A
, сократим
на , получим
0)1(или
AA
.
Если не нулевой вектор
удовлетворяет этому соотношению, то ему удовлетворяет также
любой вектор полученный умножением
на любое действительное или комплексное число.
Следовательно, вектор
определяет одномерное инвариантное подпространство
преобразования Т, представленное в базисе
),,...,,(
21 n
eee
матрицы А. Уравнение
0)1(
A
представляет собой систему линейных однородных алгебраических
уравнений. Эта система имеет однозначное решение
, если только
0)1det(
A
.
Значение вектора
0
всегда является решением такой системы. С другой стороны, если
0det
, то решение будет не единственным и нетривиальное решение (
0
) в этом случае
существует.
Определим характеристический полином как:
,...)1det()(
10
n
n
qqqAq
где
)det(
0
Aq
и
n
n
q )1(
.
Корни характеристического уравнения
0)(
q
называются собственными значениями или
характеристическими числами матрицы А.
Из основной теоремы алгебры следует, что характеристическое уравнение
0...
10
n
n
qqq
имеет n корней, некоторые из которых могут совпасть, а некоторые
могут быть комплексными.
Каждому собственному значению из набора
n
,...,,
21
соответствует член из множества
собственных векторов, т.е. собственный вектор
i
является ненулевым решением
уравнения
0)1(
A
.
24
Если все собственные значения различны, n соответствующих собственных векторов
линейно независимы и следовательно образуют базис пространства
n
E
.
Пример
Рассмотрим линейное преобразование А:
32
10
A
. Запишем его характеристический полином
.2;1 равныкорни
,23))2(1()3(
32
1
)1det()(
21
2
Aq
Для нахождения собственного вектора, соответствующего значению
1
, рассмотрим
систему
.1;1решенийизодно;0;отсюда,
0
0
22
11
;0)1(
12111211
12
11
1
A
Поэтому собственный вектор, соответствующий собственному значению
1
1
, имеет
вид
1
1
1
, отметим, что он не единственный
2
2
1
и т.д. .
Для
2
, имеем систему
0)1(
2
A
или
.2,1решенийизодно;02отсюда,
0
0
12
12
22122212
22
12
Собственный вектор, соответствующий собственному значению
2
2
, имеет вид
2
1
2
.
3.3. ТЕОРЕМА КЕЛИ-ГАМИЛЬТОНА
Каждая квадратная матрица порядка n удовлетворяет своему характеристическому
уравнению,
т.е. если
n
n
qqqA
...)1det(
10
, то
;0...1)(
10
n
n
AqAqqAq
.(-1)q;1 где
n
n
0
A
С помощью основного результата теоремы можно вычислить любую положительную целую
степени матрицы А через первые n-1 степеней матрицы.
)...1(
1
1
110
n
n
n
n
AqAqq
q
A
Аналогично можно найти обратную матрицу, имея соотношение
0)...1(
10
1
n
n
AqAqqA
, раскроем скобки
0...1
1
1
1
0
n
n
AqqAq
, разрешим
относительно А
-1
)...1(
1
1
21
0
1
n
n
AqAqq
q
A
- это выражение имеет смысл, если
только
0)det(
0
Aq
, что эквивалентно условию существования обратной матрицы.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ОТ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Пусть задана скалярная функция
)(xf
и мы хотим получить соответствующую
nn
матричную функцию
)(Af
квадратной матрицы А порядка n.
Определим функцию от матрицы через степенной ряд
n
k
k
k
k
ftf
k
tf
0
,
!
1
)(
- k- тая
производная:
25
n
k
k
k
Af
k
Af
0
!
1
)(
,
предполагая, что матричный ряд сходится.
Второй способ представления функции матрицы А с различными собственными значениями
можно определить через скалярные функции на каждом одномерном инвариантном
подпространстве:
,,...,2,1,)()( nkfAf
kkk
где
k
собственные вектора.
Поэтому
)(Af
существует, если существует
)(
k
f
.Используя теорему Кели –Гамильтона
можно упростить вычисления матричной функции, т.е. ее можно представить в виде
конечной суммы
1
110
...1)(
n
n
AaAaaAf
, отсюда
k
n
knkkkk
n
nk
aaafAaAaaAf
)...()(поэтому)...1()(
1
110
1
110
.
Следовательно
nkfaaa
k
n
knk
...1),(...1
1
110
Мы получили n уравнений от n неизвестных коэффициентов
i
a
.
Эти уравнения можно
переписать в виде матричного уравнения
)(
.
)(
)(
.
...1
......
...1
...1
2
1
1
1
0
12
1
2
2
22
1
1
2
11
nn
n
nnn
n
n
f
f
f
a
a
a
.
Определитель Вандермонда не равен 0 тогда и только тогда, когда собственные значения
различны (что и предполагалось).
Пример. Дана матрица
.)(вычислитьНеобходимо;2;1значениямимисобственныс
32
10
1
21
AAfA
Так как n=2 имеем:
.1
10
1
AaaA
Получаем систему относительно
10
, aa
:
.
01
2/12/3
32
10
2/1
10
01
2/3ьноСледовател
.2/1,2/3,
2/1
1
21
11
или
)(
)(
1
1
1
10
1
0
2
1
1
0
2
1
A
aa
a
a
f
f
a
a
Функция
At
e
представляет интерес при изучении систем второго и более высокого
порядка. Рассмотрим пример вычисления
At
e
с помощью теоремы Кели -Гамильтона.
Вичислить функцию
At
eAf )(
.
По теореме Кели -Гамильтона
.2,1,
32
10
.)(1)()(
21
10
A
AtataeAf
At
Составляем систему
t
t
e
e
a
a
2
1
0
21
11
.
Решая эту систему получаем
.)(и2)(
2
1
2
0
tttt
eetaeeta
tttt
tttt
ttttAt
eeee
eeee
eeeee
22
22
22
22
2
32
10
)(
10
01
)2(ьноСледовател
.
22
11
12
12
2
tt
ee
26
3.4. ПРИВИДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Рассмотрим матричное соотношение
yAx
. Пусть
},...,,{
21 n
базис собственных
векторов, соответствующих собственным значениям
},,...,,{
21 n
, предположим, что в
этом базисе представлены вектор x и y
nnnn
yyyyxxxx
...;...
22112211
.
Тогда соотношение
0 yAx
преобразуется к виду
nnnn
yxyxyx
)(...)()(0
22221111
.
Т.к. собственные векторы
n
,....,
1
линейно независимы, то
0
kkk
yx
для
nk ,...,2,1
.
Если матрица А не вырождена, т.е.
,0 то,0)det(
k
A
для k=1..n и координаты х просто
выражаются через y
nkxy
kkk
,1;/1
. Поэтому в базисе собственных векторов
линейное преобразование Т, соответствующее матрице А в первоначальном базисе
представляется матрицей
1
1
1
00
00
00
или
).,...,,(
21 n
diag
Весь набор характеристических корней называется спектром линейного преобразования Т.
Говорят, что преобразование Т имеет простой спектр, если все корни действительны и
различны.
Во многих случаях необходимо знать - может ли данное линейное преобразование Т иметь
диагональную матрицу. Всякое линейное преобразование с простым спектром может быть
задано диагональной матрицей. Получаем следующий результат: всякая матрица, у которой
все характеристические корни действительны и различны, подобна диагональной матрице,
или такая матрица приводится к диагональному виду.
Предположим, что столбцы матрицы S образована собственными векторами
},...,,{
21 n
S
. Матричное соотношение
yAx
преобразуется в новом базисе к виду
ySxAS
или
yxASS
1
, где вектор х в базисе собственных векторов имеет вид
xxSx
-1
Sx или
, аналогично
y
-1
Sy
.
Рассмотрим сначала
),...,diag( где ,A как так,
21 n
SAS
.
В базисе собственных векторов матрица А может быть преобразована к диагональному виду
следующим преобразованием
SSASS
11
Пример
;
11
12
;
21
11
2
1
,
1
1
;2,1;
32
10
1
2121
SS
A
20
01
21
11
32
10
11
12
1
ASS
.
Если S - матрица, приводящая матрицу А с различными собственными значениями к
диагональному виду, то
ASS
1
. Следовательно
1
SSA
.)])(....),(),(([)()(
1
21
1
SfffdiagSSASfAfи
n
Последнее соотношение можно
переписать в виде
``
222
`
111
)(...,)()()(
nnn
fffAf
, где
},...,,{
21 n
S
-
базис собственных векторов, а
},...,,{
`
2
`
1
`1
n
S
- соответствующий взаимный базис.
27
В частности
``
22
`
11
...
21
nn
t
t
t
At
n
eeee
.
4. РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ n-ГО ПОРЯДКА.
4.1. Общее решение однородной линейной системы n-го порядка.
Рассмотрим однородную линейную систему уравнений
)()( tAxtx
(1)
Здесь А есть n n квадратная матрица коэффициентов уравнений;
x(t) - матрица-столбец (вектор) из неизвестных функций.
Будем искать общее решение системы (1) в виде
t
etx
)(
, (2)
где
вектори
должны быть определены.
Подстановка решения (2) в уравнение (1) дает
tt
eAe
(2)
После сокращения на ненулевой скаляр
t
e
получаем
A
или
0)(
IA
, (3)
где I- единичная матрица размером n n.
Для решения системы (1) необходимо решить систему алгебраических уравнений (3).
Следовательно, вектор х, определенный соотношением (2), является решением системы,
если
есть вектор собственных значений и
есть соответствующие собственные
вектора матрицы А.
Пример.
Найти общее решение системы
)()( tAxtx
, где
14
11
A
.
Формируем систему алгебраических уравнений (4)
0
0
14
11
2
1
.
Находим корни характеристического уравнения
.1,3,04)1(
21
2
.
Соответствующие собственные вектора: для
1
2
1
1
,
для
2
2
1
2
.
Тогда общее решение системы есть
)()(
)2(
2
)1(
1
txctxcx
tt
ecec
2
1
2
1
2
3
1
.
4.2. Решение неоднородной линейной системы.
Рассмотрим уравнение состояния стационарного управляемого объекта
)()()( tutAxtx
. (1)
Пусть S есть матрица, образованная собственными векторами матрицы А. Определим
новую зависимую переменную y как
x=Sy . (2) .
Подставляя (2) в уравнение (1), получим
)()()( tutASytyS
.
Умножая на S
-1
получим
)()()()()(
11
thDytuStyASSty
, (3)
28
где
)()(
1
tuSth
и D есть диагональная матрица, образованная собственными значениями
матрицы А .
Уравнения (3) представляют собой систему несвязанных уравнений
)(),...(
1
tyty
n
. Эти
уравнения могут быть решены отдельно.
В скалярной форме уравнения (3) имеют форму
),()()( thtyty
iiii
i=1,n (4)
где
)(th
i
- есть определенная комбинация
)(),...(
1
tutu
n
.
Решение для уравнений (4) имеют вид
dheecty
t
tt
ii
ii
)()(
0
)(
, i=1,n, (5)
где с –произвольная константа.
Наконец, используя результат (5), решение x(t) исходного уравнения (1) можно получить
используя соотношение (2).
4.3. Понятие о канонической форме Жордана.
Не всякую матрицу можно привести линейным преобразованием к диагональному
виду. Удобно выделить класс матриц простейшего вида, к которому можно было бы
привести путем некоторых линейных преобразований любую матрицу.
Рассмотрим квадратную матрицу размера п х п, элементы главной диагонали которой
равны числу о, элементы а 1(i =1, 2, ....n-1) единицы, а все остальные элементы - нули:
0
0
0
0
000
100
010
001
Такая матрица называется клеткой Жордана порядка n, отвечающей собственному значению
o.
Жордановой матрицей называется клеточно-диагональная матрица, в которой на главной
диагонали стоят клетки Жордана, а все элементы вне этих клеток равны нулю.
Например, матрица
100000000
030000000
000030000
000310000
003100000
000000200
000002100
000000002
000000021
является жордановой матрицей, состоящей из пяти клеток:
-двух клеток второго порядка, отвечающих собственному
значению 2,
-клетки третьего порядка и клетки первого порядка,
отвечающих собственному значению 3,
-и клетки первого порядка, отвечающей собственному
значению 1.
Справедлива приводимая без доказательства теорема о приведении матриц к жордановой
форме.
Теорема . Для всякой числовой матрицы А существует подобная ей жорданова матрица J,
т. е. существует такая невырожденная матрица С, что
АССJ
-1
.
29
Матрица J составлена из клеток Жордана, отвечающих собственным значениям матрицы A.
Заметим, что одному и тому же собственному значению может соответствовать несколько
клеток Жордана различного размера.
Матрицы, записанные в жордановой форме, используются в дальнейшем при изучении
систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
4.4. Решение однородной линейной система уравнений (общий случай).
Рассмотрим однородную линейную систему уравнений
)()( tAxtx
. В общем случае
матрицу А можно с помощью невырожденного преобразования привести к жордановой
форме, т. е. существует такая невырожденная матрица С, что
JACC
1
. Здесь J —
жорданова форма матрицы А. Для приведения матрицы A к жордановой форме сделаем
замену неизвестных функций. Положим х = Су, где C - некоторая невырожденная матрица,
0det C
. Тогда
ACy
dt
Cyd
)(
или
ACy
dt
dy
Умножая обе части равенства (3) слева на
1
C
, получим
JyACyC
dt
dy
1
,
Жорданова матрица
A
A
A
J
0
...
0
2
1
состоит из клеток A
l
, имеющих следующую структуру:
e
e
e
l
A
...000
....
0...10
0...01
где
l
- характеристическое число матрицы A.
Обозначим размерности клеток соответственно е
1
, е
2
..., e
.. Тогда исходную систему
уравнений можно записать в развернутом виде
211
1
yy
dt
dy
321
2
yy
dt
dy
. . . . . . . . . . . . (1)
|
11
1
11
1
ee
e
yy
dt
dy
|
1
1
1 e
e
y
dt
dy
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
22
1
11
1
|
ee
e
yy
dt
dy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30