Лекции по гидрогазодинамике
Подождите немного. Документ загружается.
~n dS
n
dS
k
= dS
n
n
k
,
n
k
dV
~
σ
−k
= −
~
σ
k
, k = 1, 2, 3.
dS
k
= dx
i
dx
j
dV = dx
i
dx
j
dx
k
~
σ
n
=
3
X
k=1
~
σ
k
n
k
.
~
σ
n
σ
n i
=
3
X
k=1
σ
k i
n
k
, i = 1, 2, 3.
[σ
k i
]
~n σ
ii
σ
ki
i 6= k
k
[σ
k i
]
σ =
σ
1 1
σ
1 2
σ
1 3
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 3
σ
3 1
σ
3 2
σ
3 3
σ
~n
~
σ
n
= σ ~n.
V S
dS
S
−→
Φ
s
=
I
S
~
σ
n
dS =
I
S
σ ~n dS =
Z
V
Div σ dV.
−→
F
s
= Div σ =
3
X
k=1
∂σ
k i
∂x
k
σ
σ
i k
= σ
k i
.
~
M =
Z
V
[~r × Div σ] · d V.
M
ik
=
Z
V
3
X
j=1
[x
k
(Div σ)
i
− x
i
(Div σ)
k
] · d V =
=
Z
V
3
X
j=1
x
k
∂σ
j i
∂x
j
− x
i
∂σ
j k
∂x
j
· d V.
x
k
∂σ
j i
∂x
j
− x
i
∂σ
j k
∂x
j
=
∂
∂x
j
(x
k
σ
j i
− x
i
σ
j k
) −
σ
j i
∂x
k
∂x
j
− σ
j k
∂x
i
∂x
j
.
S
V
Z
V
3
X
j=1
∂
∂x
j
(x
k
σ
j i
− x
i
σ
j k
) d V =
I
S
3
X
j=1
(x
k
σ
j i
− x
i
σ
j k
) n
j
d S.
∂x
k
∂x
j
= δ
k j
;
∂x
i
∂x
j
= δ
i j
.
δ
k j
; δ
i j
σ
j i
∂x
k
∂x
j
− σ
j k
∂x
i
∂x
j
= (σ
j i
δ
k j
− σ
j k
δ
i j
) .
M
i k
Z
V
3
X
j=1
σ
j i
∂x
k
∂x
j
− σ
j k
∂x
i
∂x
j
d V =
Z
V
3
X
j=1
(σ
j i
δ
k j
− σ
j k
δ
i j
) dV =
=
Z
V
(σ
k i
− σ
i k
) dV.
M
i k
=
I
S
3
X
j=1
(x
k
σ
j i
− x
i
σ
j k
) n
j
d S −
Z
V
(σ
k i
− σ
i k
) dV.
σ
k i
= σ
i k
∂v
i
/∂x
k
~v = 0
~v =
~ω ~v [~ω ×~r ]
∂v
i
/∂x
k
~v = [~ω ×~r ]
∂v
i
∂x
k
+
∂v
k
∂x
i
.
1/2
˙
ε
∂ (δV )/∂t = div(~v)
˙
ε
˙
ε
˙
ε
ik .
=
1
2
·
∂v
i
∂x
k
+
∂v
k
∂x
i
−
2
3
· δ
ik
· div(~v)
!
δ
ik
(i, k) = 1, 2, 3
σ
0
ik .
= 2 · µ ·
˙
ε
ik .
σ
0
ik
= σ
0
ik .
+ σ
0
ik .
= 2 · µ ·
˙
ε
ik .
+ ζ · δ
ik
· div(~v)
ρ ~v = 0
σ
0
ik
= 2 µ
˙
ε
ik
= µ
∂v
i
∂x
k
+
∂v
k
∂x
i
!
.
σ
0
ik
∂v
i
/∂x
k
σ
(n)
ki
= −p δ
ki
.
−
σ
ni
= σ
ki
· n
k
σ
ni
= |
~
σ
n
| n
i
= σ
ii
n
i
|
~
σ
n
| = σ
nn
= σ
ii
= −p
σ
ik
= −p δ
ik
+ σ
0
ik
,
σ
0
ik
σ
0
ik
= 0
σ
ik
= −p δ
ik
.
div ~v = 0
σ
ik
= −p δ
ik
+ µ
∂v
i
∂x
k
+
∂v
k
∂x
i
!
.
ε
˙
ε = dε/dt σ
σ = σ(ε,
˙
ε)
σ
yx
= σ
0
+ µ ·
∂v
x
∂y
σ
yx
< σ
0
∂v
x
/∂y = 0
σ = σ
0
+ 2µ ·
˙
ε.
σ
yx
= µ
.
·
∂v
x
∂y
= k ·
∂v
x
∂y
!
n
.
µ
.
= k · (∂v
x
/∂y)
n−1
k, n < 1
σ = k ·
˙
ε
n
k, n > 1
σ = G · ε + 2µ ·
˙
ε.
˙
ε
ε
σ = σ
0
=
ε = ε(t)
ε(0) = 0
ε =
σ
0
G
·
"
1 − exp
−
G · t
µ
!#
.
t → ∞
ε
∞
= σ
0
/G t
0
= µ/G
ε(0) = ε
0
ε = ε
0
· exp
−
G · t
µ
!
.
t
0
˙
ε =
˙
ε
.
+
˙
ε
.
=
˙
σ
G
+
σ
µ
.
˙
ε = σ(0) = σ
0
t
t
0
σ = σ
0
· exp
−
G · t
µ
!
µ
.
S
σ = 2µ
.
(S) ·
˙
ε.
Div σ =
3
X
k=1
∂
∂x
k
(−p δ
ik
) = −grad p.
ρ
d~v
dt
= ρ
−→
f
m
− grad p.
Div σ =
3
X
k=1
∂
∂x
k
"
−p δ
ik
+ µ
∂v
i
∂x
k
+
∂v
k
∂x
i
!#
= −grad p + µ ∇
2
~v.
ρ
d~v
dt
= ρ
−→
f
m
− grad p + µ ∇
2
~v.
ρ
d~v
dt
− Div σ = ρ
−→
f
m
.
I
~v
= −σ; ω
~v
= ρ
−→
f
m
.